Ecuación de Laplace (CGomJRod) - Historial de revisiones

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Ecuación de Poisson en \mathbb{R}^2 */

2024-04-19T20:19:47Z

‎Ecuación de Poisson en \mathbb{R}^2

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Ecuación de Poisson en \mathbb{R}^2 */

2024-04-19T20:19:11Z

‎Ecuación de Poisson en \mathbb{R}^2

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Interpretación desigualdad de Harnack */

2024-04-19T20:16:58Z

‎Interpretación desigualdad de Harnack

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Interpretación desigualdad de Harnack */

2024-04-19T20:15:48Z

‎Interpretación desigualdad de Harnack

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Limitaciones de la fórmula de Poisson */

2024-04-19T20:11:00Z

‎Limitaciones de la fórmula de Poisson

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Limitaciones de la fórmula de Poisson */

2024-04-19T20:06:48Z

‎Limitaciones de la fórmula de Poisson

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Limitaciones de la fórmula de Poisson */

2024-04-19T20:05:41Z

‎Limitaciones de la fórmula de Poisson

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Preliminares */

2024-04-19T20:02:05Z

‎Preliminares

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Ecuación de Poisson en \mathbb{R}^2 */

2024-04-19T19:59:34Z

‎Ecuación de Poisson en \mathbb{R}^2

Javier Rodríguez Carrasquilla: /* Interpretación desigualdad de Harnack */

2024-04-19T19:57:37Z

‎Interpretación desigualdad de Harnack

@@ Línea 486: / Línea 486: @@
 <center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
 donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos también cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
-[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2Inft.png|300px|thumb|right|Solución del problema en función de <math>R</math> para un <math>\theta</math> fijo y comparación con la estimación asintótica]]
+[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2Inft.png|300px|thumb|right|Solución del problema en función de <math>r</math> para un <math>\theta</math> fijo y comparación con la estimación asintótica]]
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@@ Línea 455: / Línea 455: @@
 <center><math>\mathcal{U}(r_0,\theta_0)=-\frac{1}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\log\left(r_{0}^{2}+r^{2}-2r_{0}r\cos(\theta-\theta_{0})\right)\thinspace dr\thinspace d\theta</math></center>
 Integrándola numéricamente con Matlab podemos obtener su gráfica.
-[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
+[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2.png|300px|thumb|right|Solución del problema en <math>\mathbb{R}^2</math> dada por el potencial logarítmico]]
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@@ Línea 486: / Línea 486: @@
 <center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
 donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos también cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.
-[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2Inft.png|300px|thumb|right|Solución Estacionaria]]
+[[Archivo:CGomJRod LaplaceR2Inft.png|300px|thumb|right|Solución del problema en función de <math>R</math> para un <math>\theta</math> fijo y comparación con la estimación asintótica]]
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-Lo más llamativo de estas gráficas es cómo a pesar de que el comportamiento es parecido al de dimensión <math>2</math>, el eje <math>y</math> se ve modificado. Es decir que las gráficas cuanto mayor es la dimensión más se abren, peores parecen las cotas dadas por la desigualdad de Harnack. A pesar de esto, El Teorema de Liouville se sigue cumpliendo en dimensiones superiores.
+Lo más llamativo de estas gráficas es como a pesar de que el comportamiento es parecido al de dimensión <math>2</math>, el eje <math>y</math> se ve modificado. Es decir que las gráficas cuanto mayor es la dimensión más se abren, peores parecen las cotas dadas por la desigualdad de Harnack. A pesar de esto, el Teorema de Liouville se sigue cumpliendo en dimensiones superiores.
 =Ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>=

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 =Ecuación de Poisson en <math>\mathbb{R}^2</math>=

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 Para estudiar el error, fijemos el punto <math>(r,\theta)=(0.9,\frac{\pi}{4})</math>. Al ser un punto que está lejos de la frontera podemos intuir que no tendrá demasiados problemas en la convergencia de la solución en su entorno; la malla empleada no deberá ser excesivamente fina para evitar dicho problema. Veamos este aspecto graficando el error en dicho punto en escala logarítmica en función del número de puntos empleados en la fórmula del trapecio.
-[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrap.png|300px|thumb|right|Error en un punto fijo con <math>10^n</math> puntos]]
+[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorTrap.png|300px|thumb|right|Logaritmo del error en un punto fijo con <math>10^n</math> puntos]]
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@@ Línea 175: / Línea 175: @@
 Veamos ahora el problema del aumento error de la aproximación según nos acercamos a la frontera de la bola. Para ello fijamos el número de puntos empleados en la fórmula del trapecio. Para los puntos fijemos el ángulo a <math>\frac{\pi}{4}</math> y calculemos el error variando <math>r</math> para cada punto de la forma <math>\lbrace(1-10^{-n},\frac{\pi}{4})\rbrace_{n\in\mathbb{N}\setminus \lbrace 1 \rbrace}</math>.
-[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFrontera.png|300px|thumb|right|Error según nos acercamos a la frontera]]
+[[Archivo:CGomJRod LaplaceErrorCuandoFrontera.png|300px|thumb|right|Logaritmo del error según nos acercamos a la frontera]]
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 Es fácil ver que expresando la integral en coordenadas polares obtenemos:
-<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta==\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>
+<center><math>\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin\theta\cos\theta}{|(r_0\cos\theta_0,r_0\sin\theta_0)-(\cos\theta,\sin\theta)|^2}d\theta=\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin\theta\cos\theta}{(r_0\cos\theta_0-\cos\theta)^2+(r_0\sin\theta_0-\sin\theta)^2} d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2(r_0^2+1-2r_0\cos(\theta-\theta_0))}d\theta=:\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta</math></center>
 Por tanto, basta con estimar el error en esta última integral siguiendo la fórmula del error del método del trapecio [https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_del_trapecio#Regla_del_trapecio_compuesta Error regla del trapecio compuesta] Obteniendo

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 Planteemos el siguiente problema de Laplace en <math>\mathbb{R}^2</math>:
+<center>
 <math>
 \left\{
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 \right.
 </math>
+</center>
 Con <math>g(\theta)=\max\lbrace 0,1-\frac{2}{\pi}| \theta-\pi| \rbrace</math>, donde <math>\theta</math> viene de la expresión del punto en coordenadas polares. Particularizando la fórmula para este caso tenemos <center><math>u(x)=\frac {1-|x|^2}{\omega_n }\int_{\partial B_1(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^2 }d\sigma</math></center>
@@ Línea 134: / Línea 134: @@
 Veamos con ayuda de un problema del que conocemos la solución explícita, como haciendo la malla más fina conseguimos reducir los problemas generados al aproximar numéricamente.
+<center>
 <math>
 \left\{
@@ Línea 143: / Línea 143: @@
 \right.
 </math>
+</center>
 Es fácil ver que la ecuación de Laplace implica que la solución debe ser armónica. Por otro lado, podemos comprobar que la función <math>u(x,y)=xy</math> es armónica al ser un monomio multivariante de grado <math>1</math>. Es decir, esta es solución del problema al ser igual a la expresión de la condición frontera. Como hemos visto en [[Ecuación de Laplace (CGomJRod)#Preliminares|preliminares]] esta solución es única, por lo que podemos hallar una aproximación numéricamente y al conocer la solución exacta, conocer el error que estamos cometiendo.

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 Como ya adelantamos podríamos encontrarnos integrales que no fueran fácilmente resolubles analíticamente por lo que recurrimos a métodos numéricos. Aproximando la integral por el método del trapecio obtenemos la gráfica de la solución aproximada. Se muestra además el código con el que se ha calculado y dibujado la solución:
-[[Archivo:CGomJRod LaplaceEjemp1.png|300px|thumb|right|Solución del Problema]]
+[[Archivo:CGomJRod LaplaceEjemp2.png|300px|thumb|right|Solución del Problema]]
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-Npuntos=100;                            %Número de puntos para la aproximación del
+Npuntos=50;                            %Número de puntos para la aproximación del
 Nr=30; Nt=60;                           %Número de puntos para el graficado
 tint=linspace(0,2*pi,Npuntos);          %Vector de puntos para evaluar en la regla del trapecio

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−	Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración ~~numérico~~. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:	+	Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérica. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es:

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 Observamos en esta dos zonas diferenciadas. En primer lugar la zona central, donde nos encontramos un máximo. El comportamiento de la solución en esta región viene determinado por la función <math>f</math>, que dicta que en <math>B_{1}(0)</math>, <math>\Delta u=1</math>. Geométricamente esto dice que para todo punto de esa región, la función vale más en el punto que en su entorno en promedio. Es decir, la función es superarmónica. Este comportamiento se ve más claramente en el punto máximo. La otra zona que destaca es el exterior de <math>B_{1}(0)</math>. Aquí el comportamiento por su parte lo dicta que <math>\Delta u=0</math>, es decir, que la función es armónica. Geométricamente esto se puede ver en que para todo punto de la región, la función toma el valor promedio de los puntos de su entorno.
-Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>. Por teoría se tiene <ref>Salsa, S., Verzini, G. (2022). Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory. Alemania: Springer International Publishing.</ref> que cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>, la solución del problema se comporta de manera que
+Veamos por otro lado el comportamiento de la solución en un punto lejano al origen, cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>. Por teoría se tiene <ref>Salsa, S., Verzini, G. (2022). Partial Differential Equations in Action: From Modelling to Theory. Pg 150. Alemania: Springer International Publishing.</ref> que cuando <math>\lvert x\rvert\to\infty</math>, la solución del problema se comporta de manera que
 <center><math>u(x)=-\frac{M}{2\pi}\log(\lvert x \rvert)+O\left(\frac{1}{\lvert x \rvert}\right)</math></center>
 donde <math>M=\int_{\mathbb{R}^2}f(x)\thinspace dx=\lvert B_{1}(0)\rvert=\pi</math>. Graficando tanto la expresión anterior como la obtenida con el potencial logarítmico en función de <math>r</math> y para un <math>\theta=0</math> fijo, se tiene que las expresiones cada vez se parecen más, como es de esperar. Observamos también cómo el valor de la función cuanto mayor es el radio cada vez es menor.

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 Ahora es fácil darle una interpretación a la desigualdad. Esta dice que toda función armónica que pase por, en este caso, <math>0</math> está acotada superior e inferiormente por dichas funciones en <math>\overline{B_r(0)} \subset \Omega</math>. Estas son también funciones armónicas, por tanto, nos indica que todas las funciones armónicas que pasan por dicho punto están encerradas en el área delimitada entre estas dos funciones armónicas "límite" que se ve en la gráfica anterior.