Ecuación de Calor en varilla(Grupo 16-C) - Historial de revisiones

Luismorenolopez94 en 21:35 20 may 2015

2015-05-20T21:35:43Z

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Luismorenolopez94 en 21:31 20 may 2015

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@@ Línea 211: / Línea 211: @@
-Como se puede observar, la solución no tiene nada que ver con la realidad,solo concuerda en el caso de '''Euler Implícito''',lo cual induce a pensar que hay un error en el desarrollo de la modelización. Si se revisa el programa, se advierte que la distorsión se debe a que con las condiciones Δx y Δt dadas el problema no cumple la condición de estabilidad necesaria: Δx/(Δt)^2
+Como se puede observar, la solución no tiene nada que ver con la realidad,solo concuerda en el caso de '''Euler Implícito''',lo cual induce a pensar que hay un error en el desarrollo de la modelización. Si se revisa el programa, se advierte que la distorsión se debe a que con las condiciones Δx y Δt dadas el problema no cumple la condición de estabilidad necesaria: Δt/(Δx)^2
-Y en este caso no se cumple por lo tanto basta con buscar un Δt que haga que cumpla: Δx/(Δt)^2 = k/h^2 = 1/2Δt , con lo que Δt = 0.0025.
+Y en este caso no se cumple por lo tanto basta con buscar un Δt que haga que cumpla: Δt/(Δx)^2 = k/h^2 = 1/2Δt , con lo que Δt = 0.0025.
 El nuevo código sería:

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Línea 303:		Línea 303:


−	Para saber cuándo empieza a ser estacionaria la temperatura probamos a editar un gráfico en 2D con t=1 y efectivamente a partir de este instante la solución parece ser estable,es decir,estacionaria. Lo demostramos en estos gráficos,que en el primero se observa como cambia en los puntos centrales de la barra con un paso de 0.1 hasta que se convierte en estacionaria, osea en t=1.	+	Para saber cuándo empieza a ser estacionaria la temperatura probamos a editar un gráfico en 2D con t=1 y efectivamente a partir de este instante la solución parece ser estable,es decir,estacionaria. Lo demostramos en estos gráficos,que en el primero se observa como cambia en los puntos centrales de la barra con un paso de 0.1 hasta que se convierte en estacionaria, osea en t=1. De ahí que las gráficas se vayan acercando a una única hasta llegar al punto de estar superpuestas en una misma e única, que será la estacionaria y se cumple a partir de t=1.

	[[Archivo:9999nadie.png\|700px\|thumb\|center\|]]		[[Archivo:9999nadie.png\|700px\|thumb\|center\|]]

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−	~~Se puede apreciar que~~ la temperatura ~~apenas varía~~ en ~~el tiempo~~ a partir de ~~t = 10~~, se ~~mantiene constante y sólo varía~~ en los ~~primeros instantes~~.	+	Para saber cuándo empieza a ser estacionaria la temperatura probamos a editar un gráfico en 2D con t=1 y efectivamente a partir de este instante la solución parece ser estable,es decir,estacionaria. Lo demostramos en estos gráficos,que en el primero se observa como cambia en los puntos centrales de la barra con un paso de 0.1 hasta que se convierte en estacionaria, osea en t=1.
		+
		+	[[Archivo:9999nadie.png\|700px\|thumb\|center\|]]
		+
		+
		+	Este segundo gráfico mostrará ''cómo se comporta la función estacionaria'' a partir de ese instante t=1 para cualquier tiempo más grande, que seguirá el mismo patrón para cualquier tiempo mayor de t=1.
		+
		+
		+	[[Archivo:99897.png\|700px\|thumb\|center\|]]
		+
		+
		+
	La función a la que se parece la solución u(x,t) para tiempos grandes es: ''ye=5-(5/4)*x'', resuelta analíticamente a partir de la ecuación estacionaria antes dicha (2Uxx= 0). La función gráficamente es(es idéntica para cualquier tiempo):		La función a la que se parece la solución u(x,t) para tiempos grandes es: ''ye=5-(5/4)*x'', resuelta analíticamente a partir de la ecuación estacionaria antes dicha (2Uxx= 0). La función gráficamente es(es idéntica para cualquier tiempo):

@@ Línea 387: / Línea 387: @@
 %Ejercicio 7
 %datos del problema
 a=0;b=4; h=0.1;
 x=a:h:b;
 Q=[1,3,5,10,20];
 u0=exp(-6*(x-2).^2)+5-5*x/4; %valor inicial
-figure(1)
+t=0.5;
 hold on
-plot(x,u0,'k')
+plot(x,u0,'m')
 for i=1:length(Q)
-t=0.5;
+ U=0;
-U=0;
+ for j=1:Q(i)
-    for j=1:Q(i)
+ p=cos((j-(1/2))*pi/4*x);
-       p=cos(((2j-1)/2)*pi*x/4);
+ aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
-       aj=trapz(x,u0.*p)/trapz(x,p.*p);
+ U=U+aj*exp(-2*(j-1/2)^2*(pi^2)*t/16)*cos((j-(1/2))*pi*x/4);
-       U=U+aj*exp(-2*((pi*(2j-1)/8)^2)*t).*cos((j-(1/2))*pi*x/4);
+end
-    end
 plot(x,U)
 end
 legend('u0','Q=1','Q=3','Q=5','Q=10','Q=20','Location','best')
@@ Línea 411: / Línea 412: @@
 }}
-[[Archivo:Ap7normal.png|700px|thumb|center|]]
+[[Archivo:Ap7normalya.png|700px|thumb|center|]]

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Línea 1:		Línea 1:
−	{{ TrabajoED \| Ecuación de Calor en varilla. Grupo 16-C \| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales\|Ecuaciones Diferenciales]]\|[[:Categoría:ED14/15\|Curso 2014-15]] \| Laura Ramos Sangrós	+	{{ TrabajoED \| Ecuación del Calor en varilla. Grupo 16-C \| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales\|Ecuaciones Diferenciales]]\|[[:Categoría:ED14/15\|Curso 2014-15]] \| Laura Ramos Sangrós
	Luis Moreno López		Luis Moreno López

@@ Línea 15: / Línea 15: @@
       <math> \left \{\begin{matrix}    Ut – 2Uxx = 0   ;      t>0, x € (0,4) \\  U(0,t) = 5 ; U(4,t) = 0  ;      t>0 \\ U(x,0) = e^(-6(x-2)^2) + (5-5x/4)  ;  t>0, x € (0,4) \end{matrix} \right . </math>
 En segundo lugar se nos pide resolverlo por el método de diferencias finitas con un tamaño de paso y un intervalo de tiempo de 0.1 por el método del trapecio.
@@ Línea 474: / Línea 476: @@
 '''Así se ve que la temperatura estacionaria es 4.655 que se mantiene constante(estacionaria) a partir de 4.485 segundos. Con esto se obtiene lo pedido; el tiempo que se alcanza el estado estacionario con un error de 10^-3'''
-==Condición de flujo saliente=
+==Condición de flujo saliente==
 El último experimento del trabajo, es resolver la ecuación anterior pero con una condición de frontera diferente:

@@ Línea 5: / Línea 5: @@
 Gonzalo Olmos de la Cruz}}
@@ Línea 471: / Línea 474: @@
 '''Así se ve que la temperatura estacionaria es 4.655 que se mantiene constante(estacionaria) a partir de 4.485 segundos. Con esto se obtiene lo pedido; el tiempo que se alcanza el estado estacionario con un error de 10^-3'''
 El último experimento del trabajo, es resolver la ecuación anterior pero con una condición de frontera diferente:

@@ Línea 7: / Línea 7: @@
-Se nos presenta una varilla delgada, homogénea, de sección constante y longitud L ocupando el intervalo x € (0,L) con L = 4 m. En los extrema los de la barra están colocados objetos a una temperatura constante de 0 y 5 grados respectivamente, e inicialmente la temperatura de la varilla viene dada por la función:      u0 = e^(-6(x-2)^2) + (5-5x/4)
+Se nos presenta una varilla delgada, homogénea, de sección constante y longitud L ocupando el intervalo x € (0,L) con L = 4 m. Las condiciones físicas de la varilla son densidad=1 y conductividad térmica(k)=2. En los extremos de la barra están colocados objetos a una temperatura constante de 0 y 5 grados respectivamente, e inicialmente la temperatura de la varilla viene dada por la función:      u0 = e^(-6(x-2)^2) + (5-5x/4)
 Suponiendo que la temperatura de la varilla u(x,t) satisface la ecuación de calor  ut-2uxx  = 0,
 El problema (P) con su sistema de ecuaciones que satisface u(x,t) será:
@@ Línea 532: / Línea 532: @@
 [[Archivo:Ap9normal.png|700px|thumb|center|]]

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Línea 480:		Línea 480:

	Resolvemos esta cuestión:		Resolvemos esta cuestión:
		+
		+	{{matlab\|codigo=
		+
		+	%Trabajo apartado 9
		+	%Ecuacion Ut - Uxx + u = 16
		+
		+	clear all , clc , clf
		+
		+	%datos iniciales
		+	a=0; b=1; h=0.1;
		+	x=a:h:b;
		+	N=(b-a)/h; %el vector x tiene n+1 elementos
		+
		+	%nodos interiores
		+	xx=x(1:N);
		+	xx=xx';
		+	%cond contorno
		+	ua=-2; ub=2;
		+	%cond inicial
		+	u0=exp(-6(xx-2).^2)+5-5xx/4;
		+	% matriz K
		+	K=1/h^2(2diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),-1) -diag(ones(1,N-1),1));
		+	K(1,2)=-2/h^2;
		+	I = eye(size(K));
		+	% término F
		+	F=16*xx;
		+	F(1)=F(1)-(2*ua/h^2)+16;
		+	F(end)=F(end)+16+ub/h^2;
		+	% discretización en t
		+	t0=0;tM=10;
		+	k=0.0005; % paso temporal.
		+	t=t0:k:tM;
		+	M=length(t)-1; %número de subintervalos temporales
		+	sol(:,1)=u0;
		+	for i=1:M
		+	%Euler explicito
		+	sol(:,1+i)=sol(:,i)+k(-(K+I)sol(:,i)+F);
		+	end
		+	%Añado frontera(solo Dirichlet)
		+	Ub=ub*ones(1,length(t));
		+	sol=[sol;Ub];
		+
		+	%gráfico
		+	[Mt,Mx]=meshgrid(t,x);
		+	mesh(Mx,Mt,sol);
		+	xlabel('Longitud');
		+	ylabel('Tiempo');
		+	zlabel('Temperatura');
		+
		+	}}
		+
		+	[[Archivo:Ap9normal.png\|700px\|thumb\|center\|]]