ECUACION LOGÍSTICA - Historial de revisiones

ArturoBarrena: /* . Apartado 4 */

2024-04-19T20:23:17Z

‎. Apartado 4

Rekkit17: /* . Apartado 3 */

2024-04-19T20:23:08Z

‎. Apartado 3

ArturoBarrena: /* . Apartado 2 */

2024-04-19T20:22:27Z

‎. Apartado 2

Rekkit17: /* . Ejercicio 5 */

2024-04-19T20:22:11Z

‎. Ejercicio 5

ArturoBarrena: /* . Ejercicio 1 */

2024-04-19T20:22:05Z

‎. Ejercicio 1

ArturoBarrena: /* . Introducción */

2024-04-19T20:19:44Z

‎. Introducción

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

ArturoBarrena: /* .Comportamiento asintótico */

2024-04-19T20:00:33Z

‎.Comportamiento asintótico

ArturoBarrena: /* . Ejercicio 5 */

2024-04-19T19:59:00Z

‎. Ejercicio 5

Rekkit17: /* El potencial logarítmico . */

2024-04-19T19:57:47Z

‎El potencial logarítmico .

ArturoBarrena: /* . Apartado 4 */

2024-04-19T19:57:21Z

‎. Apartado 4

@@ Línea 296: / Línea 296: @@
 }}
-=. Apartado 4=
+=. Desigualdad de Harnack=
 En esta sección analizaremos qué dice la desigualdad de Harnack. Usaremos dicha desigualdad para encontrar la región en la que deben estar todas las soluciones armónicas en la <math>B_R</math> (para <math>R=1,2,10</math>), que valen lo mismo que u en el punto <math>(0,0)</math>.

@@ Línea 244: / Línea 244: @@
 }}
-=. Apartado 3=
+=. Solución por serie de Fourier=
 Una vez estudiado el problema que se tiene con la fórmula de Poisson para aproximar la solución cerca de la frontera, veamos qué ocurre con la solución obtenida por la serie de Fourier. Empezaremos considerando que el problema se ha planteado en la bola de radio <math>R</math> y luego particularizaremos la solución para <math>R=1</math>. Para ello, transformamos nuestro problema a coordenadas polares:

@@ Línea 90: / Línea 90: @@
 }}
-==. Apartado 2==
+==. Errores en la fórmula de Poisson==
 Tal y como hemos observado, la fórmula de Poisson tiene ciertos problemas al aproximar la solución en la frontera debido al carácter singular de la integral. Estos problemas se pueden estudiar con mayor precisión calculando el error que tiene al aproximar una solución exacta. Consideramos por ejemplo la función en coordenadas cartesianas <math>u(x,y)=xy</math>, la cual es armónica y su valor en la frontera es <math>g(x,y)=xy</math>. Para usar la fórmula de Poisson, escribimos <math>u</math> en coordenadas polares:

@@ Línea 463: / Línea 463: @@
 }}
-=. Ejercicio 5=
+=. Ecuación de Poisson =
 Se define la ecuación de Poisson en <math>\mathbb R^n</math> mediante la siguiente expresión:
 <center><math> \Delta u = f </math></center> donde <math>u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> y <math> f \in C^2(\mathbb{R})</math>.

@@ Línea 8: / Línea 8: @@
 En la segunda parte, estudiaremos la ecuación de Poisson obteniendo una solución a partir de la solución fundamental usando el potencial logarítmico cuando la función <math>f</math> a la que se iguala el laplaciano en la ecuación de Poisson es la función característica de la bola de radio 1. Finalmente, concluiremos estudiando el comportamiento asintótico de esta solución.
-=. Ejercicio 1=
+=. Ecuación de Laplace=
 En esta sección nos centraremos en el problema:
 <center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
@@ Línea 21: / Línea 21: @@
 En primer lugar, compararemos su solución usando la fórmula de Poisson frente a su solución usando la serie de Fourier, pintando sus gráficas y viendo los errores que tienen al aproximar una solución exacta. Finalmente, usaremos la desigualdad de Harnack.
-==. Apart 1==
+==. Fórmula de Poisson==
 Comenzamos con la solución dada por la fórmula de Poisson. La fórmula de Poisson nos dice que la solución a un problema de la forma anterior es:

@@ Línea 2: / Línea 2: @@
 =. Introducción=
-Las ecuaciones de Laplace y Poisson son fundamentales en el campo de la física matemática y la ingeniería, especialmente en el estudio de fenómenos de difusión, electrostática y flujo de calor. Ambas ecuaciones son ecuaciones diferenciales parciales (EDP) que describen el comportamiento de campos escalares en un dominio dado. La ecuación de Laplace representa un caso especial de la ecuación de Poisson, donde la función fuente es cero.
+En este trabajo se busca entender con mayor profundidad la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, así como las distintas formas que hay de resolverlas y los errores que conllevan.
-La ecuación de Laplace se expresa matemáticamente como:
+En la primera parte, estudiaremos un caso específico de la ecuación de Laplace sobre la bola de radio <math>R</math> (centrándonos principalmente en <math>R=1</math>) imponiendo una condición en la frontera dada por una función <math>g</math>, de forma que se tiene un problema de Dirichlet. En esta parte se examinará la resolución de este problema mediante la fórmula de Poisson y mediante el uso de series de Fourier, comparando los errores de cada método. Además, al final se usará la desigualdad de Harnack para dar una región en la cual se encontrarán el resto de soluciones cuyo valor en el origen es el mismo que el de la solución hallada anteriormente. Esta desigualdad se usará también para estudiar las distintas regiones que se obtienen con cada radio <math>R</math> de la bola en la que se plantea el problema y compararlas entre ellas.
-<math>\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= 0</math>
-Donde <math>\phi</math> es el campo escalar y <math>\nabla^2</math> es el operador Laplaciano.
+En la segunda parte, estudiaremos la ecuación de Poisson obteniendo una solución a partir de la solución fundamental usando el potencial logarítmico cuando la función <math>f</math> a la que se iguala el laplaciano en la ecuación de Poisson es la función característica de la bola de radio 1. Finalmente, concluiremos estudiando el comportamiento asintótico de esta solución.
-−
-Por otro lado, la ecuación de Poisson se formula como:
-<math>\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}= f</math>
-−
-Donde f es una función fuente que puede representar, por ejemplo, densidad de carga, densidad de masa o fuentes térmicas.
 =. Ejercicio 1=

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−	[[Archivo: Foto apar5 b.png\|700px\|thumb\|center\| ~~pie~~ de ~~foto~~]]	+	[[Archivo: Foto apar5 b.png\|700px\|thumb\|center\| Gráfica de la solución en función de <math>\rho \in [0,10]</math> superpuesta con la gráfica de la función asintótica <math> -\frac{1}{2} \log\rho</math>.]]

@@ Línea 500: / Línea 500: @@
 Si dibujamos esta función para <math>\beta \in [0,2\pi], \rho \in [0,10]</math> se tiene lo siguiente:
-[[Archivo: Foto apar5.png|700px|thumb|center| pie de foto]]
+[[Archivo: Foto apar5.png|700px|thumb|center| Gráfica de la solución para <math>\beta \in [0,2\pi], \rho \in [0,10]</math> en función de x e y.]]
 ===.Comportamiento asintótico ===

@@ Línea 347: / Línea 347: @@
 Representando de nuevo las funciones cota <math>v_1</math> y <math>v_2</math> (definidas de forma análoga) en escala logarítmica en función de <math>r\in [0,R]</math> para varios valores de <math>R</math> (en este caso <math>R=1,2,10</math>) junto con las gráficas anteriores se llega a lo siguiente:
-[[Archivo: Foto apar4b.png|700px|thumb|center| Gráficas de las funciones cota <math>v_1</math> y <math>v_2</math> en escala logarítmica en función del radio <math>r</math> para distintos valores <math>R=1,2,10</math> por separado.]]
+[[Archivo: Foto apar4b.png|700px|thumb|center| Gráficas de las funciones cota <math>v_1</math> y <math>v_2</math> en dimensión 2 y 3 superpuestas en escala logarítmica en función del radio <math>r</math>, para distintos valores <math>R=1,2,10</math> por separado.]]
-[[Archivo:Fotoej42 tr3.png|700px|thumb|center| pie de foto]]
+[[Archivo:Fotoej42 tr3.png|700px|thumb|center| Gráficas de las funciones cota <math>v_1</math> y <math>v_2</math> en dimensión 2 y 3 superpuestas en escala logarítmica en función del radio <math>r</math>, para distintos valores <math>R=1,2,10</math> superpuestas.]]
 Se tienen las mismas condiciones que para el caso en dimensión 2. El valor de las cotas superior e inferior va aumentando a medida que aumentamos el radio <math>R</math>, desplazándose ambas en el sentido positivo del eje y la región que abarcan las cotas se estrecha a medida que se aumenta <math>R</math>. Sin embargo, tal y como se puede ver en la segunda figura, la región abarcada es mayor para dimensión 3. Esto se debe a que las nuevas cotas son las mismas que en dimensión 2 pero multiplicadas cada una por un factor (en el caso de <math>v_1</math> se multiplica por <math>\frac{R}{R+r}\leq 1</math> haciéndola menor y en el caso de <math>v_2</math> se multiplica por <math>\frac{R}{R-r} \geq 1</math> haciéndola mayor) que hace que la región se extienda.