Difusión de una sustancia contaminante (Grupo 6) - Historial de revisiones

Mbecares: /* Modificación en las condiciones de contorno */

2017-04-28T21:57:28Z

‎Modificación en las condiciones de contorno

Mbecares: /* Instalación de un limpiador */

2017-04-28T21:53:51Z

‎Instalación de un limpiador

Mbecares: /* Estado estacionario */

2017-04-28T21:50:46Z

‎Estado estacionario

Mbecares: /* Evolución de la concentración en el punto medio de la tubería */

2017-04-28T21:47:26Z

‎Evolución de la concentración en el punto medio de la tubería

Mbecares: /* Comparativa de métodos empleados */

2017-04-28T21:41:28Z

‎Comparativa de métodos empleados

Mbecares: /* Resolución por el método de Heun */

2017-04-28T21:34:43Z

‎Resolución por el método de Heun

Mbecares: /* Resolución por el método del trapecio */

2017-04-28T21:30:08Z

‎Resolución por el método del trapecio

Mbecares: /* Resolución por el método de Euler explícito */

2017-04-28T21:28:04Z

‎Resolución por el método de Euler explícito

Alonso herranz: /* Estado estacionario */

2017-04-28T19:36:17Z

‎Estado estacionario

Alonso herranz: /* Evolución de la concentración en el punto medio de la tubería */

2017-04-28T19:32:07Z

‎Evolución de la concentración en el punto medio de la tubería

@@ Línea 834: / Línea 834: @@
 <math>u(0+∆x,t)<u(0,t)</math>
-lo que indica que en el extremo x=0 hay más contaminante en el infinitesimalmente siguiente, por lo que el flujo irá hacia la derecha de forma que entra un flujo constante en todo t igual a F = 4
+lo que indica que en la sección del extremo <math>x=0</math> hay más contaminante que en la infinitesimalmente siguiente, por lo que el flujo irá hacia la derecha de forma que entra un flujo constante en todo t igual a <math>F = 4</math>.
-−
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 895: / Línea 894: @@
 === Interpretación física ===
-En el extremo x=0 está siendo introducido contaminante con flujo igual a 4, constante en el tiempo. Como consecuencia, la concentración en el tubo no hace más que aumentar.
+En el extremo <math>x=0</math> está siendo introducido contaminante con flujo igual a 4, constante en el tiempo. Como consecuencia, la concentración en el tubo no hace más que aumentar.
-En la gráfica se puede observar que en la primera mitad del tubo (de concentración 2) la concentracion aumenta rapidamente y luego se estabiliza a una pendiente constante. Esto es debido a que inicialmente, hay un flujo entrante desde la membrana x=0 y otro de la sección x=4 procedente de la otra mitad por tener concentración inicial mayor (igual a 4). Ese segundo flujo es la razón por la que observamos un ligero descenso de la concentración para luego aumentar con pendiente constante.
+En la gráfica se puede observar que en la primera mitad del tubo (de concentración 2) la concentración aumenta rápidamente y luego se estabiliza a una pendiente constante. Esto es debido a que inicialmente, hay un flujo entrante desde la membrana <math>x=0</math> y otro de la sección <math>x=4</math> procedente de la otra mitad por tener concentración inicial mayor (igual a 4). Ese segundo flujo es la razón por la que observamos un ligero descenso de la concentración para luego aumentar con pendiente constante.
-Después de un tiempo podemos observar que la concentración del tubo crece con la misma pendiente (la que nos da el flujo = 4).
+Después de un tiempo podemos observar que la concentración del tubo crece con la misma pendiente (la que nos da el flujo igual a 4).
 Aplicando el código con 30 segundos se puede apreciar que las pendientes son paralelas.
 [[archivo:apartado9paralelo.png|1200px|center]]
 [[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
 [[Categoría:ED16/17]]

@@ Línea 726: / Línea 726: @@
 == Instalación de un limpiador ==
-Se coloca un limpiador en el extremo x=0 después de 1 segundo. Debido a esto, la concentración en el tubo disminuye progresivamente hasta que se elimina completamente. Por lo que la solución en el estado estacionario es 0.
+Se coloca un limpiador en el extremo <math>x=0</math> después de 1 segundo. Debido a esto, la concentración en el tubo disminuye progresivamente hasta que se elimina completamente. Por lo que la solución en el estado estacionario es 0.
-La instalación del limpiador se corresponde con un valor fijo en el tiempo en el extremo x=0, matemáticamente se traduce en una condición Dirichlett en dicho extremo.
+La instalación del limpiador se corresponde con un valor fijo en el tiempo en el extremo <math>x=0</math>, matemáticamente se traduce en una condición Dirichlett en dicho extremo.
 :<math>u(0,t) = 0</math>
@@ Línea 734: / Línea 734: @@
 [[archivo:apartado8limpiador.png|1200px|center]]
-Se puede observar que a partir de 1 sg (momento en el cual se coloca el limpiador) la concentración del contaminante en el tubo disminuye progresivamente hasta desaparecer. Para tiempo elevado (estado estacionario) la concentración se mantiene nula. La concentración en el extremo x=0 se mantiene en 0, mientras la del extremo x=8 disminuye progresivamente.
+Se puede observar que a partir de 1 segundo (momento en el cual se coloca el limpiador) la concentración del contaminante en el tubo disminuye progresivamente hasta desaparecer. Para tiempo elevado (estado estacionario) la concentración se mantiene nula. La concentración en el extremo <math>x=0</math> se mantiene en 0, mientras la del extremo <math>x=8</math> disminuye progresivamente.
 El código empleado para obtener la gráfica ha sido:
@@ Línea 817: / Línea 817: @@
 === Error del 5% ===
-Vamos a suponer que el error es respecto a la concetración máxima en el extremo x=8 (que es 4). Con esta hipótesis debemos buscar el tiempo que tarda la concentración en ser menor que 0,2 (5% de la concentración máxima). Siguiendo el razonamiento en el subapartado 5.1 se deduce se alcanza la situación estacionaria en la posición 2122 del vector tiempo (para 200 segundos). Este tiempo es 79.5425 segundos.
+Vamos a suponer que el error es respecto a la concetración máxima en el extremo <math>x=8</math> (que es 4). Con esta hipótesis debemos buscar el tiempo que tarda la concentración en ser menor que 0,2 (5% de la concentración máxima). Siguiendo el razonamiento en el subapartado 5.1 se deduce que se alcanza la situación estacionaria en la posición 2122 del vector tiempo (para 200 segundos). Este tiempo es 79.5425 segundos.
-−
 == Modificación en las condiciones de contorno ==

@@ Línea 716: / Línea 716: @@
 [[Archivo:apartado6puntos.png|1000px|center]]
-Esta gráfica representa la concentración en cada punto del tubo. Cada recta corresponde a un valor de tiempo determinado. Podemos observar que los intervalos (2,4) y (4,6), que son los más cercanos al punto medio del tubo sufren en los segundos iniciales su mayor variación de concetración. Mientras que en los intervalos (0,2) y (6,8) correspondientes a los extremos, se puede observar una pérdida más lineal a lo largo del tiempo. Se observa cómo la solución se aproxima al estado estacionario con el tiempo.
+Esta gráfica representa la concentración en cada punto del tubo. Cada recta corresponde a un valor de tiempo determinado. Podemos observar que los intervalos <math>(2,4)</math> y <math>(4,6)</math>, que son los más cercanos al punto medio del tubo sufren en los segundos iniciales su mayor variación de concetración. Mientras que en los intervalos <math>(0,2)</math> y <math>(6,8)</math> correspondientes a los extremos, se puede observar una pérdida más lineal a lo largo del tiempo. Se observa cómo la solución se aproxima al estado estacionario con el tiempo.
 ===Tiempo en alcanzar la solución estacionaria===
-El estado estacionario es el valor de concentración u = 3 como podemos comprobar en el gráfico y obteniendo los valores en cualquier punto de x para un valor de tiempo alto. Para encontrar el tiempo en que se alcanza este valor consideramos un error del 5%. Por tanto buscaremos el tiempo a partir del cual todos los puntos de la barra tienen su concentración comprendida en el intervalo [2,85-3,15]. Ayudándonos por la matriz solución y sabiendo que los extremos de la barra corresponden a los valores máximo y mínimo en todo instante (ver gráfico), tendiendo ambos asintóticamente al 3 desde los valores 2 y 4, basta con comprobar cuando los valores en los extremos alcanzan valores dentro del intervalo. Dado que 3 es el valor medio entre los valores iniciales en ambos extremos 2 y 4, la aproximación se produce de forma simétrica y en el punto de columna 364 de la matriz solución encontramos el valor dentro del intervalo pedido para el extremo del tubo.
+El estado estacionario es el valor de concentración <math>u = 3</math> como podemos comprobar en el gráfico y obteniendo los valores en cualquier punto de x para un valor de tiempo alto. Para encontrar el tiempo en que se alcanza este valor consideramos un error del 5%. Por tanto buscaremos el tiempo a partir del cual todos los puntos de la barra tienen su concentración comprendida en el intervalo <math>[2,85-3,15]</math>. Ayudándonos por la matriz solución y sabiendo que los extremos de la barra corresponden a los valores máximo y mínimo en todo instante (ver gráfico), tendiendo ambos asintóticamente al 3 desde los valores 2 y 4, basta con comprobar cuando los valores en los extremos alcanzan valores dentro del intervalo. Dado que 3 es el valor medio entre los valores iniciales en ambos extremos 2 y 4, la aproximación se produce de forma simétrica y en el punto de columna 364 de la matriz solución encontramos el valor dentro del intervalo pedido para el extremo del tubo.
-Pidiendo a matlab el tiempo en que se produce este elemento con el comando t(364) obtenemos el valor de tiempo 13.77233 segundos, que es el tiempo que tarda en alcanzar el estado estacionario con error del 5%.
+Pidiendo a MATLAB el tiempo en que se produce este elemento con el comando <math>t(364)</math> obtenemos el valor de tiempo 13.77233 segundos, que es el tiempo que tarda en alcanzar el estado estacionario con error del 5%.
-La solución cambia ligeramente si ∆x se divide entre diez ya que la aproximación al resultado real será mejor. Pero la variación es muy pequeña dado que ya teníamos un ∆x suficientemente pequeño para la resolución. Lo encontramos en la columna 3695 y nos da un valor de 13.8523 segundos.
+La solución cambia ligeramente si <math>∆x</math> se divide entre diez ya que la aproximación al resultado real será mejor. Pero la variación es muy pequeña dado que ya teníamos un <math>∆x</math> suficientemente pequeño para la resolución. Lo encontramos en la columna 3695 y nos da un valor de 13.8523 segundos.
 == Instalación de un limpiador ==

@@ Línea 645: / Línea 645: @@
 [[Archivo:Grafico_pmedio1.png|600px|center]]
-El punto <math>x=4</math> se corresponde con el primer punto despues del salto con concentración inicial 4. Al permitir el flujo de la misma, será la primera sección en liberar el mayor gradiente de concentración, estabilizándose a medida que avanza el tiempo y aumenta la concentración en el intervalo de x = [0,4] hasta alcanzar el equilibrio.
+El punto <math>x=4</math> se corresponde con el primer punto despues del salto con concentración inicial 4. Al permitir el flujo de la misma, será la primera sección en liberar el mayor gradiente de concentración, estabilizándose a medida que avanza el tiempo y aumenta la concentración en el intervalo de <math> x\in\ [0,4]</math> hasta alcanzar el equilibrio.
 ==Estado estacionario ==

@@ Línea 488: / Línea 488: @@
 {|
-| En cambio, en la comparativa del método del trapecio con el de Euler explícito, no podemos observar el error en los primeros instantes porque crece a medida que avanzamos en el tiempo, como se puede observar en el corte por el tiempo de 7 segundos, hasta valores muy altos, especialmente en el centro del tubo. Este orden de magnitud de 10^139 hace que no se observe en el gráfico el error en tiempos pequeños, que también existe. Esto se explica por la inestabilidad del método de Euler explícito que comentamos con anterioridad. || [[Archivo:Grafico_error_trapecio_euler1.png|800px]]
+| En cambio, en la comparativa del método del trapecio con el de Euler explícito, no podemos observar el error en los primeros instantes porque crece a medida que avanzamos en el tiempo, como se puede observar en el corte por el tiempo de 7 segundos, hasta valores muy altos, especialmente en el centro del tubo. Este orden de magnitud de <math>10^{139}</math> hace que no se observe en el gráfico el error en tiempos pequeños, que también existe. Esto se explica por la inestabilidad del método de Euler explícito que se comentó con anterioridad. || [[Archivo:Grafico_error_trapecio_euler1.png|800px]]
 |}
 {|
-| La comparativa entre el método del trapecio y de Heun es muy similar a la anterior dado que el método de Heun también resultaba inestable. La unica diferencia está en el orden de magnitud que esta vez es de 10^226, mucho más alto que el método anterior. Además el error es más constante a lo largo del tubo que en la comparativa del trapecio con Euler explícito, es decir, hay menos diferencia entre el error en el punto medio y los extremos del tubo. || [[Archivo:Grafico_error_trapecio_heun.png|800px]]
+| La comparativa entre el método del trapecio y de Heun es muy similar a la anterior dado que el método de Heun también resultaba inestable. La única diferencia está en el orden de magnitud que esta vez es de <math>10^{226}</math>, mucho más alto que el método anterior. Además el error es más constante a lo largo del tubo que en la comparativa del trapecio con Euler explícito, es decir, hay menos diferencia entre el error en el punto medio y los extremos del tubo. || [[Archivo:Grafico_error_trapecio_heun.png|800px]]
 |}
 {|
-| Este último gráfico muestra la comparativa entre los dos métodos de Euler. El método implícito es el más exacto que hemos obtenido hasta ahora y se compara con el método explícito que resultó inestable. Por tanto se muestra una gráfica similar a las anteriores con un error de orden de magnitud 10^139 al igual que en la segunda comparación. La similitud entre la segunda comparación y la última corrobora el error entre el método del trapecio y de Euler implícito que obtuvimos al principio y que mostraba un error despreciable a medida que el tiempo avanzaba. || [[Archivo:Grafico_error_eulerimp_euler1.png|800px]]
+| Este último gráfico muestra la comparativa entre los dos métodos de Euler. El método implícito es el más exacto que hemos obtenido hasta ahora y se compara con el método explícito que resultó inestable. Por tanto se muestra una gráfica similar a las anteriores con un error de orden de magnitud <math>10^{139}</math> al igual que en la segunda comparación. La similitud entre la segunda comparación y la última corrobora el error entre el método del trapecio y de Euler implícito que obtuvimos al principio y que mostraba un error despreciable a medida que el tiempo avanzaba. || [[Archivo:Grafico_error_eulerimp_euler1.png|800px]]
 |}

@@ Línea 367: / Línea 367: @@
 [[Archivo:Grafico_heun1b.png|1200px|center]]
-Como en el caso del método de Euler explícito, este método es también inestable, pero con unos picos de mayor magnitud ya que el gráfico muesta el eje de la concentración en 10^226
+Como en el caso del método de Euler explícito, este método es también inestable, pero con unos picos de mayor magnitud ya que el gráfico muesta valores del eje de la concentración del orden de <math>10^{226}</math>.
 === Comparativa de métodos empleados ===

@@ Línea 172: / Línea 172: @@
 [[Archivo:Grafico_trapecio1bis.png|1200px|center]]
-En la gráfica correspondiente se puede observar un doble análisis, en función de la proximidad al punto medio del tubo, podemos observar como el punto x=4, supone el limite entre ambos lados, lo que supone que los puntos mas cercamos a él, van a sufrir una variación con un mayor gradiente, lo cuál tiene su lógica física, ya que son los primeros puntos en sufrir la variación y tienen que aumentar lo suficientemente rápido para transmitir ésta variación a los puntos siguientes, hasta los llamados puntos frontera. El otro análisis que se puede hacer, es en función del tiempo, en el que se observa que la gráfica se acerca al principio de forma muy rápida, y se va estabilizando poco a poco hasta que de forma casi tangencial alcanza el valor limite que coincide con el valor medio, que corresponde a su vez a la posición de equilibrio de concentración de contaminante entre ambas mitades del tubo, es decir, que todas las secciones del tubo tengan el mismo valor de concentración. La variación en el gradiente será mayor, contra mayor es la diferencia de concentración de contaminante entre los puntos <math>x=0</math>, y <math>x=8</math>, al igual que contra más se aproximan ambas mitades al valor medio, es cuando varía de forma más lenta. El valor se alcanzará cuándo la masa total de contaminante contenido en el tubo, se distribuya de manera constante a lo largo del mismo.
+En la gráfica correspondiente se puede observar un doble análisis, en función de la proximidad al punto medio del tubo, podemos observar como el punto <math>x=4</math>, supone el limite entre ambos lados, lo que supone que los puntos mas cercamos a él, van a sufrir una variación con un mayor gradiente, lo cuál tiene su lógica física, ya que son los primeros puntos en sufrir la variación y tienen que aumentar lo suficientemente rápido para transmitir ésta variación a los puntos siguientes, hasta los llamados puntos frontera. El otro análisis que se puede hacer, es en función del tiempo, en el que se observa que la gráfica se acerca al principio de forma muy rápida, y se va estabilizando poco a poco hasta que de forma casi tangencial alcanza el valor limite que coincide con el valor medio, que corresponde a su vez a la posición de equilibrio de concentración de contaminante entre ambas mitades del tubo, es decir, que todas las secciones del tubo tengan el mismo valor de concentración. La variación en el gradiente será mayor, contra mayor es la diferencia de concentración de contaminante entre los puntos <math>x=0</math>, y <math>x=8</math>, al igual que contra más se aproximan ambas mitades al valor medio, es cuando varía de forma más lenta. El valor se alcanzará cuándo la masa total de contaminante contenido en el tubo, se distribuya de manera constante a lo largo del mismo.
 ==== Resolución por el método de Euler explícito ====

@@ Línea 234: / Línea 234: @@
 [[Archivo:Grafico_euler1bis.png|1200px|center]]
-Como podemos observar en el gráfico, el resultado obtenido por el método de Euler muestra su inestabilidad. Esta situación se debe a que el tamaño de paso temporal ∆t = ∆x/4 es mayor que el valor límite que determina si un método explícito es estable o no (∆t = 0.5 * ∆x^2).
+Como podemos observar en el gráfico, el resultado obtenido por el método de Euler muestra su inestabilidad. Esta situación se debe a que el tamaño de paso temporal <math>∆t = ∆x/4</math> es mayor que el valor límite que determina si un método explícito es estable o no (<math>∆t = 0.5 \cdot (∆x)^2</math>).
 ==== Resolución por el método de Euler implícito ====