Difusión de una sustancia contaminante (Grupo 10) - Historial de revisiones

Nuria Trapote: /* Resolución por el método de Fourier */

2014-05-23T05:49:44Z

‎Resolución por el método de Fourier

2014-05-22T22:49:03Z

2014-05-22T22:31:53Z

‎Resolución por el método de Fourier

2014-05-22T21:56:27Z

‎Caso 2

2014-05-22T21:55:47Z

2014-05-22T21:47:44Z

‎Caso 2

2014-05-22T21:47:07Z

‎Caso 1

2014-05-22T21:46:28Z

‎Nueva condición de frontera

2014-05-22T21:41:27Z

‎Resolución por el método de Fourier

2014-05-22T21:27:05Z

‎Resolución por el método de Fourier

@@ Línea 508: / Línea 508: @@
 Realizando analíticamente el cálculo, obtenemos los siguientes autovalores y autofunciones::
-<math> λ_k=\frac{k^2π^2}{25}  →  φ_k=sin\frac{kπ}{5}x , k=0,1,2,3... </math>
+<math> λ_k=\frac{k^2π^2}{25}  →  φ_k=cos\frac{kπ}{5}x , k=0,1,2,3... </math>
 Las condiciones de frontera e iniciales serían las siguientes en términos de la serie de Fourier::
@@ Línea 516: / Línea 516: @@
 Y ensayamos soluciones de la forma::
-<math> u(x,t)=\sum_{k=0}^∞T_k(t)φ_k(x)=\sum_{k=0}^∞T_k(t)sin\frac{kπ}{5}x </math>
+<math> u(x,t)=\sum_{k=0}^∞T_k(t)φ_k(x)=\sum_{k=0}^∞T_k(t)cos\frac{kπ}{5}x </math>
@@ Línea 529: / Línea 529: @@
 De esta manera obtenemos la solución final::
-<math> u(x,t)=\sum_{k=0}^∞a_ke^{-μ_kt}sin\frac{kπ}{5}x </math>
+<math> u(x,t)=\sum_{k=0}^∞a_ke^{-μ_kt}cos\frac{kπ}{5}x </math>
 Resolveremos a través de Matlab, con una serie de Fourier de 1, 3, 5, 10 y 20 términos.
@@ Línea 549: / Línea 549: @@
 %Aplicamos Fourier
 for j=1:M
-     phi=sin((j*pi*x)/5);
+     phi=cos((j*pi*x)/5);
      a=(trapz(x,u.*phi))/(trapz(x,phi.^2));
      TT=exp(-(j^2)*(pi^2)*t/25)*a;

@@ Línea 452: / Línea 452: @@
 \end{cases}
 </math>
 Las nuevas conciones de contorno son de tipo Neumann en el extremo izquierdo, lo que indica que se producirá un flujo de masa contaminante constante, 3, en ese extremo; y de tipo Dirichlet en el derecho, que nos indica que en ese extremo la cantidad de masa contaminante variará con el tiempo de forma periódica, entre los valores -10 y 10.

@@ Línea 509: / Línea 509: @@
 %Aplicamos Fourier
 for j=1:M
-     phi=cos((j*pi*x)/5);
+     phi=sin((j*pi*x)/5);
      a=(trapz(x,u.*phi))/(trapz(x,phi.^2));
      TT=exp(-(j^2)*(pi^2)*t/25)*a;

@@ Línea 443: / Línea 443: @@
 [[Archivo:Trapotito.JPG|500px|thumb|centro|Momento en el que se estabiliza con la presencia del limpiador.]]
-===Caso 2===
+===Segundo caso===
 Volvemos a cambiar las condiciones de frontera, pero en este caso en ambos extremos.

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Línea 529:		Línea 529:

	[[Archivo:M=20.jpg\|1000px\|thumb\|centro\|Solución para 20 términos de la serie de Fourier]]		[[Archivo:M=20.jpg\|1000px\|thumb\|centro\|Solución para 20 términos de la serie de Fourier]]
−
−	~~Si variamos las condiciones de frontera en el problema el problema de autovalores cambia igualmente::~~
−
−	~~<math>\begin{cases}~~
−	~~y''+λy=0 x \in (0,5) \\~~
−	~~y'(0)=3 \\~~
−	~~y(5)=10sen(t)~~
−	~~\end{cases}~~
−	~~</math>~~
−
−	~~De este problema obtenemos, operando analíticamente, nuevos autovalores y autofunciones::~~
−
−	~~<math> λ_k=\frac{π^2(2k-1)^2}{100} → φ_k=cos\frac{(2k-1)π}{10}x , k=0,1,2,3... </math>~~

@@ Línea 392: / Línea 392: @@
 ==Nueva condición de frontera==
-===Caso 1===
+===Primer caso. Limpiador===
 Si colocamos un limpiador, que elimina la sustancia contaminante, en el extremo izquierdo de la varilla, varían las condiciones de contorno del problema. En este caso, en el extremo izquierdo, la condición inicial será de tipo Dirichlet ya que se esta variación esta provocada por un mecanismo físico externo que actúa sobre el extremo.

@@ Línea 515: / Línea 515: @@
 Como se puede anteriores gráficas apreciamos la precisión va aumentando a medida que aumenta el número de términos que utilizamos. Si tomamos 20 términos en la serie, la aproximación es mejor, como veremos en la siguiente imagen:
-[[Archivo:M=20.jpg|800px|thumb|centro|Solución para 20 términos de la serie de Fourier]]
+[[Archivo:M=20.jpg|1000px|thumb|centro|Solución para 20 términos de la serie de Fourier]]
 Si variamos las condiciones de frontera en el problema el problema de autovalores cambia igualmente::