Desintegración Radiactiva 11-A - Historial de revisiones

Miguel Coello Guijarro en 23:22 12 mar 2015

2015-03-12T23:22:30Z

Miguel Coello Guijarro en 23:18 12 mar 2015

2015-03-12T23:18:04Z

Miguel Coello Guijarro: /* Trapecio */

2015-03-06T23:01:48Z

‎Trapecio

Miguel Coello Guijarro: /* Resolución por el método de Euler */

2015-03-06T22:59:46Z

‎Resolución por el método de Euler

Miguel Coello Guijarro: /* Resolución numérica */

2015-03-06T22:58:34Z

‎Resolución numérica

Miguel Coello Guijarro: /* Resolución numérica */

2015-03-06T22:57:17Z

‎Resolución numérica

Miguel Coello Guijarro: /* Resolución numérica */

2015-03-06T22:55:25Z

‎Resolución numérica

Miguel Coello Guijarro: /* Resolución numérica */

2015-03-06T22:49:19Z

‎Resolución numérica

Miguel Coello Guijarro: /* Resolución numérica */

2015-03-06T22:43:44Z

‎Resolución numérica

Miguel Coello Guijarro: /* Resolución numérica */

2015-03-06T22:42:37Z

‎Resolución numérica

@@ Línea 30: / Línea 30: @@
 Integrando e imponiendo la condición inicial se obtiene la siguiente solución:<br />
-'''<math>M(t)=M_{0}·e^{-kt}</math>'''
+'''<math>M(t)=M_{0}·e^{-kt}</math>'''<br />
 Como se puede observar, cuando el tiempo es cero aun quedará todo el material inicial y según transcurra el tiempo la cantidad de materia ira decreciendo exponencialmente.<br />
@@ Línea 50: / Línea 51: @@
-Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.
+Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.<br />
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 80: / Línea 82: @@
    plot(solucion(2)*h,m(solucion(2)),'+')
 hold off
-}}
+}}<br />
 ==== Gráfica Euler h=01 ====
-[[Archivo:euler01.jpg]]
+[[Archivo:euler01.jpg]]<br />
 En la gráfica se observa lo dicho anteriormente. La cantidad de materia ira disminuyendo exponencialmente. Debido a que inicialmente hay la máxima cantidad de material radiactivo, disminuirá mas rápidamente. A medida que pasa el tiempo, el material disminuye, y por ende la velocidad de desintegración también. Por lo que como se observa en la gráfica, cada vez la pendiente se va haciendo mas suave.
 ==== Gráfica Euler h=001 ====
-[[Archivo:euler001.jpg]]
+[[Archivo:euler001.jpg]]<br />
 === Trapecio ===
-Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia <math>M_{(i+1)}</math>  de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad <math>M=0.8·M_{0}</math>  pare, tal y como nos plantea el problema.
+Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia <math>M_{(i+1)}</math>  de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad <math>M=0.8·M_{0}</math>  pare, tal y como nos plantea el problema.<br />
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 112: / Línea 118: @@
 t=0:h:(length(m)-1)*h;
 plot(t,m,'r')
-}}
+}}<br />
 [[Archivo: trapecio.jpg.jpg]]
-Como se observa en la gráfica, la cantidad de material radiactivo llegará al 8% cuando casi hayan pasado 20369 años
+[[Archivo: trapecio.jpg.jpg]]<br />
 === Runge-Kutta ===
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 143: / Línea 152: @@
 hold on
 plot(VidaMedia*h,m(VidaMedia),'+')
-}}
+}}<br />
 [[Archivo: Rungiki.jpg]]
 Como se observa en la gráfica, el elemento radiactivo llegará a su vida media (tiempo
-que tarda en reducirse a la mitad) casi llegados los 5590 años.
+que tarda en reducirse a la mitad) casi llegados los 5590 años.<br />
@@ Línea 154: / Línea 166: @@
 '''A' ''' será la velocidad de desintegración de dicho compuesto. Como hemos visto en apartados anteriores, un material radiactivo se descompone proporcionalmente a la cantidad de materia restante, por lo que <math>M_A(t)'=-K_1·M_A(t)</math> (con <math>k_1>0</math>). Debido a que '''A''' decrece, '''A' ''' es negativa. Por lo que '''C''' aumentará hasta alcanzar la cantidad inicial de '''A''' mas la cantidad inicial de '''C''' y '''B'''. Como '''A''' se transforma en '''C''' a través de '''B''', la velocidad de '''C''' será <math>M_C(t)'= K_2·M_B(t)</math> (con <math>k_2>0</math>). <math>M_C(t)'</math> es positiva dado que crece. <br />
-Finalmente, podremos componer la velocidad del compuesto '''B''', que por un lado aumentará lo que decrezca '''A''' y por el otro disminuirá lo que aumente '''C''', por lo que <math>M_B(t)'= K_1·M_A(t) - K_2·M_B(t)</math>.
+Finalmente, podremos componer la velocidad del compuesto '''B''', que por un lado aumentará lo que decrezca '''A''' y por el otro disminuirá lo que aumente '''C''', por lo que <math>M_B(t)'= K_1·M_A(t) - K_2·M_B(t)</math>.<br />
 De este modo, el sistema obtenido será:
@@ Línea 169: / Línea 183: @@
 === Resolución numérica ===
-Suponiendo que <math>K_1=5</math> y <math>K_2=1</math>, la velocidad de desintegración de '''A''' será cinco veces mayor que la velocidad de desintegración de '''B'''. Además suponiendo que la cantidad inicial de '''B''' y de '''C''' es nula, explica que la masa de '''A''' decrecezca rápidamente hasta anularse mientras que la de '''C''' es creciente hasta llegar a la masa inicial de '''A''', que suponemos que es 1.
+Suponiendo que <math>K_1=5</math> y <math>K_2=1</math>, la velocidad de desintegración de '''A''' será cinco veces mayor que la velocidad de desintegración de '''B'''. Además suponiendo que la cantidad inicial de '''B''' y de '''C''' es nula, explica que la masa de '''A''' decrecezca rápidamente hasta anularse mientras que la de '''C''' es creciente hasta llegar a la masa inicial de '''A''', que suponemos que es 1.<br />
 La masa de '''B''' crece hasta el instante en que lo que recibe de '''A''' es igual a lo que se transforma en '''C''', es decir hasta el instante en que hay 5 veces mas masa de B que de A, a partir de este momento la masa decrece hasta anularse.(Es decir, <math> M_B(t)</math> alcanzara su máximo cuando su derivada se haga cero. Eso ocurrira cuando <math>K_1·M_A=K_2·M_B)</math> <br />
-Se observan soluciones ilógicas ya que no tiene sentido que la cantidad final del elemento '''C''' sea mayor que la de '''A''' si la cantidad inicial de ''' C''' es nula. Pero es facilmente demostrable que es debido al método utilizado, pues la '''h''' elegida por el enunciado no sería la mas correcta. Cuanto mas pequeña fuera esta, mas se aproxima la gráfica a 1.
+Se observan soluciones ilógicas ya que no tiene sentido que la cantidad final del elemento '''C''' sea mayor que la de '''A''' si la cantidad inicial de ''' C''' es nula. Pero es facilmente demostrable que es debido al método utilizado, pues la '''h''' elegida por el enunciado no sería la mas correcta. Cuanto mas pequeña fuera esta, mas se aproxima la gráfica a 1.<br />
 ==== Euler ====
@@ Línea 203: / Línea 219: @@
 [[Archivo: sistemaEULER.jpg]]<br />
-Como ya se ha comentado anteriormente. El material radiactivo '''A''' disminuye exponencialmente, mientras que '''C''' aumenta al mismo tiempo exponencialmente. Por otra parte, '''B''' tendrá un periodo inicial de crecimiento, y un periodo final de decrecimiento.
+Como ya se ha comentado anteriormente. El material radiactivo '''A''' disminuye exponencialmente, mientras que '''C''' aumenta al mismo tiempo exponencialmente. Por otra parte, '''B''' tendrá un periodo inicial de crecimiento, y un periodo final de decrecimiento.<br />
 ==== Trapecio ====
@@ Línea 234: / Línea 250: @@
 ==== Cambio de constantes ====
-Al intercambiar las constantes de desintegración, la masa de '''A''' decrece a menor velocidad. El punto de derivada nula de la función que describe la masa de B se encuentra en este caso en el instante en que tenemos 5 veces más masa de A que de B. La masa de B comienza a decrecer hasta el instante en que hay 5 veces mas masa de '''A''' que de '''B'''.
+Al intercambiar las constantes de desintegración, la masa de '''A''' decrece a menor velocidad. El punto de derivada nula de la función que describe la masa de B se encuentra en este caso en el instante en que tenemos 5 veces más masa de A que de B. La masa de B comienza a decrecer hasta el instante en que hay 5 veces mas masa de '''A''' que de '''B'''.<br />
 ===== Euler =====
 [[Archivo: SistemaEulerApartado7.jpg]]<br />

@@ Línea 85: / Línea 85: @@
 ==== Gráfica Euler h=01 ====
 [[Archivo:euler01.jpg]]
 ==== Gráfica Euler h=001 ====
 [[Archivo:euler001.jpg]]
@@ Línea 113: / Línea 114: @@
 }}
 [[Archivo: trapecio.jpg.jpg]]
 == Desintegración de un compuesto A en C a través de otro B ==
 === Planteamiento ===
-Se considera la descomposición de un elemento radiactivo '''A''' para dar '''C''', a través de un isótopo intermedio '''B'''. Donde <math>k_1</math> es la constante de desintegración de '''A''' y <math>k_2</math> es laa constante de desintegración de '''B'''.<br />
+Se considera la descomposición de un elemento radiactivo '''A''' para dar '''C''', a través de un isótopo intermedio '''B'''. Donde <math>k_1</math> es la constante de desintegración de '''A''' y <math>k_2</math> es la constante de desintegración de '''B'''.<br />
-'''A' ''' será la velocidad de desintegración de dicho compuesto. Como hemos visto en apartados anteriores, un material radiactivo se descompone proporcionalmente a la cantidad de materia restante, por lo que <math>M_A(t)'=-K_1·M_A(t)</math> (con <math>k_1>0</math>). Debido a que '''A''' decrece, '''A' ''' es negativa. Por lo que '''C''' aumentará hasta alcanzar la cantidad inicial de '''A''' mas la cantidad inicial de '''C'''. Como '''A''' se transforma en '''C''' a través de '''B''', la velocidad de '''C''' será <math>M_C(t)'= K_2·M_B(t)</math> (con <math>k_2>0</math>). <math>M_C(t)'</math> es positiva dado que crece. <br />
+'''A' ''' será la velocidad de desintegración de dicho compuesto. Como hemos visto en apartados anteriores, un material radiactivo se descompone proporcionalmente a la cantidad de materia restante, por lo que <math>M_A(t)'=-K_1·M_A(t)</math> (con <math>k_1>0</math>). Debido a que '''A''' decrece, '''A' ''' es negativa. Por lo que '''C''' aumentará hasta alcanzar la cantidad inicial de '''A''' mas la cantidad inicial de '''C''' y '''B'''. Como '''A''' se transforma en '''C''' a través de '''B''', la velocidad de '''C''' será <math>M_C(t)'= K_2·M_B(t)</math> (con <math>k_2>0</math>). <math>M_C(t)'</math> es positiva dado que crece. <br />
 Finalmente, podremos componer la velocidad del compuesto '''B''', que por un lado aumentará lo que decrezca '''A''' y por el otro disminuirá lo que aumente '''C''', por lo que <math>M_B(t)'= K_1·M_A(t) - K_2·M_B(t)</math>.
 De este modo, el sistema obtenido será:
@@ Línea 135: / Línea 170: @@
 === Resolución numérica ===
 Suponiendo que <math>K_1=5</math> y <math>K_2=1</math>, la velocidad de desintegración de '''A''' será cinco veces mayor que la velocidad de desintegración de '''B'''. Además suponiendo que la cantidad inicial de '''B''' y de '''C''' es nula, explica que la masa de '''A''' decrecezca rápidamente hasta anularse mientras que la de '''C''' es creciente hasta llegar a la masa inicial de '''A''', que suponemos que es 1.
-La masa de '''B''' crece hasta el instante en que lo que recibe de '''A''' es igual a lo que se transforma en '''C''', es decir hasta el instante en que hay 5 veces mas masa de B que de A, a partir de este momento la masa decrece hasta anularse.<br />
+La masa de '''B''' crece hasta el instante en que lo que recibe de '''A''' es igual a lo que se transforma en '''C''', es decir hasta el instante en que hay 5 veces mas masa de B que de A, a partir de este momento la masa decrece hasta anularse.(Es decir, <math> M_B(t)</math> alcanzara su máximo cuando su derivada se haga cero. Eso ocurrira cuando <math>K_1·M_A=K_2·M_B)</math> <br />
 Se observan soluciones ilógicas ya que no tiene sentido que la cantidad final del elemento '''C''' sea mayor que la de '''A''' si la cantidad inicial de ''' C''' es nula. Pero es facilmente demostrable que es debido al método utilizado, pues la '''h''' elegida por el enunciado no sería la mas correcta. Cuanto mas pequeña fuera esta, mas se aproxima la gráfica a 1.
 ==== Euler ====
@@ Línea 168: / Línea 203: @@
 [[Archivo: sistemaEULER.jpg]]<br />
+Como ya se ha comentado anteriormente. El material radiactivo '''A''' disminuye exponencialmente, mientras que '''C''' aumenta al mismo tiempo exponencialmente. Por otra parte, '''B''' tendrá un periodo inicial de crecimiento, y un periodo final de decrecimiento.
 ==== Trapecio ====
@@ Línea 199: / Línea 234: @@
 ==== Cambio de constantes ====
-Al intercambiar las constantes de desintegración, la masa de A decrece a menor velocidad. El punto de derivada nula de la función que describe la masa de B se encuentra en este caso en el instante en que tenemos 5 veces más masa de A que de B. La masa de B comienza a decrecer hasta el instante en que hay 5 veces mas masa de '''A''' que de '''B'''.
+Al intercambiar las constantes de desintegración, la masa de '''A''' decrece a menor velocidad. El punto de derivada nula de la función que describe la masa de B se encuentra en este caso en el instante en que tenemos 5 veces más masa de A que de B. La masa de B comienza a decrecer hasta el instante en que hay 5 veces mas masa de '''A''' que de '''B'''.
 ===== Euler =====
 [[Archivo: SistemaEulerApartado7.jpg]]<br />

@@ Línea 203: / Línea 203: @@
 [[Archivo: SistemaEulerApartado7.jpg]]<br />
 ===== Trapecio =====
-[[Archivo: SisTRAPECIOAPARTADO7.jpg]]<br />
+[[Archivo: SistrapecioApartado7.jpg]]<br />
 [[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

@@ Línea 82: / Línea 82: @@
 }}
-Como se ob
 ==== Gráfica Euler h=01 ====
 [[Archivo:euler01.jpg]]

@@ Línea 203: / Línea 203: @@
 [[Archivo: SistemaEulerApartado7.jpg]]<br />
 ===== Trapecio =====
-[[Archivo: SistemaEulerApartado7.jpg]]<br />
+[[Archivo: SisTRAPECIOAPARTADO7.jpg]]<br />
 [[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

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		+	==== Cambio de constantes ====
		+	Al intercambiar las constantes de desintegración, la masa de A decrece a menor velocidad. El punto de derivada nula de la función que describe la masa de B se encuentra en este caso en el instante en que tenemos 5 veces más masa de A que de B. La masa de B comienza a decrecer hasta el instante en que hay 5 veces mas masa de '''A''' que de '''B'''.
		+	===== Euler =====
		+
		+	===== Trapecio =====

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