Desintegración Radiactiva.Grupo 5 - Historial de revisiones

NoemiP: /* Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Euler y trapecio (Constantes de integración intercambiadas) */

2015-03-04T23:53:40Z

‎Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Euler y trapecio (Constantes de integración intercambiadas)

NoemiP: /* Estudio de la evolución de concentraciones de compuestos interrelacionados */

2015-03-04T23:43:48Z

‎Estudio de la evolución de concentraciones de compuestos interrelacionados

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

NoemiP: /* Estudio de la evolución de concentraciones de compuestos interrelacionados */

2015-03-04T22:18:29Z

‎Estudio de la evolución de concentraciones de compuestos interrelacionados

NoemiP: /* Vida media. Resolución por el método de Runge-Kutta */

2015-03-04T22:05:09Z

‎Vida media. Resolución por el método de Runge-Kutta

NoemiP: /* Resolución por el método del Trapecio */

2015-03-04T22:01:34Z

‎Resolución por el método del Trapecio

NoemiP: /* Resolución por el método del Trapecio */

2015-03-04T21:59:23Z

‎Resolución por el método del Trapecio

NoemiP: /* Método Euler */

2015-03-04T21:57:09Z

‎Método Euler

NoemiP: /* Método Euler */

2015-03-04T21:54:26Z

‎Método Euler

NoemiP: /* Método Euler */

2015-03-04T21:31:51Z

‎Método Euler

NoemiP: /* Método Euler */

2015-03-04T21:31:11Z

‎Método Euler

← Revisión anterior		Revisión del 23:53 4 mar 2015
Línea 405:		Línea 405:
	Podemos ver que la cantidad en tanto por uno de '''B''' sin cambiar las constantes llega a una cantidad de <math>0.6</math>, mientras que con el cambio de constantes no llega a <math>0.2</math>.		Podemos ver que la cantidad en tanto por uno de '''B''' sin cambiar las constantes llega a una cantidad de <math>0.6</math>, mientras que con el cambio de constantes no llega a <math>0.2</math>.
	En conclusión, al comparar los dos pares de gráficas observamos que ahora con el cambio de constantes '''A''' decrece más lentamente, y debido a eso la cantidad de '''B''' que se forma no llega a ser tan grande como la del apartado anterior, en el que el compuesto '''A''' desaparecía antes y eso daba lugar a más cantidad de '''B'''. La creación de '''C''' no difiere mucho entre los pares de gráficas, lo que significa que el tiempo que tarda '''A''' en descomponerse en '''C''' es independiente de las constantes de desintegración.		En conclusión, al comparar los dos pares de gráficas observamos que ahora con el cambio de constantes '''A''' decrece más lentamente, y debido a eso la cantidad de '''B''' que se forma no llega a ser tan grande como la del apartado anterior, en el que el compuesto '''A''' desaparecía antes y eso daba lugar a más cantidad de '''B'''. La creación de '''C''' no difiere mucho entre los pares de gráficas, lo que significa que el tiempo que tarda '''A''' en descomponerse en '''C''' es independiente de las constantes de desintegración.
		+
		+
		+
		+	La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos numéricos involucra varios tipos de errores:
		+
		+
		+	'''1.'''Error del Método (Error de Truncamiento Local y Global): Este se debe a que, cómo la aproximación de una curva mediante una línea recta no es exacta, se comete un error propio del método.
		+
		+
		+	'''2.'''Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado mediante la recta tangente -en lugar de moverse por la curva- suponiendo que el punto desde el que partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tiene error alguno.
		+
		+
		+	'''3.'''Propagado: Acumulación de errores por las aproximaciones producidas durante los pasos previos acumuladas. Es decir, ya no se supone que el punto del cual partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tenía error sino que asumimos que dicho error existe y que se propaga de paso en paso. Dicha propagación es, en el peor de los casos, lineal.
		+
		+
		+	El método de Euler tiene '''orden 1''', el del trapecio '''orden 2''' y Runge Kutta tiene '''orden 4'''.

@@ Línea 223: / Línea 223: @@
 donde k1 y k2 son las constantes de desintegración respectivas. Es importante considerar que el elemento C empieza a crearse en cuanto hay elemento B, es decir, podemos tener simultáneamente los 3 elementos. Con este concepto determinaremos el sistema de ecuaciones que nos permitirán conocer las cantidades de cada elemento en cada instante de tiempo.
 [[Archivo:SistEcuacionC14.jpg|miniaturadeimagen|centro]]
 ===Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Euler y trapecio===
-Le daremos unos valores a las constantes para resolver nuestro sistema, siendo K1=5, y K2=1.
+Le daremos unos valores a las constantes para resolver nuestro sistema, siendo <math>K_1=5</math>, y <math>K_2=1</math>
 '''Método de Euler'''
@@ Línea 297: / Línea 301: @@
-[[Image:SisEu1.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de los compuestos A, B y C a lo largo del tiempo, según el método de Euler con un paso de h=0.1. ]]
+[[Image:SisEu1.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de los compuestos '''A, B y C''' a lo largo del tiempo, según el método de Euler con un paso de <math>h=0.1</math> ]]
 '''Método trapecio'''
@@ Línea 380: / Línea 384: @@
 }}
-[[Image:SisTrap1.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de los compuestos A, B y C a lo largo del tiempo, según el método del Trapecio con un paso de h=0.1. ]]
+[[Image:SisTrap1.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de los compuestos '''A, B y C''' a lo largo del tiempo, según el método del Trapecio con un paso de <math>h=0.1</math> ]]
-Podemos ver que, el compuesto A decrece, el C crece y el B empieza creciendo para mas tarde decrecer y desaparecer.Hemos tomado como tiempo el eje de abscisas, y la cantidad del como eje de ordenadas. Tomando en tanto por uno la cantidad.
+Podemos ver que, el compuesto '''A''' decrece, el '''C''' crece y el '''B''' empieza creciendo para más tarde decrecer y desaparecer. Hemos tomado como tiempo el eje de abscisas, y la cantidad del como eje de ordenadas (hemos tomado en tanto por uno la cantidad).
-A decrece mas rápidamente, es decir, desaparece antes, B llega a una cantidad de 0.6.
+'''A''' decrece mas rápidamente que el resto, es decir, desaparece antes, '''B''' llega a una cantidad de <math>0.6</math>.
-En  conclusión el compuesto A desaparece de forma rápida y esto da lugar a que haya mas cantidad de B.
+En  conclusión el compuesto '''A''' desaparece de forma rápida y esto da lugar a que haya más cantidad de '''B'''.
 ===Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Euler y trapecio (Constantes de integración intercambiadas)===
-Ahora, resolveremos el sistema pero intercambiando los valores de las constantes, es decir K1=1 y K2=5, y aplicando los mismos programas anteriores, Euler y trapecio.
+Ahora, resolveremos el sistema pero intercambiando los valores de las constantes, es decir <math>K_1=1</math> y <math>K_2=5</math> y aplicando los mismos programas anteriores, Euler y trapecio.
 '''Método de Euler'''
-[[Image:SisEu2.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de los compuestos A, B y C a lo largo del tiempo, según el método de Euler,con las constantes de desintegración cambiadas, con un paso de h=0.1. ]]
+[[Image:SisEu2.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de los compuestos '''A, B y C''' a lo largo del tiempo, según el método de Euler,con las constantes de desintegración cambiadas, con un paso de <math>h=0.1</math> ]]
 '''Método del trapecio'''
-[[Image:SisTrap2.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de los compuestos A, B y C a lo largo del tiempo, según el método de Trapecio,con las constantes de desintegración cambiadas, con un paso de h=0.1. ]]
+[[Image:SisTrap2.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de los compuestos '''A, B y C''' a lo largo del tiempo, según el método de Trapecio,con las constantes de desintegración cambiadas, con un paso de <math>h=0.1</math> ]]
-En todas las gráficas, con las K iniciales y con las K intercambiadas y con ambos métodos, podemos observar que el compuesto A decrece, el C crece y el B empieza creciendo para mas tarde decrecer y desaparecer. En esas últimas gráficas también hemos tomado como tiempo el eje de abscisas, y en tanto por uno la cantidad del compuesto como eje de ordenadas.
+En todas las gráficas, con las '''K''' iniciales y con las '''K''' intercambiadas y con ambos métodos, podemos observar que el compuesto '''A''' decrece, el '''C''' crece y el '''B''' empieza creciendo para más tarde decrecer y desaparecer. En esas últimas gráficas también hemos tomado como tiempo el eje de abscisas, y en tanto por uno la cantidad del compuesto como eje de ordenadas.
-Podemos ver que la cantidad en tanto por uno de B sin cambiar las constantes llega a una cantidad de 0.6, mientras que con el cambio de constantes no llega a 0.2.
+Podemos ver que la cantidad en tanto por uno de '''B''' sin cambiar las constantes llega a una cantidad de <math>0.6</math>, mientras que con el cambio de constantes no llega a <math>0.2</math>.
-En  conclusión, al comparar los dos pares de gráficas observamos que ahora con el cambio de constantes A decrece más lentamente, y debido a eso la cantidad de B que se forma no llega a ser tan grande como la del apartado anterior, en el que el compuesto A desaparecía antes y eso daba lugar a más cantidad de B. La creación de C no difiere mucho entre los pares de gráficas, lo que significa que el tiempo que tarda A en descomponerse en C es independiente de las constantes de desintegración.
+En  conclusión, al comparar los dos pares de gráficas observamos que ahora con el cambio de constantes '''A''' decrece más lentamente, y debido a eso la cantidad de '''B''' que se forma no llega a ser tan grande como la del apartado anterior, en el que el compuesto '''A''' desaparecía antes y eso daba lugar a más cantidad de '''B'''. La creación de '''C''' no difiere mucho entre los pares de gráficas, lo que significa que el tiempo que tarda '''A''' en descomponerse en '''C''' es independiente de las constantes de desintegración.

@@ Línea 219: / Línea 219: @@
 Consideraremos ahora una descomposición de un elemento A en otro C a través de un elemento o isótopo intermedio B
-[[Archivo:DescomposicionC14.jpg|miniaturadeimagen|centro]]
 donde k1 y k2 son las constantes de desintegración respectivas. Es importante considerar que el elemento C empieza a crearse en cuanto hay elemento B, es decir, podemos tener simultáneamente los 3 elementos. Con este concepto determinaremos el sistema de ecuaciones que nos permitirán conocer las cantidades de cada elemento en cada instante de tiempo.
 [[Archivo:SistEcuacionC14.jpg|miniaturadeimagen|centro]]

@@ Línea 212: / Línea 212: @@
 }}
-[[Image:Rk1.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de C14 (hasta que éste es el 50% del contenido inicial) según el método de Runge Kutta con un paso h=0.1 . ]]
+[[Image:Rk1.png|1000px|thumb|center|Evolución del contenido de '''C14''' (hasta que éste es el <math>50</math>'''%''' del contenido inicial) según el método de Runge Kutta con un paso <math>h=0.1</math> . ]]
-'''La vida media que da el programa es de 5592,51 años'''.
+'''La vida media que da el programa es de <math>5592,51</math> años'''.
 ==Estudio de la evolución de concentraciones de compuestos interrelacionados==

@@ Línea 87: / Línea 87: @@
 ==Resolución por el método del Trapecio==
-Resolveremos el apartado anterior con el método del trapecio utilizando un paso h = 0.1 y con la condición de que el programa se detenga cuando la masa alcance un 8% de la masa inicial. Usando un bucle''' "while" ''' conseguimos realizar un programa que cumpla esta condición.
+Resolveremos el apartado anterior con el método del trapecio utilizando un paso <math>h=0.1</math> y con la condición de que el programa se detenga cuando la masa alcance un <math>8</math>'''%''' de la masa inicial. Usando un bucle''' "while" ''' conseguimos realizar un programa que cumpla esta condición.
 {{matlab|codigo=clear all
@@ Línea 140: / Línea 140: @@
-El tiempo para el cual queda el 8% del contenido inicial de Carbono 14 en ambos métodos es <math>20369 años</math> (redondeando, quedan soluciones similares).
+El tiempo para el cual queda el 8% del contenido inicial de Carbono 14 en ambos métodos es <math>20369</math> '''años''' (redondeando, quedan soluciones similares).
 El método del trapecio nos garantiza  estabilidad incondicional, este método es más preciso que el de Euler, sin embargo es más complicado trabajar con él ya que debemos despejar <math>y_{n+1}</math>.

@@ Línea 78: / Línea 78: @@
 <br />
-[[Image:Euler_paso_0.1_conc20.png|500px|thumb|left|Evolución de la concentración del C14, <math>C_0=20</math>  hasta que se alcanza el <math>8</math>'''%'''de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso h=0.1 ]] [[Image:Euler_paso_0.1_conc60.png|500px|thumb|center|Evolución de la concentración del C14,desde una concentración inicial  <math>C_0=60</math> hasta que se alcanza el <math>8</math>'''%''' de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso <math>h=0.1</math>]]
+[[Image:Euler_paso_0.1_conc20.png|500px|thumb|left|Evolución de la concentración del C14, <math>C_0=20</math>  hasta que se alcanza el <math>8</math>'''%'''de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso <math>h=0.1</math> ]] [[Image:Euler_paso_0.1_conc60.png|500px|thumb|center|Evolución de la concentración del C14,desde una concentración inicial  <math>C_0=60</math> hasta que se alcanza el <math>8</math>'''%''' de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso <math>h=0.1</math>]]
 <br/> <br/>
 El método de Euler es convergente para las ecuaciones que verifiquen que la función es diferenciable.
-En nuestro caso, ya partimos de una ecuación diferenciable <math>f(t,M)</math> es diferenciable,por lo tanto el método es convergente.
+En nuestro caso,tenemos que  <math>f(t,M)</math> es diferenciable,por lo tanto el método es convergente.
 ==Resolución por el método del Trapecio==

@@ Línea 23: / Línea 23: @@
 ==Método Euler==
-Suponenos que un arqueólogo descubre huesos con un '''contenido en C14 que resulta ser del 8% del que se encuentra en un ser vivo'''. Si suponemos además que la cantidad de C14 en la atmósfera no ha variado podemos tomar la diferencia de contenido en C14 del hueso antiguo debida únicamente a su desintegración. Conociendo que la constante de desintegración del C14 es <math>1.24*10{-4}</math> por año, calcularemos la edad de los restos arqueológicos. Para ello, planteamos un '''PVI''' adecuado eligiendo la condición inicial y lo resolveremos por el método de Euler para diferentes pasos '''<math>h=0.1</math>''' y '''<math>h=0.01</math>'''.
+Suponenos que un arqueólogo descubre huesos con un contenido en '''C14''' que resulta ser del <math>8</math>'''%''' del que se encuentra en un ser vivo. Si suponemos además que la cantidad de '''C14''' en la atmósfera no ha variado podemos tomar la diferencia de contenido en '''C14''' del hueso antiguo debida únicamente a su desintegración. Conociendo que la constante de desintegración del '''C14''' es <math>1.24·10^{-4}</math> por año, calcularemos la edad de los restos arqueológicos. Para ello, planteamos un '''PVI''' adecuado eligiendo la condición inicial y lo resolveremos por el método de Euler para diferentes pasos '''<math>h=0.1</math>''' y '''<math>h=0.01</math>'''.
@@ Línea 63: / Línea 63: @@
 <br />
-[[Image:Eulerpaso0.1b.png|500px|thumb|left|Evolución de la concentración del C14 hasta que se alcanza el 8% de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso h=0.1 ]] [[Image:Eulerpaso0.0b1.png|500px|thumb|center| Evolución de la concentración del C14 hasta que se alcanza el 8% de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso h=0.01]]
+[[Image:Eulerpaso0.1b.png|500px|thumb|left|Evolución de la concentración del '''C14''' hasta que se alcanza el <math>8</math>'''%''' de la concentración inicial <math>C_0</math> ,  según el método de Euler para un paso <math>h=0.1</math> ]] [[Image:Eulerpaso0.0b1.png|500px|thumb|center| Evolución de la concentración del '''C14''' hasta que se alcanza el <math>8</math>'''%''' de <math>C_0</math>, según el método de Euler para un paso <math>h=0.01</math>]]
 <br/> <br/>
@@ Línea 75: / Línea 75: @@
-'''Aplicando Euler se comprueba que se puede considerar estable la edad de los restos arqueológicos, es decir, el tiempo de desintegración que obtenemos es independiente de la cantidad inicial de la muestra de C14:'''
+'''Aplicando Euler se comprueba que se puede considerar estable la edad de los restos arqueológicos, es decir, el tiempo de desintegración que obtenemos es independiente de la cantidad inicial<math>(C_0)</math> de la muestra de C14:'''
 <br />
-[[Image:Euler_paso_0.1_conc20.png|500px|thumb|left|Evolución de la concentración del C14,desde una concentración inicial=20 hasta que se alcanza el 8% de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso h=0.1 ]] [[Image:Euler_paso_0.1_conc60.png|500px|thumb|center|Evolución de la concentración del C14,desde una concentración inicial=60 hasta que se alcanza el 8% de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso h=0.1]]
+[[Image:Euler_paso_0.1_conc20.png|500px|thumb|left|Evolución de la concentración del C14, <math>C_0=20</math>  hasta que se alcanza el <math>8</math>'''%'''de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso h=0.1 ]] [[Image:Euler_paso_0.1_conc60.png|500px|thumb|center|Evolución de la concentración del C14,desde una concentración inicial  <math>C_0=60</math> hasta que se alcanza el <math>8</math>'''%''' de la concentración inicial, según el método de Euler para un paso <math>h=0.1</math>]]
 <br/> <br/>
 El método de Euler es convergente para las ecuaciones que verifiquen que la función es diferenciable.
-En nuestro caso, <math>f(t,M)</math> es diferenciable,por lo tanto el método es convergente.
+En nuestro caso, ya partimos de una ecuación diferenciable <math>f(t,M)</math> es diferenciable,por lo tanto el método es convergente.
 ==Resolución por el método del Trapecio==

← Revisión anterior		Revisión del 21:31 4 mar 2015
Línea 23:		Línea 23:
	==Método Euler==		==Método Euler==

−	Suponenos que un arqueólogo descubre huesos con un '''contenido en C14 que resulta ser del 8% del que se encuentra en un ser vivo'''. Si suponemos además que la cantidad de C14 en la atmósfera no ha variado podemos tomar la diferencia de contenido en C14 del hueso antiguo debida únicamente a su desintegración. Conociendo que la constante de desintegración del C14 es <math>1.~~24·10~~{-4}</math> por año, calcularemos la edad de los restos arqueológicos. Para ello, planteamos un '''PVI''' adecuado eligiendo la condición inicial y lo resolveremos por el método de Euler para diferentes pasos '''<math>h=0.1</math>''' y '''<math>h=0.01</math>'''.	+	Suponenos que un arqueólogo descubre huesos con un '''contenido en C14 que resulta ser del 8% del que se encuentra en un ser vivo'''. Si suponemos además que la cantidad de C14 en la atmósfera no ha variado podemos tomar la diferencia de contenido en C14 del hueso antiguo debida únicamente a su desintegración. Conociendo que la constante de desintegración del C14 es <math>1.24*10{-4}</math> por año, calcularemos la edad de los restos arqueológicos. Para ello, planteamos un '''PVI''' adecuado eligiendo la condición inicial y lo resolveremos por el método de Euler para diferentes pasos '''<math>h=0.1</math>''' y '''<math>h=0.01</math>'''.