Curvas de Bezier Grupo 17 - Historial de revisiones

Alvaro Roman Aguilera: /* Vector velocidad y vector aceleración centrípeta */

2024-12-09T21:55:40Z

‎Vector velocidad y vector aceleración centrípeta

Alvaro Roman Aguilera: /* Vector velocidad y vector aceleración centrípeta */

2024-12-09T21:44:50Z

‎Vector velocidad y vector aceleración centrípeta

Mostrar los cambios

Alvaro Roman Aguilera: /* Campo tangente T(t) y campo normal N(t) */

2024-12-09T21:41:39Z

‎Campo tangente T(t) y campo normal N(t)

Alvaro Roman Aguilera: /* Curva de Bézier cúbica (n=3) */

2024-12-09T21:41:09Z

‎Curva de Bézier cúbica (n=3)

Alvaro Roman Aguilera: /* Curvatura de la Curva de Bézier */

2024-12-09T21:39:29Z

‎Curvatura de la Curva de Bézier

Alvaro Roman Aguilera: /* Vector tangente, vector normal y circunferencia osculatriz asociado a la curva de Beizer */

2024-12-09T21:38:44Z

‎Vector tangente, vector normal y circunferencia osculatriz asociado a la curva de Beizer

Alvaro Roman Aguilera: /* Curva de Bézier tridimensional y curva poligonal */

2024-12-09T21:37:48Z

‎Curva de Bézier tridimensional y curva poligonal

Alvaro Roman Aguilera: /* Velocidad que debe mantener el Ferrari */

2024-12-09T21:37:10Z

‎Velocidad que debe mantener el Ferrari

Alvaro Roman Aguilera: /* Velocidad que debe mantener el Ferrari */

2024-12-09T21:36:34Z

‎Velocidad que debe mantener el Ferrari

Alvaro Roman Aguilera: /* Gráficas de curvatura y de torsión */

2024-12-09T21:35:38Z

‎Gráficas de curvatura y de torsión

@@ Línea 969: / Línea 969: @@
 g = 9.81; % m/s^2
 mu = 1.5; % coeficiente de fricción
-n_points = 500; % puntos para discretizar la curva
+n_puntos = 500; % puntos para discretizar la curva
 % Generar valores de t
-t_vals = linspace(0, 1, n_points);
+valores_t = linspace(0, 1, n_puntos);
 % Función de la curva Bézier cúbica
-bezier_curve = @(t) (1-t).^3 .* P0 + 3*(1-t).^2.*t .* P1 + 3*(1-t).*t.^2 .* P2 + t.^3 .* P3;
+curva_bezier = @(t) (1-t).^3 .* P0 + 3*(1-t).^2.*t .* P1 + 3*(1-t).*t.^2 .* P2 + t.^3 .* P3;
 % Derivadas de la curva
-bezier_velocity = @(t) -3*(1-t).^2 .* P0 + (3*(1-t).^2 - 6*(1-t).*t) .* P1 + ...
+velocidad_bezier = @(t) -3*(1-t).^2 .* P0 + (3*(1-t).^2 - 6*(1-t).*t) .* P1 + ...
-                        (6*(1-t).*t - 3*t.^2) .* P2 + 3*t.^2 .* P3;
+                       (6*(1-t).*t - 3*t.^2) .* P2 + 3*t.^2 .* P3;
-bezier_acceleration = @(t) 6*(1-t) .* (P2 - 2*P1 + P0) + 6*t .* (P3 - 2*P2 + P1);
+aceleracion_bezier = @(t) 6*(1-t) .* (P2 - 2*P1 + P0) + 6*t .* (P3 - 2*P2 + P1);
 % Evaluar posiciones, velocidades y aceleraciones
-positions = zeros(n_points, 3);
+posiciones = zeros(n_puntos, 3);
-velocities = zeros(n_points, 3);
+velocidades = zeros(n_puntos, 3);
-accelerations = zeros(n_points, 3);
+aceleraciones = zeros(n_puntos, 3);
-curvature = zeros(1, n_points);
+curvatura = zeros(1, n_puntos);
-for i = 1:n_points
+for i = 1:n_puntos
-     t = t_vals(i);
+     t = valores_t(i);
-     positions(i, :) = bezier_curve(t);
+     posiciones(i, :) = curva_bezier(t);
-     velocities(i, :) = bezier_velocity(t);
+     velocidades(i, :) = velocidad_bezier(t);
-     accelerations(i, :) = bezier_acceleration(t);
+     aceleraciones(i, :) = aceleracion_bezier(t);
      % Curvatura en cada punto
-     v = velocities(i, :);
+     v = velocidades(i, :);
-     a = accelerations(i, :);
+     a = aceleraciones(i, :);
-     curvature(i) = norm(cross(v, a)) / (norm(v)^3);
+     curvatura(i) = norm(cross(v, a)) / (norm(v)^3);
 end
 % Velocidad máxima constante
-v0 = sqrt(mu * g / max(curvature));
+v0 = sqrt(mu * g / max(curvatura));
 fprintf('La velocidad máxima constante v0 es: %.2f m/s\n', v0);
 % Escalar aceleración centrípeta para usarla en la animación
-centripetal_accelerations = v0^2 * curvature;
+aceleraciones_centripetas = v0^2 * curvatura;
 % Crear figura para la animación
 figure;
-plot3(positions(:, 1), positions(:, 2), positions(:, 3), 'b', 'LineWidth', 1.5);
+plot3(posiciones(:, 1), posiciones(:, 2), posiciones(:, 3), 'b', 'LineWidth', 1.5);
 hold on;
 % Configuración de la gráfica
@@ Línea 1010: / Línea 1010: @@
 view(3);
 % Inicializar flechas de velocidad y aceleración centrípeta
-vel_arrow = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'r', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 1);
+flecha_vel = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'r', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 1);
-acc_arrow = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'g', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 1);
+flecha_acel = quiver3(0, 0, 0, 0, 0, 0, 'g', 'LineWidth', 1.2, 'MaxHeadSize', 1);
 % Crear leyenda correcta
 legend('Trayectoria', 'Velocidad', 'Aceleración centrípeta', 'Location', 'Best');
 % Animación
-for i = 1:n_points
+for i = 1:n_puntos
      % Posición actual
-     pos = positions(i, :);
+     pos = posiciones(i, :);
-     vel = velocities(i, :) / norm(velocities(i, :)) * v0; % Normalizar la velocidad
+     vel = velocidades(i, :) / norm(velocidades(i, :)) * v0; % Normalizar la velocidad
-     acc =  accelerations(i, :)  / norm(accelerations(i, :))  * centripetal_accelerations(i); % Normalizar la aceleración
+     acel = aceleraciones(i, :) / norm(aceleraciones(i, :)) * aceleraciones_centripetas(i); % Normalizar la aceleración
      % Actualizar flechas
-     set(vel_arrow, 'XData', pos(1), 'YData', pos(2), 'ZData', pos(3), ...
+     set(flecha_vel, 'XData', pos(1), 'YData', pos(2), 'ZData', pos(3), ...
          'UData', vel(1), 'VData', vel(2), 'WData', vel(3));
-     set(acc_arrow, 'XData', pos(1), 'YData', pos(2), 'ZData', pos(3), ...
+     set(flecha_acel, 'XData', pos(1), 'YData', pos(2), 'ZData', pos(3), ...
-         'UData', acc(1), 'VData', acc(2), 'WData', acc(3));
+         'UData', acel(1), 'VData', acel(2), 'WData', acel(3));
      % Pausar para animación
      pause(0.02);
 end
 }}

@@ Línea 122: / Línea 122: @@
 % Puntos de control coplanares
   P0 = [0, 0,0];
 P1 = [1, 2,0];
 P2 = [3, 3,0];
 P3 = [4, 0,0];
 % Parámetro t (de 0 a 1)
 t = linspace(0, 1, 50);
 % Polinomios de Bernstein
 B0 = (1 - t).^3;
 B1 = 3 * t .* (1 - t).^2;
 B2 = 3 * t.^2 .* (1 - t);
 B3 = t.^3;
 % Coordenadas de la curva de Bézier
   x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);
   y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);
   % Derivadas de la curva de Bézier
   dx = gradient(x, t);
 dy = gradient(y, t);
   % Vectores tangentes normalizados
   T = [dx; dy] ./ sqrt(dx.^2 + dy.^2);
   % Vectores normales (perpendiculares al tangente)
   N = [-T(2, :); T(1, :)];
   % Representar la curva con campos tangente y normal
 figure;
 plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on;
 quiver(x, y, T(1, :), T(2, :), 0.5, 'r'); % Campo tangente
 quiver(x, y, N(1, :), N(2, :), 0.5, 'g'); % Campo normal
 legend('Curva de Bézier', 'Campo Tangente', 'Campo Normal');
 title('Campo Tangente y Normal de la Curva de Bézier');
 xlabel('x'); ylabel('y');
 grid on;
@@ Línea 191: / Línea 161: @@
 El campo normal es perpendicular al campo tangente en cada punto y se orienta ortogonalmente a la curva. Este campo es clave para analizar la curvatura, ya que describe cómo la curva se "dobla".<br> Ambos campos, tangente y normal, son fundamentales para comprender la geometría y el comportamiento local de la curva.
-−
-−
 ==Curvatura de la Curva de Bézier==

@@ Línea 56: / Línea 56: @@
 % Puntos de control coplanares
 P0 = [0, 0,0];
 P1 = [1, 2,0];
 P2 = [3, 3,0];
 P3 = [4, 0,0];
 % Parámetro t (de 0 a 1)
 t = linspace(0, 1, 50);
 % Polinomios de Bernstein
 B0 = (1 - t).^3;
 B1 = 3 * t .* (1 - t).^2;
 B2 = 3 * t.^2 .* (1 - t);
 B3 = t.^3;
 % Coordenadas de la curva de Bézier
 x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);
 y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);
 % Representación gráfica
 figure;
 plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on;
 plot([P0(1) P1(1) P2(1) P3(1)], [P0(2) P1(2) P2(2) P3(2)], 'ro--');
 legend('Curva de Bézier', 'Curva poligonal');
 title('Curva de Bézier Cúbica');
 xlabel('x'); ylabel('y');
 grid on;
 }}
-−
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 ==Campo tangente T(t) y campo normal N(t)==

@@ Línea 266: / Línea 266: @@
 % Puntos de control coplanares
 P0 = [0, 0,0];
 P1 = [1, 2,0];
 P2 = [3, 3,0];
 P3 = [4, 0,0];
 % Parámetro t (de 0 a 1)
 t = linspace(0, 1, 50);
 % Polinomios de Bernstein
 B0 = (1 - t).^3;
 B1 = 3 * t .* (1 - t).^2;
 B2 = 3 * t.^2 .* (1 - t);
 B3 = t.^3;
 % Coordenadas de la curva de Bézier
 x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);
 y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);
 % Derivadas de la curva de Bézier
 dx = gradient(x, t);
 dy = gradient(y, t);
 % Vectores tangentes normalizados
 T = [dx; dy] ./ sqrt(dx.^2 + dy.^2);
 % Vectores normales (perpendiculares al tangente)
 N = [-T(2, :); T(1, :)];
 % Segunda derivada de la curva
 d2x = gradient(dx, t);
 d2y = gradient(dy, t);
 % Curvatura
 curvatura = abs(dx .* d2y - dy .* d2x) ./ (dx.^2 + dy.^2).^(3/2);
 % Representar curvatura
 figure;
 plot(t, curvatura, 'm-', 'LineWidth', 2);
 title('Curvatura de la Curva de Bézier');
 xlabel('t'); ylabel('\kappa(t)');
 grid on;
 }}
-−
-−
 ==Vector tangente, vector normal y circunferencia osculatriz asociado a la curva de Beizer==

@@ Línea 404: / Línea 404: @@
 % Puntos de control coplanares
 P0 = [0, 0,0];
 P1 = [1, 2,0];
 P2 = [3, 3,0];
 P3 = [4, 0,0];
 % Parámetro t (de 0 a 1)
 t = linspace(0, 1, 100);
 % Polinomios de Bernstein
 B0 = (1 - t).^3;
 B1 = 3 * t .* (1 - t).^2;
 B2 = 3 * t.^2 .* (1 - t);
 B3 = t.^3;
 % Coordenadas de la curva de Bézier
 x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);
 y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);
 % Derivadas de la curva de Bézier
 dx = gradient(x, t);
 dy = gradient(y, t);
 % Vectores tangentes normalizados
 T = [dx; dy] ./ sqrt(dx.^2 + dy.^2);
 % Vectores normales (perpendiculares al tangente)
 N = [-T(2, :); T(1, :)];
 % Segunda derivada de la curva
 d2x = gradient(dx, t);
 d2y = gradient(dy, t);
 % Curvatura
 curvatura = abs(dx .* d2y - dy .* d2x) ./ (dx.^2 + dy.^2).^(3/2);
 % Radio de curvatura
 R = 1 ./ curvatura;
 % Animación
 figure;
 for i = 1:length(t)
      clf;
      plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on;
      quiver(x(i), y(i), T(1, i), T(2, i), 0.5, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Tangente
      quiver(x(i), y(i), N(1, i), N(2, i), 0.5, 'g', 'LineWidth', 1.5); % Normal
      % Circunferencia osculatriz
      center = [x(i), y(i)] + R(i) * N(:, i)';
      theta = linspace(0, 2*pi, 100);
      circle_x = center(1) + R(i) * cos(theta);
      circle_y = center(2) + R(i) * sin(theta);
      plot(circle_x, circle_y, 'm--');
      title('Animación: Vectores y Circunferencia Osculatriz');
      xlabel('x'); ylabel('y');
      axis equal; grid on;
      pause(0.1);
 end }}
 end }}
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 ==Curva de Bézier tridimensional y curva poligonal==

@@ Línea 524: / Línea 524: @@
 % Puntos de control en 3D
 P0 = [0, 0, 0];
 P1 = [10, 20, 5];
 P2 = [20, -10, 15];
 P3 = [30, 0, 0];
 % Parámetro t (de 0 a 1)
 t = linspace(0, 1, 50);
 % Polinomios de Bernstein
 B0 = (1 - t).^3;
 B1 = 3 * t .* (1 - t).^2;
 B2 = 3 * t.^2 .* (1 - t);
 B3 = t.^3;
 % Coordenadas de la curva
 x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);
 y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);
 z = B0 * P0(3) + B1 * P1(3) + B2 * P2(3) + B3 * P3(3);
 % Representación gráfica
 figure;
 plot3(x, y, z, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on;
 plot3([P0(1) P1(1) P2(1) P3(1)], [P0(2) P1(2) P2(2) P3(2)], [P0(3) P1(3) P2(3) P3(3)], 'ro--');
 legend('Curva de Bézier', 'Curva Poligonal');
 title('Curva de Bézier Tridimensional');
 title('Curva de Bézier Tridimensional');
-−
 xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
 grid on; axis equal;
@@ Línea 581: / Línea 556: @@
 En este caso, la curva resultante muestra cómo se genera una transición suave entre los cuatro puntos dados, minimizando cambios bruscos y creando un recorrido continuo y elegante.<br>
 Este efecto es esencial en aplicaciones donde la fluidez y la precisión son clave, como en el diseño de trayectorias, superficies y modelos tridimensionales.
-−
-−
 ==Gráficas de curvatura y de torsión==

@@ Línea 771: / Línea 771: @@
 <br>
 - '''Fuerza de fricción:'''<br>
@@ Línea 802: / Línea 801: @@
 - '''Condición para evitar que el coche se deslice:'''<br>

@@ Línea 745: / Línea 745: @@
-- Fuerza centrípeta:<br>
+- '''Fuerza centrípeta:'''<br>
 La fuerza centrípeta es la que mantiene a un objeto en movimiento circular. Para un coche en la curva, esta fuerza es directamente proporcional a la masa m, la curvatura κ de la curva y al cuadrado de la velocidad v₀²:
@@ Línea 773: / Línea 773: @@
-- Fuerza de fricción:<br>
+- '''Fuerza de fricción:'''<br>
 La fuerza de fricción es la que se opone al movimiento del coche y depende del coeficiente de fricción μ entre los neumáticos y la pista, así como de la masa del coche y la gravedad g:
@@ Línea 803: / Línea 803: @@
-- Condición para evitar que el coche se deslice:<br>
+- '''Condición para evitar que el coche se deslice:'''<br>
 Para que el coche no se salga de la pista, la fuerza centrípeta debe ser menor o igual a la fuerza de fricción, es decir:
@@ Línea 1081: / Línea 1081: @@
 </math>
 </center>
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-−
 ==Vector velocidad y vector aceleración centrípeta==