Curvas de Bézier Grupo 2 - Historial de revisiones

Alejandro Villaverde: /* Código y representación */

2024-12-09T22:20:38Z

‎Código y representación

Alejandro Villaverde: /* Código y animación */

2024-12-09T22:20:05Z

‎Código y animación

Alejandro Villaverde: /* Código y representación de la curva de Bézier, su curvatura y torsión en función de t : */

2024-12-09T22:19:10Z

‎Código y representación de la curva de Bézier, su curvatura y torsión en función de t :

Alejandro Villaverde: /* Código y representación de la curva de Bézier, su curvatura y torsión en función de t : */

2024-12-09T22:17:44Z

‎Código y representación de la curva de Bézier, su curvatura y torsión en función de t :

Alejandro Villaverde: /* Código y animación */

2024-12-09T22:11:15Z

‎Código y animación

Alejandro Villaverde: /* Código y animación */

2024-12-09T22:08:52Z

‎Código y animación

Maximiliano.rruiz: /* Código y animación */

2024-12-09T22:07:47Z

‎Código y animación

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Alejandro Villaverde: /* Curva de Bézier y su derivada */

2024-12-09T22:04:21Z

‎Curva de Bézier y su derivada

Alejandro Villaverde: /* Animación del vector tangente, el vector normal y la circunferencia osculatriz asociados a cada punto de la curva de Bézier. */

2024-12-09T22:01:29Z

‎Animación del vector tangente, el vector normal y la circunferencia osculatriz asociados a cada punto de la curva de Bézier.

Alejandro Villaverde: /* Curva de Bézier y su derivada */

2024-12-09T22:00:45Z

‎Curva de Bézier y su derivada

@@ Línea 353: / Línea 353: @@
 ==='''Código y representación'''===
-[[Archivo:Imagenapartado5.jpg|500px||miniaturadeimagen|Representación de la curva de Bézier tridimensional junto con la curva poligonal teniendo en cuenta que los puntos son no coplanarios]]
+[[Archivo:Imagenapartado5.jpg|500px||miniaturadeimagen|Representación de la curva de Bézier tridimensional junto con la curva poligonal teniendo en cuenta que los puntos son no coplanarios.]]
 {{matlab|codigo=
 % Curva de Bézier Cúbica en 3D

@@ Línea 286: / Línea 286: @@
 ==='''Código y animación'''===
-[[Archivo:Bezier_4.gif|500px||miniaturadeimagen|Animación del vector tangente, el vector normal y la circunferencia osculatriz asociados a cada punto de la curva de Bézier]]
+[[Archivo:Bezier_4.gif|500px||miniaturadeimagen|Animación del vector tangente, el vector normal y la circunferencia osculatriz asociados a cada punto de la curva de Bézier.]]
 {{matlab|codigo=
 % Puntos de control para una curva de Bézier cúbica

@@ Línea 440: / Línea 440: @@
 ==='''Código y representación de la curva de Bézier, su curvatura y torsión en función de <math> t </math>:'''===
-[[Archivo:Imagenapartado6.jpg|600px|miniaturadeimagen|En la gráfica <math>ℝ^3</math> vemos la curva de Bézier en el espacio, mientras que a la derecha se representa la curvatura y la torsión de la curva tridimensional en función de <math>t</math>.]]
+[[Archivo:Imagenapartado6.jpg|600px|miniaturadeimagen|En la gráfica ℝ3 vemos la curva de Bézier en el espacio, mientras que a la derecha se representa la curvatura y la torsión de la curva tridimensional en función de t.]]
 {{matlab|codigo=
 % Puntos de control en R3 (no coplanarios)

@@ Línea 440: / Línea 440: @@
 ==='''Código y representación de la curva de Bézier, su curvatura y torsión en función de <math> t </math>:'''===
-[[Archivo:Imagenapartado6.jpg|600px|miniaturadeimagen|'''REPRESENTACIÓN DE LA CURVATURA Y LA TORSIÓN DE LA CURVA TRIDIMENSIONAL EN FUNCIÓN DE T''']]
+[[Archivo:Imagenapartado6.jpg|600px|miniaturadeimagen|En la gráfica <math>ℝ^3</math> vemos la curva de Bézier en el espacio, mientras que a la derecha se representa la curvatura y la torsión de la curva tridimensional en función de <math>t</math>.]]
 {{matlab|codigo=
 % Puntos de control en R3 (no coplanarios)

@@ Línea 540: / Línea 540: @@
 <br> Una vez definido lo que es y los vectores que lo componen, se representa, gracias al programa MATLAB, una animación del Triedro de Frenet a lo largo de la curva, dónde se utilizó el siguiente código para su realización:
 ==='''Código y animación'''===
-[[Archivo:frenet_3d_animationnn.gif|377px|miniaturadeimagen|En la animación se representa el vector binomial en color , mientras que los vectores normal y tangencial son los y respectivamente]]
+[[Archivo:frenet_3d_animationnn.gif|377px|miniaturadeimagen|En la animación se representa el vector binomial en color magenta, mientras que los vectores normal y tangencial son los vectores cian y verde respectivamente.]]
 {{matlab|codigo=
 % Puntos de control en R3 (no coplanarios)

@@ Línea 286: / Línea 286: @@
 ==='''Código y animación'''===
-[[Archivo:Curva bezier animacion.gif|500px||miniaturadeimagen|Animación del vector tangente, el vector normal y la circunferencia osculatriz asociados a cada punto de la curva de Bézier]]
+[[Archivo:Bezier_4.gif|500px||miniaturadeimagen|Animación del vector tangente, el vector normal y la circunferencia osculatriz asociados a cada punto de la curva de Bézier]]
 {{matlab|codigo=
-% Puntos de control coplanares
+% Puntos de control para una curva de Bézier cúbica
-P0 = [0, 0,0];
+  P0 = [0, 0,0];
-P1 = [4, 2,0];
+  P1 = [4, 2,0];
-P2 = [0, 2,0];
+  P2 = [0, 2,0];
-P3 = [4, 4,0];
+  P3 = [4, 4,0];
-% Parámetro t (de 0 a 1)
+ % Valor del parámetro t[0,1]
-t = linspace(0, 1, 100);
+  t = linspace(0, 1, 100);
-% Polinomios de Bernstein
+ % Componentes de la función para calcularnos el polinomio de Bernstein
-B0 = (1 - t).^3;
+ B0 = (1 - t).^3;
-B1 = 3 * t .* (1 - t).^2;
+ B1 = 3 * t .* (1 - t).^2;
-B2 = 3 * t.^2 .* (1 - t);
+ B2 = 3 * t.^2 .* (1 - t);
-B3 = t.^3;
+ B3 = t.^3;
-% Coordenadas de la curva de Bézier
+ % Coordenadas de la curva de Bézier
-x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);
+ x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);
-y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);
+ y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);
-% Derivadas de la curva de Bézier
+ % Funciones para calcularnos las derivadas de la curva
-dx = gradient(x, t);
+ dx = gradient(x, t);
-dy = gradient(y, t);
+ dy = gradient(y, t);
-% Vectores tangentes normalizados
+ % Cálculo del vector tangente
-T = [dx; dy] ./ sqrt(dx.^2 + dy.^2);
+ T = [dx; dy] ./ sqrt(dx.^2 + dy.^2);
-% Vectores normales (perpendiculares al tangente)
+ % Cálculo del vector normal (perpendiculares al tangente)
-N = [-T(2, :); T(1, :)];
+ N = [-T(2, :); T(1, :)];
-% Segunda derivada de la curva
+ % Funciones para calcularnos las segundas derivadas
-d2x = gradient(dx, t);
+ ddx = gradient(dx, t);
-d2y = gradient(dy, t);
+ ddy = gradient(dy, t);
-% Curvatura
+ % Curvatura
-curvatura = abs(dx .* d2y - dy .* d2x) ./ (dx.^2 + dy.^2).^(3/2);
+ curvatura = abs(dx .* ddy - dy .* ddx) ./ (dx.^2 + dy.^2).^(3/2);
-% Radio de curvatura
+ % Radio de la circunferencia osculatriz
-R = 1 ./ curvatura;
+    if curvatura ~= 0
-% Animación
+        R = 1 ./ curvatura;
-figure;
+    else
-for i = 1:length(t)
+        R = Inf;
-    clf;
+    end
-    plot(x, y, 'r--', 'LineWidth', 2); hold on;
+ % Estructura de la animación
-    quiver(x(i), y(i), T(1, i), T(2, i), 0.5, 'g', 'LineWidth', 1.5); % Tangente
+ figure;
-    quiver(x(i), y(i), N(1, i), N(2, i), 0.5, 'm', 'LineWidth', 1.5); % Normal
+ for i = 1:length(t)
-    % Circunferencia osculatriz
+     clf;
-    center = [x(i), y(i)] + R(i) * N(:, i)';
+     plot(x, y, 'r--', 'LineWidth', 2);
-    theta = linspace(0, 2*pi, 100);
+     hold on;
-    circle_x = center(1) + R(i) * cos(theta);
+     quiver(x(i), y(i), T(1, i), T(2, i), 0.5, 'g', 'LineWidth', 1.5); % Tangente
-    circle_y = center(2) + R(i) * sin(theta);
+     quiver(x(i), y(i), N(1, i), N(2, i), 0.5, 'm', 'LineWidth', 1.5); % Normal
-    plot(circle_x, circle_y, 'b', 'LineWidth', 1.25 );
+     % Centro de la circunferencia osculatriz y gráfica
-    title('Animación: Vectores y Circunferencia Osculatriz');
+     center = [x(i), y(i)] + R(i) * N(:, i)';
-    xlabel('x'); ylabel('y');
+     theta = linspace(0, 2*pi, 100);
-    axis equal; grid on;
+     circle_x = center(1) + R(i) * cos(theta);
-    pause(0.08);
+     circle_y = center(2) + R(i) * sin(theta);
-end
+     plot(circle_x, circle_y, 'b','LineWidth', 1.25);
 }}

@@ Línea 233: / Línea 233: @@
 ==='''Curva de Bézier y su derivada'''===
 Como bien dice el enunciado, consideraremos una curva de Bézier de '''orden n''' definida por el conjunto de puntos de control   <big>{</big> <math>P_0,P_1,P_2,P_3</math><big>}</big>. La fórmula paramétrica sería:
-<br> <center> <math> B(t)=\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i\ </math></center> dónde <math>B_{i,n}(t)</math> son los polinomios de Bernstein y <math>t</math> es el parámetro que varía entre 0 y 1. Los polinomios están dados por:<br> <center> <math> B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}\ </math></center> para \(t \in [0, 1]\), y donde \(\binom{n}{i}\) es el coeficiente binomial.
+<br> <center> <math> B(t)=\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i\ </math></center>

@@ Línea 232: / Línea 232: @@
 Para poder calcular el '''vector tangente, el vector normal y la circunferencia osculatriz''' a medida que nos movemos a lo largo de una curva de Bézier es importante entender cómo se define la curva y cómo obtener las propiedades geométricas pedidas a partir de las propiedades de las derivadas de la curva.
 ==='''Curva de Bézier y su derivada'''===
-Como bien dice el enunciado, consideraremos una curva de Bézier de '''orden n''' definida por el conjunto de puntos de control <big>{</big><math>P_0,P_1,P_2,P_3</math><big>}</big>. La fórmula paramétrica sería:
+Como bien dice el enunciado, consideraremos una curva de Bézier de '''orden n''' definida por el conjunto de puntos de control  <big>{</big> <math>P_0,P_1,P_2,P_3</math> <big>}</big>. La fórmula paramétrica sería:
 <br> <center> <math> B(t)=\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i\ </math></center> dónde <math>B_{i,n}(t)</math> son los polinomios de Bernstein y <math>t</math> es el parámetro que varía entre 0 y 1. Los polinomios están dados por:<br> <center> <math> B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}\ </math></center> para \(t \in [0, 1]\), y donde \(\binom{n}{i}\) es el coeficiente binomial.