Circuitos RL (Grupo 2) - Historial de revisiones

Herraiz en 12:00 16 jul 2013

2013-07-16T12:00:10Z

Nerea GR en 04:42 5 mar 2013

2013-03-05T04:42:49Z

Nerea GR en 04:40 5 mar 2013

2013-03-05T04:40:57Z

Nerea GR en 04:40 5 mar 2013

2013-03-05T04:40:13Z

Nerea GR en 04:32 5 mar 2013

2013-03-05T04:32:32Z

Nerea GR en 03:54 5 mar 2013

2013-03-05T03:54:05Z

Nerea GR en 03:45 5 mar 2013

2013-03-05T03:45:58Z

Nerea GR en 03:33 5 mar 2013

2013-03-05T03:33:43Z

Nerea GR en 03:26 5 mar 2013

2013-03-05T03:26:27Z

Nerea GR en 03:13 5 mar 2013

2013-03-05T03:13:23Z

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-__NOTOC__
+{{Trabajo|Circuitos eléctricos RL|[[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:Trabajos 2012-13|2012-13]]}}
 == CIRCUITOS ELÉCTRICOS ==
@@ Línea 197: / Línea 197: @@
 * Rocío Santos Rodrigo   nº 405
 * Sara Larre Ara   nº 761

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-_NOTOC_
+__NOTOC__
 == CIRCUITOS ELÉCTRICOS ==
 El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación.

← Revisión anterior		Revisión del 04:40 5 mar 2013
Línea 1:		Línea 1:
		+	_NOTOC_
	== CIRCUITOS ELÉCTRICOS ==		== CIRCUITOS ELÉCTRICOS ==
	El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación.		El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación.

← Revisión anterior		Revisión del 04:40 5 mar 2013
Línea 186:		Línea 186:

	Como se puede apreciar en la gráfica, el método que más se aproxima a lasolución exacta (linea negra) es el método del Trapecio(linea roja), mientrasque el método de Euler (linea azul) da valores menos aproximados. Las tres gráficascorresponden, respectivamente, a i1(t), i2(t) e i3(t)		Como se puede apreciar en la gráfica, el método que más se aproxima a lasolución exacta (linea negra) es el método del Trapecio(linea roja), mientrasque el método de Euler (linea azul) da valores menos aproximados. Las tres gráficascorresponden, respectivamente, a i1(t), i2(t) e i3(t)
		+	<br /><br /><br /><br />
		+
		+	--[[Usuario:Nerea GR\|Nerea GR]] ([[Usuario discusión:Nerea GR\|discusión]]) 05:40 5 mar 2013 (CET)<br /> ''' Grupo 2: ''' <br />
		+	* Margarita Santiago Ruiz nº 700
		+	* Nerea González Rivas nº 200
		+	* Fernando Cedena de Pedraza nº 525
		+	* Mª Carmen Lacasa Santos nº 229
		+	* Rocío Santos Rodrigo nº 405
		+	* Sara Larre Ara nº 761

@@ Línea 3: / Línea 3: @@
 * En una resistencia R la ley de Ohm establece:: <math>i(t) = \frac{v(t)}{R}</math>
-donde  i(t)=intesidad de corriente (A), v(t)=voltaje (V), R=coeficiente de resistencia (Ω).
+donde  i(t) = intesidad de corriente (A), v(t) = voltaje (V), R = coeficiente de resistencia (Ω).
 * En un inductor L, la ley de Faraday establece:: <math>v(t) = L\frac{d}{d_t}i(t)</math>
-donde L=coeficiente de autoinducción (H).
+donde L = coeficiente de autoinducción (H).
 <br /><br />
 Las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:
 # '''Ley de corriente:''' en cada nodo la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.
-# '''Ley de tensiones:''' en cada ciclo cerrado, la suma de la diferencias de potencial eléctrico es nula.
+# '''Ley de tensiones:''' en cada ciclo cerrado, la suma de las diferencias de potencial eléctrico es nula.
 <br />
 _____________________________________________________________________________________________________________________
 <br />
-''' <big><big>Circuito 1. Circuito más simple</big></big> ''' [[Archivo:cicuito1.jpg|200px|thumb|right|Circuito simple (malla 1)]]
+''' <big><big>Circuito 1: Circuito más simple</big></big> ''' [[Archivo:cicuito1.jpg|200px|thumb|right|Circuito simple (malla 1)]]
 <br />
-==== 1. Ecuación diferencial. ====
+==== 1. Ecuación diferencial ====
 <br />A partir de las leyes anteriores, se puede afirmar que en el circuito más simple RL, la intensidad que pasa tanto por la resistencia como por la bobina es la misma. Por este motivo, el voltaje de las resistencias varía, pues éstas tienen valores distintos.
 <br /><br />Partiendo de la afirmación anterior, se confirma que:
-<br /><br /><math>i(t)=i_L=i_R</math>
+:<br /><math>i(t)=i_L=i_R</math>
-<br /><br /><math>E(t)=E_L+E_R</math>
+:<br /><math>E(t)=E_L+E_R</math>
-<br /><br />y teniendo en cuenta que la inductancia L se rige por la ley de Faraday
+<br />y teniendo en cuenta que la inductancia L se rige por la ley de Faraday
 y que la resistencia R se rige por la de Ohm, se obtiene la siguiente ecuacióndiferencial:<br /><br />
-<math>E(t)=L\frac{d}{dt}i(t)+R\cdot i(t)</math><br />
+:<math>E(t)=L\frac{d}{dt}i(t)+R\cdot i(t)</math><br />
-<br /><br />
+<br />
 ==== 2 y 3. Método de Euler / Trapecio ====
 <br />Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a
-cerrado, que el voltaje E(t)=Eo la intensidad se calcula integrando la ecuacióndiferencial lineal:
+cerrado, es decir, que el voltaje E(t) = Eo, la intensidad se calcula integrando la ecuación diferencial lineal:
 <br /><br />
 <math>L\frac{d}{dt}i(t)+R\cdot i=E_0 \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} </math>
@@ Línea 37: / Línea 37: @@
 <br />
 En t=0, el circuito está cerrado:: <math>i(0)=0 \Rightarrow C= - \frac{E}{R}</math>
-Como condiciones iniciales, se tiene que, E(t) = 10V, L = 0.2 y R = 5, y por tanto la intensidad sería:<math>i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R \cdot t}{L}}) = 2 \cdot (1-e^{-25t})</math>
+Como condiciones iniciales, se tiene que E(t) = 10V, L = 0.2 y R = 5, y por tanto la intensidad sería::<math>i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R \cdot t}{L}}) = 2 \cdot (1-e^{-25t})</math>
-<br />Para aplicar los métodos numéricos, despejamos la intensidad de la ecuación diferencial fundamental:<math>f(i) = - \frac{R}{L}i+ \frac{E}{L} = -25i+50</math><br /><br />
+<br />Para aplicar los métodos numéricos, despejamos la intensidad de la ecuación diferencial fundamental::<math>f(i) = - \frac{R}{L}i+ \frac{E}{L} = -25i+50</math><br />
 * '''Método de Euler:'''<br /><br /><math>i_{n+1} = i_n + h \cdot f(i_n) = i_n+h(\frac{-R}{L}\cdot i_n + \frac{E}{L}) = (1-h \cdot \frac{R}{L}) \cdot i_n + h\frac{E}{L} = (1-25h)\cdot i_n + 50h</math><br /><math>i_0=0</math>
 <br /><br />
 * '''Método del Trapecio:''' <br /><br /><math>i_{n+1}=i_n + \frac{h}{2}\cdot (f(i_n)+f(i_{n+1})) = i_n + \frac{h}{2}\cdot (-25i_n+50-25i_{n+1}+50)</math><br /><br /><math>i_{n+1}\cdot (1+\frac{25h}{2}) = (1-\frac{25h}{2})\cdot i_n+50h</math><br /><br /><math>i_{n+1} = \frac{2-25h}{2+25h} \cdot i_n + \frac{100h}{2+25h}</math><br /><br /><math>Trap.=\begin{cases} i_{n+1} = \frac{2-25h}{2+25h} \cdot i_n + \frac{100h}{2+25h} \\ i_0=0 \end{cases}</math>
 <br /><br />
-* '''Otras condiciones iniciales:''' <br /><br />En este apartado, resolviendo la ecuación diferencial homogénea asociada a la obtenida en el apartado 1 y con la condición inicial i(0)=2A, obtenemos::
+* '''Otras condiciones iniciales:''' <br /><br />En este apartado, resolviendo la ecuación diferencial homogénea asociada a la obtenida en el apartado 1, y con la condición inicial i(0) = 2A, obtenemos::
 <math>i(t) = 2\cdot (1-e^{-25t})</math>Interpretación: observamos al ser la función exponencial que la intensidad decrece rápidamente al abrir el circuito hasta prácticamente 0 en un intervalo de tiempo ínfimo.
 <br /><br />
@@ Línea 93: / Línea 93: @@
 <br />Para que el método de Euler sea estable, la h (paso) elegida debe ser muy pequeña, del orden de 10<sup>-2</sup>. Como observamos en la siguiente figura, si tomamos un paso del orden de 0.1 el método de Euler deja de funcionar.<br />
 [[Archivo:graficasmal.jpg|500px|thumb|center| ]]
 <br /><br />
 ==== 4. Circuito 2. ====
 <br />
-Según las  leyes de Kirchoff, elsistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al circuito 2 es el siguiente:
+Según las  leyes de Kirchoff, el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al circuito 2 es el siguiente:
 <br />
 * <math>E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_2\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_2(t) + R_2\cdot i_2(t)</math>: corresponde al recorrido exterior del circuito.
 * <math>E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_1\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_3(t)</math>: corresponde a la malla 1.
 * <math>i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)</math>: es la correspondiente a la Ley de corriente de Kirchoff.
-<br /><br />
+<br />
-Sustituyendo la tercera ecuación enlas otras dos se obtiene el sistema en términos de i2(t) e i3(t)matricialmente::<math>\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{R_1+R_2}{L_2}&\frac{R_1}{L_2} \\ \frac{R_1}{L_1}&\frac{R_1}{L_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{E}{L_2} \\ \frac{E}{L_1} \end{pmatrix}</math><br /><br />
+Sustituyendo la tercera ecuación enlas otras dos se obtiene el sistema en términos de i2(t) e i3(t)matricialmente::<math>\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{R_1+R_2}{L_2}&\frac{R_1}{L_2} \\ \frac{R_1}{L_1}&\frac{R_1}{L_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{E}{L_2} \\ \frac{E}{L_1} \end{pmatrix}</math><br />
 A partir de las condiciones iniciales i2(0)=i3(0)=0 se puedeinterpretar que la corriente en el circuito es nula en el momento inicial en elque se conecta el generador.<br />
@@ Línea 115: / Línea 114: @@
 <br />Se tienen como condiciones iniciales: R1 = R2 = 6 Ω, L1 = 0.02H, L2 = 0.0025H ,    E(t) = 10V.<br />
 <br />
 <br />
-''' MÉTODOS NUMÉRICOS'''<br /><br />
+<big>''' MÉTODOS NUMÉRICOS''' :<math>\vec{f}(\vec{i}) = M\cdot \vec{i} + \vec{b}</math><br />
 * MÉTODO DE EULER: <br /><br />
-* MÉTODO DEL TRAPECIO: <br /><br />
+* ''' MÉTODO DE EULER: ''' <br /><br /><math>\vec{i}_{n+1} = \vec{i}_n + h\cdot \vec{f}(\vec{i}_n) = \vec{i}_n+h\cdot (M\cdot \vec{i}_n+\vec{b}) = (I + h\cdot M)\cdot \vec{i}_n + h\cdot \vec{b}</math><br /><br /><math>\begin{pmatrix}i_{2,n+1}\\i_{3,n+1}  \end{pmatrix} = \{ \begin{pmatrix}1&0\\0&1  \end{pmatrix} -300h\cdot \begin{pmatrix}16&8\\1&1\end{pmatrix}\} \cdot \begin{pmatrix}i_{2,n}\\i_{3,n}  \end{pmatrix} + h\cdot \begin{pmatrix}4000\\500\end{pmatrix}</math>
-* MATLAB <br /><br />
 {{matlab|codigo=
 clear all

← Revisión anterior		Revisión del 03:33 5 mar 2013
Línea 97:		Línea 97:
	''' <big><big>Circuito 2.</big></big> ''' [[Archivo:cicuito2.jpg\|200px\|thumb\|right\|Circuito completo]]		''' <big><big>Circuito 2.</big></big> ''' [[Archivo:cicuito2.jpg\|200px\|thumb\|right\|Circuito completo]]
	<br />		<br />
		+	Según las leyes de Kirchoff, elsistema de ecuaciones diferenciales correspondiente al circuito 2 es el siguiente:
		+	<br />
		+	* <math>E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_2\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_2(t) + R_2\cdot i_2(t)</math>: corresponde al recorrido exterior del circuito.
		+	* <math>E(t) = R_1\cdot i_1(t) + L_1\cdot \frac{d}{dt}\cdot i_3(t)</math>: corresponde a la malla 1.
		+	* <math>i_1(t) = i_2(t) + i_3(t)</math>: es la correspondiente a la Ley de corriente de Kirchoff.
		+	<br /><br />
		+
		+	Sustituyendo la tercera ecuación enlas otras dos se obtiene el sistema en términos de i2(t) e i3(t)matricialmente::<math>\frac{d}{dt}\cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \frac{R_1+R_2}{L_2}&\frac{R_1}{L_2} \\ \frac{R_1}{L_1}&\frac{R_1}{L_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i_2\\i_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{E}{L_2} \\ \frac{E}{L_1} \end{pmatrix}</math><br />

@@ Línea 14: / Línea 14: @@
 <br />
-=== Circuito 1. Circuito más simple ===
+''' <big><big>Circuito 1. Circuito más simple</big></big> ''' [[Archivo:cicuito1.jpg|200px|thumb|right|Circuito simple (malla 1)]]
 <br />
 ==== 1. Ecuación diferencial. ====
@@ Línea 94: / Línea 94: @@
 <br /><br />
-=== Circuito 2. ===
 <br />