Categoría:ED14/15 - Historial de revisiones

Carlos Castro en 09:40 9 mar 2015

2015-03-09T09:40:13Z

Miguel Coello Guijarro: Página blanqueada

2015-03-06T10:02:47Z

Página blanqueada

Miguel Coello Guijarro: /* Trapecio */

2015-03-06T09:55:03Z

‎Trapecio

Miguel Coello Guijarro en 09:48 6 mar 2015

2015-03-06T09:48:06Z

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Miguel Coello Guijarro: /* Trapecio */

2015-03-06T09:42:15Z

‎Trapecio

Miguel Coello Guijarro en 09:33 6 mar 2015

2015-03-06T09:33:35Z

Miguel Coello Guijarro: /* Interpretación y Resolución Numérica */

2015-03-06T09:22:37Z

‎Interpretación y Resolución Numérica

Miguel Coello Guijarro: /* Interpretación y Resolución Numérica */

2015-03-06T09:15:09Z

‎Interpretación y Resolución Numérica

Miguel Coello Guijarro en 09:06 6 mar 2015

2015-03-06T09:06:11Z

Miguel Coello Guijarro en 08:55 6 mar 2015

2015-03-06T08:55:36Z

← Revisión anterior	Revisión del 09:40 9 mar 2015
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	+	En esta página se encuentran los trabajos para la evaluación continua de la asignatura Ecuaciones Diferenciales del Grado de Ingeniería Civil y Territorial de la UPM.

	+	Se ruega seguir las siguientes recomendaciones:
	+
	+	# Cada artículo debe iniciarse con una etiqueta que contenga la información del grupo. Se sugiere copiar la plantilla que aparece a continuación, cambiando el título del trabajo y los autores (el resto debe dejarse tal y como está):
	+	<pre><nowiki>{{ TrabajoED \| Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 5-c \| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales\|Ecuaciones Diferenciales]]\|[[:Categoría:ED14/15\|Curso 2014-15]] \| Nuestros nombres }}</nowiki></pre>
	+	# Los artículos sobre los trabajos de la asignatura no deben ser una sucesión de preguntas y respuestas. Más bien hay que hacer una exposición en la que se planteen y resuelvan las cuestiones del trabajo. Dicho de otro modo, debe ser más un documental que una entrevista.
	+	# Los artículos deben ser autocontenidos y explicar bien el problema planteado. Es recomendable usar secciones para estructurar el trabajo y hacerlo más atractivo. La presentación será muy valorada.
	+	# El nombre elegido por cada artículo debe describir brevemente el problema. Por ejemplo, un título adecuado es: ' Modelo predador-presa (Grupo 7B)'. Un título poco adecuado es: 'Trabajo del grupo 7A'
	+	# Los artículos están orientados a la aproximación numérica de ecuaciones, la visualización e interpretación de los resultados. Por tanto, debe haber gráficas y todas ellas deben estar adecuadamente comentadas e interpretadas. '''Una gráfica no comentada contará negativamente.'''
	+	# Las conclusiones deben ser claras y bien fundamentadas en los resultados numéricos y las gráficas. '''Si una frase no está clara o no se entiende, contará negativamente.'''
	+	# Se deben incluir los programas con los que se han obtenido las gráficas y las aproximaciones numéricas. Los programas también deben estar bien comentados, de manera que pueda seguirse fácilmente el algoritmo utilizado.
	+	# Mirar los artículos escritos de otros años como ayuda. Se puede cortar y pegar de ellos para facilitar el trabajo.
	+	# Mirar la ayuda sobre cómo crear artículos que se encuentra en la página principal de MateWiki.
	+	# Para que el artículo aparezca publicado en esta categoría (Ecuaciones Diferenciales) es necesario que al final del artículo se incluyan las siguientes tres líneas:
	+
	+	<pre><nowiki>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]</nowiki></pre>
	+	<pre><nowiki>[[Categoría:ED14/15]]</nowiki></pre>
	+	<pre><nowiki>[[Categoría:Trabajos 2014-15]]</nowiki></pre>
	+
	+	(Editar alguno de los artículos de esta categoría para ver cómo hay que ponerlo.)
	+
	+	# Como referencia se recomienda también el material correspondiente a gráficos del curso de Informática <ref>[//sites.google.com/site/carloscastroba/infomtica/ Material docente del curso de Informática con Matlab/Octave (Prof. C. Castro)]</ref>.
	+
	+
	+	{{ referencias }}
	+
	+	[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]

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Línea 1:		Línea 1:
−	~~{{ TrabajoED \| DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 11-A \| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales\|Ecuaciones Diferenciales]]\|[[:Categoría:ED14/15\|Curso 2014-15]] \| Alejandro Carrillo del Aguila (1400)~~

−	~~Antonio Carrillo del Aguila (80)~~
−
−	~~Humberto del Castillo Montes de Oca (1281)~~
−
−	~~Laura de la Morena Mendez (1421)~~
−
−	~~Miguel Coello Guijarro (1408) }}~~
−
−	~~== Interpretación Analítica ==~~
−	El trabajo propuesto nos plantea el cálculo de la desintegración de un material radiactivo a lo largo del tiempo, sabiendo que estos materiales se van desintegrando proporcionalmente a la cantidad restante. Por lo que analíticamente, un material radiactivo se desintegra en función de la siguiente ecuación diferencial:<br />
−
−
−	~~'''<math>M'(t) = −k·M(t)</math>'''~~
−
−	Donde '''M(t)''' es la cantidad de material radiactivo restante respecto del tiempo y '''K''' es una constante de desintegración que variará dependiendo del material. Por lo que cuanto mas alta sea la constante de desintegración, mas alto será el valor absoluto de la velocidad, es decir, el material se desintegrará en menos tiempo.<br />
−	~~Tomando '''M<sub>0</sub>''' como la cantidad inicial y se plantea el siguiente problema de valor inicial:<br />~~
−
−
−
−	~~'''<math>~~
−	~~P.V.I.~~
−	~~\left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t_{0})=M_{0}\end{matrix}\right.~~
−	~~\Longrightarrow M'(t)=\frac{\operatorname dM(t)}{\operatorname dt}= -K·M(t) \Longrightarrow \frac{1}{M(t)}·\operatorname dM(t)= -k·\operatorname dt~~
−	~~</math>'''<br />~~
−
−	~~Integrando e imponiendo la condición inicial se obtiene la siguiente solución:<br />~~
−
−	~~'''<math>M(t)=M_{0}·e^{-kt}</math>'''~~
−
−	~~Como se puede observar, cuando el tiempo es cero aun quedará todo el material inicial y según transcurra el tiempo la cantidad de materia ira decreciendo exponencialmente.<br />~~
−
−	~~== Interpretación y Resolución Numérica ==~~
−	En este caso, el trabajo propuesto nos plantea concretamente el caso del <math>C^{14}</math>, informándonos que este tiene una constante de desistegración <math>K=1,24·10^{-4}</math> y que los huesos encontrados por un arqueólogo contienen un 8% de <math>C^{14}</math>.<br />
−	~~La cantidad inicial del material es indiferente para cualquier tipo de cálculos porcentuales o temporales como se demuestra a continuación:~~
−
−	~~'''<math>~~
−
−	~~\left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t^{0.08})=0.08·M_{0}\end{matrix}\right.~~
−	~~\Longrightarrow 0.08M_{0}=M_{0}·e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow 0.08=e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow t^{0.08}=\frac{-Ln(0.08)}{K}~~
−	~~</math>'''<br />~~
−
−	Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.
−
−	~~=== Euler ===~~
−	~~{{matlab\|codigo=~~
−	~~%Variables del Problema~~
−	~~h=0.1; % o h=0.01 dependiendo de la gráfica~~
−	~~t0=0;~~
−	~~k=1.24*10^(-4);~~
−	~~m0=100;~~
−	~~tn=40000;~~
−	~~t=0:h:tn;~~
−	~~m=t;~~
−	~~solucion=1;~~
−	~~m(1)=m0;~~
−	~~N=(tn-t0)/h; %si quisiera el numero de subintervalos~~
−
−	~~%con linespace(t0,tn,n+1)~~
−	~~for i=1:N;~~
−	~~m(i+1)=m(i)+h(-km(i));~~
−
−	~~if m(1+i)<=0.08*m(1) & length(solucion)==1~~
−	~~solucion(2)=t(i+1)/h;~~
−	~~end~~
−
−	~~end~~
−
−	~~hold on~~
−	~~plot(t,m)~~
−	~~anyosDeDesintegracion=solucion(2)~~
−	~~plot(solucion(2)*h,m(solucion(2)),'+')~~
−	~~hold off~~
−	}}
−
−	~~=== Trapecio ===~~
−	Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia <math>M_{(i+1)}</math> de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad <math>M=0.8·M_{0}</math> pare, tal y como nos plantea el problema.<br />
−
−
−	~~{{matlab\|codigo=~~
−	~~%Variables del problema~~
−	~~t(1)=0;~~
−	~~h=0.1;~~
−	~~tn=40000;~~
−	~~k=1.24*(10^(-4));~~
−	~~m(1)=100;~~
−	~~t=t(1):h:tn;~~
−	~~n=(tn-t(1))/h;~~
−
−	~~for i=1:n;~~
−	~~m(i+1)=(m(i)(1-kh/2))/(1+h*k/2);~~
−	~~if m(i+1)<8;~~
−	~~tmaximo=(1+i)~~
−	~~break~~
−	~~end~~
−	~~end~~
−
−	~~t=0:h:(length(m)-1)*h;~~
−	~~plot(t,m,'r')~~
−	}}
−	~~<br />~~

@@ Línea 76: / Línea 76: @@
 === Trapecio ===
-Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia <math>M_{(i+1)}</math>  de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad <math>M=0.8·M_{0}</math>  pare, tal y como nos plantea el problema.
+Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia <math>M_{(i+1)}</math>  de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad <math>M=0.8·M_{0}</math>  pare, tal y como nos plantea el problema.<br />
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 99: / Línea 100: @@
 plot(t,m,'r')
 }}

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
-'''<math>M'(t) = −kM(t)</math>'''
+'''<math>M'(t) = −k·M(t)</math>'''
 Donde '''M(t)''' es la cantidad de material radiactivo restante respecto del tiempo y '''K''' es una constante de desintegración que variará dependiendo del material. Por lo que cuanto mas alta sea la constante de desintegración, mas alto será el valor absoluto de la velocidad, es decir, el material se desintegrará en menos tiempo.<br />
@@ Línea 28: / Línea 28: @@
 Integrando e imponiendo la condición inicial se obtiene la siguiente solución:<br />
-'''<math>M(t)=M_{0}e^{-kt}</math>'''
+'''<math>M(t)=M_{0}·e^{-kt}</math>'''
 Como se puede observar, cuando el tiempo es cero aun quedará todo el material inicial y según transcurra el tiempo la cantidad de materia ira decreciendo exponencialmente.<br />
@@ Línea 76: / Línea 76: @@
 === Trapecio ===
-Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia M (i+1) de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad M=0.8*M0  pare, tal y como nos plantea el problema.
+Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia <math>M_{(i+1)}</math>  de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad <math>M=0.8·M_{0}</math>  pare, tal y como nos plantea el problema.
 {{matlab|codigo=

← Revisión anterior		Revisión del 09:42 6 mar 2015
Línea 76:		Línea 76:

	=== Trapecio ===		=== Trapecio ===
		+	Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia M (i+1) de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad M=0.8*M0 pare, tal y como nos plantea el problema.

	{{matlab\|codigo=		{{matlab\|codigo=

← Revisión anterior		Revisión del 09:33 6 mar 2015
Línea 44:		Línea 44:
	Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.		Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.

−	== ~~Código Resolución~~ Euler ==	+	=== Euler ===
		+	{{matlab\|codigo=
		+	%Variables del Problema
		+	h=0.1; % o h=0.01 dependiendo de la gráfica
		+	t0=0;
		+	k=1.24*10^(-4);
		+	m0=100;
		+	tn=40000;
		+	t=0:h:tn;
		+	m=t;
		+	solucion=1;
		+	m(1)=m0;
		+	N=(tn-t0)/h; %si quisiera el numero de subintervalos
		+
		+	%con linespace(t0,tn,n+1)
		+	for i=1:N;
		+	m(i+1)=m(i)+h(-km(i));
		+
		+	if m(1+i)<=0.08*m(1) & length(solucion)==1
		+	solucion(2)=t(i+1)/h;
		+	end
		+
		+	end
		+
		+	hold on
		+	plot(t,m)
		+	anyosDeDesintegracion=solucion(2)
		+	plot(solucion(2)*h,m(solucion(2)),'+')
		+	hold off
		+	}}
		+
		+	=== Trapecio ===
		+
		+	{{matlab\|codigo=
		+	%Variables del problema
		+	t(1)=0;
		+	h=0.1;
		+	tn=40000;
		+	k=1.24*(10^(-4));
		+	m(1)=100;
		+	t=t(1):h:tn;
		+	n=(tn-t(1))/h;
		+
		+	for i=1:n;
		+	m(i+1)=(m(i)(1-kh/2))/(1+h*k/2);
		+	if m(i+1)<8;
		+	tmaximo=(1+i)
		+	break
		+	end
		+	end
		+
		+	t=0:h:(length(m)-1)*h;
		+	plot(t,m,'r')
		+	}}

← Revisión anterior		Revisión del 09:22 6 mar 2015
Línea 43:		Línea 43:

	Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.		Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.
		+
		+	== Código Resolución Euler ==

@@ Línea 33: / Línea 33: @@
 == Interpretación y Resolución Numérica ==
-En este caso, el trabajo propuesto nos plantea concretamente el caso del <math>C^{14}</math>, informándonos que este tiene una constante de desistegración <math>K=1,24x10^{-4}</math> y que los huesos encontrados por un arqueólogo contienen un 8% de <math>C^{14}</math>.<br />
+En este caso, el trabajo propuesto nos plantea concretamente el caso del <math>C^{14}</math>, informándonos que este tiene una constante de desistegración <math>K=1,24·10^{-4}</math> y que los huesos encontrados por un arqueólogo contienen un 8% de <math>C^{14}</math>.<br />
-Para resolverlo numéricamente se debe elegir una cifra con la cantidad inicial de Material radiactivo, aunque esta cifra sea irrelevante para cualquier cálculo. Por ejemplo, si queremos saber cuanto tiempo ha tardado el material en llegar al 8% de su cantidad, es indiferente la cantidad de  inicial de materia elegida como se demuestra a continuación:
+La cantidad inicial del material es indiferente para cualquier tipo de cálculos porcentuales o temporales como se demuestra a continuación:
 '''<math>
@@ Línea 41: / Línea 41: @@
   \Longrightarrow 0.08M_{0}=M_{0}·e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow 0.08=e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow t^{0.08}=\frac{-Ln(0.08)}{K}
 </math>'''<br />

← Revisión anterior		Revisión del 08:55 6 mar 2015
Línea 35:		Línea 35:
	En este caso, el trabajo propuesto nos plantea concretamente el caso del <math>C^{14}</math>, informándonos que este tiene una constante de desistegración <math>K=1,24x10^{-4}</math> y que los huesos encontrados por un arqueólogo contienen un 8% de <math>C^{14}</math>.<br />		En este caso, el trabajo propuesto nos plantea concretamente el caso del <math>C^{14}</math>, informándonos que este tiene una constante de desistegración <math>K=1,24x10^{-4}</math> y que los huesos encontrados por un arqueólogo contienen un 8% de <math>C^{14}</math>.<br />
	Para resolverlo numéricamente se debe elegir una cifra con la cantidad inicial de Material radiactivo, aunque esta cifra sea irrelevante para cualquier cálculo. Por ejemplo, si queremos saber cuanto tiempo ha tardado el material en llevar al 8% de su desintegración, es indiferente la cantidad de materia inicial elegida como se demuestra a continuación:		Para resolverlo numéricamente se debe elegir una cifra con la cantidad inicial de Material radiactivo, aunque esta cifra sea irrelevante para cualquier cálculo. Por ejemplo, si queremos saber cuanto tiempo ha tardado el material en llevar al 8% de su desintegración, es indiferente la cantidad de materia inicial elegida como se demuestra a continuación:
		+
		+	'''<math>
		+
		+	\left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t^{0.08})=0.08·M_{0}\end{matrix}\right.
		+	\Longrightarrow 0.08M_{0}=M_{0}·e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow 0.08=e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow t^{0.08}=\frac{-Ln(0.08)}{K}
		+	</math>'''<br />