Calor Placa Anillo (18B) - Historial de revisiones

Arantxa Abascal Colomar en 21:59 12 ago 2019

2019-08-12T21:59:43Z

Arantxa Abascal Colomar en 21:32 19 may 2014

2014-05-19T21:32:36Z

Arantxa Abascal Colomar en 21:29 19 may 2014

2014-05-19T21:29:13Z

Arantxa Abascal Colomar en 21:06 19 may 2014

2014-05-19T21:06:33Z

Arantxa Abascal Colomar en 21:03 19 may 2014

2014-05-19T21:03:19Z

Paulalacanal: /* Planteamiento del sistema de ecuaciones */

2014-05-19T20:57:01Z

‎Planteamiento del sistema de ecuaciones

AlbertoRF: /* Transformación del problema en disco */

2014-05-19T20:56:22Z

‎Transformación del problema en disco

Paulalacanal: /* Resolución del sistema por diferentes métodos de discretizacion */

2014-05-19T20:55:10Z

‎Resolución del sistema por diferentes métodos de discretizacion

AlbertoRF en 20:52 19 may 2014

2014-05-19T20:52:44Z

Arantxa Abascal Colomar en 20:52 19 may 2014

2014-05-19T20:52:07Z

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−	{{ TrabajoED \| Ecuación del calor en una placa en forma de anillo (Grupo 18) \| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales\|Ecuaciones Diferenciales]]\|[[:Categoría:ED13/14\|Curso 2013-14]] \| ~~• Arantxa Abascal Colomar~~<br /> • Patricia Fernández Aibar<br /> • Paula Lacanal Cuadrado<br /> • David Ortiz Liriano<br /> • Álvaro Pintor Sousa<br /> • Alberto Rodríguez Fernández}}	+	{{ TrabajoED \| Ecuación del calor en una placa en forma de anillo (Grupo 18) \| [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales\|Ecuaciones Diferenciales]]\|[[:Categoría:ED13/14\|Curso 2013-14]] \| <br /> • Patricia Fernández Aibar<br /> • Paula Lacanal Cuadrado<br /> • David Ortiz Liriano<br /> • Álvaro Pintor Sousa<br /> • Alberto Rodríguez Fernández}}

	== Introducción ==		== Introducción ==

@@ Línea 296: / Línea 296: @@
   U( \rho,t)=2x-2+\sum_{i=1}^k{\frac{-230-2.5(-1)^k}{\pi\cdot{k}}}\cdot{e^{-((k\cdot{\pi}^2)\cdot{t}}}\cdot{\sin({k\cdot{\pi}\cdot{x})}} \end{equation}
+El programa utilizado para representar la solución por Fourier se expone a continuación. Utilizaremos k=10 para realizar la aproximación, ya que conseguimos un error pequeño.
-El programa utilizado para representar la solución se expone a continuación. Utilizaremos k=10 para realizar la aproximacion, ya que conseguimos un error pequeño.
-−
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 331: / Línea 329: @@
 }}
-Representando la superficie para diferentes tiempos t=0,2 y 10 segundos observamos como la temperatura tiende a estabilizarse a un valor estacionario para cada punto, estableciéndose un incremento de temperatura lineal en el anillo, en la dirección del radio.
+Representando la temperatura a lo largo de la placa para diferentes tiempos t=0,1,2 y 10 segundos observamos como la temperatura tiende a estabilizarse a un valor estacionario para cada punto, estableciéndose un incremento de temperatura lineal en el anillo, en la dirección del radio.
-La disminución de la temperatura en el tiempo se plasma dentro de la función  $ U( \rho,t)=2x-2+\sum_{i=1}^k{\frac{-230-2.5(-1)^k}{\pi\cdot{k}}}\cdot{e^{-((k\cdot{\pi}^2)\cdot{t}}}\cdot{\sin({k\cdot{\pi}\cdot{x})}}$ desarrollada en serie de Fourier, en forma de   $e^{-((k\cdot{\pi}^2)\cdot{t}} $
+La disminución de la temperatura en el tiempo se plasma dentro de la función  $ U( \rho,t)=2x-2+\sum_{i=1}^k{\frac{-230-2.5(-1)^k}{\pi\cdot{k}}}\cdot{e^{-((k\cdot{\pi}^2)\cdot{t}}}\cdot{\sin({k\cdot{\pi}\cdot{x})}}$ desarrollada en serie de Fourier, en forma de   $e^{-((k\cdot{\pi}^2)\cdot{t}} $. Esta funcion tiende a 0 para tiempos grandes.
 Es precisamente este operador de la función el que impone un valor estacionario de la temperatura en la placa. Este valor estacionario seguirá la función \(U_0( \rho,t)= 2x - 2\), que es la función que nos permite homogeneizar las condiciones de contorno de nuestro problema inicial.
 De esta forma, para tiempo infinito la temperatura en  \(\rho=1\) será 0ºC y en \(\rho=6\) será 10ºC
@@ Línea 338: / Línea 336: @@
 [[Image:60seg.png|500px|thumb|centre|Solución para un t=0 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
-[[Image:61seg.png|500px|thumb|centre|Solución para un t=1 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
+[[Image:61.png|500px|thumb|centre|Solución para un t=1 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
 [[Image:62.png|500px|thumb|centre|Solución para un t=2 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
 [[Image:610seg.png|500px|thumb|centre|Solución para un t=10 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
-Vemos que para t=10 segundo la solución ya coincide prácticamente con al estacionaria. Esto significa que la temperatura de la placa esta estabiliza.
+Vemos que para t=10 segundo la solución ya coincide prácticamente con al estacionaria.
-−
-[[Image:Tiempo_12.png |500px|thumb|centre|Solución para un t=1 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
 == Variacion de las condiciones de frontera ==

@@ Línea 337: / Línea 337: @@
-[[Image:Tiempo_0.png|500px|thumb|centre|Solución para un t=0 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
+[[Image:60seg.png|500px|thumb|centre|Solución para un t=0 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
-[[Image:Tiempo_1.png|500px|thumb|centre|Solución para un t=1 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]
+Vemos que para t=10 segundo la solución ya coincide prácticamente con al estacionaria. Esto significa que la temperatura de la placa esta estabiliza.
-−
-Vemos que para t=1 segundo la solución ya coincide prácticamente con al estacionaria. Esto significa que la temperatura de la placa se estabiliza muy rápidamente. En la siguiente gráfica se observa como la variación de la temperatura se estabiliza para tiempos pequeños.
 [[Image:Tiempo_12.png |500px|thumb|centre|Solución para un t=1 segundos y diferencia con la solución estacionaria]]

@@ Línea 395: / Línea 395: @@
 La variación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme, si no que el extremo\(\rho=6\) tiene una temperatura mayor que \(\rho=1\). Esto es debido a la condición inicial de colocar un elemento aislante en el extremo. En las gráficas expuestas a continuación se puede ver la temperatura en la placa para diferentes tiempos. Para un tiempo grande de 50 segundos podemos ver que la temperatura ya es prácticamente 0 en toda la placa.
-[[Image:71.png|500px|thumb|Temperaturas en la placa para t=1 seg]][[Image:72.png|500px|thumb|Temperaturas en la placa para t=2 seg]][[Image:73.png|500px|thumb|Temperaturas en la placa para t=50 seg]]
+[[Image:71.png|500px|thumb|left|Temperaturas en la placa para t=1 seg]][[Image:72.png|500px|thumb|rigth||Temperaturas en la placa para t=2 seg]]
 == Transformación del problema en disco ==

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−	La ~~variacion~~ de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme, si no que el extremo\(\rho=6\) tiene una temperatura mayor que \(\rho=1\). Esto es debido a la ~~condicion~~ inicial de colocar un elemento aislante en el extremo. En las ~~graficas~~ expuestas a ~~continuacion~~ se puede ver la temperatura en la placa para diferentes tiempos.	+	La variación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme, si no que el extremo\(\rho=6\) tiene una temperatura mayor que \(\rho=1\). Esto es debido a la condición inicial de colocar un elemento aislante en el extremo. En las gráficas expuestas a continuación se puede ver la temperatura en la placa para diferentes tiempos. Para un tiempo grande de 50 segundos podemos ver que la temperatura ya es prácticamente 0 en toda la placa.
		+
		+	[[Image:71.png\|500px\|thumb\|Temperaturas en la placa para t=1 seg]][[Image:72.png\|500px\|thumb\|Temperaturas en la placa para t=2 seg]][[Image:73.png\|500px\|thumb\|Temperaturas en la placa para t=50 seg]]

	== Transformación del problema en disco ==		== Transformación del problema en disco ==

@@ Línea 48: / Línea 48: @@
 [[Image:Trapecio222.png|530px|thumb|left]]  [[Image:Trapecio333.png|530px|thumb|right]]
 El código de Matlab utilizado para la obtención de resultados, es el siguiente:
@@ Línea 99: / Línea 101: @@
 }}
 == Representación de la temperatura en el tiempo para \(\rho=3\) ==

@@ Línea 397: / Línea 397: @@
 == Transformación del problema en disco ==
 Considerando que la placa ocupa todo el disco \(\rho<6\), aproximaremos las soluciones usando el método de Fourier. De nuevo, la solución dependerá sólo de \(\rho\) y \(t\), y tomaremos ahora como condición frontera \(u(6,t) = 0\).
 \[
   \begin{array}{c} u_t - u_{\rho\rho} =0 &  \rho \in (0,6)& t>0 \end{array}\\
 \\  \begin{array}{c} \\\\u(0,t)=0 & u(6,t)=0 & t>0 \end{array}\\\\
@@ Línea 406: / Línea 404: @@
 \]

@@ Línea 138: / Línea 138: @@
 == Resolución del sistema por diferentes métodos de discretizacion==
-'''''OBSERVACIÓN''''': El método de Euler necesita un paso de tiempo del orden de <math>\frac{h^2}{2}</math> para ser estable, siendo \(h\) el paso espacial.
 === Euler explicito ===
@@ Línea 228: / Línea 228: @@
-En este gráfico se observa lo mismo que lo dicho en el gráfico anterior. La única diferencia es el método utilizado para conseguirlo, es decir en el código MATLAB utilizado. Las conclusiones que se pueden deducir son las mismas que con el método de Euler explícito.
+En este gráfico se observa lo mismo que lo dicho en el gráfico anterior, y por tanto, se obtienen las mismas conclusiones.
 ===Euler modificado===
@@ Línea 268: / Línea 268: @@
 [[Image:eulermodificado.png|520px|thumb|centro|Euler modificado]]
 == Variación de la temperatura para tiempos grandes==

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 {{ TrabajoED | Ecuación del calor en una placa en forma de anillo (Grupo 18) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | • Arantxa Abascal Colomar<br /> • Patricia Fernández Aibar<br /> • Paula Lacanal Cuadrado<br /> • David Ortiz Liriano<br /> • Álvaro Pintor Sousa<br /> • Alberto Rodríguez Fernández}}
-{{ beta }}
 == Introducción ==
 [[Image:PlacaAnillo.png|300px|thumb|right|Anillo circular entre los radios \(\rho=1\) y \(\rho=6\)]]
@@ Línea 45: / Línea 45: @@
 Resolvemos esta ecuación diferencial mediante el método del trapecio, y los resultados gráficos son los siguientes:
-[[Image:Trapecio111.png|520px|thumb|left]]  [[Image:Trapecio444.png|520px|thumb|right]]
+[[Image:Trapecio111.png|530px|thumb|left]]  [[Image:Trapecio444.png|530px|thumb|right]]
-[[Image:Trapecio222.png|520px|thumb|left]]  [[Image:Trapecio333.png|520px|thumb|right]]
+[[Image:Trapecio222.png|530px|thumb|left]]  [[Image:Trapecio333.png|530px|thumb|right]]

@@ Línea 342: / Línea 342: @@
 == Variacion de las condiciones de frontera ==
-Ahora colocamos en la frontera exterior de la placa (\(\rho=6\)) una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 10). El aislante hace que no haya pérdida de calor en ese extremo, es decir, el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo, no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. El valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC. La temperatura tarda en alcanzar el estado estacionario XXXXXXX con un error del 5%.
+Ahora colocamos en la frontera exterior de la placa (\(\rho=6\)) una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 10). El aislante hace que no haya pérdida de calor en ese extremo, es decir, el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo, no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. El valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.
+El sistema en este caso es análogo al anterior. La diferencia que se impone es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa (condición de Neumann).
-El sistema en este caso es análogo al anterior. La diferencia que se impone es que el flujo de calor en la direccion radial sea nulo en la placa (condición de Neumann).
 El sistema de ecuaciones que satisface \(u = u(\rho,t)\) es el siguiente:
@@ Línea 387: / Línea 386: @@
 }}
 [[Image:GRAFICA6.png|500px|thumb|center|Gráfica que describe el comportamiento de la temperatura a lo largo del tiempo según el radio, de acuerdo a las condiciones del enunciado. ]]
 == Transformación del problema en disco ==