Boundary layer in laminar fluids (Grupo 1B) - Historial de revisiones

Marino Rivera: Deshecha la revisión 10751 de Marino Rivera (disc.)

2014-05-01T18:06:07Z

Deshecha la revisión 10751 de Marino Rivera (disc.)

Marino Rivera en 18:03 1 may 2014

2014-05-01T18:03:31Z

Marino Rivera en 09:05 7 mar 2014

2014-03-07T09:05:38Z

Marino Rivera en 09:01 7 mar 2014

2014-03-07T09:01:32Z

Jose manuel torres serrano: /* Horizontal velocity of the fluid */

2014-03-07T00:51:06Z

‎Horizontal velocity of the fluid

Marino Rivera en 23:06 6 mar 2014

2014-03-06T23:06:48Z

Marino Rivera en 22:49 6 mar 2014

2014-03-06T22:49:24Z

Sandro.andres en 20:11 3 mar 2014

2014-03-03T20:11:13Z

Mostrar los cambios

Sandro.andres en 08:36 3 mar 2014

2014-03-03T08:36:25Z

Sandro.andres en 18:14 2 mar 2014

2014-03-02T18:14:51Z

Mostrar los cambios

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
 In this numerical project we have studied what happens when we introduce a flat plate in a laminar fluid whose speed and viscosity are constant.
-= Condición de frontera tipo Neumann =
+= Blasius equation =
-−
-Ahora vamos a considerar una condición de frontera diferente en el extremo derecho. En vez de suponer una temperatura constante en ese extremo como anteriormente, vamos a colocar en él una pieza aislante. Este aislante provoca que no haya pérdida de calor por el extremo derecho, es decir, que el flujo de temperatura sea nulo. Esta condición es de tipo Neumann, a diferencia de las anteriores que eran de tipo Dirichlet. Así, mantenemos la condición en el extremo izquierdo y aplicamos la nueva en el extremo derecho, que resulta
-−
-<center><math>-ku_x(3,t)=0 \rightarrow u_x(3,t)=0</math></center>
-−
-En esta situación, la temperatura de la varilla viene dada por el siguiente problema
-−
-<center><math>
-\begin{cases}
-u_t-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
-u(0,t)=0; u_x(3,t)=0, \qquad t>0\\
-u(x,0)=u_0(x), \qquad x\epsilon[0,3]
-\end{cases}
-</math></center>
-−
-−
-Por lo tanto, ahora en el estado estacionario para tiempos grandes la función <math>u(x,t)</math> que modeliza la temperatura de la varilla es solución del siguiente problema de contorno (lo llamamos así pues la ecuación diferencial depende únicamente de <math>x</math> en el estado estacionario)
-−
-<center><math>
-\begin{cases}
-u_{xx}=0, \qquad x\epsilon(0,3), t>0\\
-u(0,t)=0, u_x(3,t)=0, \qquad t>0
-\end{cases}
-</math></center>
-−
-−
-Resolvemos la ecuación diferencial obteniendo el mismo resultado que anteriormente
-−
-<center><math>u_{xx}=0 \rightarrow u(x,t)=C_1(t)x+C_2(t)</math></center>
-−
-Aplicando las condiciones de frontera: <math>C_1(t)=C_2(t)=0 \rightarrow u(x,t)=0</math>
-−
-Este resultado refleja que al cabo de un tiempo lo suficientemente grande como para considerar un estado estacionario en la varilla, esta adquiere una temperatura uniforme nula. El comportamiento de la varilla es coherente con las condiciones de frontera, pues la temperatura final de la varilla es la que se mantiene constante en el extremo izquierdo, que permite flujo de temperatura.
-−
-==Método de diferencias finitas==
-−
-En la siguiente imagen se muestra una aproximación del problema mediante el método de diferencias finitas. En ella se puede apreciar como para un valor elevado del tiempo la temperatura en la varilla se puede considerar constante y uniforme en toda ella, alcanzando el valor estacionario <math>u(x,t)=0</math>.
-−
-(IMAGEN)
-−
-En concreto, a partir de un tiempo <math>t=…</math> podemos considerar que la temperatura alcanza dicho valor estacionario con un error del 5%, es decir, en ese instante la diferencia entre la distribución térmica calculada y la estacionaria es… (ESTA PARTE HAY QUE COMPLETARLA CUANDO PREGUNTEMOS A CARLOS A QUÉ SE REFIERE EL 5%).
-−
-A continuación se refleja el código de Matlab que aproxima la temperatura de la varilla por diferencias finitas usando el método de Euler implícito por ser el que aporta una mejor aproximación.
-−
-−
-==Método de Fourier==
-−
-Planteamos ahora el mismo problema usando el método de Fourier. Por tanto, buscamos soluciones de la forma <math>u(x,t)=\varphi(x)T(t)</math>, donde <math>\varphi(x)</math> satisface el siguiente problema de autovalores:
-−
-<math>
-\begin{cases}
-\varphi’’(x)+\lambda\varphi(x)=0 ;\\
-\varphi(0)=0; \varphi’(3)=0
-\end{cases}
-</math>
-−
-La solución de la ecuación diferencial es <math>\varphi(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x)</math>
-−
-Aplicando las condiciones de frontera obtenemos los autovalores <math>\mu_k</math> y autofunciones <math>\varphi_k(x)</math> del problema
-<center><math>\varphi(0)=0 \rightarrow a=0</math>;</center>
-<center><math>\varphi’(3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}b\cos(\sqrt{\lambda}\,3)=0 \rightarrow \sqrt{\lambda}\,3=(k-{1\over2})\pi \rightarrow \lambda=\mu_k=(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}</math>;</center>
-<center>
-−
-−
-Así <math>\boldsymbol{\varphi_k(x)=\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x} \qquad k=1,2,3…N</math></center>
-−
-−
-Si aplicamos que <math>u_k(x,t)=\varphi_k(x)T_k(t)</math> satisface la ecuación diferencial <math>u_t-u{xx}=0</math>, obtenemos la ecuación diferencial que determina <math>T_k(t)</math>
-<center><math>u_t-u{xx}=0 \rightarrow \varphi_k(x)T_k’(t)-\varphi_k’’(x)T_k(t)=\varphi_k(x)T_k’(t)-(-\mu_k)\varphi_k(x)T_k(t)=0 \rightarrow T_k’(t)+\mu_kT_k(t)=0</math></center>
-−
-−
-La solución de esta ecuación diferencial es <math>T_k(t)=C_ke^{-\mu_kt}= C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}</math> y por tanto <math>u_k(x,t)= \varphi_k(x)T_k(t)=C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>
-−
-Si expresamos la solución del problema como <math>u(x,t)=\sum_{k=1}^Nu_k(x,t)= \sum_{k=1}^N C_ke^{-(k-{1\over2})^2{\pi^2\over9}t}\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math> y hacemos que satisfaga la condición inicial obtenemos <math>u(x,0)=\sum_{k=1}^NC_k\sin(k-{1\over2}){\pi\over3}x</math>. De esta forma, por unicidad de los coeficientes de Fourier, los coeficientes <math>C_k</math> coinciden con los de la serie de Fourier con respecto a las autofunciones <math>\varphi_k(x)</math> de la función a trozos que determina la condición inicial (expresada al principio del artículo).
-−
-El problema se limita así al cálculo de dichos coeficientes, de acuerdo con la expresión
-−
-<center><math>C_k={\int_{0}^{3}u(x,0)\varphi_k(x)dx\over\int_{0}^{3}\varphi_k^2(x)dx}</math></center>
-−
-El grado de exactitud de la aproximación con este método depende del número de elementos de la serie de Fourier, es decir, del valor de <math>k</math>. Estudiamos la temperatura de la varilla tomando los valores <math>k=1,3,5,10,20</math>, como se puede ver en la siguiente imagen. En ella se aprecia, sobre todo en la condición inicial, que a medida que se aumente el valor de <math>k</math> la función aproximada se acerca más a la real.
-−
-Estos resultados se pueden comparar mejor tomando un instante fijo <math>t=0.5</math> y representando en él cada función en una misma gráfica, como podemos ver a continuación.
-−
-−
-−
-−
 First, we must assume that the fluid velocity before reaching the plate is constant, as in remote areas after passing the plate.

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
 In this numerical project we have studied what happens when we introduce a flat plate in a laminar fluid whose speed and viscosity are constant.
-= Blasius equation =
+= Condición de frontera tipo Neumann =
 First, we must assume that the fluid velocity before reaching the plate is constant, as in remote areas after passing the plate.

← Revisión anterior		Revisión del 09:05 7 mar 2014
Línea 40:		Línea 40:


−	However, on time of programming we cannot introduce a conditional limit, so we have to replace them by the condition <math> f’’(~~\eta~~)=k </math>, and vary the values of k to find the one that satisfies the limit.	+	However, on time of programming we cannot introduce a conditional limit, so we have to replace them by the condition <math> f’’(0)=k </math>, and vary the values of k to find the one that satisfies the limit.

@@ Línea 30: / Línea 30: @@
 <math>\eta  = y  \sqrt[]{ \frac{u_0}{\nu x}}</math>
-<math> f(\nu) </math> Satisfies the Blasius equation, and therefore we will raise the initial value problem associated with this equation with the following initial conditions
+<math> f(\eta) </math> Satisfies the Blasius equation, and therefore we will raise the initial value problem associated with this equation with the following initial conditions
 <math>

@@ Línea 301: / Línea 301: @@
-According to this graph we can appreciate that the fluid, when is moving along the <math>x</math> axis, has to achieve higher height to get limit velocity <math>u_0</math>, i.e., when the fluid moves, it must be getting over the plate to offset the perturbation that the plate provokes to it ( to a higher value of <math>y</math> is greater the transition zone between zero velocity of the plate and the limit velocity <math>u_0</math> with which the fluid initially starts).
+According to this graph we can appreciate that the fluid, when is moving along the <math>x</math> axis, has to achieve higher height to get limit velocity <math>u_0</math>, i.e., when the fluid moves, it must be getting over the plate to offset the perturbation that the plate causes to it ( to a higher value of <math>y</math> is greater the transition zone between zero velocity of the plate and the limit velocity <math>u_0</math> with which the fluid initially starts).
-−
 = Laminar boundary layer of the fluid =

@@ Línea 35: / Línea 35: @@
 \begin{cases}
 f’’’(\eta)+\frac{1}{2}f(\eta)f’’(\eta)=0 ; \\
-f(\eta)=f’(\eta)=0, \lim_{\eta \to \infty}f’(\eta)= 1 ;
+f(0)=f’(0)=0, \lim_{\eta \to \infty}f’(\eta)= 1 ;
 \end{cases}
 </math>

@@ Línea 83: / Línea 83: @@
      y1(n+1)=y(1);
      y2(n+1)=y(2);
-     y3(n+1)=y(3);1
+     y3(n+1)=y(3);
 end
 t=[t0:h:tN];

← Revisión anterior		Revisión del 08:36 3 mar 2014
Línea 57:		Línea 57:

	Once the system has been formulated , we start to solve it.		Once the system has been formulated , we start to solve it.
		+
		+	[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
		+	[[Categoría:ED13/14]]
		+	[[Categoría:Trabajos 2013-14]]