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Celia L.Rojo: Sección nueva: /* Series de Fourier (Grupo Eau De Parfum (EDP)) */

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Sección nueva: ‎Series de Fourier (Grupo Eau De Parfum (EDP))

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== Series de Fourier (Grupo Eau De Parfum (EDP)) ==

{{ TrabajoED | Series de Fourier. Grupo Eau De Parfum (EDP) | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP23/24|2023-24]] | *Lestau Torres, Pablo
*López Rojo, Celia
*Muñoz Guijarro, Sofia}}

El desarrollo en ''serie de Fourier'' se realiza a funciones de cuadrado integrable, es decir, a las funciones que pertenecen al conjunto <math>L^2(\Omega;\mathbb{C})<math>, siendo este:

:<math>L^2(\Omega;\mathbb{C}) = \{ f : \Omega \to \mathbb{C} : \int_{Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \}</math>

Este conjunto tiene definido un producto escalar que lo dota de estructura de espacio de Hilbert <math>(L^2(\Omega,\mathbb{C});\langle , \rangle_{L^2((\Omega,\mathbb{C})})<math>. Además cumple ser separable, por tanto, existe una base hilbertiana, es decir, ortonormal. En el contexto de un intervalo de la forma [-T/2,T/2] con T>0, una base trigonométrica típica es la siguiente:
:<math>\{ \frac{1}{2}, \cos(2n\pi/T x), \sin(2n\pi/T x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>.

Enfocándonos en un intervalo específico, como [-1,1] obtenemos la base <math>\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}<math>. De modo que los primeros 10 términos de esta base son:

:<math>
\left\{ \frac{1}{2}, \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right), \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right), \cos(\pi x), \sin(\pi x), \ldots \right\}
</math>
Esta base nos servirá para aproximarnos a funciones continuas en el intervalo <math>[0, 1]<math>, como la función <math>f(x)=x(1-x)<math>.

Para lograr esta aproximación, primero extendemos la función de manera impar al intervalo <math>[-1, 1]<math>, manteniendo su continuidad. Esto nos permite utilizar las funciones impares de la base trigonométrica en el intervalo extendido, es decir <math>\{ \sin(k\pi x) \}_{k \in \mathbb{N}}<math>. Luego, representamos tanto la función original <math>f(x)<math> como la aproximación <math>f_n(x)<math>, que es la suma de los primeros <math>n<math> términos de la serie de Fourier, con <math>n=1, 5, 10<math>.

Es importante destacar que, para obtener los coeficientes de Fourier, aproximamos las integrales numéricamente utilizando la fórmula del trapecio con una división suficientemente fina (<math>10^{-3}<math>). A partir de estos coeficientes, calculamos el error en las normas <math>L^2<math> y uniforme en función del número de términos de la serie <math>n<math>. Graficamos este error en ambas normas en función de <math>n<math> y realizamos una estimación de la función resultante.

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−	*López Rojo, Celia
−	*Muñoz Guijarro, Sofia}}
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−	~~El desarrollo en ''serie de Fourier'' se realiza a funciones de cuadrado integrable, es decir, a las funciones que pertenecen al conjunto <math>L^2(\Omega;\mathbb{C})<math>, siendo este:~~
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−	~~:<math>L^2(\Omega;\mathbb{C}) = \{ f : \Omega \to \mathbb{C} : \int_{Omega} \|f(x)\|^2 dx < \infty \}</math>~~
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−	Este conjunto tiene definido un producto escalar que lo dota de estructura de espacio de Hilbert <math>(L^2(\Omega,\mathbb{C});\langle , \rangle_{L^2((\Omega,\mathbb{C})})<math>. Además cumple ser separable, por tanto, existe una base hilbertiana, es decir, ortonormal. En el contexto de un intervalo de la forma [-T/2,T/2] con T>0, una base trigonométrica típica es la siguiente:
−	~~:<math>\{ \frac{1}{2}, \cos(2n\pi/T x), \sin(2n\pi/T x) \}_{n \in \mathbb{N}}</math>.~~
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−	Enfocándonos en un intervalo específico, como [-1,1] obtenemos la base <math>\{ \frac{1}{2}, \cos(n\pi x), \sin(n\pi x) \}_{n \in \mathbb{N}}<math>. De modo que los primeros 10 términos de esta base son:
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−	~~:<math>~~
−	~~\left\{ \frac{1}{2}, \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right), \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right), \cos(\pi x), \sin(\pi x), \ldots \right\}~~
−	~~</math>~~
−	~~Esta base nos servirá para aproximarnos a funciones continuas en el intervalo <math>[0, 1]<math>, como la función <math>f(x)=x(1-x)<math>.~~
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−	Para lograr esta aproximación, primero extendemos la función de manera impar al intervalo <math>[-1, 1]<math>, manteniendo su continuidad. Esto nos permite utilizar las funciones impares de la base trigonométrica en el intervalo extendido, es decir <math>\{ \sin(k\pi x) \}_{k \in \mathbb{N}}<math>. Luego, representamos tanto la función original <math>f(x)<math> como la aproximación <math>f_n(x)<math>, que es la suma de los primeros <math>n<math> términos de la serie de Fourier, con <math>n=1, 5, 10<math>.
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−	Es importante destacar que, para obtener los coeficientes de Fourier, aproximamos las integrales numéricamente utilizando la fórmula del trapecio con una división suficientemente fina (<math>10^{-3}<math>). A partir de estos coeficientes, calculamos el error en las normas <math>L^2<math> y uniforme en función del número de términos de la serie <math>n<math>. Graficamos este error en ambas normas en función de <math>n<math> y realizamos una estimación de la función resultante.

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