Aproximación por mínimos cuadrados (Grupo 30) - Historial de revisiones

Guillermo Izquierdo en 08:54 13 nov 2019

2019-11-13T08:54:26Z

Guillermo Izquierdo: /* Aproximación del valor en 10 horas */

2019-11-12T18:39:45Z

‎Aproximación del valor en 10 horas

Guillermo Izquierdo en 18:38 12 nov 2019

2019-11-12T18:38:30Z

Guillermo Izquierdo: /* Cálculo de la recta */

2019-11-12T18:37:42Z

‎Cálculo de la recta

Guillermo Izquierdo: /* Cálculo del error cuadrático medio de la parábola */

2019-11-12T18:37:06Z

‎Cálculo del error cuadrático medio de la parábola

Guillermo Izquierdo: /* Cálculo de la parábola */

2019-11-12T18:36:27Z

‎Cálculo de la parábola

Guillermo Izquierdo en 18:35 12 nov 2019

2019-11-12T18:35:37Z

Guillermo Izquierdo en 18:28 12 nov 2019

2019-11-12T18:28:42Z

Guillermo Izquierdo: Trabajo para la evaluación contínua de la asignatura de Matemáticas 1 del grado de Ingeniería de Materiales (ETSICCP)

2019-11-11T19:37:02Z

Trabajo para la evaluación contínua de la asignatura de Matemáticas 1 del grado de Ingeniería de Materiales (ETSICCP)

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{{ Trabajo | Aproximación por mínimos cuadrados grupo 30 (Incompleto)| [[:Categoría:Matemáticas I|Matemáticas I]]|[[:Categoría:MatI/19|Curso 2019-20]] | Guillermo Izquierdo, Sara Guadalix y Enrique Adrados }}
Se instala una estación para medir la calidad del aire en el barrio de Moratalaz (Madrid), que registra la densidad de partículas por metro cúbico a cada hora. Dicha estación obtiene los siguientes datos a lo largo de 24 horas.
{| class="wikitable"
|'''horas'''
|'''µ/m^3'''
|-
|0
|23.4
|-
|1
|22.0
|-
|2
|16.6
|-
|3
|17.5
|-
|4
|20.3
|-
|5
|21.3
|-
|6
|26.6
|-
|7
|No Data
|-
|8
|No Data
|-
|9
|No Data
|-
|10
|No Data
|-
|11
|35.2
|-
|12
|28.4
|-
|13
|25.5
|-
|14
|24.0
|-
|15
|28.1
|-
|16
|31.3
|-
|17
|33.9
|-
|18
|35.3
|-
|19
|41.5
|-
|20
|39.7
|-
|21
|38.5
|-
|22
|37.5
|-
|23
|30.6
|}

Entre la hora 7 y 10 se produjo un error en el dispositivo por lo que no se dispone de los datos en ese periodo de tiempo.

== Datos y gráfica del muestreo ==
Usando matlab, se nombran dos variables con el nombre ''H''. para las horas, y con el nombre ''D'', para la densidad de partículas. Después se representan en una sola gráfica para la fácil visualización de los datos.
Nota: Se omiten las horas para las que el dispositivo falló para no crear datos falsos.
[[Archivo:Gráfica apartado 1 grupo30 2019.png|500px|thumb|right|Calidad del aire en el barrio de Moratalaz]]
{{matlab|codigo=
H=[0 1 2 3 4 5 6] %creación de la primera parte de la matriz Horas
H2=[11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23] %creación de la segunda parte de la matriz Horas
D=[23.4 22.0 16.6 17.5 20.3 21.3 26.6]
D2=[35.2 28.4 25.5 24.0 28.1 31.3 33.9 35.3 41.5 39.7 38.5 37.5 30.6] %creación de la segunda parte de matriz Densidad
plot(H.',D.','r')
xlabel('Hora (h)')
ylabel('Densidad de partículas (µ/m^3)')
title('Calidad del aire en Moratalaz')
grid
hold on %Esto sirve para poder poner una gráfica sobre otra
plot(H2, D,'r') %para crear la segunda parte de la gráfica)
grid %Con esto estaría dibujada la gráfica
}}

== Cálculo y representación de una recta por mínimos cuadrados ==
=== Cálculo de la recta ===
Para calcular la recta que más se aproxima a los valores se utilizan los siguientes comandos:

{{matlab|codigo=
hora=[0 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23] %Se establecen los valores para la variable hora
densidad=[23.4 22.0 16.6 17.5 20.3 21.3 26.6 35.2 28.4 25.5 24.0 28.1 31.3 33.9 35.3 41.5 39.7 38.5 37.5 30.6] %Se establecen los valores para la variable densidad
plot(hora,densidad,'or') %Se sitúan los puntos en una gráfica
C=polyfit(hora,densidad,1) %Se crea un polinomio por mínimos cuadrados de grado 1 (una recta) que resulta.
xx=linspace(0,25,100) %Se asignan 100 puntos al polinomio recién creado para crear la recta, en x.
yy=polyval(C,xx) %Se asignan los valores de y a los puntos recién asignados.
hold on
plot(xx,yy,'r') %Se crea una gráfica sobre la anterior en la que se representa la recta.

La recta recién creada tiene como fórmula =
y=0.8352*x + 18.7546

=== Cálculo del error cuadrático medio de la recta ===

Para conocer el error cuadrático medio hay que ejecutar el siguiente comando basándose en el programa anterior.
{{matlab|codigo=
% añadir al programa anterior
error=(sum((densidad-yy).^2))/20
}}

El resultado del error cuadrático medio en este caso es= 15.9805
=== Valor en 10 horas según la aproximación por mínimos cuadrados ===

Hay que sustituir la x en la fórmula obtenida anteriormente por un 10. Lo que hace que el resultado quede como
y=0.8352*10 + 18.7546=
{{matlab|codigo=
y=0.8352*10 + 18.7546=27.1066
}}

[[Archivo:Gráfica_apartado_2_grupo30_2019.png|750px|thumb|left|Calidad del aire en Moratalaz. Recta por mínimos cuadrados]]

== Cálculo y representación de una parábola por mínimos cuadrados ==
Es posible que una parábola tenga menor error que la aproximación lineal que hemos hecho anteriormente, para ello vamos a crear una aproximación por mínimos cuadrados de grado 2, es decir, una parábola.
=== Cálculo de la parábola ===
Una parábola se obtiene prácticamente igual que el apartado anterior. La única diferencia es que hay que cambiar el '1' por el '2' en el comando polyfit para que salga un polinomio de grado dos al ejecutar el comando.
{{matlab|codigo=
hora=[0 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23] %Se establecen los valores para la variable hora
densidad=[23.4 22.0 16.6 17.5 20.3 21.3 26.6 35.2 28.4 25.5 24.0 28.1 31.3 33.9 35.3 41.5 39.7 38.5 37.5 30.6] %Se establecen los valores para la variable densidad
plot(hora,densidad,'or') %Se sitúan los puntos en una gráfica
C=polyfit(hora,densidad,1) %Se crea un polinomio por mínimos cuadrados de grado 2 (una parábola) que resulta.
xx=linspace(0,25,100) %Se asignan 100 puntos al polinomio recién creado para crear la parábola, en x.
yy=polyval(C,xx) %Se asignan los valores de y a los puntos recién asignados.
hold on
plot(xx,yy,'r') %Se crea una gráfica sobre la anterior en la que se representa la parábola.
}}

La ecuación de la parábola es:
y= 0.0035x² + 0.7563x + 19.0035
=== Cálculo del error cuadrático medio de la parábola ===

Para conocer el error cuadrático medio que hemos conocido con esta aproximación se utiliza el mismo comando que se usó para la recta, pero aplicado para los datos de la parábola.
{{matlab|codigo=
% añadir al programa anterior
error=(sum((densidad-yy).^2))/200
}}

El error cuadrático medio en el caso de la parábola es= 15.9688

=== Valor en 10 horas según la aproximación por mínimos cuadrados ===

Para conocer el valor aproximado que tendría la densidad de partículas en la hora número 10 tenemos que sustituir x por 10 en la fórmula de la parábola.
{{matlab|codigo=
%añadir al programa anterior
y= 0.0035*10^2 + 0.7563*10 + 19.0035
}}
y= 0.0035*10^2 + 0.7563*10 + 19.0035 = 26.9165

[[Archivo:Gráfica_apartado_3_grupo30_2019.png|800px|thumb|left|Calidad del aire en Moratalaz. Parábola por mínimos cuadrados]]

[[Categoría:Matemáticas I]]
[[Categoría:MatI/19]]

@@ Línea 311: / Línea 311: @@
 ==  Aproximación más exacta  ==
-Analizando las gráficas se podría deducir cual es la más precisa con facilidad, pero para asegurarse y tener el rigor matemático necesario hay que calcular el error cuadrático medio en para todas las aproximaciones.
+Analizando las gráficas se podría deducir cual es la más precisa con facilidad, pero para asegurarse y tener el rigor matemático necesario hay que calcular el error cuadrático medio para todas las aproximaciones.
 La más precisa será la que tenga menor error cuadrático medio.
 Para la recta el error cuadrático medio es: 15.9805

@@ Línea 300: / Línea 300: @@
 {{matlab|codigo=
 %añadir al programa anterior
-a+b*cos(10*m)+c*sin(10*m)+d*cos(10*n)+e*sin(10*n)=
+a+b*cos(10*m)+c*sin(10*m)+d*cos(10*n)+e*sin(10*n)
 }}
@@ Línea 308: / Línea 308: @@
 [[Archivo:Gráfica_apartado_4_grupo30_2019.png|800px|thumb|left|Calidad del aire en Moratalaz. Aproximación trigonométrica]]
 ==  Aproximación más exacta  ==

@@ Línea 120: / Línea 120: @@
 A=[x1,x2]
 B=[densidad'] %solución del sistema para los valores de densidad
-Z=(A'*A)\(A'*B) % aplicación de la fórmula de mínimos cuadrados
+Z=(A'*A)\(A'*B) %Aplicación de la fórmula de mínimos cuadrados
 a=18.7545561807951
 b=0.835160646215284

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Línea 229:		Línea 229:


−	[[Archivo:Gráfica_apartado_3_grupo30_2019.png\|~~800px~~\|thumb\|left\|Calidad del aire en Moratalaz. Parábola por mínimos cuadrados]]	+	[[Archivo:Gráfica_apartado_3_grupo30_2019.png\|700px\|thumb\|left\|Calidad del aire en Moratalaz. Parábola por mínimos cuadrados]]
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+


Línea 291:		Línea 303:

	Esto da un valor aproximado de: 34.6592		Esto da un valor aproximado de: 34.6592
		+
		+
		+
		+	[[Archivo:Gráfica_apartado_4_grupo30_2019.png\|800px\|thumb\|left\|Calidad del aire en Moratalaz. Aproximación trigonométrica]]
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
-{{ Trabajo | Aproximación por mínimos cuadrados grupo 30 (Incompleto)| [[:Categoría:Matemáticas I|Matemáticas I]]|[[:Categoría:MatI/19|Curso 2019-20]] | Guillermo Izquierdo, Sara Guadalix y Enrique Adrados }}
+{{ Trabajo | Aproximación por mínimos cuadrados grupo 30 | [[:Categoría:Matemáticas I|Matemáticas I]]|[[:Categoría:MatI/19|Curso 2019-20]] | Guillermo Izquierdo, Sara Guadalix y Enrique Adrados }}
 Se instala una estación para medir la calidad del aire en el barrio de Moratalaz (Madrid), que registra la densidad de partículas por metro cúbico a cada hora. Dicha estación obtiene los siguientes datos a lo largo de 24 horas.
 {| class="wikitable"

@@ Línea 213: / Línea 213: @@
 {{matlab|codigo=
 % añadir al programa anterior
-error=(sum((densidad-yy).^2))/200
+error=(sum((densidad-yy).^2))/20
 }}
 El error cuadrático medio en el caso de la parábola es= 15.9688
 Podemos observar que el error cuadrático medio es ligeramente menor que en el caso de la recta.
 ===  Valor en 10 horas según la aproximación por mínimos cuadrados  ===

@@ Línea 203: / Línea 203: @@
 e=0.00349790143540171
 plot(hora,c+densidad*hora+e*(hora^2))
 }}
 La ecuación de la parábola es:
 y= 0.0035x² + 0.7563x + 19.0035
 ===  Cálculo del error cuadrático medio de la parábola  ===

@@ Línea 101: / Línea 101: @@
 ==  Cálculo y representación de una recta por mínimos cuadrados  ==
 ===  Cálculo de la recta  ===
-Para calcular la recta que más se aproxima a los valores se utilizan los siguientes comandos:
+Para calcular la recta que más se aproxima a los valores se utilizan los siguientes comandos. Para realizar esta operación se presentan dos posibilidades con las que se llega al mismo resultado.
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 112: / Línea 112: @@
 hold on
 plot(xx,yy,'r') %Se crea una gráfica sobre la anterior en la que se representa la recta.
 La recta recién creada tiene como fórmula =
@@ Línea 127: / Línea 140: @@
 ===  Valor en 10 horas según la aproximación por mínimos cuadrados  ===
-Hay que sustituir la x en la fórmula obtenida anteriormente por un 10. Lo que hace que el resultado quede como
+Hay que sustituir la x en la fórmula obtenida anteriormente por un 10. Lo que hace que el resultado quede como 15.9805
 y=0.8352*10 + 18.7546=
 {{matlab|codigo=
@@ Línea 168: / Línea 181: @@
 Es posible que una parábola tenga menor error que la aproximación lineal que hemos hecho anteriormente, para ello vamos a crear una aproximación por mínimos cuadrados de grado 2, es decir, una parábola.
 ===  Cálculo de la parábola  ===
-Una parábola se obtiene prácticamente igual que el apartado anterior. La única diferencia es que hay que cambiar el '1' por el '2' en el comando polyfit para que salga un polinomio de grado dos al ejecutar el comando.
+Una parábola se obtiene prácticamente igual que el apartado anterior. La única diferencia es que hay que cambiar el '1' por el '2' en el comando polyfit para que salga un polinomio de grado dos al ejecutar el comando. Igual que en el caso de la recta, también se presentan dos métodos para llegar al resultado.
 {{matlab|codigo=
 hora=[0 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23] %Se establecen los valores para la variable hora
@@ Línea 178: / Línea 191: @@
 hold on
 plot(xx,yy,'r') %Se crea una gráfica sobre la anterior en la que se representa la parábola.
 }}
@@ Línea 191: / Línea 217: @@
 El error cuadrático medio en el caso de la parábola es= 15.9688
+Podemos observar que el error cuadrático medio es ligeramente menor que en el caso de la recta.
 ===  Valor en 10 horas según la aproximación por mínimos cuadrados  ===
@@ Línea 222: / Línea 248: @@
 [[Categoría:Matemáticas I]]
 [[Categoría:MatI/19]]