Área de un polígono - Historial de revisiones

Carlos Castro: /* Deducción de la fórmula */

2017-03-07T09:32:01Z

‎Deducción de la fórmula

Deprecated: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in /home/mat/public_html/w/includes/diff/DairikiDiff.php on line 434

Carlos Castro en 09:19 7 mar 2017

2017-03-07T09:19:48Z

Carlos Castro en 08:38 7 mar 2017

2017-03-07T08:38:02Z

Carlos Castro: /* Deducción de la fórmula */

2017-03-06T14:14:33Z

‎Deducción de la fórmula

Carlos Castro: /* Deducción de la fórmula */

2017-03-06T14:10:30Z

‎Deducción de la fórmula

Carlos Castro: /* Deducción de la fórmula */

2017-03-06T14:09:10Z

‎Deducción de la fórmula

Carlos Castro: /* Deducción de la fórmula */

2017-03-06T14:05:45Z

‎Deducción de la fórmula

Carlos Castro: /* Deducción de la fórmula */

2017-03-06T14:02:43Z

‎Deducción de la fórmula

Carlos Castro: /* Función en Matlab */

2017-03-06T09:02:04Z

‎Función en Matlab

Carlos Castro en 08:50 6 mar 2017

2017-03-06T08:50:09Z

@@ Línea 38: / Línea 38: @@
 tomando la regla de que <math>x_0=x_n, \; x_{n+1}=x_1</math>.
-Por último, si el polígono es no convexo, es fácil ver que la misma fórmula se verifica. Basta observar que, al hacer este procedimiento, el área de la parte que no está en el polígono, aparece dos veces y con signos contrarios y por tanto se cancela.
+Por último, si el polígono es no convexo, es fácil ver que la misma fórmula se verifica. Basta interpretar el término dentro del valor absoluto como suma de áreas y darse cuenta de que el área de la parte que no está en el polígono aparece dos veces y con signos contrarios, y por tanto se cancela.
 '''Observación:''' Los primeros y segundos momentos de inercia de un polígono pueden obtenerse con fórmulas similares siguiendo este mismo proceso.

@@ Línea 38: / Línea 38: @@
 tomando la regla de que <math>x_0=x_n, \; x_{n+1}=x_1</math>.
-Por último, si el polígono es no convexo, es fácil ver que la misma fórmula se verifica. Basta observar que el área de la parte que está en la envolvente convexa del polígono, pero no en el polígono, aparece dos veces y con signos contrarios.
+Por último, si el polígono es no convexo, es fácil ver que la misma fórmula se verifica. Basta observar que, al hacer este procedimiento, el área de la parte que no está en el polígono, aparece dos veces y con signos contrarios y por tanto se cancela.
 '''Observación:''' Los primeros y segundos momentos de inercia de un polígono pueden obtenerse con fórmulas similares siguiendo este mismo proceso.

@@ Línea 18: / Línea 18: @@
 tomando la regla de que <math>x_0=x_3, \; x_4=x_1</math>.
-En el caso de un polígono convexo podemos numerar los vértices en sentido antihorario, triangulizarlo usando las diagonales a partir de un vértice y sumar el área de los triángulos que se forman. [[Archivo:pentagono.jpg|miniaturadeimagen|triangulación a partir de las diagonales para calcular el área como la suma de las áreas de los triángulos que lo forman]]
+En el caso de un polígono convexo podemos numerar los vértices en sentido horario (o antihorario), triangulizarlo usando las diagonales a partir de un vértice y sumar el área de los triángulos que se forman. [[Archivo:pentagono.jpg|miniaturadeimagen|triangulación a partir de las diagonales para calcular el área como la suma de las áreas de los triángulos que lo forman]]
 Siguiendo el mismo proceso anterior para calcular el área de cada triángulo llegamos fácilmente a una fórmula similar. Concretamente, en el caso particular del pentágono de la figura,
@@ Línea 50: / Línea 50: @@
 function S=ar_pol(C)
 % Se introduce una matriz C con las coordenadas de los vértices del polígono
-% por columnas y ordenados en sentido antihorario.
+% por columnas y ordenados en sentido horario o antihorario.
 % Se devuelve el área S
 % Aplicamos la fórmula deducida anteriormente

@@ Línea 18: / Línea 18: @@
 tomando la regla de que <math>x_0=x_3, \; x_4=x_1</math>.
-En el caso de un polígono convexo podemos numerar los vértices en sentido antihorario, triangulizarlo usando las diagonales a partir de un vértice y sumar el área de los triángulos que se forman. [[Archivo:pentagono.jpg|miniaturadeimagen|triangulación a partir de las diagonales para calcular el área como la suma del área de triángulos]]
+En el caso de un polígono convexo podemos numerar los vértices en sentido antihorario, triangulizarlo usando las diagonales a partir de un vértice y sumar el área de los triángulos que se forman. [[Archivo:pentagono.jpg|miniaturadeimagen|triangulación a partir de las diagonales para calcular el área como la suma de las áreas de los triángulos que lo forman]]
 Siguiendo el mismo proceso anterior para calcular el área de cada triángulo llegamos fácilmente a una fórmula similar. Concretamente, en el caso particular del pentágono de la figura,

@@ Línea 11: / Línea 11: @@
 <math>
 \begin{eqnarray*}
-S&=&\frac12 |\vec{V_1V_2} \times \vec{V_1V_3}| = \frac12|((x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1))\vec k|\\
+S&=&\frac12 |\vec{V_1V_2} \times \vec{V_1V_3}| = \frac12|((x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1))(\vec i \times \vec j)|\\
 &=&\frac12|y_1(x_3-x_1)+y_2(x_1-x_3)+y_3(x_2-x_1)|=\frac12|\sum_{i=1}^3y_i(x_{i-1}-x_{i+1})|,
 \end{eqnarray*}

@@ Línea 29: / Línea 29: @@
 </math>
-tomando la regla de que <math>x_0=x_5, \; x_6=x_1</math>. El punto clave en la identidad anterior es la primera igualdad, que se da porque los tres vectores <math>\vec{V_1V_2} \times \vec{V_1V_3}, \; \vec{V_1V_3} \times \vec{V_1V_4}, \; \vec{V_1V_4} \times \vec{V_1V_5} </math> tienen la misma dirección y sentido. Sólo cambia su módulo. Por tanto, en este caso el módulo de la suma es lo mismo que la suma de los módulos.
+tomando la regla de que <math>x_0=x_5, \; x_6=x_1</math>. El punto clave en la identidad anterior es la primera igualdad, que se da porque los tres vectores <math>\vec{V_1V_2} \times \vec{V_1V_3}, \; \vec{V_1V_3} \times \vec{V_1V_4}, \; \vec{V_1V_4} \times \vec{V_1V_5} </math> tienen la misma dirección y sentido. Sólo cambia su módulo. Por tanto, en este caso el módulo de la suma coincide con la suma de los módulos.
 En el caso general de n vértices, la fórmula quedaría:

@@ Línea 53: / Línea 53: @@
 % por columnas y ordenados en sentido antihorario.
 % Se devuelve el área S
-% Aplicamos la fórmula que nos envió Rafael Morán
+% Aplicamos la fórmula deducida anteriormente
 % S = 1/2 abs(sum yi (x_(i-1)-x_(i+1)))
 % teniendo en cuenta la siguiente regla: (x_0,y_0)=(x_n,y_n) y

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Línea 40:		Línea 40:

	Por último, si el polígono es no convexo, es fácil ver que la misma fórmula se verifica. Basta observar que el área de la parte que está en la envolvente convexa del polígono, pero no en el polígono, aparece dos veces y con signos contrarios.		Por último, si el polígono es no convexo, es fácil ver que la misma fórmula se verifica. Basta observar que el área de la parte que está en la envolvente convexa del polígono, pero no en el polígono, aparece dos veces y con signos contrarios.
		+
		+	'''Observación:''' Los primeros y segundos momentos de inercia de un polígono pueden obtenerse con fórmulas similares siguiendo este mismo proceso.

	== Función en Matlab ==		== Función en Matlab ==