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{{ TrabajoED | Estudio de Transformaciones de un Cuarto de Anillo(Grupo 44) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Jorge Grañena Hernando, Rodrigo Gutiérrez Becerra, Laura Anguis Bernalte, Javier Gisbert Pool  }}

Se considera una placa plana en forma de cuarto de anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|. Se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

Temperatura, T:
<br />
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]
<math>T(x,y)=cos((y-3)^2+x)</math>.

Campo de desplazamientos, <math> \vec u</math>, producido por la acción de una fuerza determinada:
<br />
<math> \vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})  </math>

El campo de estudio de este trabajo queda resumido en la siguiente tabla de contenido:

==Introducción y mallado del sólido==
El sólido viene definido por 2 condiciones: estar comprendido entre los radios 1 y 2, y el plano y ≥ |x|. Al tratarse de un cuarto de anillo, se trabaja en coordenadas cilíndricas. Trasladando las condiciones a dichas coordenadas, la placa queda definida mediante las variables ρ y θ así: (ρ,θ) ∈ [1,2] × [<math> \frac{\pi}{4},\frac{3π}{4}</math>].

Con ayuda de MATLAB se representa el sólido mediante el siguiente código:
<br />

{{matlab|codigo=

% Paso de muestreo 
h=0.2; 
 
% Condición de ρ 
r=1:h:2; 
 
% Condición de θ 
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10); 
 
% Mallado 
[RR,TT]=meshgrid(r,tt); 
x=RR.*cos(TT); 
y=RR.*sin(TT); 
mesh(x,y,0.*x) 
 
view(2) 
 
% Mestricción de ejes 
axis ([-3,3,-1,3]) 
xlabel('Eje X') 
ylabel('Eje Y') 
title('Representación en 2D de la placa plana') 

}}

[[Archivo:placaparte1.png|centro]]

== Curvas de nivel de la temperatura==

La temperatura viene dada por la función: 

<center><math>T(x,y)=cos((y-3)^{2}+x)</math></center>

<br/>

Empleando la función T(x,y), se procede a dibujar las gráficas:

[[Archivo:44temperaturanivel2.png|centro]]
<br/>
En ellas se observa que la temperatura aumenta hacia las coordenadas negativas del eje X. La temperatura máxima se alcanza en el punto <math> P(\rho,\theta)=(1,\frac{\pi}{4})</math>, obteniendo un valor de 0,9496 ºC.

En la imagen de la izquierda se aprecian las curvas de nivel que se encuentran a temperatura constante.
En la imagen de la derecha se puede observar el aumento de temperatura en 3D.
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo
h = 0.2;                           
r = 1:h:2;
t = linspace(pi/4,3*pi/4,10);

%Mallado
[rr,tt] = meshgrid (r,t);
xx = rr.*cos(tt);
yy = rr.*sin(tt);  
T = cos((yy-3).^2 + xx);

hold on

%Dividimos la pantalla en dos
subplot(1,2,2)              

%Representación de la temperatura en 3D
surf (xx,yy,T);                    
colorbar;
axis ([-3,3,-1,3]); 
axis vis3d
title ('Temperatura en 3D')
xlabel ('Eje X')
ylabel ('Eje Y')
zlabel ('Eje z')

%Escribimos en la segunda pantalla
subplot (1,2,1)

%Líneas de nivel
contour (xx,yy,T,40)
title ('Curvas de Nivel','Fontsize',16)      

%Mostramos las escala
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel ('Eje X')
ylabel ('Eje Y')

hold off

maximo = max(max(T));
fprintf ('La máxima temperatura es: %1.4f \n',T)
}}

==Gradiente de la temperatura==

El gradiente de la temperatura T(x,y) indica la dirección en la que el campo de temperaturas varía más rápido.

El gradiente se define como:

<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>

Por lo tanto, el gradiente será:

<center><math>\nabla  T (y - 3)^2 + x) = (-sen(x + (-3 + y)^{2}), -2 (-3 + y) sen(x + (-3 + y)^{2}))
 </math></center>
{{matlab|codigo=

% Paso de muestreo
h = 0.2;
r = 1:h:2;
t = linspace(pi/4,3*pi/4,10);

% Mallado y parametrización
[rr,tt] = meshgrid(r,t);
xx = rr.*cos(tt);
yy = rr.*sin(tt);  

% Gradiente
Grad = (-2*(-3 + yy).*sin((-3 + yy).^2));

% Temperatura
Temperatura = cos((yy-3).^2 + xx);                      

%Dibujo del gradiente
hold on

subplot(1,2,2)
view(2)
surf(xx,yy,Grad)
axis([-3,3,-1,3]); 
hold on
quiver3(xx,yy,Temperatura,Grad,0*yy,0*Temperatura) 
hold off
axis([-3,3,-1,3]);
axis vis3d 
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')

subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-3,3,0,3]) 
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente 2D')
hold on
quiver(xx,yy,Grad,0.*Grad)
hold off
}}

[[Archivo:grupo44gradiente.png|1000px|centro]]

==Desplazamiento de la placa==
<br />
Se estudia el desplazamiento del cuarto de anillo debido al campo <math> \vec u(ρ,θ) </math>.

A partir de los siguientes gráficos podemos apreciar el sólido antes y después del desplazamiento.
<br />
[[Archivo:despjaviplaca1.jpg|450px|center]]
[[Archivo:despjaviplaca2.jpg|450px|center]]
<br />
<br />
El código por el cual se obtienen las gráficas es el siguiente:
{{matlab|codigo=
h= 0.2;                          %Paso de muestreo                                 
rr= 1:h:2;                       %Usamos coordenadas polares
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);        %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)                  
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16); 
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)                     
A=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*(-sin(TT));
B=1/2.*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT)-pi./2).*cos(TT); 
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones. 
hold on
figure                                 
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa');
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Divergencia==
La  divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.

Siendo el campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{1}{2}e^{ρ-1} sin(2θ-\frac{π}{2})</math>, su divergencia es:

<center><math>\triangledown \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\left [ \frac{\partial }{\partial \rho } \left ( \rho \cdot \vec{0} \right )+ \left ( \frac{1}{2} \cdot e^{\rho -1} \cdot sin\left ( 2\theta -\frac{\pi }{2} \right ) \right )\right ]</math></center>
<br />


Por lo tanto, la divergencia resulta en el siguiente campo escalar:

<center><math>\triangledown \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \cdot e^{\rho-1} \cdot sin \left ( 2 \theta \right ) </math> </center>
<br />
Mediante las siguientes gráficas se puede observar en el cuarto de anillo un desplazamiento simétrico de volumen hacia los extremos superiores de la placa.

Por lo tanto, la divergencia de  <math>\vec u</math> es máxima con un valor de 1.3591 
en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>), mínima con valor -1.3591 en (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>) y nula donde <math>\rho=1</math> o donde θ=pi/2.
[[Archivo:javidivergencia.jpg|1000px|centro|Representación del mallado]]
A continuación el código de las gráficas.
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo           
h= 0.2;                                                     
rr= 1:h:2;
tt= linspace(pi/4,3*pi/4,8);

%Mallado y parametrización
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);             
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);

%Función de divergencia
div=(1./(RR).*(exp((RR)-1)).*sin(2.*(TT))); 

%Gráfica en 3D
subplot(1,2,2)                        
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')

%Gráfica en 2D
subplot(1,2,1)                        
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar;
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
maximo=max(max(div))
title('Divergencia 2D')
fprintf('el maximo es: %1.4f \n',maximo)
}}

==Rotacional==
<br />
El rotacional en coordenadas cilíndricas se calcula mediante la siguiente fórmula:
<br />

<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec g_ρ & \vec g_θ & \vec g_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ  & \vec v_z \end{vmatrix}</math></center>


Aplicando el campo de desplazamientos: 
<center><math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix}
\vec{g}_{\rho } & \vec{g}_{\theta  } &  \vec{g}_{z }\\
 \frac{\partial }{\partial \rho }&  \frac{\partial }{\partial \theta  } &   \frac{\partial }{\partial z }\\
0 & \rho \cdot \frac{1}{2}\cdot  e^{\rho -1} \cdot sin(2 \theta - \frac{\pi }{2}) & 0 \\
\end{vmatrix} =\frac{cos(2\theta) \cdot e^{\rho-1} \cdot(1+\rho)}{2\rho}</math></center> 
<br />
En las gráficas se pueden apreciar los puntos que sufren un mayor rotacional siendo el valor máximo en el punto (0,1)
[[Archivo:javirotacional2.jpg|650px|centro]]
Estas gráficas se obtuvieron mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Paso de muestreo  
h=0.1;                                                                     
rr=1:h:2;                                    
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi*10);

%Mallado
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt);                   
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);

%Modulo del rotacional de u
ROT=abs((1./(2.*(RR))).*((-(cos(2.*(TT)).*exp((RR)-1)).*((RR)+1))));

%Rotacional en 2D
subplot(1,2,1);                             
surf (xx,yy,ROT);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')    

%Rotacional en 3D
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,ROT); 
colorbar
title('Rotacional en 3D');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

==Tensiones==
<br />
Los desplazamientos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo describen el tensor de tensiones con la fórmula:
<br />
<math>\sigma = λ \nabla · \vec u  I + 2µ \epsilon </math>
<br />
<br />
Siendo <math>\epsilon </math> la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u </math>  conocido como tensor de deformaciones.
<br />
Mientras que λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. Los dos parámetros juntos constituyen una parametrización del módulo de elasticidad para medios isótropos homogéneos, y están así relacionados con los otros módulos de elasticidad. En este caso las propiedades de la placa son tales que resultan ambos coeficientes ser 1.
<br />
<br />

===Tensor de Deformaciones===
<br />
Se define el tensor de deformaciones <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ))</math> como la parte simétrica del tensor <math> \nabla{\vec u(ρ,θ)} </math>, llamado también gradiente del campo de desplazamientos <math>\vec u(ρ,θ) </math>:
<center> <math>\epsilon(\vec u(ρ,θ)) =\frac{\nabla{\vec u(ρ,θ)}+(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t}{2}</math></center>.
<br />
Para ello se calculan <math>\nabla{\vec u(ρ,θ)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ)})^t</math>:
<br />
<center> <math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial\rho}=\frac{1}{2} cos(2\theta)e^{\rho-1}\vec{e}_{\theta}</math></center>
<br />
<center> <math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial\theta}=e^{\rho-1}cos(2\theta-\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta}-\frac{1}{2}e^{\rho-1}sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho}</math></center>
<br />
<center> <math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z}=0</math></center>
<br />
<center><math>\triangledown \vec{u}(\rho,\theta) = \begin{pmatrix}
0 & -\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}sin (2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 \\
\frac{1}{2}e^{\rho -1}sin (2\theta -\frac{\pi }{2}) & \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}cos(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} </math></center>

<br />
<center><math>\triangledown \vec{u}(\rho,\theta)^{T} = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2}e^{\rho -1}sin (2\theta -\frac{\pi }{2})  & 0 \\
-\frac{1}{2\rho }e^{\rho -1}sin (2\theta -\frac{\pi }{2})& \frac{1}{\rho }e^{\rho -1}cos(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}</math></center>

<br />
<center><math>\epsilon (\vec{u}(\rho ,\theta ))=\frac{\triangledown \vec{u}(\rho, \theta )+ \triangledown \vec{u} (\rho ,\theta)^{T}}{2}=\begin{pmatrix}
0 & (\frac{\rho -1}{4\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})) & 0 \\
(\frac{\rho -1}{4\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})) & (\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})) & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}</math></center>


<br />

===Tensor de Tensiones===
<br />
El tensor de tensiones se define con la divergencia, el tensor de deformaciones y los coeficientes de Lamé, todos expresados anteriormente. Por tanto, siguiendo su expresión queda:
<br />
<br />
<center><math>\sigma =\begin{pmatrix}
(\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta))  & 0 & 0 \\
0 & (\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta))  & 0 \\
0 & 0 & (\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta))  \\
\end{pmatrix} 
+
\begin{pmatrix}
0 & (\frac{\rho -1}{2\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(\theta -\frac{\pi }{2}))  & 0 \\
(\frac{\rho -1}{2\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(\theta -\frac{\pi }{2})) &  (\frac{2}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})) & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} =
</math></center>
<br />
<center><math>=\begin{pmatrix}
(\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) & (\frac{\rho -1}{2\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(\theta -\frac{\pi }{2})) & 0 \\
(\frac{\rho -1}{2\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(\theta -\frac{\pi }{2})) & (\frac{3}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}cos(2\theta -\frac{\pi }{2}))  & 0 \\
0 & 0 & (\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) \\
\end{pmatrix}
</math></center>
<br />

== Tensiones Normales ==
A pesar de que el desplazamiento sea plano (<math>\vec u(θ) </math> solo dependa de una dirrección) las tensiones pueden no serlo y pueden haber tensiones ortogonales al plano de la placa. La proyección de la tensión <math> \vec σ</math> al eje normal del plano, que tiene dirección <math>\vec n</math>. No es más que el tensor:

<math> T = \vec n\otimes\vec n · \vec σ</math>
<br />

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_ρ </math>===
<br />
El módulo de la tensión normal es el siguiente:
<br />
<center><math>
|(\sigma \cdot \vec{e}_{\rho})\cdot\vec{e}_{\rho}|=\left (\begin{pmatrix}
(\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) & (\frac{1}{2})\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}))\cdot(1-\frac{1}{\rho}) & 0 \\
 (\frac{1}{2})\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}))\cdot(1-\frac{1}{\rho})& (\frac{3}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta))  & 0 \\
0 & 0 & (\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix} \right ) \cdot \vec{e}_{\rho}
= \frac{1}{\rho} \cdot e^{\rho-1}\cdot sen(2\theta)
</math></center>
<br />

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_θ </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
<br />
<center><math>
|(\sigma \cdot \vec{e}_{\rho})\cdot\vec{e}_{\rho}|=\left(\begin{pmatrix}
(\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) & (\frac{1}{2})\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}))\cdot(1-\frac{1}{\rho}) & 0 \\
 (\frac{1}{2})\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}))\cdot(1-\frac{1}{\rho})& (\frac{3}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta))  & 0 \\
0 & 0 & (\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix} \right) \cdot \vec{e}_{\theta}
= \frac{3}{\rho} \cdot e^{\rho-1}\cdot sen(2\theta)
</math></center>
<br />

=== Tensión normal en la dirección que marca el eje <math>\vec e_z </math>===

El módulo de la tensión normal es el siguiente:
<br />
<center><math>
|(\sigma \cdot \vec{e}_{\rho})\cdot\vec{e}_{\rho}|=\left(\begin{pmatrix}
(\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) & (\frac{1}{2})\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}))\cdot(1-\frac{1}{\rho}) & 0 \\
 (\frac{1}{2})\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}))\cdot(1-\frac{1}{\rho})& (\frac{3}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta))  & 0 \\
0 & 0 & (\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) \\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}\right) \cdot \vec{e}_{z}
= \frac{1}{\rho} \cdot e^{\rho-1}\cdot sen(2\theta)
</math></center>
<br />

===Visualización de las tensiones normales===
Como podemos ver, en relación asus módulos, las tensiones normales a la dirección <math> \vec e_θ </math> son mayores que a las direcciones de <math>\vec e_ρ </math> y <math>\vec e_z </math>. Las tres tensiones normales tienen la misma expresión sin embargo la de <math> \vec e_θ </math> tiene un factor de proporcionalidad igual a 3.
<br />
<br />
[[Archivo:javinormales1.jpg|600px|centro]]
[[Archivo:javinormales2.jpg|1000px|centro]]
<br />
<br />
Estas gráficas se obtuvieron con el siguiente código:
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
 
 
%Elemento (1,1,1) de la matriz sigma
M11=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))); 
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M22=((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))); 
%Elemento (2,2,2) de la matriz sigma
M33=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))); 
 
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub rho');
 
subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub theta');
 
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal en la dirección del eje e sub z');
figure
 
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,M11)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub rho');

subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,M22)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub theta');

subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,M33)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión normal en la dirección eje e sub z');
}}

=== Deformación por Tensiones Normales===
<br />
Las deformaciones producidas por las tensiones son iguales en módulo a las direcciones ortogonales a la dirección de los ejes <math> \vec e_ρ </math> y <math> \vec e_z </math>, mientras que son más pronunciadas en la dirección ortogonal al eje <math> \vec e_θ </math>.Sin embargo, vectorialmente la tensión normal deforma a la placa en distintas direcciones. Para su visualización se utiliza Matlab. Gráficamente el módulo de la tensión viene determinado por la longitud de cada flecha de tensión.
<br />
[[Archivo:javidefor1.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en las dirección que marca el eje <math> \vec e_ρ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
M11x = cos(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt)); 
M11y = sin(tt) .* ((1./rr) .* exp(rr - 1) .* sin(2 .* tt)); 
 
X= xx + M11x; %Para ver deformaciones
Y = yy + M11y;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M11x,M11y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
<br />
<br />
[[Archivo:javidefor22.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_θ </math>]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

M22x=(-sin(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); %Pasamos a cartesianas
M22y=(cos(tt).*((3./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt)))); 
 
X= xx + M22x; %Para ver deformación
Y= yy + M22y;
 
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,M22x,M22y)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,0,5]);
title('Deformaciones')
}}
<br />
<br />
[[Archivo:javidefor3.jpg|500px|thumb|right| Deformaciones por las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math> \vec e_z </math>]]
{{matlab|codigo=
%Creamos mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
zz=0.*xx;
 
M11z=((1./(rr)).*exp((rr)-1).*sin(2.*(tt))); 
 
X=xx;
Y=yy;
Z= zz + M11z; 
 
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(3)
hold on
%Para ver tensiones
quiver3(xx,yy,zz,0.*xx,0.*yy,M11z)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,Z)
view(3);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}
<br />
<br />

== Tensiones Tangenciales ==
<br />
Las tensiones en la dirección tangencial al plano de nuestra placa es la proyección de la tensión <math>\vec σ </math> al plano, que tiene dirección: <math>\vec t</math>.
<br />
La proyección no es el tensor: <math> T =  (\vec σ·\vec n - \vec n\otimes\vec n </math>·σ)<math>\vec t</math>
<br />
<br />
=== Tensión tangencial respecto al plano ortogonal al eje <math>\vec e_ρ </math>===
<br />
El módulo de la tensión tangencial es el siguiente:
<br/>
<br/>

|<math>σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ | = \left| \begin{pmatrix}
(\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) & (\frac{\rho -1}{2\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(\theta -\frac{\pi }{2})) & 0 \\
(\frac{\rho -1}{2\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(\theta -\frac{\pi }{2})) & (\frac{3}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}cos(2\theta -\frac{\pi }{2}))  & 0 \\
0 & 0 & (\frac{1}{\rho })\cdot (e^{\rho -1}sin(2\theta)) \\
\end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{\rho} e^{\rho -1} sin(2\theta) \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| = \frac{\rho -1}{2\rho}(e^{\rho-1} sin(2\theta-\frac{\pi}{2})</math>
<br />
<br />
<br />
<br />
[[Archivo:javitenstang.jpg|600px|thumb|right]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado.     
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
 
% A partir de la tensión tangencial calculada dibujamos su gráfica
tang = ((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,tang)
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho');
}}
<br />

=== Deformación por Tensión Tangencial===
<br />
[[Archivo:javideftang.jpg|600px|center]]
{{matlab|codigo=
%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
%Pasamos a cartesianas
tangx = -sin(tt).*((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2)); 
tangy = cos(tt).*((rr-1)./(2.*rr)).*(exp(rr-1).*sin((2.*tt)-pi/2));
 
X= xx + tangx;
Y = yy + tangy;
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx)
view(2)
hold on
%Para ver tensiones
quiver(xx,yy,tangx,tangy)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones')
subplot(1,2,2);
%Para ver deformaciones
mesh(X,Y,0.*X)
view(2);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Deformaciones')
}}

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud física escalar que indica el inicio del comportamiento plástico de un material. En ingeniería estructural se usa en el contexto de las teorías de fallo como indicador de un buen diseño para materiales dúctiles.
La tensión de Von Misses se define por la fórmula:
<br />

La máxima tensión que puede presentar el cuarto de anillo antes de iniciar su deformación plástica bajo estas condiciones es 2.8428 y se alcanza en su centro. Para una mejor comprensión y visualización se representan las tensiones en Matlab:

{{matlab|codigo=

%Realizamos el mallado
r=1:0.2:2;
t=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);

%Calculamos la matriz de tensiones "sigma"
M11 = @(R,T) (1./R).*exp(R-1).*sin(2.*T);
M12 = @(R,T) ((R-1)./(2.*R)).*exp(R-1).*sin(T-(pi/2));
M22 = @(R,T) (3./R).*exp(R-1).*cos(2.*T-(pi/2));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));
  
 for i = 1:length(t)
     for j = 1:length(r)
       sigma(1,1) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
       sigma(1,2) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
       sigma(1,3) = 0;
       sigma(2,1) = M12(rr(i,j),tt(i,j));
       sigma(2,2) = M22(rr(i,j),tt(i,j));
       sigma(2,3) = 0;
       sigma(3,1) = 0;
       sigma(3,2) = 0;
       sigma(3,3) = M11(rr(i,j),tt(i,j));
      
       
      [f,c] = eig(sigma);
      VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);
      
         
     end
 end
figure
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises');
  
 
figure
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión: ' num2str(MAX) ];
text(-2,0,0.87,txt)

  
figure 
surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

num2str(MAX)
}}

[[Archivo:VonMissesUnido.png|centro]]