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'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.''' 

[[Archivo:Mallado1.jpg|300px|thumb|right|Mallado de una placa rectangular]]

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por: 
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.  

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas transversales. Supondremos lo siguiente: 
<math>
\vec a=\frac{\vec i}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso,  <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>.

Se pide:
# Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo <math>h=1/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>. 
# La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en el origen. Supongamos que la conocemos y viene dada por <math>T(\rho,\theta)=-\log(\rho+0.1)</math>. Dibujarla. 
# Calcular <math>\nabla T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que <math>\nabla T</math> es ortogonal a dichas curvas.
# Consideramos ahora el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec i</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido. 
# Si <math>\vec u</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot. 
# Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. 
# Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional? 
# Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math>.
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.

[[Categoría:Teoría de Campos]]