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{{ TrabajoED | Trabajo 3. Ecuación de Ondas. G18-A | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino
Fernando Marín López-Santa Cruz }}


=Ecuación de onda=
Se considera un cable de longitud L = 10 m con sus extremos fijados. Se desprecia la sección frente a la longitud y se admite que se pueden modelizar sus vibraciones mediante la ecuación de ondas. Sea U(x,t) el desplazamiento vertical a largo del tiempo, entonces:

 Utt – Uxx = f(x,t)
 U(0,t) = g(t) 
 U(10,t) = h(t)
 U(x,0) = i(x)
 Ut(x,0) = j(x)

=Modelización por el método del trapecio=

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta.
Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con  ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x  en el intervalo de t=[0,40].

 Utt – Uxx = f(x,t)=0
 U(0,t) = g(t) =0
 U(10,t) = h(t)=0
                                     3x/10    ∈ x<3
 U(x,0) = i(x)= función a trozos =              
                                      3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
 Ut(x,0) = j(x)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_.png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio2.png|800px]]

=Modelización por los métodos de Euler explícito y Heun=

==Método de Euler explícito==
 El código por el método de Euler explícito:

[[Archivo:Codigo_ejercicio_2_euler_explicitor.png|800px]]

==Método de Heun ==

La resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicación de Heun es la siguiente:


                        [[Archivo:formula_metodo_heun.png|300px]]

=Representación de la energía del cable=

Para dibujar la energía del cable en una gráfica usamos la siguiente expresión 

                        [[Archivo:formula_energia.png|300px]]


 
mediante el método de diferencias finitas

[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(2).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_4_(3).png|900px]]

[[Archivo:GraficoEjercicio4.png|800px]]

Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es cierta reducción del periodo de oscilación de la energía, es decir, la energía tarda menos en pasar de unos valores a otros. Los valores entre los que oscila la energía no varían prácticamente de un paso a otro, como era de esperar. El programa ofrece una energía máxima de E=1.5907 para 'h' y E=1.5954 para 'h/2'.

=Cable sumergido en un medio viscoso=

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a 

 Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamiento del medio.
A continuación se dibujan las gráficas de la energía para a= 0,1,4,10,100

[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_5_(2).png|900px]]

 los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

[[Archivo:GraficoEjercicio5.png|900px]]

Se observa que para el caso 'a=0', es decir, sin amortiguamiento, la energía oscila de forma similar a como lo hace en los ejercicios anteriores manteniéndose acotada entre dos valores, mientras que para amortiguamientos distintos a 'a=0' se produce un descenso importante de energía a lo largo del tiempo.

= Energía del cable sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas=

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot) Hz. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:


[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_6_(2).png|900px]]

Se repite el experimento con  Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.


[[Archivo:GraficoEjercicio6.png|900px]]

Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerza con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así la energía se va "acumulando" poco a poco.
En cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial. 
Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.

=Energía del cable sujeto a un aparato que envía una respuesta frente a la vibración=

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2.  Se utiliza la aproximación:

 Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(1).png|900px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_7_(2).png|900px]]


[[Archivo:GraficoEjercicio7.png|900px]]

Para el valor b=2 se muestra un cable con una energía que oscila sin ningún patrón aparente entre dos valores acotados, en cambio para el valor b=-2 se muestra un cable estático y con poca energía al principio la cual se dispara según avanza el tiempo dando valores inmensamente grandes que obviamente no pueden ser correctos.

=Resolución por el método de Fourier=


por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el ejercicio 2

 Utt – Uxx = f(x,t)=0
 U(0,t) = g(t) =0
 U(10,t) = h(t)=0
                                     3x/10    ∈ x<3
 U(x,0) = i(x)= funcion a trozos =              
                                      3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
 Ut(x,0) = j(x)=0

[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(1).png|700px]]
[[Archivo:Codigo_ejercicio_8_(2).png|700px]]


[[Archivo:GraficoEjercicio8.png|1050px]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]