Ver el código de «Análisis del comportamiento físico de una placa sometida a dos campos: temperatura y desplazamiento. (GRUPO G7)»

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== INTRODUCCIÓN ==
El trabajo se centra en el análisis del comportamiento físico de un sólido plano, (dimensión 2), con forma rectangular. Para llevar a cabo dicho análisis definimos los campos: temperatura y desplazamiento, que afectan al comportamiento físico del sólido.
Para facilitar la comprensión del comportamiento, se ha realizado una representación de los campos mencionados anteriormente ayudándonos del programa informático MATLAB.
== SUPERFICIE DE TRABAJO ==
La superficie sobre la que se ha realizado el trabajo es un placa con forma rectangular que ocupa la región: [-0.5;0.5]x[0;2] tal y como se muestra en la figura1. La representación de la placa se ha realizado implementando el siguiente código en MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;                  % definimos el paso
u=-0.5:h:0.5;               % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
v=0:h:2;            % definimos el intervalo [0,2]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices de u y v
figure(1)
xx=uu;        % parametrización
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)       % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,3])      % seleccionar la región de dibujo 
view(2)                % vemos el dibujo en planta
}}
                    <gallery>
              Archivo:fig7.1.jpg|mallado de la placa rectangular
                     </gallery>
== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
El campo de temperaturas, es un campo escalar que depende de dos variables espaciales (x,y) y el tiempo (t). En nuestro caso definimos el campo de temperaturas como <math>T(x,y)=e^{-y}</math> con t=0 por lo tanto depende únicamente de la posición de cada punto, es decir, sus coordenadas x e y.

=== DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA ===
Tal y como está definido el campo de temperatura <math>T(x,y)=e^{-y}</math> depende única y exclusivamente del valor de la variable "Y" o lo que es lo mismo el de la temperatura es independiente al valor de la variable "x", con este dato deducimos que fijando un valor para la variable "y" en la placa, la temperatura se mantendrá constante para cualquier valor de la "x". Además al tratarse de una función exponencial la separación entre las curvas de nivel variará de una manera geométrica. Para dar veracidad a todas las hipótesis expuestas anteriormente se ha representado el campo de temperaturas mediante el siguiente código MATLAB, obteniéndose como resultado la figura que se muestra a continuación; donde se puede visualizar con claridad todo lo expuesto anteriormente.
{{matlab|codigo=x=-0.5:0.1:0.5;       % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2;            % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f)       % Dibujar el campo
hold on                % dibujamos el límite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3])      % seleccionamos una región de dibujo
view(2)                % Vemos el dibujo en planta  }}
<gallery>
Archivo:fig7.2.jpg|Distribución de la temperatura
</gallery>

=== VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA ===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo de la placa se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso sera: <math>\nabla T=-e^{-y}</math>
Procedemos ahora a representar este campo vectorial junto con las curvas de nivel en la superficie implementando el siguiene código MATLAB.
{{matlab|codigo=x=-1/2:.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:.1:2; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); % definimos las matrices X e Y
f=inline('exp(-y)','x','y'); 
U=zeros(21,11); 
V=-exp(-Y); % gradiente
hold on
subplot(1,2,1) % en la primera ventana
quiver(X,Y,U,V);
axis image
xlabel('Gradiente')
subplot(1,2,2) % en la segunda ventana
Z=f(X,Y);
contour(X,Y,Z,10,'k') %dibujo las curvas de nivel
axis image
xlabel('Campo')
hold off}}
<gallery>
Archivo:fig7.3.jpg|Representación de las curvas de nivel y gradiente
</gallery>
En la representación se observa que el módulo del gradiente va aumentando según nos desplazamos en sentido negativo a lo largo del eje de ordenadas, esta observación esta basada en qué el gradiente indica la dirección de crecimiento de la función en cada punto. Por otra parte observamos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente, la razón de este hecho se basa en la definición de curvas de nivel y gradiente. Por una parte las curvas de nivel es el lugar geométrico de puntos equipotenciales y el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto. Con esto deducimos que si el gradiente tuviera un componente paralelo a las curvas de nivel, la definiciones anteriores sería una contradicción.
== CAMPO DE DESPLAZAMIENTO ==
Sobre la superficie de trabajo se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración que produce sobre ella un desplazamiento en un instante <math>t_0</math> que queda definido por el vector:<math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>
Si aplicamos este vector a cada punto tendremos el desplazamiento total respecto a la posición de la placa en reposo.
La representación de este campo se ha hecho mediante el siguiente código MATLAB:
{{matlab|codigo=clear all
x=-1/2:.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:.1:2; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); % definimos las matrices X e Y
f=inline('sin(pi*y)/10','x','y'); % introducimos mediante inline el campo
U=zeros(21,11); % matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
V=sin(Y)/10; % definimos V
quiver(X,Y,U,V) % dibujamos el campo
axis image
}}
<gallery>
Archivo:campo de vectores.jpg|Campo de desplazamiento.
</gallery>

En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente <math>\vec j </math>. 
Hay dos zonas bien diferenciadas: la mitad inferior donde la placa toma valores positivos, con lo cual hay un sentido ascendente y la mitad superior que toma valores positivos, lo que indica un sentido descendente.
Tres puntos característicos: extremos superior e inferior y parte central de la placa donde el campo es nulo debido a la función seno.
=== CONSECUENCIAS DE LA VIBRACIÓN ===
El resultado de la vibración sobre la placa da lugar a un desplazamiento. La representación de dicho desplazamiento se ha representado en MATLAB mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=u=-0.5:0.1:0.5; % defino el intervalo [-1/2,1/2]
v=0:0.1:2; % defino el intervalo [0,2]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % creo la matriz de uu vv
figure(1)
xx=uu; % parametrización
yy=vv;
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx)       % gráfico
axis([-2,2,-1,3])  
axis equal
view(2)  
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
x1=u; % parametrización + desplazamiento
y1=v+sin(pi*v)/10;
[xx1,yy1]=meshgrid(x1,y1); % creo la matriz de xx1, yy1
mesh(xx1,yy1,0*xx) % gráfico
axis([-2,2,-1,3]) 
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:FIG7.5.jpg|desplazamiento respecto de la posición original
</gallery>

El desplazamiento se produce en torno a la zona central de la placa (en los extremos y en y=1 no hay movimiento). El movimiento se produce en dirección vertical pero con sentidos contrarios, la parte mas baja de la placa tiende a ascender hasta acercarse a la zona central y la parte superior de la placa a descender con el fin de acercarse también a la cota central. La consecuencia de todo esto es una compresión en las proximidades de la zona central de la placa.

===VARIACIÓN DEL VOLUMEN SOBRE LA PLACA ===
Utilizamos el operador divergencia para analizar la medida del cambio de volumen debido al desplazamiento.
<math>\nabla \cdot \vec u=\frac{\pi cos(\pi y)}{10}\vec j</math>
La representación de dicha divergencia queda representada en MATLAB por el código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:2; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=pi*cos(pi*Y)/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
Dándonos lugar a este gráfico:
<gallery>
Archivo:Fig7.6.jpg|medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar después analíticamente que la zona con mayor divergencia será la zona en torno a y=1.

=== ROTACIONAL ===
Calculamos el rotacional para todos los puntos de la placa. El rotacional de un campo vectorial es la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. El rotacional se define como:
<math>|\nabla \times \vec u|=\left(   \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz \\u_x & u_y & u_z\end{array}  \right)</math>, que particularizada para nuestro campo queda <math>|\nabla \times \vec u|=\left(   \begin{array}{ll} i & j & k \\ δu/δx & δu/δy & δu/δz\\0 & sin(πy)/10 & 0  \end{array}  \right)=0</math>.
Al ser el rotacional 0, podemos afirmar que los vectores del campo no van a sufrir un cambio de dirección, es decir, no va a haber rotación. 
== TENSIONES Y DEFORMACIONES ==
El tensor de deformación (ε) es el que define las tensiones de la placa en ambas dimesiones x e y. Viene dado por la parte simétrica del gradiente del campo de desplazamientos (u) <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>. 
Se define el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo como: <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
siendo <math>\nabla \cdot \vec u</math> la divergencia del campo y λ=μ=1.
En nuestro caso:
<math>
\nabla \vec u=\left(   \begin{array}{ll} δu_1/δx & δu_1/δy \\ δu_2/δx & δu_2/δy  \end{array}  \right)=\left(   \begin{array}{lll} 0 & 0 \\ 0 & (π/10)cos(πy) \end{array}  \right),
</math>
por lo que el tensor de tensiones nos queda como:
<math> \sigma_{ij}=\left(   \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy)  \end{array}  \right) </math>
Después calculamos el campo vectorial en cada dirección y lo dibujaremos mediante MATLAB.

Tensiones normales en la dirección del eje x:
<math>
\vec t_x=t_x \vec i
</math>

<math>
t_x=\vec i \sigma \vec i=\left(   \begin{array}{l1} 1 & 0 \end{array}  \right) \left(   \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy)  \end{array}  \right) \left(   \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}  \right)=(π/10)cos(πy)
</math>

Tensiones normales en la dirección del eje y:

<math>
\vec t_y=t_y \vec j
</math>

<math>
t_y=\vec j \sigma \vec j=\left(   \begin{array}{l1} 0 & 1 \end{array}  \right) \left(   \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy)  \end{array}  \right) \left(   \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}  \right)=(3π/10)cos(πy)
</math>

la dibujamos en MATLAB implementado el programa:
{{matlab|codigo=
h=0.1;                 
x=-0.5:h:0.5;               
y=0:h:2;           
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%tensiones normales eje y %
ty=3*pi/10*cos(pi*Y);
tx=0*ty2;
% dibujamos %  
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje y')
axis([-1,1,-0.5,2.5])    
axis equal
view(2)


}}
observamos la gráfica:
<gallery>
Archivo:Fig7.8.jpg|tensiones normales eje y
</gallery>


Por último calculamos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i </math>

<math> |\sigma \cdot \vec i - ( \vec i \cdot \sigma \cdot \vec i )\vec i | = |\left(   \begin{array}{ll} (π/10)cos(πy) & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy)  \end{array}  \right) \left(   \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}  \right) - (π/10)cos(πy) | = 0 </math>

y las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j </math>

<math> |\sigma \cdot \vec j - ( \vec j \cdot \sigma \cdot \vec j )\vec j | = |\left(   \begin{array}{ll}(π/10)cos(πy)  & 0 \\ 0 & (3π/10)cos(πy)  \end{array}  \right) \left(   \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}  \right) - (3π/10)cos(πy) \vec j | = | (3π/10)cos(πy) \vec j - (3π/10)cos(πy) \vec j | = \vec 0 </math>

Conclusión: nuestra placa no tiene tensiones tangenciales respecto a los planos ortogonales a <math>\vec i </math> ni a <math>\vec j </math>, este hecho se debe a que las tensiones normales se equilibran en las direcciones estudiadas <math>\vec i </math> y <math>\vec j </math>, impidiendo que se generen esfuerzos cortantes.