Ver el código de «T.C.V2»

holaa gente https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cycloid_f.gif
 Los españoles muy españoles y MUCHO españoles'''Texto en negrita'''
==Visualización de la curva==
<div style="text-align: justify;"> 
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona.<br>
[[Archivo:Curva2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
clear,clc
R=2; 
%Definición del vector t 
t=linspace(0,2*pi,1000); 
%Trayectoria de la cicloide 
x=R*(t-sin(t));           
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva 
plot(x,y,'b');
%Etiquetas 
xlabel('X'); 
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
}}
<br />
<br />
<br />
<br />

== Velocidad, aceleración de la cicloide junto a los vectores normales y tangente==
===Vector velocidad===
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t.
<br />
* <math> γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (R(1-cos(t))\vec i +R(sen(t))\vec j </math>
<br />
===Vector aceleración===
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t. 
* <math> γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j</math>
<br />

=== Representación gráfica de los vectores ===
Mediante un código en MATLAB 
[[Archivo:Vector_Ace_Vel.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2; 
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
%vector aceleración 
a1=R*(sin(t)); 
a2=R*(cos(t)); 
figure 
hold on 
%Gráficos 
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');  
quiver(x,y,a1,a2,'r'); 
%Etiquetas 
axis equal 
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off 
title('Curva, velocidad y aceleración'); 
}}

== Longitud de la cicloide ==
En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica.<br>
<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t)  \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt=
  \int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= </math> <br> <math>  = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt = 
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R  = 4R(2)=[R=2]= 16 m  </math> <br>
[[Archivo:Cicloide.gif|mini|500px|right|Visualización de la solución.]]

{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
 Sum =0;
 for i =1:n-1
 b = t(i+1)-t(i);
 a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
    super = b *a ;
    Sum = Sum + super;
 end
 Longitud=round(Sum);                       
 fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
          'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud ) 
}}
Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.
{{matlab|codigo=
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
   X=2*(t-sin(t));    Y=2*(1-cos(t));            % Parametrización cicloide
   Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt));          % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25];                  % Delimitacón de los ejes

figure
  hold on
  title('Visualización de la resolución numérica')
   xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
    axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
   plot(X,Y,"g",'LineWidth',2)                    % Generación cicloide i 
  v=linspace(0,2*pi,i);                           % veces
    plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b')           % "" aproximación en azul
      pause(0.5)                                  % Se muestra un 0.5s
    plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w')           % Se suprime la aproxima
                                                  % ción pintandola de
                                                  % blanco
  if i==20;                                       
   plot(Xt,Yt,'b')   
  end
  
end
hold off

}}

== Vector tangente y vector normal ==    
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.
<br/>
* <math> \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
<br />
===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente.
<br />
* <math>\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}</math>
<br />
===Representación de los vectores tangente y normal===

[[Archivo:Tangente1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Realizado con el programa matlab]]
{{matlab|codigo=
R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n); 
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2); 
t1=v1./norma; 
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k'); 
%tangente 
quiver(x,y,t1,t2,'r'); 
%normal 
quiver(x,y,-t2,t1,'b'); 
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off 
title ('Curva, tangente y normal.'); 
}}
<br />
<br />
<br />
<br />

== Curvatura ==
===Definición de la curvatura===
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.

Su fórmula es: 
<br/ >
<br/ >
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}</math>
<br/ >
<br/ >

Si lo desarrollamos: 

<br/ >
<br/ >
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
<br/ >
<br/ >

===Representación de la curvatura===
[[Archivo:Curvatura_2.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|realizado con el programa matlab]]
<br/ >
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
n=100; 
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
}}
<br />
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<br />
<br />
== Circunferencia Osculatriz ==

Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) = </math>
<br />
<br />
Radio:  <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}= </math>
== Información la sobre curva y relación con la ingeniería  ==
[[Archivo:Cycloid_f.gif|mini|300px|Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.]]
<br/ >
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<br/ >

== Superficie reglada == 
[[Archivo:Superwh.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Cicloide realizada con el programa matlab]]
<br/ >
Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:
{{matlab|codigo=
R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')
}}
<br />
<br />
<br />

==Masa de la superficie==
Aplicando la formula : 
<math>Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\</math>
<math>\begin{align*}
La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\
\text{Parametrización: } & \begin{cases}
x_1 = v \\
x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\
x_3 = R(1+ \cos u)
\end{cases} \\
g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\
Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\
\vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\
\vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\
\vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\
1 & 0 & 0
\end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\
\left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\
&= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\
&= R\sqrt{2-2\cos u} \\
\text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\
&= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\
&= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\
\end{align*} </math>
<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=
R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
    masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);
}}
La masa aproximada de la superficie es 7,1109