Ver el código de «Desintegración Radiactiva G18»

{{ TrabajoED | Desintegración Radiactiva. (Grupo 18-A). | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Lucas Fabretti Torino - 506

Fernando Marin Lopez-Santa Cruz - 771
 }}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
 [[Categoría:ED14/15]]
 [[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Se ha observado que los materiales radiactivos como el plutonio, el radio o el isótopo C 14 se desintegran naturalmente para formar otro elemento o isótopo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactivo presente. Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo.

                    <big><big>M‘(t) = -kM(t)</big></big>
== Interpretación de la fórmula ==

M es el numero de núcleos radiactivos presentes en función del tiempo
y a velocidad de desintegración como la derivada con respecto a t de dicha función (M’).
La constante k se denomina constante de rapidez por lo que es proporcional con respecto de la cantidad y del tiempo.

== Datación Arqueológica ==

Los restos arqueológicos se hayan mediante un problema de valor inicial, resolviendo por el método de Euler para los intervalos dados: h=0,1 y h=0,01 y constante de desintegración 1.24 x 10^4.


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[[Archivo:Trabajo3Grafico2.jpg|900px]]


 La solución que el programa genera al problema es: 

 <big>2,0369x10^4 años</big>


== Resolución del caso anterior mediante el Método del Trapecio ==

Se repite el ejercicio usando el método del trapecio con un intervalo de h=0,1.

[[Archivo:Trabajo3Codigo3.png|900px]]


[[Archivo:Trabajo3Grafico3.png|900px]]


 La solución que el programa genera al problema es: 

 <big>2,0369x10^4 años</big>





<big><big>El método de Euler es estable para las ecuaciones que verifiquen que la función es diferenciable. En nuestro caso, f(t,M) es diferenciable y no se anula en ningún punto por lo que es estable.
</big></big >

== Aproximación de la Vida Media de un Elemento Radiactivo ==

[[Archivo:Trabajo3Codigo4.png|900px]]


 La solución que el programa da al problema es: 

 <big>5589'9 años</big>

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== Determinar Sistema de Ecuaciones  ==

Consideramos ahora una descomposición de un elemento A en otro C a través de un elemento o isótopo intermedio B, A → B →C.
el sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer las cantidades de cada elemento en cada instante de tiempo. Las constantes serán negativas y distintas por que la cantidad de núcleos se va reduciendo. 
La cantidad de A depende de si misma, pero la B es la que se transforma de A a B menos la que se transforma de B a C
               
                 <big><big><big>     M'A(t)=-k1MA(t)
                M'A(t)=k1MA(t)-k2MB(t)
                M'C(t)=k2MB(t)</big></big></big>


== Resolucion por Euler y por el metodo del Trapecio==
Tomando las constantes k1=5 y k2=1  y con las condiciones iniciales de A,B y C (1,0,0 respectivamente) resolviendo por Euler con h=0.1 y por el Método del Trapecio.


[[Archivo:Trabajo3Codigo6.png|900px]]

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La interpretación más plausible de los gráficos seria definir la descomposición de A como independiente. La cantidad de B va aumentando a medida que se desintegra mas A pero cesa cuando la proporción de B con respecto de A es de 5 a 1 mientras que la C crece a medida que desaparecen las otras dos hasta estabilizarse. Con respecto a los diferentes Gráficos se puede apreciar mejor precisiones el método del trapecio.


== Resolución con constantes intercambiadas ==

En este apartado hicimos que al intercambiar las constantes, la constante de A fuese más pequeña que la de B por lo que se degenera el A más despacio y el B casi no crece mientras que el C no varía demasiado su crecimiento comparado con las constantes anteriores.

(El código es el mismo intercambiando las 'k')


[[Archivo:Trabajo3Grafico7.png|900px]]