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La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-07T00:07:15Z

Yayun wang: /* Póster y enlace. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math></center>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

=Póster y enlace.=
 
[[Archivo:ClotoidePoster36.jpg|600px||izquierda||705px| ]]
 
[[Archivo:La Clotoide_g36.pdf|600px||izquierda||705px| ]]

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-07T00:05:47Z

Yayun wang: /* Póster y enlace. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math></center>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

=Póster y enlace.=
 
[[Archivo:ClotoidePoster36.jpg|600px||izquierda||705px| ]]
[[Archivo:La Clotoide_g36.pdf|600px||izquierda||705px| ]]

Archivo:La Clotoide g36.pdf

2025-12-06T23:55:02Z

Yayun wang:

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T23:54:31Z

Yayun wang: /* Póster y enlace. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math></center>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

=Póster y enlace.=
 
[[Archivo:ClotoidePoster36.jpg|600px||izquierda||705px| ]]
[[Archivo:La Clotoide_g36.pdf|600px||izquierda||705px| ]]

Archivo:La Clotoide.jpg

2025-12-06T23:49:58Z

Yayun wang:

Archivo:La Clotoide-g36.pdf

2025-12-06T23:43:47Z

Yayun wang:

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-06T23:42:30Z

Yayun wang: /* Póster y enlace. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Asignación de los parámetros
t = linspace(0, 4, 200);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:velocaceler.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 150);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
figure
hold on
plot (x ,y ,'b') ;
quiver(x,y,V1,V2,"color","g") ;
quiver(x,y,A1,A2,"color","r") ;
axis equal
hold off
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("X");
ylabel("Y");
}}

==Longitud de la curva==
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Cálculo de los vectores tangente y normal==

Haciendo uso del vector velocidad, calcularemos el vector tangente y normal:
 
 
El vector tangente:
<center><math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
El vector normal:
<center><math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math></center>
 
 
[[File:tannormal01.jpg|505px|thumb|right|Figura 3. Curva vector tangente y normal]]
{{matlab|codigo=
t = linspace(0, 4, 100);
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
norma=1;
T1 = cos(t.^2/2)./norma;
T2 = sin(t.^2/2)./norma;
N1= -sin((t.^2)./2);
N2= cos ((t.^2)./2);
figure;
hold on;
plot(x,y,'b'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,"color",'r');
quiver(x,y,N1,N2,"color",'g');
axis equal
hold off;
title ('Clotoide, tangente y normal.')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}

==Curvatura k(t).==
Estudiaremos la curvatura de <math> γ(t) </math> que se expresa de la siguiente forma:
 
 
 
<center><math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> <math> =\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t , t ∈ [0,4] </math>
</center>
 
La representación gráfica de la curvatura se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:kurvatur.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Gráfica de la curvatura ]]
 
{{matlab|codigo=
t=linspace(0,4,70)
k=t;
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title('Curvatura.');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

}}
 
 
 
 
 
 

== Circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz en un punto de la curva es aquella que es tangente a la curva en ese punto y que mejor la aproxima localmente (el término osculatriz viene del
latín osculum, que significa beso).
 
En este caso calcularemos dicha circunferencia para P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio R(t) de la circunferencia osculatriz y su centro Q(t) son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
De esta forma obtenemos la circunferencia osculatriz, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide:
[[Archivo:oscula.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);
% R(t)
R = 1/1.5;
% Vec norm t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);
% Q(t)
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;
% Param
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);
% Dibujo
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}

=La Clotoide aplicada a la ingeniería.=
* Carreteras y ferrocarriles:
#Transición suave: Su función principal es evitar el cambio brusco de dirección que se produce al pasar directamente de una recta a una curva.
#Seguridad: Proporciona una trayectoria más natural para los conductores, reduciendo la posibilidad de accidentes.
#Comodidad: Permite que los pasajeros experimenten aceleraciones centrífugas de manera gradual, lo que aumenta la comodidad del viaje.
#Diseño del peralte: Facilita el diseño y la aplicación progresiva del peralte (inclinación de la carretera) en las curvas.

* Otras aplicaciones:
#Incorporaciones y cambios de sentido: Se utiliza en el diseño de rampas de incorporación a autopistas y en cambios de sentido.
#Adaptación a la topografía: Su flexibilidad geométrica permite una adaptación más económica a las características del terreno.

* Propiedades clave
#Variación del radio: El radio de curvatura (\(\rho \)) de la clotoide varía de manera inversamente proporcional a la distancia (\(s\)) recorrida. La ecuación que lo describe es \(\rho \cdot s=a^{2}\), donde \(a\) es una constante que define el tamaño de la clotoide.
#Conexión de tramos:Puede conectar una recta con una curva circular.Puede conectar dos curvas circulares de diferentes radios.
#Radio de curvatura: Al inicio de la curva (s=0), el radio es infinitamente grande (tangente a una recta). A medida que se avanza, el radio disminuye hasta el radio de la curva circular siguiente.

=Estructuras Civiles y la clotoide.=
 
[[Archivo:cadclot.jpg|600px||izquierda||705px|''Diseño en CAD'' ]]
[[Archivo:disroad.jpg|600px||centro||505px|''Aplicación en carreteras'' ]]
 
[[Archivo:rusa.jpg|600px||centro||360px|''Clotoide en montaña rusa'' ]]
[[Archivo:rail.jpg|600px||izquierda||850px|''Aplicación en ferrocarril'' ]]

=Superficie Reglada.=
A partir de la parametrización de la expresión de la curva siguiente, se representará mediante segmentos ortogonales de longitud l y vector director eρ la superficie reglada asociada a dicha curva. Esta superficie se conoce como helicoide cónico
 
La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:
<center> <math> \gamma(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsen(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
 
En función de u y v:
<center> <math> \gamma(u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))=(ucos(u),usen(u),u), u∈(2π,6π) </math> </center>
 
Para que la gráfica muestre la superficie reglada hay que extender los segmentos desde la hélice para cada punto de la curva base, la superficie se expresa como:
<center> <math>\phi(u,v)=(x_{1}+vcos(u),x_{2}+vsin(u),x_{3}) </math> </center>
 
[[File:helice.jpg|505px|thumb|right|Figura 6. Helice cónica]]
{{matlab|codigo=
u=linspace(2*pi, 6*pi, 100); % Valores de u
v=linspace(0, 1, 100); % Valores de v
[U, V] = meshgrid(u, v); % Malla para parametrización
% Coordenadas de la superficie reglada
X=U.*cos(U)+V.*cos(U);
Y=U.*sin(U)+V.*sin(U);
Z=U;
% Gráfica de la superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
% Configuración de la gráfica
colormap('summer');
c=colorbar;
c.Label.String='Valores en Z';
axis equal;
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Helicoide cónico');
grid on;
}}

=Estructuras Civiles y la hélice cónica.=
 
[[Archivo:babel.jpg|600px||izquierda||705px|''Torre de Babel'' ]]
[[Archivo:escalera.jpg|600px||centro||505px|''Bramante Staircase (Museos Vaticanos, Ciudad del Vaticano)'' ]]
 

=Masa de la superficie reglada.=
Suponiendo que la densidad de la superficie obtenida en el apartado anterior viene dada por la función:
<center>
<math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math></center>

Para calcular su masa teniendo en cuenta la función de densidad f
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>

Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

=Póster y enlace.=
 
[[Archivo:La_Clotoide-g36.pdf|600px||izquierda||705px| ]]

La Clotoide (Grupo 36)

2025-11-30T20:44:32Z

Yayun wang:

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Matemáticamente, una clotoide es una curva que parte siendo tangente al eje de abscisas y cuya curvatura aumenta progresivamente, de modo que su radio de curvatura disminuye en proporción inversa a la longitud recorrida sobre la propia curva.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,5)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:Clotoide21.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}
==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide221.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}

=Longitud de la curva=
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 
=Vectores tangente y normal=
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:clotoide321.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
=Curvatura k(t).=
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:Clotoide421.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=Circunferencia osculatriz.=
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Vector normal unitario en t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;

% Parametrización de la circunferencia
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
=Propiedades para la ingeniería.=
La clotoide representa un tipo de curva que permite una transición progresiva entre una trayectoria recta y una curva circular, debido a que su curvatura aumenta de manera lineal. Esto implica que, al comienzo de la curva, el radio de curvatura es infinito y, conforme se avanza sobre ella, dicho radio disminuye hasta alcanzar un valor finito, definiéndose así una curvatura más marcada.

En ingeniería, su uso más importante aparece en el diseño de carreteras y vías férreas, donde la clotoide se emplea para suavizar el paso entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es esencial, ya que evita cambios bruscos en la aceleración centrípeta y permite ajustarla de manera gradual. Si no existiera esta suavidad en el cambio, los vehículos y sus ocupantes podrían experimentar incrementos violentos en las fuerzas centrípetas, lo que generaría incomodidad e incluso riesgos para la estabilidad.

Además, las características de la clotoide permiten otras aplicaciones, como mantener un flujo de agua más uniforme, diseñar trayectorias de entrada y salida para barcos en puertos, o incluso crear recorridos más seguros y fluidos en montañas rusas.

=Ejemplos en Ingeniería Civil.=
[[Archivo:Clotoide621.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Clotoide en carretera''' ]]
[[Archivo:clotoide111.png|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Espiral de Euler en carretera''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide116.png|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Clotoide en montaña rusa''' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=(((uu).^2+(vv).^2)./(vv)).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}