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El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T13:38:29Z

Xinhao.zhang: /* Circulación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación calculada en la siguiente sección $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Parámetros del vórtice de Rankine

%corregido
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;

rho = linspace(0, rho_max, 1000);

v_theta = zeros(size(rho));
in = rho <= R & rho>0;
out = rho > R;

v_theta(in) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(in) ./ (R^2));
v_theta(out) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(out));
v_theta(rho==0) = 0;

figure('Color','w')
plot(rho, v_theta, 'k-', 'LineWidth', 2)
hold on

plot([R R], [0 max(v_theta)], 'r--', 'LineWidth', 1.5)
xlabel('\rho (m)')
ylabel('v_\theta (\rho) [m/s]')
title('Perfil radial de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
legend('velocidad tangencial','Radio núcleo','Location','northeast')
grid on
</source>
| [[Archivo:velocidadrankinedefg47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

==== Representación ====
El siguiente código representa el campo vectorial horizontal de un vórtice de Rankine mediante la función quiver en MATLAB en un dominio definido en el plano $ x, y $, con valores comprendidos entre $ [-800, 800] $.
Para distinguir visualmente ambas regiones, los vectores dentro del núcleo se dibujan en rojo, mientras que los vectores exteriores se representan en azul. Además, se incluye un mapa de colores de fondo basado en la magnitud de la velocidad y se traza un círculo discontinuo de radio $ R $ que marca el borde del ojo del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 800;
rho_min=-800;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off

</source>
| [[Archivo:Rankineg47def.png|600px]]
|}
El vórtice de Rankine es un modelo bidimensional en el que la velocidad depende únicamente de la distancia radial 𝜌 y no de la coordenada vertical. Además, la velocidad tiene solo componentes horizontales y no existe componente vertical. Por tanto, toda la física del problema se describe completamente en un plano horizontal, y no es necesario representar un campo tridimensional.

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===
Este ejemplo se realizará para los valores: ρ=250 m, z=0 m

Los pasos a seguir son los siguientes:

1º. Se calcula la velocidad

2º. Se calcula el término dinámico

3º. Se calcula el término hidrostático

4º. Presión total

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

\begin{align*}
1º: v_\theta(250) &= 90 \cdot \frac{250}{250} = 90 \ \text{m/s} \\[1mm]
v_\theta^2 &= 90^2 = 8100 \ \text{m}^2/\text{s}^2 \\[1mm]
2º: \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} v_\theta^2 &= 0.5 \cdot 1.225 \cdot 8100 \\
&= 0.6125 \cdot 8100 \\
&= 4961.25 \ \text{Pa} \\[1mm]
3º: \rho_{\text{aire}} g z &= 1.225 \cdot 9.81 \cdot 0 = 0 \ \text{Pa} \\[1mm]
4º: p &= 92000 + 4961.25 - 0 = 96961.25 \ \text{Pa} \\[1mm]
\end{align*}

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:59:19Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación calculada en la siguiente sección $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Parámetros del vórtice de Rankine

%corregido
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;

rho = linspace(0, rho_max, 1000);

v_theta = zeros(size(rho));
in = rho <= R & rho>0;
out = rho > R;

v_theta(in) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(in) ./ (R^2));
v_theta(out) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(out));
v_theta(rho==0) = 0;

figure('Color','w')
plot(rho, v_theta, 'k-', 'LineWidth', 2)
hold on

plot([R R], [0 max(v_theta)], 'r--', 'LineWidth', 1.5)
xlabel('\rho (m)')
ylabel('v_\theta (\rho) [m/s]')
title('Perfil radial de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
legend('velocidad tangencial','Radio núcleo','Location','northeast')
grid on
</source>
| [[Archivo:velocidadrankinedefg47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
El siguiente código representa el campo vectorial horizontal de un vórtice de Rankine mediante la función quiver en MATLAB en un dominio definido en el plano $ x, y $, con valores comprendidos entre $ [-800, 800] $.
Para distinguir visualmente ambas regiones, los vectores dentro del núcleo se dibujan en rojo, mientras que los vectores exteriores se representan en azul. Además, se incluye un mapa de colores de fondo basado en la magnitud de la velocidad y se traza un círculo discontinuo de radio $ R $ que marca el borde del ojo del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 800;
rho_min=-800;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off

</source>
| [[Archivo:Rankineg47def.png|600px]]
|}
El vórtice de Rankine es un modelo bidimensional en el que la velocidad depende únicamente de la distancia radial 𝜌 y no de la coordenada vertical. Además, la velocidad tiene solo componentes horizontales y no existe componente vertical. Por tanto, toda la física del problema se describe completamente en un plano horizontal, y no es necesario representar un campo tridimensional.

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===
Este ejemplo se enfocará en p(ρ=250 m,z=0 m)
Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

\begin{align*}
% Paso 1: Velocidad tangencial
v_\theta(250) &= 90 \cdot \frac{250}{250} = 90 \ \text{m/s} \\[1mm]

% Paso 2: Cuadrado de la velocidad
v_\theta^2 &= 90^2 = 8100 \ \text{m}^2/\text{s}^2 \\[1mm]

% Paso 3: Término dinámico
\frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} v_\theta^2 &= 0.5 \cdot 1.225 \cdot 8100 \\
&= 0.6125 \cdot 8100 \\
&= 4860 + 101.25 \\
&= 4961.25 \ \text{Pa} \\[1mm]

% Paso 4: Término hidrostático
\rho_{\text{aire}} g z &= 1.225 \cdot 9.81 \cdot 0 = 0 \ \text{Pa} \\[1mm]

% Paso 5: Presión total
p &= 92000 + 4961.25 - 0 \\
&= 96961.25 \ \text{Pa} \\
&= 969.6125 \ \text{hPa}
\end{align*}

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:54:44Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación calculada en la siguiente sección $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Parámetros del vórtice de Rankine

%corregido
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;

rho = linspace(0, rho_max, 1000);

v_theta = zeros(size(rho));
in = rho <= R & rho>0;
out = rho > R;

v_theta(in) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(in) ./ (R^2));
v_theta(out) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(out));
v_theta(rho==0) = 0;

figure('Color','w')
plot(rho, v_theta, 'k-', 'LineWidth', 2)
hold on

plot([R R], [0 max(v_theta)], 'r--', 'LineWidth', 1.5)
xlabel('\rho (m)')
ylabel('v_\theta (\rho) [m/s]')
title('Perfil radial de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
legend('velocidad tangencial','Radio núcleo','Location','northeast')
grid on
</source>
| [[Archivo:velocidadrankinedefg47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
El siguiente código representa el campo vectorial horizontal de un vórtice de Rankine mediante la función quiver en MATLAB en un dominio definido en el plano $ x, y $, con valores comprendidos entre $ [-800, 800] $
Para distinguir visualmente ambas regiones, los vectores dentro del núcleo se dibujan en rojo, mientras que los vectores exteriores se representan en azul. Además, se incluye un mapa de colores de fondo basado en la magnitud de la velocidad y se traza un círculo discontinuo de radio $ R $ que marca el borde del ojo del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 800;
rho_min=-800;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off

</source>
| [[Archivo:Rankineg47def.png|600px]]
|}
El vórtice de Rankine es un modelo bidimensional en el que la velocidad depende únicamente de la distancia radial 𝜌 y no de la coordenada vertical. Además, la velocidad tiene solo componentes horizontales y no existe componente vertical. Por tanto, toda la física del problema se describe completamente en un plano horizontal, y no es necesario representar un campo tridimensional.

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===
Este ejemplo se enfocará en p(ρ=250 m,z=0 m)
Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

\begin{align*}
v_\theta(250) &= 90 \cdot \frac{250}{250} = 90 \ \text{m/s} \\[1mm]
v_\theta^2 &= 90^2 = 8100 \ \text{m}^2/\text{s}^2 \\[1mm]
\frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} v_\theta^2 &= 0.5 \cdot 1.225 \cdot 8100 \\
&= 0.6125 \cdot 8100 \\
&= 4860 + 101.25 \\
&= 4961.25 \ \text{Pa} \\[1mm]
\rho_{\text{aire}} g z &= 1.225 \cdot 9.81 \cdot 0 = 0 \ \text{Pa} \\[1mm]
p &= 92000 + 4961.25 - 0 = 96961.25 \ \text{Pa} \\[1mm]
p &= \frac{96961.25}{100} = 969.6125 \ \text{hPa}
\end{align*}

\end{document}

{Cálculo de presión para $\rho = 250$ m y $z = 0$ m}

\begin{align*}
\text{Paso 1: Velocidad tangencial} \quad
v_\theta(\rho) &= 90 \cdot \frac{250}{250} = 90 \ \text{m/s} \\[1mm]

\text{Paso 2: Cuadrado de la velocidad} \quad
v_\theta^2 &= 90^2 = 8100 \ \text{m}^2/\text{s}^2 \\[1mm]

\text{Paso 3: Término dinámico} \quad
\frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} v_\theta^2 &= 0.5 \cdot 1.225 \cdot 8100 \\
&= 0.6125 \cdot 8100 \\
&= 4860 + 101.25 \\
&= \SI{4961.25}{Pa} \\[1mm]

\text{Paso 4: Término hidrostático} \quad
\rho_{\text{aire}} g z &= 1.225 \cdot 9.81 \cdot 0 = \SI{0}{Pa} \\[1mm]

\text{Paso 5: Presión total} \quad
p &= 92000 + 4961.25 - 0 \\
&= \SI{96961.25}{Pa} \\
&= \SI{969.6125}{hPa}
\end{align*}

\end{document}

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

Archivo:Velocidadrankinedefg47.png

2025-12-05T11:52:43Z

Xinhao.zhang: 1.0

1.0

Archivo:Velocidad tangencial v rankine.png

2025-12-05T11:47:45Z

Xinhao.zhang:

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:42:58Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación calculada en la siguiente sección $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:VelocidadtangencialGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
El siguiente código representa el campo vectorial horizontal de un vórtice de Rankine mediante la función quiver en MATLAB en un dominio definido en el plano $ x, y $, con valores comprendidos entre $ [-800, 800] $
Para distinguir visualmente ambas regiones, los vectores dentro del núcleo se dibujan en rojo, mientras que los vectores exteriores se representan en azul. Además, se incluye un mapa de colores de fondo basado en la magnitud de la velocidad y se traza un círculo discontinuo de radio $ R $ que marca el borde del ojo del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 800;
rho_min=-800;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off

</source>
| [[Archivo:Rankineg47def.png|600px]]
|}
El vórtice de Rankine es un modelo bidimensional en el que la velocidad depende únicamente de la distancia radial 𝜌 y no de la coordenada vertical. Además, la velocidad tiene solo componentes horizontales y no existe componente vertical. Por tanto, toda la física del problema se describe completamente en un plano horizontal, y no es necesario representar un campo tridimensional.

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{siunitx}

\begin{document}

\section*{Cálculo de la presión usando la rama interior de Rankine}

La presión para la rama interior ($\rho \leq R$) se calcula con:

\begin{equation}
p(\rho, z) = P_0 + \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} v_\theta(\rho)^2 - \rho_{\text{aire}} g z
\end{equation}

\subsection*{Datos}

\[
\begin{aligned}
P_0 &= \SI{92000}{Pa}, & \rho_{\text{aire}} &= \SI{1.225}{kg/m^3}, \\
g &= \SI{9.81}{m/s^2}, & R &= \SI{250}{m}, \\
v_\theta(R) &= \SI{90}{m/s}, & \rho &= \SI{250}{m}, & z &= \SI{0}{m}.
\end{aligned}
\]

\subsection*{Cálculo paso a paso}

\begin{align*}
\text{Velocidad tangencial:} \quad v_\theta(\rho) &= v_\theta(R) \frac{\rho}{R}
= 90 \frac{250}{250} = \SI{90}{m/s} \\[2mm]
\text{Cuadrado de la velocidad:} \quad v_\theta^2 &= 90^2 = 8100 \ \text{m}^2/\text{s}^2 \\[1mm]
\text{Término dinámico:} \quad \frac{1}{2} \rho_{\text{aire}} v_\theta^2 &= 0.5 \cdot 1.225 \cdot 8100 \\
&= 0.6125 \cdot 8100 \\
&= 4860 + 101.25 \\
&= \SI{4961.25}{Pa} \\[1mm]
\text{Término hidrostático:} \quad \rho_{\text{aire}} g z &= 1.225 \cdot 9.81 \cdot 0 = \SI{0}{Pa} \\[1mm]
\text{Presión total:} \quad p(\rho, z) &= 92000 + 4961.25 - 0 = \SI{96961.25}{Pa} \\
&= \SI{969.6125}{hPa}
\end{align*}

\end{document}

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:41:29Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación calculada en la siguiente sección $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:VelocidadtangencialGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
El siguiente código representa el campo vectorial horizontal de un vórtice de Rankine mediante la función quiver en MATLAB en un dominio definido en el plano $ x, y $, con valores comprendidos entre $ [-800, 800] $
Para distinguir visualmente ambas regiones, los vectores dentro del núcleo se dibujan en rojo, mientras que los vectores exteriores se representan en azul. Además, se incluye un mapa de colores de fondo basado en la magnitud de la velocidad y se traza un círculo discontinuo de radio $ R $ que marca el borde del ojo del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 800;
rho_min=-800;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off

</source>
| [[Archivo:Rankineg47def.png|600px]]
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:37:52Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación calculada en la siguiente sección $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:VelocidadtangencialGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 800;
rho_min=-800;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off

</source>
| [[Archivo:Rankineg47def.png|600px]]
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

Archivo:Rankineg47def.png

2025-12-05T11:36:29Z

Xinhao.zhang:

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:33:53Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación calculada en la siguiente sección $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:VelocidadtangencialGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 800;
rho_min=-800;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off

</source>
| [[Archivo:VORTICE DE RANKINE.png|600px]]
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:32:22Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación ya calculada $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:VelocidadtangencialGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 800;
rho_min=-800;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off

</source>
| [[Archivo:VORTICE DE RANKINE.png|600px]]
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:25:37Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación ya calculada $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y muestra claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:VelocidadtangencialGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:24:54Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación ya calculada $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $, el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y marca visualmente el punto $ \rho = R $ mediante una línea vertical discontinua, mostrando claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:VelocidadtangencialGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:24:12Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:VelocidadtangencialGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:21:20Z

Xinhao.zhang: /* Velocidad tangencial */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===

==== Representación ====
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
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|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la
velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine
a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación ya calculada $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $,
el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial
$ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente
proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y marca
visualmente el punto $ \rho = R $ mediante una línea vertical discontinua,
mostrando claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:17:03Z

Xinhao.zhang: /* Representación del flujo */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

==== Representación ====
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% ---- Dibujo de la velocidad tangencial ----

figure;
plot(rho, vtheta(1,:));
xlabel('\rho [m]');
ylabel('v_\theta [m/s]');
title('Velocidad tangencial del vórtice de Rankine');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la
velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine
a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación ya calculada $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $,
el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial
$ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente
proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y marca
visualmente el punto $ \rho = R $ mediante una línea vertical discontinua,
mostrando claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:14:13Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

==== Representación ====

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la
velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine
a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación ya calculada $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $,
el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial
$ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente
proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y marca
visualmente el punto $ \rho = R $ mediante una línea vertical discontinua,
mostrando claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clear, clc
% Parámetros del vórtice de Rankine

%corregido
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;

rho = linspace(0, rho_max, 1000);

v_theta = zeros(size(rho));
in = rho <= R & rho>0;
out = rho > R;

v_theta(in) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(in) ./ (R^2));
v_theta(out) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(out));
v_theta(rho==0) = 0;

figure('Color','w')
plot(rho, v_theta, 'k-', 'LineWidth', 2)
hold on

plot([R R], [0 max(v_theta)], 'r--', 'LineWidth', 1.5)
xlabel('\rho (m)')
ylabel('v_\theta (\rho) [m/s]')
title('Perfil radial de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
legend('velocidad tangencial','Radio núcleo','Location','northeast')
grid on

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T11:13:26Z

Xinhao.zhang: /* Representación del flujo */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

==== Representación ====

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T10:54:30Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la
velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine
a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación ya calculada $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $,
el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial
$ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente
proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y marca
visualmente el punto $ \rho = R $ mediante una línea vertical discontinua,
mostrando claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clear, clc
% Parámetros del vórtice de Rankine

%corregido
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;

rho = linspace(0, rho_max, 1000);

v_theta = zeros(size(rho));
in = rho <= R & rho>0;
out = rho > R;

v_theta(in) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(in) ./ (R^2));
v_theta(out) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(out));
v_theta(rho==0) = 0;

figure('Color','w')
plot(rho, v_theta, 'k-', 'LineWidth', 2)
hold on

plot([R R], [0 max(v_theta)], 'r--', 'LineWidth', 1.5)
xlabel('\rho (m)')
ylabel('v_\theta (\rho) [m/s]')
title('Perfil radial de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
legend('velocidad tangencial','Radio núcleo','Location','northeast')
grid on

| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T10:48:27Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se representa un código que calcula y representa cómo varía la
velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine
a medida que nos alejamos del centro del ojo. Para ello se emplean los valores
de la circulación ya calculada $ \Gamma = 141371.67 \ \text{m}^2/\text{s} $,
el radio del núcleo $ R = 250 \ \text{m} $ y el dominio radial
$ \rho \in [0, 1000] \ \text{m} $. Se comprueba que existe un comportamiento
lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente
proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y marca
visualmente el punto $ \rho = R $ mediante una línea vertical discontinua,
mostrando claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T10:47:01Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se representa un código que calcula y representa como varía la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine a medida que nos alejamos del centro del ojo. Con datos de la circulación ya calculada $ \Gamma $, el radio del núcleo $ R $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] $ m. Se comprueba que existe un comportamiento lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y marca visualmente el punto $ \rho = R $ mediante una línea vertical discontinua, mostrando claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T10:41:28Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
El código calcula y representa el perfil radial de la velocidad tangencial $ v_\theta(\rho) $ correspondiente a un vórtice de Rankine. Para ello, se define el valor de la circulación ya calculada $ \Gamma $, el radio del núcleo $ R $ y el dominio radial $ \rho \in [0, 1000] $ m. A continuación, se evalúa $ v_\theta(\rho) $ usando la formulación del vórtice: un comportamiento lineal dentro del núcleo $ \rho \le R $ y un comportamiento inversamente proporcional a la distancia fuera de él $ \rho > R $.

Finalmente, el código genera una gráfica de $ v_\theta(\rho) $ y marca visualmente el punto $ \rho = R $ mediante una línea vertical discontinua, mostrando claramente la transición entre las dos regiones del vórtice.

{| class="wikitable"
|-
! Texto de encabezado
|-
| Ejemplo
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-05T10:30:53Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

==== Campo Escalar ====
La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.
===== Representación =====

{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB
! Gráfico obtenido
|-
|
<source lang="matlab">
% ---- Magnitud del rotacional |∇×v| ----

R = 250;
vR = 90;
Gamma = vR * 2*pi*R;

N = 400;
x = linspace(-800,800,N);
y = linspace(-800,800,N);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);

omega_mag = zeros(size(rho));
omega_mag(rho <= R) = Gamma/(pi*R^2);

figure;
contourf(X, Y, omega_mag, 50, 'LineColor','none');
c = colorbar;
c.Label.String = '|∇×v| (1/s)';
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Magnitud del rotacional |∇×v|');

hold on;
th = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(th), R*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2);
</source>
|
[[Archivo:Grafica_campos.png|600px]]
|}

===== Análisis =====

'''r < R (dentro del núcleo) :'''
En el núcleo del vórtice de Rankine la vorticidad es constante y distinta de cero. El flujo
se comporta como una rotación de cuerpo sólido: todas las partículas giran con la misma
velocidad angular. Esto implica que no solo describen trayectorias circulares, sino que
también presentan rotación local.

Una barca situada en esta región:

* gira alrededor del centro del vórtice,
* y además rota sobre sí misma (cambia su orientación).

Esto ocurre porque la vorticidad no nula induce rotación local del fluido.

'''r > R (dentro del núcleo) :'''
En la región exterior la vorticidad es nula y el flujo es irrotacional. Aunque las partículas
de fluido se mueven en trayectorias circulares, no poseen rotación local.

Una barca situada en esta zona:

* se desplaza en un círculo alrededor del centro,
* pero NO rota sobre sí misma, manteniendo su orientación aproximadamente fija.

La trayectoria curva no implica rotación: al ser un flujo irrotacional, la barca no experimenta
giro propio.

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T22:37:06Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.
{| class="wikitable"
|-
! CÓDIGO MATLAB !! GRÁFICA
|-
| {{matlab|codigo=
MATLAB
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;
rho_min=0;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%--corregido
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%-----------
ylim([-rho_max rho_max])%--corregido
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off
}} ||[[Archivo:VORTICE DE RANKINE.png|600px]]
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T22:30:22Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.
{| class="wikitable"
|-
! CÓDIGO MATLAB !! GRÁFICA
|-
| {{matlab|codigo=
MATLAB
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;
rho_min=0;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off
}} ||[[Archivo:VORTICE DE RANKINE.png|600px]]
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T22:27:13Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.
{| class="wikitable"
|-
! CÓDIGO MATLAB !! GRÁFICA
|-
| {{matlab|codigo=
MATLAB
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;
rho_min=0;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off
}} ||
<gallery>
VORTICE DE RANKINE.png|VÓRTICE DE RANKINE
</gallery>
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

Archivo:VORTICE DE RANKINE.png

2025-12-04T22:24:17Z

Xinhao.zhang:

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T22:23:21Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.
{| class="wikitable"
|-
! CÓDIGO MATLAB !! GRÁFICA
|-
| {{matlab|codigo=
MATLAB
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;
rho_min=0;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off
}} || Ejemplo
|}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T22:18:56Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.
{{matlab|codigo=
MATLAB
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;
rho_min=0;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off
}}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T22:16:41Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.

{{matlab|codigo=
MATLAB
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;
rho_min=0;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);%-----------corregir
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
ylim([-rho_max rho_max])%--------------corregir
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off
}}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T21:54:19Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.

{{matlab|codigo=
MATLAB
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% --- Campo vectorial con colores ---
% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])
ylim([-rho_max rho_max])
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off
}}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T21:49:25Z

Xinhao.zhang: /* Representación */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación <math>Γ</math> es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce el siguiente campo de velocidad del vórtice de Rankine (en sistema de coordenadas cilíndricas):
<math>\mathbf{v} = v_{\theta} \mathbf{\hat{e}}_{\theta} \quad </math> con
<math>\quad v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}\quad</math> y <math>R</math> como el radio del núcleo del vórtice. 

Para obtener la circulación se considera la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math> 

Al remplazarlo en la función se obtiene que: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>. Es decir, la circulación se define como:
<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

==== Cálculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m\quad</math>;<math>\quad v_{\theta} = 90m/s</math>

Se sustituye en la expresión y se obtiene el valor numérico de <math>{\Gamma}</math>: <math>\quad {\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R = 90 \cdot 2π \cdot 250 </math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====
A continuación se muestra la representación del campo de velocidad tangencial 𝑣𝜃(𝜌) para 𝜌 ∈ [0, 1000] m en un plano horizontal.
{{matlab|codigo=
MATLAB
% vórtice de Rankine
Gamma = 141371.67;
R = 250;
rho_max = 1000;

% Malla
N = 201;
x = linspace(-rho_max, rho_max, N);
y = linspace(-rho_max, rho_max, N);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
rho = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y,X);

% V_theta, definición de Rankine
v_theta = zeros(size(rho));

inside = rho <= R & rho>0;
outside = rho > R;

v_theta(inside) = (Gamma/(2*pi)) .* (rho(inside) ./ (R^2));
v_theta(outside) = (Gamma/(2*pi)) .* (1 ./ rho(outside));
v_theta(rho==0) = 0;

% Conversión a cartesianas
U = -v_theta .* sin(theta);
V = v_theta .* cos(theta);

% quiver
step = 6;
Xs = X(1:step:end,1:step:end);
Ys = Y(1:step:end,1:step:end);
Us = U(1:step:end,1:step:end);
Vs = V(1:step:end,1:step:end);
rhos = rho(1:step:end,1:step:end);

% Separar vectores dentro y fuera
mask_inside = rhos <= R & rhos > 0;
mask_outside = rhos > R;

Xi = Xs(mask_inside); Yi = Ys(mask_inside);
Ui = Us(mask_inside); Vi = Vs(mask_inside);

Xo = Xs(mask_outside); Yo = Ys(mask_outside);
Uo = Us(mask_outside); Vo = Vs(mask_outside);

% colorear fondo
speed = sqrt(U.^2 + V.^2);

% Figura
figure('Color','w')
hold on

% Mapa de colores (magnitud)
h = pcolor(X, Y, speed);
set(h,'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.35)
colormap(parula)
c = colorbar;
c.Label.String = 'Velocidad (m/s)';
uistack(h,'bottom')

% --- Campo vectorial con colores ---
% Vectores dentro del núcleo (rojo)
q1 = quiver(Xi, Yi, Ui, Vi, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q1.Color = [0.9 0.1 0.1]; % rojo
q1.LineWidth = 1.2;

% Vectores fuera del núcleo (azul)
q2 = quiver(Xo, Yo, Uo, Vo, 'AutoScale','on','AutoScaleFactor',1.2);
q2.Color = [0.1 0.2 0.9]; % azul
q2.LineWidth = 1.0;

% Círculo del núcleo
t = linspace(0,2*pi,400);
plot(R*cos(t), R*sin(t),'k--','LineWidth',1.3)
text(R+10, 0, ['R = ' num2str(R) ' m'],'FontSize',10)

axis equal
xlim([-rho_max rho_max])
ylim([-rho_max rho_max])
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Campo de velocidad tangencial – Vórtice de Rankine')
hold off
}}

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T21:05:29Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T21:04:54Z

Xinhao.zhang: /* Cálculos */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T21:04:29Z

Xinhao.zhang: /* Calculos */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T21:03:28Z

Xinhao.zhang: /* Calculos */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:57:42Z

Xinhao.zhang: /* Calculos */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:46:56Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:43:43Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:42:17Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:41:39Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:23:22Z

Xinhao.zhang: /* Circulación */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:22:49Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:20:09Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:19:49Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T20:02:26Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T19:51:21Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T19:50:35Z

Xinhao.zhang: /* Definición */

{{ TrabajoED | El Vórtice de Rankine. Grupo47 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Etienne Filoche Bartolome, Pedro Manuel Piqueras Miguel, Pablo Matute Velasco, Marcos Rincon Gonzalez, Xinhao Zhang}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==
El vórtice de Rankine es un modelo idealizado de remolino que combina un núcleo de rotación sólida, en el que la velocidad del fluido aumenta de manera proporcional a la distancia al centro, con una región externa irrotacional, donde la velocidad disminuye inversamente a dicha distancia. Esta estructura mixta permite representar de forma coherente el comportamiento real de muchos vórtices presentes en la naturaleza y en sistemas ingenieriles. Desarrollado en el siglo XIX por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine, el modelo surgió como respuesta a la necesidad de describir fenómenos complejos —como remolinos atmosféricos, estelas generadas por barcos y hélices, o el flujo alrededor de turbomáquinas— mediante una formulación matemática simple pero físicamente razonable. Su capacidad para capturar, con pocas suposiciones, la transición entre un núcleo dominado por la viscosidad y una región externa gobernada por la circulación ideal ha hecho que este vórtice se convierta en una herramienta fundamental en la mecánica de fluidos. En consecuencia, el vórtice de Rankine no solo tiene valor histórico, sino que continúa siendo un punto de partida clave para el análisis y modelado de vórtices en disciplinas modernas como la aerodinámica, la hidrodinámica y la meteorología.

== Historia ==
La idea del vórtice de Rankine surgió en el contexto del rápido desarrollo de la mecánica de fluidos en el siglo XIX, cuando todavía no existía una comprensión completa de cómo la viscosidad influía en la formación de remolinos. William John Macquorn Rankine (1820–1872), ingeniero escocés y uno de los arquitectos de la termodinámica clásica, trabajaba en problemas prácticos relacionados con turbinas, hélices marinas, estabilidad de barcos y corrientes atmosféricas. En aquella época, los modelos matemáticos predominantes describían vórtices puramente “potenciales”, es decir, sin viscosidad y sin rotación interna, lo cual funcionaba bien lejos del centro del remolino, pero fallaba por completo al intentar predecir qué ocurría en el núcleo, donde el fluido realmente gira como un conjunto cohesionado. Rankine propuso entonces, en la década de 1850, un modelo mixto que uniera lo mejor de ambos mundos: un núcleo sólido donde la viscosidad domina y el fluido rota como un cuerpo rígido, y una región externa irrotacional gobernada por la circulación clásica. Su propuesta, aunque simple, resolvía una paradoja central del estudio de los vórtices en su época: cómo conciliar las soluciones matemáticas ideales con el comportamiento observado en remolinos reales de agua, torbellinos atmosféricos e incluso estelas detrás de barcos y alas. Con el tiempo, este modelo se convirtió en un pilar de la teoría de vórtices y sirvió de base para desarrollos más avanzados en aerodinámica, hidrodinámica y meteorología moderna.

== Representación del flujo ==
=== Velocidad tangencial ===
Antes de abordar el tema de la circulación en el Vórtice de Rankine (o cualquier flujo rotacional), conviene conocer la definición de velocidad tangencial porque la circulación se define y se calcula esencialmente a través de la componente tangencial en el campo de velocidad.

La velocidad tangencial de una partícula que se mueve a lo largo de una curva
es el módulo del vector velocidad asociado a su parametrización.
Si la trayectoria viene dada por <math>\vec{r}(t)</math>,
el vector velocidad es <math>\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)</math>,
y la velocidad tangencial se define como:

<center><math>v_θ(t) = \lVert \vec{v}(t) \rVert</math></center>

Representa la rapidez con la que se recorre la curva por unidad de tiempo
y lleva la dirección del vector tangente unitario:

<center><math>\vec{t}(t) = \frac{\vec{v}(t)}{\lVert \vec{v}(t) \rVert}</math></center>

=== Circulación ===

==== Definición ====
La circulación es una forma de medir la cantidad de de rotación a lo largo de una trayectoria, de una curva cerrada. Se obtiene al hacer una integral de línea donde se suma la componente tangencial de la velocidad alrededor de esa curva cerrada.

Se conoce la siguiente función:
<math>v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R
\end{cases}
</math>, en este caso para obtener la circulación tendremos que aplicar la siguiente igualdad: <math>\rho = \text{R}</math>

Al remplazarlo en la siguiente función: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;</math>. Obtendremos la siguiente ecuación: <math>v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R} </math>.

Es decir:

<math>{\Gamma} = v_{\theta} 2\pi R </math>

\section{Circulación ($\Gamma$) y el Modelo de Vórtice de Rankine}

La \textbf{circulación} ($\Gamma$) es un concepto fundamental en la dinámica de fluidos, utilizado para cuantificar la \textbf{rotación} que un campo de velocidad imparte a lo largo de una trayectoria cerrada.

\subsection{Definición de la Circulación}

Matemáticamente, la circulación ($\Gamma$) de un campo de velocidad vectorial ($\mathbf{v}$) a lo largo de una \textbf{curva cerrada} ($C$) se define mediante la siguiente \textbf{integral de línea}:

$$\Gamma = \oint_{C} \mathbf{v} \cdot d\mathbf{r}$$

Donde $d\mathbf{r}$ es el vector diferencial de desplazamiento, tangente a la curva $C$. La integral representa la suma de la componente tangencial de la velocidad ($\mathbf{v}$) a lo largo de la trayectoria.

\subsection{Aplicación al Vórtice de Rankine}

El \textbf{Vórtice de Rankine} es un modelo idealizado que describe el campo de velocidades de un vórtice, dividido en un núcleo central rotacional y una región exterior irrotacional.

La \textbf{velocidad tangencial} ($v_{\theta}$) en este modelo, en función de la distancia radial ($\rho$) al centro, está definida por la siguiente función:

$$v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \quad (\text{Núcleo Rotacional}) \\[4mm]
\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho > R \quad (\text{Exterior Irrotacional})
\end{cases}$$

Donde $R$ es el radio del núcleo y $\Gamma$ es la circulación total del vórtice.

\subsubsection{Cálculo de la Circulación en la Frontera del Núcleo}

Para determinar la relación entre la circulación total $\Gamma$ y la velocidad máxima $v_{\theta}^{\text{máx}}$, se evalúa el flujo en la frontera del núcleo, donde $\rho = R$.

Al sustituir $\rho = R$ en la expresión de la velocidad del núcleo ($\rho \le R$):

$$v_{\theta}^{\text{máx}} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho$$

Sustituyendo el valor de $\rho=R$:

$$v_{\theta}^{\text{máx}} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, R$$

Simplificando la expresión:

$$v_{\theta}^{\text{máx}} = \frac{\Gamma}{2\pi R}$$

\subsubsection{Expresión Final de la Circulación}

Despejando $\Gamma$ de la ecuación anterior, se obtiene la relación entre la circulación total, la velocidad tangencial máxima y el radio del núcleo:

$${\Gamma} = v_{\theta}^{\text{máx}} 2\pi R$$

==== Calculos ====
Se conocen los siguientes datos que podremos remplazar en la fórmula anteriormente encontrada:

<math>R = 250m</math>

<math>v_{\theta} = 90m/s</math>

Al remplazar obtenemos el siguiente calculo:

<math>{\Gamma} = 2 \ pi \ 250 \ 90</math>

Finalmente obtenemos la circulación:

<math>{\Gamma} = 141 371,67\mathrm{m^2/s} </math> o bien <math>{\Gamma} = 1,4137 \cdot 10^5\mathrm{m^2/s} </math>

===== Representación =====

=== Campo de velocidad ===

El campo de velocidades del vórtice de Rankine viene dado por

<math>
\vec{v} = v_\theta(\rho)\,\vec{e}_\theta, \quad v_\rho = 0, \quad v_z = 0
</math>

donde

<math>
v_\theta(\rho) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\,\rho, & \rho \le R, \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi \rho}, & \rho > R.
\end{cases}
</math>
==== Divergencia ====

Para calcular la divergencia utilizamos su expresión en coordenadas cilíndricas
cuando <math>\vec{v} = (v_\rho, v_\theta, v_z)</math>:

<math>
\nabla\cdot\vec{v} =
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z}
</math>

En este caso

<math>
v_\rho = 0, \quad v_z = 0, \quad v_\theta = v_\theta(\rho)
</math>

Por tanto, cada término de la divergencia es

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\rho)}{\partial \rho} = 0
</math>

<math>
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0
</math>

<math>
\frac{\partial v_z}{\partial z} = 0
</math>

En consecuencia, la divergencia total en cada punto es

<math>
\nabla \cdot \vec{v} = 0
</math>

Interpretación física

Una divergencia nula indica que el flujo es ''incompresible'' y que no existen ni fuentes
ni sumideros de fluido: localmente el aire no se comprime ni se expande. El movimiento
es puramente tangencial, de modo que el vórtice rota sin acumular ni evacuar masa en
ningún punto. Esto es coherente con la ecuación de continuidad para un fluido de densidad
constante.

==== Rotacional ====
La fórmula general del rotacional en coordenadas cilíndricas para un campo

<math>
\vec{v} = v_\rho\,\vec{e}_\rho + v_\theta\,\vec{e}_\theta + v_z\,\vec{e}_z
</math>

es

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
\right)\vec{e}_\rho
+
\left(
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
\right)\vec{e}_\theta
+
\left(
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
\right)\vec{e}_z.
</math>

Sustituimos ahora el campo del vórtice:

- <math>v_\rho = 0</math>
- <math>v_z = 0</math>
- <math>v_\theta = v_\theta(\rho)</math> (solo depende de ρ)

Entonces:

1. Componente radial:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\rho
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_z}{\partial \theta}
- \frac{\partial v_\theta}{\partial z}
= 0 - 0 = 0.
</math>

2. Componente azimutal:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_\theta
=
\frac{\partial v_\rho}{\partial z}
- \frac{\partial v_z}{\partial \rho}
= 0 - 0 = 0.
</math>

3. Componente vertical:

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}
- \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_\rho}{\partial \theta}
=
\frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial \rho}.
</math>

Ahora calculamos esta derivada en cada región:

Para ρ ≤ R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\rho,
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi R^{2}} \rho^{2},
</math>

<math>
\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho v_\theta)
= \dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho.
</math>

Entonces

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z
=
\frac{1}{\rho}\,
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}\rho
=
\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}.
</math>

Para ρ > R:

<math>
v_\theta(\rho) = \dfrac{\Gamma}{2\pi \rho},
</math>

<math>
\rho v_\theta = \dfrac{\Gamma}{2\pi},
</math>

y como es constante,

<math>
\frac{\partial(\rho v_\theta)}{\partial\rho} = 0,
</math>

por lo que

<math>
(\nabla\times\vec{v})_z = 0.
</math>

Dando como resultado final

<math>
\nabla\times\vec{v} =
\begin{cases}
(0,\,0,\,\dfrac{\Gamma}{\pi R^{2}}), & \rho \le R,\\[6pt]
(0,\,0,\,0), & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Interpretación física

La vorticidad es constante dentro del núcleo del vórtice, lo que indica una rotación real
del fluido equivalente a un giro como el de un cuerpo sólido. Fuera del núcleo la vorticidad
se anula y el flujo es irrotacional: el campo exterior se comporta como un vórtice potencial.
Toda la rotación física del flujo se concentra en el interior del núcleo.

==== Campo Escalar ====

===== Representación =====
===== Análisis =====

== Campo de presión ==
=== Definición ===
El campo de presión es un campo escalar que nos define la magnitud de la presión en cada punto del espacio. Para poder obtenerlo, debemos usar la siguiente fórmula:

<math>
p(\rho,z) =
\begin{cases}
P_0 + \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho \le R, \\[6pt]
P_\infty - \dfrac{1}{2}\,\rho_{\text{aire}}\, v_\theta^2(\rho) - \rho_{\text{aire}} g z, & \text{si } \rho > R,
\end{cases}
</math>

=== Cálculos ===

Datos:

P0 = 92 000 Pa

P∞ = 101 325 Pa

<math>\rho</math> = 1,225kg/m^3

=== Representación ===
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
clc, clear
% Datos
P0 = 92000; % Pa
Pinf = 101325; % Pa
rho_air = 1.225; % kg/m^3
Gamma = 1.4137e5; % m^2/s
R = 250; % m
g = 9.81; % m/s^2

% Mallado
rho = linspace(0,1000,1000); % coordenada radial [m]
z = linspace(0,2800,300); % altura [m]

% Crear mallas 2D
[RHO, Z] = meshgrid(rho, z);

% Velocidad tangencial v_theta
vtheta = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
inside = RHO <= R;
vtheta(inside) = (Gamma ./ (2*pi*R^2)) .* RHO(inside);

% Fuera del núcleo
outside = RHO > R;
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*RHO(outside));

% Campo de presión p(rho,z)
p = zeros(size(RHO));

% Dentro del núcleo
p(inside) = P0 + 0.5 * rho_air .* vtheta(inside).^2 - rho_air * g .* Z(inside);

% Fuera del núcleo
p(outside) = Pinf - 0.5 * rho_air .* vtheta(outside).^2 - rho_air * g .* Z(outside);

% ---- Dibujo del campo de presiones ----

figure;
contourf(RHO, Z, p, 50, 'LineColor','K');
c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (Pa)';
xlabel('\rho [m]');
ylabel('z [m]');
title('Campo de presión p(\rho,z)');
</source>
| [[Archivo:PresionesGrupo47.png|600px]]
|}

== Otros Vórtices ==
=== Diferentes tipos de vórtices atmosféricos ===
==== Tornados ====
Los tornados son columnas de aire que rotan de forma violenta, se caracterizan porque se apoyan en superficie y llegan hasta las nubes, en concreto hasta una nube cumulonimbos.

Son conocidos por ser los vórtices atmosféricos más intensos, van a velocidades desde 100km/h y se clasifican en función de su velocidad.

{| class="wikitable"
|+ Escala Fujita Mejorada (EF)
! Categoría
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| EF0
| 105–137
|-
| EF1
| 138–178
|-
| EF2
| 179–218
|-
| EF3
| 219–266
|-
| EF4
| 267–322
|-
| EF5
| ≥ 323
|}

==== Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales ====
Los huracanes, tifones y ciclones tropicales se refieren al mismo fenómeno, su única diferencia es donde se ubican geográficamente. Estos vórtices atmosféricos se forman sobre aguas cálidas, su temperatura debe ser superior a 26ºC en los primeros 50 metros de profundidad, con estos requisitos se evapora suficiente agua, el aire calido y humedo asciende, se genera una baja presión y cuando se condensa se libera calor latente. Se desplazan a una velocidad de entre 15km/h y 30km/h pero su capacidad destructiva se basa en la velocidad del viento dentro del vórtice. Suelen ser más grandes pero esta velocidad del viento suele ser menor a la de los tornados.

==== Dust Devil ====
Los Dust Devil, también conocidos como remolino de polvo son considerados como tornados en miniatura ya que poseen propiedades parecidas pero su tamaño es mucho menor, sus vientos son mucho menos veloces, unos 20-70km/h en promedio y no suelen causar daños. Se forman en días calurosos cuando el aire es seco e inestable cerca del suelo, este aire asciende y empieza a girar dando como resultado un remolino de polvo que solo dura unos pocos minutos.

==== Vórtice de estela ====
Son remolinos de aire que se forman cuando un objeto se desplaza a través de un fluido, se producen porque para volver al mismo nivel de presión tiene que girar por lo que se forman vórtices. Son conocidos por formarse detrás de las alas de los aviones y de las hélices de los helicópteros. Son peligrosos ya que alcanzan velocidades de entre 100km/h a 200km/h pero son pequeños, menos de una decena de metros aunque escala en función del tamaño del objeto.

=== Diferencias ===
==== Escala ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Diametro (m)
! Altura (m)
|-
| Tornados
| 10-2.000
| 100-1.000
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 100.000-600.000
| 10.000-20.000
|-
| Dust Devil
| 1-10
| 10-100
|-
| Vórtice de estela
| 0-10
| 0-10 (pero descienden cientos de metros)

|}

==== Intensidad ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de Escala
! Tipo
! Velocidad de traslación (km/h)
! Velocidad del viento (km/h)
|-
| Tornados
| 10-100
| 100-330+
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| 15-50
| 120-250+
|-
| Dust Devil
| 10-30
| 20-70
|-
| Vórtice de estela
| 0-1000 (depende de la velocidad del objeto)
| 100-200

|}

==== Formación ====
{| class="wikitable"
|+ Diferencia de formación
! Tipo
! Formación
! Fuente de energía
! Condiciones
|-
| Tornados
| Inestabilidad vertical del aire y vorticidad horizontal
|
| Cielos inestables, fuertes corrientes de aire ascendente, alta cizalladura del viento
|-
| Huracanes/Tifones/Ciclones Tropicales
| Océanos cálidos, el agua se evapora y el aire cálido y húmedo asciende, se forman por la aceleración de Coriolis
|
| Agua cálida (>26ºC), distancia suficiente al ecuador, baja cizalladura del viento
|-
| Dust Devil
| Ascenso del aire caliente cercano al suelo, este comienza a girar debido a vorticidad local y baja presión
|
| Días soleados, suelos áridos, poco viento ambiental
|-
| Vórtice de estela
| 219–266
|
|

|}

=== Modelo de Burgers-Rott ===

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T19:46:07Z

Xinhao.zhang: /* Velocidad tangencial */

El Vórtice de Rankine (Grupo47)

2025-12-04T19:08:53Z

Xinhao.zhang: /* Velocidad tangencial */