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Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T12:32:22Z

Xavier Grimalt: /* .-Ecuación de Bernoulli */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|650px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

 

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

* <math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>
* <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

 

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:
[math]
u_{\rho}(1,\theta) = 0,
\qquad
u_{\theta}(1,\theta) = -2 \sin\theta.
[/math]

 

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

* <math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

 

- Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo: <math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>
 

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo. Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

 

- Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima: <math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math> lo cual ocurre en: <math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>
 

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

 
 

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T12:32:00Z

Xavier Grimalt: /* .-Ecuación de Bernoulli */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|750px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

 

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

* <math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>
* <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

 

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:
[math]
u_{\rho}(1,\theta) = 0,
\qquad
u_{\theta}(1,\theta) = -2 \sin\theta.
[/math]

 

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

* <math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

 

- Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo: <math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>
 

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo. Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

 

- Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima: <math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math> lo cual ocurre en: <math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>
 

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

 
 

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T12:31:27Z

Xavier Grimalt: /* .-Ecuación de Bernoulli */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.
[[Archivo:apartadonum6.jpg|550px|thumb|right|Figura 6 - Campo de presiones]]
{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

 

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

* <math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>
* <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

 

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:
[math]
u_{\rho}(1,\theta) = 0,
\qquad
u_{\theta}(1,\theta) = -2 \sin\theta.
[/math]

 

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

* <math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

 

- Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo: <math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>
 

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo. Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

 

- Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima: <math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math> lo cual ocurre en: <math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>
 

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

 
 

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
- [math]\boxed{\text{Rotacional}}[/math]: El rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto.

 

En coordenadas cilíndricas se calcula como: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\\frac{\partial}{\partial\rho}&\frac{\partial}{\partial\theta}&\frac{\partial}{\partial z}\\u_\rho&\rho u_\theta&u_z\end{vmatrix}[/math]
 

Las componentes del campo obtenidas del potencial son:
*[math]u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

*[math]u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho}[/math]

*[math]u_z=0[/math]

 

Sustituyendo: [math]\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[\vec{e}_\rho(0)+\vec{e}_\theta(0)+\vec{e}_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}\right)\right][/math]

 

Cálculo de los términos:

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math]

* [math]\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta[/math]

 

Entonces: [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta)-\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta}=-\frac{1}{4\pi\rho^2}[/math] y por tanto: [math]\nabla\times\vec{u}=-\frac{1}{4\pi\rho^{3}}\vec{e}_z[/math]

 

Lejos del cilindro ([math]\rho\gg1[/math]) el campo es prácticamente irrotacional.

 
 
 

- [math]\boxed{\text{Divergencia}}[/math]: La divergencia mide el flujo neto entrante o saliente.

 

En coordenadas cilíndricas: [math]\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right\}[/math]

 

Sustituyendo:

* [math]\rho u_\rho=(\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)=(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

* [math]\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}=-(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta[/math]

 

Entonces: [math]\nabla\cdot\vec{u}=\frac{1}{\rho}\left[(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta-(1+\tfrac{1}{\rho^{2}})\cos\theta\right]=0[/math] y por tanto, el campo es incompresible: [math]\nabla\cdot\vec{u}=0[/math].

 
 

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:

 [math]\vec{v}=\vec{k}\times\vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{e}_\rho&\vec{e}_\theta&\vec{e}_z\\0&0&1\\\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}&\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}&0\end{vmatrix}=-\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta[/math]

 

La función potencial dada es: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

 

Calculamos sus derivadas parciales:

* <math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta </math>
* <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

 

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

- [math]V_\rho = \left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}[/math]

- [math]V_\theta = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta[/math]

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano): [math]\frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho \qquad,\frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta[/math]

 

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función: [math]\boxed{\psi(\rho,\theta)=\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\sin\theta-\frac{1}{4\pi}\ln(\rho)}[/math]

 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Archivo:Apartadonum6.jpg

2025-12-04T12:30:10Z

Xavier Grimalt:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-04T10:13:18Z

Xavier Grimalt: /* .-Trayectoria de la Partícula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 
 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran: <math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>
 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

{{matlab|codigo=
%% Parámetros del problema
Uinf = 1; % Velocidad del flujo no perturbado
Rcil = 1; % Radio del cilindro
NN = 420; % Resolución de la malla

dens = 1.2; % Densidad del fluido

%% Construcción de la malla 2D
xx = linspace(-3.2, 3.2, NN);
yy = linspace(-3.2, 3.2, NN);
[XX, YY] = meshgrid(xx, yy);

RR = hypot(XX, YY);
ANG = atan2(YY, XX);

%% Campo de velocidades
u_rad = Uinf .* cos(ANG) .* (1 - (Rcil^2 ./ RR.^2));
u_tan = -Uinf .* sin(ANG) .* (1 + (Rcil^2 ./ RR.^2));

Ux = u_rad .* cos(ANG) - u_tan .* sin(ANG);
Uy = u_rad .* sin(ANG) + u_tan .* cos(ANG);

Vnorm = sqrt(Ux.^2 + Uy.^2);
maskCil = (RR < Rcil);
Vnorm(maskCil) = NaN;

%% Coeficiente de presión
Cp_field = 1 - (Vnorm ./ Uinf).^2;

%% Presión dimensional
pres = 0.5 * dens * Uinf^2 .* Cp_field;
pres(maskCil) = NaN;

%% Gráfica
figure('Color', [1 1 1]);
contourf(XX, YY, Cp_field, 55, 'LineStyle', 'none');
colormap(turbo);
colorbar;

hold on
thetaPlot = linspace(0, 2*pi, 350);
plot(Rcil*cos(thetaPlot), Rcil*sin(thetaPlot), 'w', 'LineWidth', 2);

axis equal
xlabel('Coordenada X');
ylabel('Coordenada Y');
title('Distribución del coeficiente de presión alrededor de un cilindro');
}}

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial: <math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

 

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

* <math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>
* <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

 

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:
[math]
u_{\rho}(1,\theta) = 0,
\qquad
u_{\theta}(1,\theta) = -2 \sin\theta.
[/math]

 

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

* <math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

 

- Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo: <math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>
 

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo. Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

 

- Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima: <math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math> lo cual ocurre en: <math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>
 

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

 
 

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula. Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 

Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral: <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 

* <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta </math>
 

*<math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho </math>
 

*<math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math>
Para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: <math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math>

 

- Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral: <math>\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

* <math>\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0 </math>
 

*<math> \int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula: <math>\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0 </math>

 
 

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==

===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido, al calcularse la velocidad a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: [math]\boxed{\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_{\theta}}[/math]

 

La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>
 

Sus derivadas parciales son:

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

* <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

* <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas. Usamos la transformación:
 

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:
 

- <math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:49:55Z

Xavier Grimalt: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:49:02Z

Xavier Grimalt: /* .-Función Potencial y Campo de Velocidades */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|350px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:46:51Z

Xavier Grimalt: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|500px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:46:17Z

Xavier Grimalt: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|550px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|550px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|500|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:45:25Z

Xavier Grimalt: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|450px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|450px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|450|thumb|Centro]]

Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T15:40:24Z

Xavier Grimalt: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las partículas del fluido. Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a <math>\boxed{\vec{u} : \vec{v} = \vec{k} \times \vec{u}}</math> : <math>\vec{v}
=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

 

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

 

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

* <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

* <math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:<math> \boxed{ \psi=\sin\theta\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) } </math>

Una vez calculado <math>\psi</math> del campo <math>\vec{u}</math>, con la ayuda de MATLAB verificamos que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Se puede ver gráficamente, gracias a el siguiente codigo de matlab:

[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-03 154954.png|425px|thumb|right|Figura 4 - Líneas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Aun cuando los vectores de <math>\vec{v}</math> se presentan como ortogonales respecto a las líneas de corriente, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a dichas curvas, manteniendo, a su vez, una perpendicularidad rigurosa con los vectores anteriormente citados de <math>\vec{v}</math>.Para poder demostrar esta afirmación graficamente, nos apoyamos en un codgio MATLAB.
[[Archivo:FOTO2.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math>\vec v</math> y <math>\vec u</math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((rho-1./rho).*sin(theta));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX= ((1+1./(rho.^2)).*sin(theta));
DY= ((1-1./(rho.^2)).*cos(theta));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX= (1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY= -(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

[[Archivo:FOTO3.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
Con el objetivo de una apreciación más detallada de la tangencialidad que forma <math>\vec{u}</math> con las líneas de corriente y de ortogonalidad formada por <math>\vec{v}</math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la representación gráfica en un punto particular. Cabe destacar que esta relación se mantiene de manera uniforme en todo el campo, como se comprueba en la siguiente gráfica:

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>
 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Como p <math>\vec{n}</math> es la fuerza que ejerce el fluido en cada punto de la frontera, al sumar la proyección de todas estas fuerzas sobre la dirección <math>\vec{i}</math> la resultante es nula.
Por lo que, el fluido no realizara ninguna fuerza sobre el obstáculo en la dirección horizontal.

 
Para poder demostrarlo, hay que resolver la siguiente integral:

 <math> \int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta </math>
 
 <math>p = 5 - 4 \sin^2\theta
</math>
 
 <math> \vec{n} = - \vec{e}_\rho
</math>
 
 <math>\vec {i} = 1\cdot\vec {i}</math> ; para hallar el valor de este vector en cilíndricas se usará la matriz de cambio de base previamente utilizada pero traspuesta: 
y el vector unitario horizontal en cilíndricas se obtiene mediante la matriz de cambio de base transpuesta:
 
<math> \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = cos(\theta)\vec {e}_\rho-sin(\theta)\vec {e}_\theta</math> 
Finalmente se llega a <math>\vec {n}\cdot\vec {i}=-cos(\theta)</math> pudiéndose así realizar la integral:

 <math>
\int_0^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = \int_0^{2\pi} (5 - 4 \sin^2\theta) \cdot (-\cos\theta) , d\theta = \int_0^{2\pi} (-5 \cos\theta + 4 \cos\theta \sin^2\theta) , d\theta
</math>

 

Resolviendo término a término:

 <math>
\int_0^{2\pi} -5 \cos\theta , d\theta = [-5 \sin\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>
 <math>
\int_0^{2\pi} 4 \cos\theta \sin^2\theta , d\theta = [\frac{4}{3} \sin^3\theta]_0^{2\pi} = 0
</math>

 

Por lo tanto, la integral total es nula:

 <math>
\int_{0}^{2\pi} p \cdot \vec{n} \cdot \vec{i} , d\theta = 0
</math>

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===

Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 
[[Archivo:PotEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:
<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}\theta</math>.

 

La función potencial es:
<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta + \frac{\theta}{4\pi}</math>.

 

Sus derivadas parciales son:
<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi}</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>

<math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

<math>u_x = \left(1 - \frac{1}{\rho^2}\right)\cos^2\theta + \left(1 + \frac{1}{\rho^2}\right)\sin^2\theta - \frac{1}{4\pi\rho}\sin\theta</math>,

<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta + \frac{1}{4\pi\rho}\cos\theta</math>.

 
[[Archivo:VeloEje9.png|400px|miniaturadeimagen]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de Velocidades');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T11:24:06Z

Xavier Grimalt: /* .-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido.Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a

<math>\vec{u}</math> : <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}

=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

En el apartado 3.1 se ha comprobado que , el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Este resultado implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Al haber despejado e integrado ambas ecuaciones <math>\frac{1}{\rho }</math> se obtiene la función:

𝜓(𝜌,𝜃)=(𝜌−1𝜌)sin𝜃+ln(𝜌)
ψ(ρ,θ)=(ρ−ρ1)sinθ+ln(ρ)
 

Una vez se dispone de <math>\psi</math> y del campo <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB para verificar que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Esto se ilustra con el siguiente código:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).cos(theta).sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Del mismo modo, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a las líneas de corriente, y por tanto perpendiculares a los vectores de <math>\vec{v}</math>.
Para visualizar esta propiedad se utiliza el siguiente código:

[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).cos(theta).sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX=(1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY=-(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Para una mejor apreciación de la tangencia de <math>\vec{u}</math> y la ortogonalidad de <math>\vec{v}</math> con respecto a las líneas de corriente, se amplía un punto representativo:

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]

)

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanálisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T11:17:47Z

Xavier Grimalt: /* .-Ecuación de Bernoulli */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido.Por lo que se comenzará calculando el campo <math>\vec{v}</math>, que en cada punto es ortogonal a<math>\vec{u}</math> : <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}

=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

Como se comprobó en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Esto implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Tras integrar ambas ecuaciones se obtiene finalmente:

𝜓
(
𝜌
,
𝜃
)
=
(
𝜌
−
1
𝜌
)
sin
⁡
𝜃
+
ln
⁡
(
𝜌
)
ψ(ρ,θ)=(ρ−
ρ
1

)sinθ+ln(ρ)
 

Una vez se dispone de <math>\psi</math> y del campo <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB para verificar que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Esto se ilustra con el siguiente código:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).cos(theta).sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Del mismo modo, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a las líneas de corriente, y por tanto perpendiculares a los vectores de <math>\vec{v}</math>.
Para visualizar esta propiedad se utiliza el siguiente código:

[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).cos(theta).sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX=(1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY=-(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Para una mejor apreciación de la tangencia de <math>\vec{u}</math> y la ortogonalidad de <math>\vec{v}</math> con respecto a las líneas de corriente, se amplía un punto representativo:

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]

)

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Figura 7 - Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|400px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T11:16:24Z

Xavier Grimalt: /* .-Ecuación de Bernoulli */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}

=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

Como se comprobó en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Esto implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Tras integrar ambas ecuaciones se obtiene finalmente:

𝜓
(
𝜌
,
𝜃
)
=
(
𝜌
−
1
𝜌
)
sin
⁡
𝜃
+
ln
⁡
(
𝜌
)
ψ(ρ,θ)=(ρ−
ρ
1

)sinθ+ln(ρ)
 

Una vez se dispone de <math>\psi</math> y del campo <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB para verificar que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Esto se ilustra con el siguiente código:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).cos(theta).sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Del mismo modo, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a las líneas de corriente, y por tanto perpendiculares a los vectores de <math>\vec{v}</math>.
Para visualizar esta propiedad se utiliza el siguiente código:

[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).cos(theta).sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX=(1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY=-(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Para una mejor apreciación de la tangencia de <math>\vec{u}</math> y la ortogonalidad de <math>\vec{v}</math> con respecto a las líneas de corriente, se amplía un punto representativo:

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]

)

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Figura 6 - Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-03T11:15:57Z

Xavier Grimalt: /* .-Ecuación de Bernoulli */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}

=\begin{vmatrix} \vec e_\rho & \vec e_\theta & \vec e_z \\ 0 & 0 & 1 \\ (1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta & -(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta & 0 \end{vmatrix} =(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta\,\vec e_\rho +\left(1-\tfrac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\,\vec e_\theta </math>

Como se comprobó en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo.
Esto implica que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> posee un potencial <math>\psi</math>, cuyo gradiente coincide con el propio campo.

Para determinar dicho potencial debe resolverse el sistema (se desprecia <math>V_z</math>):

 

<math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi}{\partial \theta}=V_\theta </math>

 

Tras integrar ambas ecuaciones se obtiene finalmente:

𝜓
(
𝜌
,
𝜃
)
=
(
𝜌
−
1
𝜌
)
sin
⁡
𝜃
+
ln
⁡
(
𝜌
)
ψ(ρ,θ)=(ρ−
ρ
1

)sinθ+ln(ρ)
 

Una vez se dispone de <math>\psi</math> y del campo <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB para verificar que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>.
Esto se ilustra con el siguiente código:

[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).cos(theta).sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

Del mismo modo, los vectores de <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a las líneas de corriente, y por tanto perpendiculares a los vectores de <math>\vec{v}</math>.
Para visualizar esta propiedad se utiliza el siguiente código:

[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Gradiente de PSI (campo v)
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).cos(theta).sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial phi (campo u)
DXX=(1-1./(rho.^2)).*cos(theta);
DYY=-(1+1./(rho.^2)).*sin(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Para una mejor apreciación de la tangencia de <math>\vec{u}</math> y la ortogonalidad de <math>\vec{v}</math> con respecto a las líneas de corriente, se amplía un punto representativo:

[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]

)

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

 

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

[[Archivo:apartado6final.png|450px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}

 

Como los vectores <math>\vec{v}</math> son perpendiculares a las líneas de corriente, los vectores <math>\vec{u}</math> deben ser tangentes a ellas y, por tanto, ortogonales a <math>\vec{v}</math>. Para visualizar esta propiedad se ha generado un código que muestra claramente dichos ángulos rectos.

[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:Captura de pantalla 2025-12-02 201628.png|400px|miniaturadeimagen|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:VyU2.png|400px|miniaturadeimagen|]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:35:22Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de remanso */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar mejor estos puntos calculados visualmente a través de MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|700px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Archivo:Puntosapartado5.jpg

2025-12-02T18:32:05Z

Xavier Grimalt:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:31:36Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de remanso */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

[[Archivo:puntosapartado5.jpg|550px|thumb|right|Figura 5 - Visualización de los puntos de remanso y de velocidades máxima y mínima]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:26:43Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de remanso */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%%PUNTOS DE LA FRONTERA S
%Velocidad máxima: (0,1) y (0,-1)
p_max = [0 1;
0 -1];

%Velocidad mínima: (1,0) y (-1,0)
p_min = [1 0;
-1 0];

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular

%Dibujar puntos
plot(p_max(:,1), p_max(:,2), 'bo', 'MarkerFaceColor','b', 'MarkerSize',8);
plot(p_min(:,1), p_min(:,2), 'mo', 'MarkerFaceColor','m', 'MarkerSize',8);

legend('Líneas de potencial','Campo de velocidades',...
'Obstáculo','Vel. máxima','Vel. mínima');

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades con Puntos Característicos');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:26:21Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de la frontera S */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:20:05Z

Xavier Grimalt: /* .-Rotacional y Divergencia */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

%Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de velocidad máxima en la frontera
plot(0,1,'g*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
plot(0,-1,'g*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de velocidad máxima y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:18:43Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación de la Función Potencial */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

%Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de velocidad máxima en la frontera
plot(0,1,'g*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
plot(0,-1,'g*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de velocidad máxima y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:17:47Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de la frontera S */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

%Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de velocidad máxima en la frontera
plot(0,1,'g*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
plot(0,-1,'g*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de velocidad máxima y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:15:18Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de remanso */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
Los puntos de remanso sobre 𝑆 se obtienen imponiendo:
<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1}=0,\quad u_{\theta}\big|_{\rho=1}=0 \;\Longrightarrow\; -2\sin\theta=0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta=0. </math>
 
De aquí: <math> \theta = 0,\quad \theta=\pi. </math>

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Observaciones físicas:

En estos puntos la velocidad del fluido es nula respecto al sólido (puntos de estancamiento en la superficie del cilindro). 
Según la ecuación de Bernoulli (en flujo potencial incompresible), un punto de remanso corresponde localmente a un máximo de presión estática.

 

Se pueden observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:09:48Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de la frontera S */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:
* <math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
* <math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

 

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es: <math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

 

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir: <math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

 

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

 

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:09:11Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de la frontera S */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>       En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),(0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>           En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),(-1,\,0). </math>

 

También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:
* <math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
* <math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

 

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es: <math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

 

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir: <math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

 

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

 

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:06:31Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de la frontera S */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>
En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{max}} = (0,\,1),\qquad (0,\,-1). </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>
En cartesianas: <math> (\,x,y\,)_{\text{min}} = (1,\,0),\qquad (-1,\,0). </math>
 
También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:
* <math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
* <math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

 

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es: <math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

 

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir: <math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

 

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

 

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T18:01:28Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de la frontera S */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple: <math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>

 

En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_{\rho}\big|_{\rho=1} = 0, \qquad u_{\theta}\big|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

 

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

 

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>

 
También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:
* <math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
* <math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

 

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es: <math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

 

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir: <math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

 

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

 

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T17:56:06Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de Frontera S y Remanso */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo es estudiar el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4].

 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar: <math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>, definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

 

En este caso, la función potencial viene dada por: <math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

 

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>, lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

 

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

 

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido. Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial: <math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

 

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por: <math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

 

* La función potencial es: <math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

 

* Sus derivadas parciales son: <math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

 

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son: <math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

 

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

- <math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

- <math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

 

Tras realizar los cálculos:

- <math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

- <math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

 

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial proporcionan información esencial sobre el comportamiento físico del fluido que representan. La divergencia permite identificar si el fluido se comprime o se expande localmente, mientras que el rotacional muestra si las partículas experimentan algún tipo de giro o movimiento

 
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

* El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

* El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

 

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.

 
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

* <math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.

 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores velocidad de las párticulas del fluido. Para hallar estas lineas, hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>
<math>\nabla\times\vec{v}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z [6pt]\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} [6pt]v_\rho & \rho v_\theta & 0\end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\frac{\partial \psi}{\partial\rho}\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)\right)\right]=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_z\left(-\rho\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} - \frac{\partial\psi}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right)\right]\nabla\times\vec{v} = -\vec e_z\left(\frac{\partial^2\psi}{\partial\rho^2} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial\theta^2}\right) = -\vec e_z (\nabla^2\psi)</math>

 

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad.Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo.
 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.
 

===.-Puntos de la frontera S===
Sobre la frontera se cumple:

<math>\rho = 1 . </math>

Las componentes del campo de velocidades (ya calculadas previamente) eran:

<math> u_\rho = \left( 1 - \frac{1}{\rho^2} \right)\cos\theta, \qquad u_\theta = -\left( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right)\sin\theta. </math>
 
En la frontera <math> \rho = 1 . </math>

<math> u_|_{\rho=1} = 0, \qquad u_\theta|_{\rho=1} = -2\sin\theta. </math>

La rapidez sobre 𝑆 es:

<math> |\vec{u}| = 2\,|\sin\theta|. </math>

* Máxima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}. </math>

* Mínima velocidad en 𝑆:

Ocurre cuando:

<math> |\sin\theta| = 0 \quad\Rightarrow\quad \theta = 0,\ \pi. </math>

 
También se podría haber derivado la expresión de la rapidez e igualado a cero para obtener los extremos, pero ambos procedimientos —derivar o razonarlo directamente a partir de 2∣sin𝜃∣— conducen exactamente al mismo resultado.

 

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:
* <math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
* <math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

 

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es: <math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

 

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir: <math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

 

En coordenadas cartesianas:

* <math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
* <math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

 

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Con el fin de determinar los puntos donde el fluido alcanza mayor y menor presión, se considera una densidad constante igual a 2 (d=2). Además, debe cumplirse la ecuación de Bernoulli, de modo que <math>\tfrac{1}{2}d|\vec{u}|^2 + p = \text{cte}</math> y para simplificar los cálculos, se asigna a dicha constante el valor 10.

 

Sustituyendo y despejando la presión, obtenemos finalmente: <math>p = 10 - |\vec{u}|^2</math>.

 

* El módulo del gradiente es: <math>|\vec{u}| = \sqrt{\left((1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta\right)^2 + \left(-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta\right)^2}</math>.

 

* El módulo del gradiente al cuadrado, es decir <math>|\vec{u}|^2</math>, resulta ser: <math>|\vec{u}|^2 = \cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)</math>.

 

Por lo tanto, la presión queda dada por: <math>p = 10 - \left[\cos^2\theta\left(1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right) + \sin^2\theta\left(1 + \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}\right)\right]</math>.

 

Este campo de presiones se representa en la siguiente gráfica, obtenida mediante el código desarrollado en MATLAB.

==.-Trayectoria de la Partícula==
Si fuéramos una partícula del fluido, seguiríamos la trayectoria de una línea de corriente. Para analizar cómo cambiarían nuestra velocidad y presión al rodear el obstáculo, partimos del potencial:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta. </math>

Las componentes del campo de velocidades se obtienen derivando:

<math> u_\rho=\frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> u_\theta=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -\left(1+\frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta. </math>

Al considerarlo sobre el borde del obstáculo <math>\rho=1</math>, queda:

<math> u_\rho(1,\theta)=0,\qquad u_\theta(1,\theta)=-2\sin\theta. </math>

Por lo tanto, el módulo de la velocidad en la superficie del cuerpo viene dado por:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = | -2\sin\theta | = 2|\sin\theta|. </math>

Esto significa que la velocidad es máxima cuando <math>|\sin\theta|=1</math>, es decir, en las posiciones laterales del obstáculo:

<math> \theta=\frac{\pi}{2},\qquad \theta=\frac{3\pi}{2}. </math>

En estas zonas el fluido se acelera debido a la geometría del obstáculo.
Según el principio de Bernoulli, donde la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que la presión es mínima en los lados del cilindro.

Por el contrario, cuando <math>\sin\theta=0</math>, la velocidad es mínima:

<math> |\vec{u}(1,\theta)| = 0, </math>

lo cual ocurre en:

<math> \theta=0,\qquad \theta=\pi. </math>

En estas zonas el fluido prácticamente se detiene al encontrarse de frente con el obstáculo, por lo que la presión es máxima.

Para representar visualmente estas variaciones de velocidad alrededor del obstáculo, se utiliza el siguiente código en MATLAB:

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Para demostrar que el fluido no ejerce ningún empuje sobre el obstáculo en dirección horizontal, se resolverá la siguiente integral:

<math>\int p\vec n \vec i\,d\theta=0</math>

El sumatorio de esta proyección calculado en dirección i es nulo, por lo que, el fluido no realiza ningún empuje sobre el obstáculo en la dirección horizontal.
Sean:

p: presión particularizada en <math>\rho=1</math>

<math>\vec n</math>: vector perpendicular a la curva

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
-Rotacional-
Por su parte, el rotacional indica la dirección y la velocidad del giro del campo en cada punto. En él se considera el movimiento del fluido y su tendencia a inducir rotación en cada punto. Se calcula el rotacional, tal que:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho} \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix} </math>

Sustituyendo las componentes del campo obtenidas a partir del nuevo potencial:

<math> u_\rho=(1-\frac{1}{\rho^2})\cos\theta,\qquad u_\theta=-(1+\frac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho},\qquad u_z=0, </math>

tenemos:

<math> \nabla\times \vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ \vec{e}_\rho(0) + \vec{e}_\theta(0) + \vec{e}_z \left( \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right) \right]. </math>

Calculamos los términos:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) = \frac{\partial}{\partial\rho} \left[ \rho\left( -(1+\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta+\frac{1}{4\pi\rho} \right) \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2}, </math> <math> \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ (1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta. </math>

Entonces:

<math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\theta) - \frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} = -(1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta-\frac{1}{4\pi\rho^2} + (1-\tfrac{1}{\rho^2})\sin\theta = -\frac{1}{4\pi\rho^2}. </math>

Dado que este término está multiplicado por <math>\vec{e}_z</math> y además dividido por <math>\rho</math>, queda:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left(0+0-\frac{1}{4\pi\rho^2}\vec{e}_z\right) = -\frac{1}{4\pi\rho^3}\vec{e}_z. </math>

Por tanto, el campo no tiene rotación salvo por una pequeña contribución del término angular, y se hace despreciable lejos del cilindro. En zonas de estudio donde <math>\rho \gg 1</math>, se considera aproximadamente irrotacional.

Divergencia
La divergencia de un campo vectorial es una magnitud escalar que compara el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie.

En coordenadas cilíndricas:

<math> \nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z) = \frac{1}{\rho} \left\{ \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} + \frac{\partial u_z}{\partial z} \right\}. </math>

Como trabajamos en 2D, <math>u_z=0</math> y su derivada también.

Sustituimos:

<math> \rho u_\rho = \rho(1-\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta = (\rho-\tfrac{1}{\rho})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) = (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta, </math> <math> \frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} = -\,(1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta. </math>

Por tanto:

<math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left[ (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta - (1+\tfrac{1}{\rho^2})\cos\theta \right] = 0. </math>

Como se puede observar, también se demuestra que la divergencia es nula, dado que
<math>\nabla\cdot\vec{u}=0</math>, lo que indica que el volumen del fluido es constante, es decir, el fluido no se expande ni se contrae: se cumple la condición de incompresibilidad.

===.-Lineas de Corriente de campo u===
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial:
<math>\vec{v}=\vec{k}\times \vec{u}</math>:

 <math> \vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z\\ 0 & 0 & 1\\ \frac{\partial \varphi}{\partial\rho} & \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} & 0 \end{vmatrix} = -\left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\rho + \left(\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right)\vec{e}_\theta. </math>

 

La función potencial dada es:

<math> \varphi(\rho,\theta)=\left(\rho+\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta+\frac{\theta}{4\pi}. </math>

Calculamos sus derivadas parciales:

<math> \frac{\partial\varphi}{\partial\rho} = \left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta, </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\varphi}{\partial\theta} = -(1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta + \frac{1}{4\pi\rho}. </math>

Sustituyendo en la expresión de <math>\vec{v}</math> obtenemos:

<math> V_\rho = (1+\frac{1}{\rho^{2}})\sin\theta - \frac{1}{4\pi\rho}, </math> <math> V_\theta = (1-\frac{1}{\rho^{2}})\cos\theta. </math>

 

Como se ha comprobado en el apartado anterior, el rotacional de <math>\vec{v}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi</math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z</math> ya que se está trabajando en el plano):

<math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho}=V_\rho </math> <math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=V_\theta. </math>

Tras despejar <math>\frac{1}{\rho}</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función:

<math> \psi(\rho,\theta)= (\rho-\frac{1}{\rho})\sin\theta - \frac{1}{4\pi}\ln(\rho). </math> 

Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{v}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi)).*(1./rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:

{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
C = @(rho,theta)( sin(theta).*(rho - 1./rho) + (theta/(4*pi)).*log(rho) );
Z = C(rho,theta);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
contour(X,Y,Z,30)
hold on
dpsi_r = sin(theta).*(1 + 1./(rho.^2)) + (theta./(4*pi))./(rho);
dpsi_t = cos(theta).*(rho - 1./rho) + (1/(4*pi))*log(rho);
DX = dpsi_r.*cos(theta) - (dpsi_t./rho).*sin(theta);
DY = dpsi_r.*sin(theta) + (dpsi_t./rho).*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DXX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DYY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DXX,DYY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
title('Comparación entre v y u');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
axis equal;
view(2);
hold off
}}
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T13:16:14Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de la frontera S */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4]. 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar
:<math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>,
definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

En este caso, la función potencial viene dada por
:<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando
:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>,
lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido.
Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial:

:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:

:<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

La función potencial es:

:<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

Sus derivadas parciales son:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

:<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

:<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

:<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

Tras realizar los cálculos:

:<math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

:<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ofrecen información fundamental sobre las propiedades físicas del fluido que dicho campo describe.
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

<math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.
 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
FALTA EDITAR Las líneas de corriente <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 3.1, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad. 
Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo. 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. 
Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

===.-Puntos de la frontera S===
El módulo de la velocidad sobre la frontera <math>\rho = 1</math> es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math> 

Para hallar los máximos y mínimos, derivamos respecto a <math>\theta</math>:

<math>\frac{d}{d\theta}|u| = 2 \cos\theta</math> 
Igualando a cero:

<math>\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2</math>

Por tanto:

* Velocidad máxima: <math>|u| = 2</math> en <math>\theta = \pi/2, 3\pi/2</math> 
Coordenadas cartesianas: <math>(0,1)</math> y <math>(0,-1)</math>

* Velocidad mínima (excepto puntos de remanso): <math>|u| = 0</math> en <math>\theta = 0, \pi</math>
(estos ya se identificarán como puntos de remanso en la sección 5.2).

Para representar cómo varía el módulo de la velocidad con el ángulo <math>\theta</math>:

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir:

<math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

En coordenadas cartesianas:

<math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
<math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las párticulas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 5, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math> lo que quiere decir que <math>\vec{u}(1,\theta) = (-2 \cdot sin(\theta) - 1)</math>. 
El módulo de <math>\vec{u}(1,\theta)</math> es |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1)</math> 
Para que |<math>\vec{u}</math>| alcance su valor máximo, <math>sin(\theta)</math> tiene que ser igual a 1. Esto se alcanza en el ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math>. 
Para calcular el punto de remanso se ha de igualar |<math>\vec{u}</math>| a 0 y despejar el valor de <math>\theta</math>: 
<math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1) = 0</math> 
Finalmente <math>\theta = \frac{11 \pi}{6}</math> y <math>\frac{7 \pi}{6}</math> ; existen 2 puntos de remanso. 
Para observar estos cálculos visualmente, una vez más se a codificado todo en MATLAB para así observar como en los puntos de remanso efectivamente no se aprecia ningún vector:
[[Archivo:Dospuntosremansoo.png|325px|thumb|right|Punto de Remanso]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
contour(X,Y,f(rho,theta),50);
hold on
DX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1*cos(J),1*sin(J),'k','lineWidth',1);
%Punto de remanso previamente calculado
plot(0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3);
plot(-0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3)
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Punto de Remanso');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
 
Para una mayor claridad se ha ampliado la gráfica anterior, para así conseguir una mayor nitidez de uno de los puntos de remanso:
[[Archivo:Puntoremansoampliado.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 
===.-Variación de Presión y Velocidad===
===.-Deducción a partir de las gráficas===

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Con el fin de calcular los puntos donde se alcanza mayor y menor presión. Para ello, se supondrá que la densidad es igual a 2 (d=2). Además, se ha de satisfacer la ecuación de Bernouilli, que estipula : <math> \frac{1}{2} d
|\vec u|^2 + p = cte </math>. 
También, se le asignará a la cte anterior el valor 10 para permitir el cálculo de las presión del fluido. 
Una vez aplicados los cambios nombrados anteriormente, queda la siguiente expresión: <math> p=10-|\vec u|{^2} </math> 

El módulo del gradiente es: |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt((\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta))^2 + (\left ( 1+\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\sin(\theta)-\frac{1}{\rho})^2)</math> 

El módulo del gradiente al cuadrado, es decir, <math> |\vec u|^2 = cos^{2} \theta \cdot (1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}) + (sin^2 \theta + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^2} + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^4}) + \frac{2}{\rho} \cdot (sin \theta + \frac{sin \theta}{\rho^2}) + \frac{1}{\rho^2} </math> 

Por lo tanto, la presión es: <math> p = 10 - cos^{2} \theta \cdot (1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}) + (sin^2 \theta + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^2} + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^4}) + \frac{2}{\rho} \cdot (sin \theta + \frac{sin \theta}{\rho^2}) + \frac{1}{\rho^2}. </math> 

Este campo de presiones queda representado en la siguiente gráfica que se obtuvo con la ayuda del siguiente código desarrollado en MATLAB:
[[Archivo:Malladopresiónej8.png|325px|thumb|right|Mallado de Presiones]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=zeros(size(X));
%Ecuación de la presión
p=10-(((cos(theta).^2).*(1-(2./rho.^2)+(1./rho.^4)))+((sin(theta).^2)+((2.*(sin(theta).^2))./rho.^2)+((sin(theta).^2)./rho.^4))+((2./rho).*(sin(theta)+(sin(theta)./(rho.^2))))+(1./(rho.^2)));
surf(X,Y,p);
hold on
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
view(2);
title('Mallado de Presiones');
xlabel 'X'
ylabel 'Y'
axis equal
hold off
}}
Para finalizar se empleará de nuevo un código de Matlab, en el que se obtiene el punto con mayor presión que es: <math> p_{max}= 18.9938 </math> uds y el punto con menor presión siendo este: <math> p_{min}=9.0890</math> uds. 
A continuación se muestra el código empleado:
{{matlab|codigo=
p=10-((cos(theta).^2).*(1-(2./rho.^2)+(1./rho.^4)))+((sin(theta).^2)+((2.*(sin(theta).^2))./rho.^2)+((sin(theta).^2)./rho.^4))+((2./rho).*(sin(theta)+(sin(theta)./(rho.^2))))+(1./(rho.^2));
max(max(p))
min(min(p))
}}
 
 

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
===.-Lineas de Corriente de campo u===

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T13:12:33Z

Xavier Grimalt: /* .-Frontera S */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4]. 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar
:<math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>,
definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

En este caso, la función potencial viene dada por
:<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando
:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>,
lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido.
Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial:

:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:

:<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

La función potencial es:

:<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

Sus derivadas parciales son:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

:<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

:<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

:<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

Tras realizar los cálculos:

:<math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

:<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ofrecen información fundamental sobre las propiedades físicas del fluido que dicho campo describe.
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

<math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.
 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
FALTA EDITAR Las líneas de corriente <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 3.1, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad. 
Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo. 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. 
Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

===.-Puntos de la frontera S===
El módulo de la velocidad sobre la frontera <math>\rho = 1</math> es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Para hallar los máximos y mínimos:

* Derivando respecto a <math>\theta</math>: <math>\frac{d}{d\theta}|u| = 2 \cos\theta</math>
* Igualando a cero: <math>\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2</math>

Por tanto:

* Velocidad máxima: <math>|u| = 2</math> en <math>\theta = \pi/2, 3\pi/2</math>
- Coordenadas cartesianas: <math>(0,1)</math> y <math>(0,-1)</math>

* Velocidad mínima (excepto puntos de remanso): <math>|u| = 0</math> en <math>\theta = 0, \pi</math> (ya definidos como puntos de remanso)

---

Para representar gráficamente cómo varía el módulo de la velocidad con el ángulo:

{{matlab|codigo=
theta = linspace(0,2*pi,1000);
u_mod = 2*abs(sin(theta));
plot(theta,u_mod,'LineWidth',2);
xlabel('\theta [rad]');
ylabel('|u|');
title('Módulo de la velocidad en la frontera (\rho = 1)');
grid on;
}}

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir:

<math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

En coordenadas cartesianas:

<math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
<math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las párticulas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 5, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math> lo que quiere decir que <math>\vec{u}(1,\theta) = (-2 \cdot sin(\theta) - 1)</math>. 
El módulo de <math>\vec{u}(1,\theta)</math> es |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1)</math> 
Para que |<math>\vec{u}</math>| alcance su valor máximo, <math>sin(\theta)</math> tiene que ser igual a 1. Esto se alcanza en el ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math>. 
Para calcular el punto de remanso se ha de igualar |<math>\vec{u}</math>| a 0 y despejar el valor de <math>\theta</math>: 
<math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1) = 0</math> 
Finalmente <math>\theta = \frac{11 \pi}{6}</math> y <math>\frac{7 \pi}{6}</math> ; existen 2 puntos de remanso. 
Para observar estos cálculos visualmente, una vez más se a codificado todo en MATLAB para así observar como en los puntos de remanso efectivamente no se aprecia ningún vector:
[[Archivo:Dospuntosremansoo.png|325px|thumb|right|Punto de Remanso]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
contour(X,Y,f(rho,theta),50);
hold on
DX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1*cos(J),1*sin(J),'k','lineWidth',1);
%Punto de remanso previamente calculado
plot(0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3);
plot(-0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3)
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Punto de Remanso');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
 
Para una mayor claridad se ha ampliado la gráfica anterior, para así conseguir una mayor nitidez de uno de los puntos de remanso:
[[Archivo:Puntoremansoampliado.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 
===.-Variación de Presión y Velocidad===
===.-Deducción a partir de las gráficas===

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Con el fin de calcular los puntos donde se alcanza mayor y menor presión. Para ello, se supondrá que la densidad es igual a 2 (d=2). Además, se ha de satisfacer la ecuación de Bernouilli, que estipula : <math> \frac{1}{2} d
|\vec u|^2 + p = cte </math>. 
También, se le asignará a la cte anterior el valor 10 para permitir el cálculo de las presión del fluido. 
Una vez aplicados los cambios nombrados anteriormente, queda la siguiente expresión: <math> p=10-|\vec u|{^2} </math> 

El módulo del gradiente es: |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt((\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta))^2 + (\left ( 1+\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\sin(\theta)-\frac{1}{\rho})^2)</math> 

El módulo del gradiente al cuadrado, es decir, <math> |\vec u|^2 = cos^{2} \theta \cdot (1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}) + (sin^2 \theta + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^2} + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^4}) + \frac{2}{\rho} \cdot (sin \theta + \frac{sin \theta}{\rho^2}) + \frac{1}{\rho^2} </math> 

Por lo tanto, la presión es: <math> p = 10 - cos^{2} \theta \cdot (1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}) + (sin^2 \theta + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^2} + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^4}) + \frac{2}{\rho} \cdot (sin \theta + \frac{sin \theta}{\rho^2}) + \frac{1}{\rho^2}. </math> 

Este campo de presiones queda representado en la siguiente gráfica que se obtuvo con la ayuda del siguiente código desarrollado en MATLAB:
[[Archivo:Malladopresiónej8.png|325px|thumb|right|Mallado de Presiones]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=zeros(size(X));
%Ecuación de la presión
p=10-(((cos(theta).^2).*(1-(2./rho.^2)+(1./rho.^4)))+((sin(theta).^2)+((2.*(sin(theta).^2))./rho.^2)+((sin(theta).^2)./rho.^4))+((2./rho).*(sin(theta)+(sin(theta)./(rho.^2))))+(1./(rho.^2)));
surf(X,Y,p);
hold on
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
view(2);
title('Mallado de Presiones');
xlabel 'X'
ylabel 'Y'
axis equal
hold off
}}
Para finalizar se empleará de nuevo un código de Matlab, en el que se obtiene el punto con mayor presión que es: <math> p_{max}= 18.9938 </math> uds y el punto con menor presión siendo este: <math> p_{min}=9.0890</math> uds. 
A continuación se muestra el código empleado:
{{matlab|codigo=
p=10-((cos(theta).^2).*(1-(2./rho.^2)+(1./rho.^4)))+((sin(theta).^2)+((2.*(sin(theta).^2))./rho.^2)+((sin(theta).^2)./rho.^4))+((2./rho).*(sin(theta)+(sin(theta)./(rho.^2))))+(1./(rho.^2));
max(max(p))
min(min(p))
}}
 
 

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
===.-Lineas de Corriente de campo u===

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T13:10:43Z

Xavier Grimalt: /* .-Velocidad Nula */

{{ TrabajoED | Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jose Antonio Martín-Caro Xavier Grimalt Roig Uriel Hidalgo Marcos Emilio Tavío Pedro Comas Payeras}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

El objetivo de este artículo se estudiará el comportamiento de un fluido alrededor de un sólido circular. 

Un fluido es una sustancia que puede deformarse continuamente bajo la aplicación de una fuerza de cizallamiento (es decir, una fuerza que actúa paralela a una superficie) sin mostrar resistencia permanente.
A nivel físico, los fluidos pueden ser líquidos y gases, ya que ninguno de los dos puede conservar una forma estable. La diferencia entre ellos es que los primeros toman la forma del recipiente donde están, mientras que los segundos tienen tan poca unión entre sus partículas que pueden comprimirse y no tienen ni forma ni volumen propios.
 
 

==.-Superficie Mallada ==
Se comienza realizando un mallado que describe los puntos interiores de la región ocupada por el fluido. Para llevar a cabo la representación de esta región se emplean coordenadas cilíndricas, definidas en el intervalo radial 1 ≤ r ≤ 5, que posteriormente se transforman a coordenadas cartesianas. Tras esta transformación, el dominio queda incluido en: (x,y) ∈ [−4,4] × [−4,4]. 

Mediante el siguiente código elaborado en MATLAB, se podrá visualizar la superficie de trabajo:
[[Archivo:Representacionmallado.jpg|550px|thumb|right|Figura 1 — Representación de Superficie Mallada]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado
r = linspace(1,5,60); %Radios entre 1 y 5
theta = linspace(0,2*pi,80); %Ángulos

% Mallado en coordenadas polares
[R,TH] = meshgrid(r,theta);

%Conversión a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
Z = zeros(size(R));
% Dibujar el mallado
figure; hold on;
mesh(X,Y,Z);

%Dibujar el círculo unidad
plot(1*cos(theta), 1*sin(theta), 'k', 'LineWidth', 2);

%Vista
axis equal;
axis([-4 4 -4 4]);
view(2); % Vista en planta
title('Mallado del Fluido (Región Exterior al Círculo Unidad)');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 
 

==.-Función Potencial y Campo de Velocidades del Fluido. ==
Una vez definida la región donde se estudiará el comportamiento del fluido, se procede a analizar su dinámica a partir del campo de velocidades. Para ello, se utiliza una función potencial escalar
:<math>\phi = \phi(\rho,\theta)</math>,
definida en un dominio <math>D \subset \mathbb{R}^2</math> expresado en coordenadas polares.

En este caso, la función potencial viene dada por
:<math>\phi(\rho,\theta) = \left( \rho + \frac{1}{\rho} \right)\cos\theta</math>.

A partir de esta función se obtiene el campo de velocidades aplicando
:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>,
lo que permite describir la dirección y magnitud del movimiento del fluido, así como estudiar la relación entre las curvas de nivel del potencial y las líneas de corriente.

===.-Representación de la Función Potencial===
Para estudiar con mayor claridad la naturaleza del flujo, es útil examinar la forma que adopta la función potencial <math>\phi(\rho,\theta)</math> dentro del dominio considerado.
La representación gráfica de esta función permite identificar zonas donde el potencial crece o disminuye con mayor rapidez, así como patrones característicos que influyen en el comportamiento del fluido.

La construcción de estas gráficas se realiza mediante herramientas de visualización numérica, en este caso, MATLAB, que posibilitan generar superficies del potencial.
Estas representaciones facilitan la interpretación del campo y sirven como apoyo previo al análisis del gradiente y de las velocidades resultantes.

[[Archivo:Funcionpotencial2_1.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.1 — Curvas de nivel de la función potencial
𝜙
(
𝜌
,
𝜃
)
]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%% Mallado en coordenadas polares
R = linspace(1,5,80); %Rho
T = linspace(0,2*pi,180); %Theta
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

% Transformación a coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%% Definición de la función potencial
phi = (rho+1./rho).*cos(theta);

%% Representación de la función potencial (curvas de nivel)
figure;
contour(X, Y, phi, 60, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(1*cos(T), 1*sin(T), 'k', 'LineWidth', 2); %Círculo interior
axis equal;
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
hold off;
}}
 

===.-Representación del Campo de Velocidades===
Con la función potencial es posible determinar el campo de velocidades que describe el movimiento del fluido.
Recordemos que la velocidad se calcula a partir del gradiente de la función potencial:

:<math>\vec{u} = \nabla\phi</math>.

Para ello se expresan las derivadas en coordenadas polares, donde el operador gradiente viene dado por:

:<math>\nabla\phi = \frac{\partial\phi}{\partial\rho}\,\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\,\vec{e}_\theta</math>.

La función potencial es:

:<math>\phi(\rho,\theta) = \left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\cos\theta</math>.

Sus derivadas parciales son:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>        <math>\frac{\partial\phi}{\partial\theta} = -\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)\sin\theta</math>.

Por tanto, las componentes del campo de velocidades en polares son:

:<math>u_{\rho} = \left(1 - \frac{1}{\rho^{2}}\right)\cos\theta</math>         <math>u_{\theta} = -\left(1 + \frac{1}{\rho^{2}}\right)\sin\theta</math>.

Para representar el campo en MATLAB es más conveniente trabajar en coordenadas cartesianas.
Usamos la transformación:

:<math>u_x = u_\rho\cos\theta - u_\theta\sin\theta</math>,

:<math>u_y = u_\rho\sin\theta + u_\theta\cos\theta</math>.

Tras realizar los cálculos:

:<math>u_x = (1 - \frac{1}{\rho^2})\cos^2\theta + (1 + \frac{1}{\rho^2})\sin^2\theta</math>,

:<math>u_y = -\frac{2}{\rho^2}\sin\theta\cos\theta</math>.

[[Archivo:Velocidades2_2.jpg|550px|thumb|right|Figura 2.2 - Campo de velocidades alrededor del obstáculo circular]]
{{matlab|codigo=
clear; clc;

%Mallado en polares
R = linspace(1,5,40);
T = linspace(0,2*pi,40);
[rho,theta] = meshgrid(R,T);

%Transformación a cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

%Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

%Componentes de la velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

%Conversión a componentes cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

%Gráfica
figure;
contour(X, Y, phi, 40); hold on;
quiver(X, Y, DX, DY, 'k');
plot(cos(T), sin(T), 'r', 'LineWidth', 1.3); %Obstáculo circular
axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
title('Campo de Velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y'); colorbar;
hold off;
}}
 
Una característica interesante de este flujo es que las líneas de corriente coinciden con las trayectorias que seguirían partículas sin inercia, y estas son siempre perpendiculares a las curvas de nivel de la función potencial.
Esto es una propiedad general de los flujos potenciales: el gradiente siempre apunta en la dirección de máxima variación del potencial, mientras que las curvas de nivel representan zonas donde el potencial es constante.
Si se hace un zoom en cualquier área del diagrama se aprecia claramente que los vectores del campo de velocidades mantienen esta ortogonalidad en todo el dominio, especialmente alrededor del obstáculo circular donde el cambio de dirección es más brusco. 

<center>
[[Archivo:zoomvelocidades.jpg|350px|float|Propiedad del flujo potencial en detalle]]

 
</center>

==.-Rotacional y Divergencia==
El rotacional y la divergencia de un campo vectorial ofrecen información fundamental sobre las propiedades físicas del fluido que dicho campo describe.
 

===.-Rotacional nulo===
El rotacional muestra la dirección y la intensidad del giro del fluido en cada punto. Para analizar si el flujo induce rotación, se calcula el rotacional del campo de velocidades del siguiente modo:

El campo de velocidades es: <math>\vec{u}=\nabla\phi=\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta</math> y sus componentes son: <math>u_\rho=\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta</math>, <math>u_\theta=-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta</math> y <math>u_z=0</math>.

El rotacional en coordenadas cilíndricas es:<math>\nabla\times\vec{u}=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}\vec e_\rho & \rho\vec e_\theta & \vec e_z \\[6pt] \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] \left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta & -\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{\rho}\left[\vec e_\rho\cdot 0+\vec e_\theta\cdot 0+\vec e_z\left(\frac{\partial}{\partial\rho}\left(-\rho\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)-\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\left(1-\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right)\right)\right]=0</math>

Por lo tanto <math>\boxed { \nabla \times \bar { u } =0 } </math> y esto significa que el campo es irrotacional por lo que las particulas del fluido no rotan sobre sí mismas al moverse por el flujo.
 

===.-Divergencia nula===
La divergencia de un campo vectorial es la cantidad que mide la diferencia entre el flujo que entra y el flujo que sale del volumen.
 

<math>\nabla\cdot\vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho)+\frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta)+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right)\cos\theta\right)+\frac{\partial}{\partial\theta}\left(-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\sin\theta\right)+0\right\}=\frac{1}{\rho}\left\{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta-\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)\cos\theta\right\}=0</math>

Como se observa, la divergencia resulta ser nula, es decir, <math> \boxed {\nabla \cdot \vec u = 0} </math>. Esto implica que el volumen del fluido permanece constante: el flujo no se expande ni se contrae, por lo que el movimiento es incompresible.
 
 

==.-Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==
FALTA EDITAR Las líneas de corriente <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las partículas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 3.1, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=

==.-Puntos de Frontera S y Remanso ==
En este apartado se analizará la frontera <math>S</math> del obstáculo circular de radio unidad. 
Se determinarán los puntos donde el módulo de la velocidad es máximo y mínimo. 
Asimismo, se identificarán los puntos en los que la velocidad es nula, conocidos como puntos de remanso. 
Finalmente, se representarán gráficamente los puntos de remanso sobre el borde del obstáculo para comprobar su ubicación en el flujo.

===.-Frontera S===
El campo de velocidades en coordenadas polares es:

<math>u_\rho = (1 - 1/\rho^2) \cos\theta</math> 
<math>u_\theta = - (1 + 1/\rho^2) \sin\theta</math>

En la frontera <math>\rho = 1</math> se simplifica:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es puramente tangencial y su módulo es:

<math>|u| = |u_\theta| = 2 |\sin\theta|</math>

De esto se deduce:

* Velocidad máxima: <math>|u| = 2 \Rightarrow \sin\theta = \pm 1 \Rightarrow \theta = \pi/2, 3\pi/2</math>
- Coordenadas cartesianas: <math>(0,1)</math> y <math>(0,-1)</math>

* Velocidad mínima (no nula) sobre la frontera: ocurre cerca de <math>\theta = 0, \pi</math>
- En estos puntos el módulo de la velocidad es cero y se denominan puntos de remanso (ver sección siguiente).

===.-Puntos de remanso===
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math>, las componentes de la velocidad en coordenadas polares son:

<math>u_\rho(1,\theta) = 0</math> 
<math>u_\theta(1,\theta) = -2 \sin\theta</math>

Por tanto, el vector de velocidad es tangencial al borde y su módulo es:

<math>|u(1,\theta)| = 2 |\sin\theta|</math>

Los puntos de remanso se encuentran donde <math>|u| = 0 \Rightarrow \sin\theta = 0</math>, es decir:

<math>\theta = 0 \quad y \quad \theta = \pi</math>

En coordenadas cartesianas:

<math>\theta = 0 \Rightarrow (x,y) = (1,0)</math> 
<math>\theta = \pi \Rightarrow (x,y) = (-1,0)</math>

Se puede observar estos puntos visualmente codificando el flujo en MATLAB:

{{matlab|codigo=
clear; clc;

% Mallado
r = linspace(1,5,50);
theta_vec = linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta] = meshgrid(r,theta_vec);

% Coordenadas cartesianas
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);

% Función potencial
phi = (rho + 1./rho).*cos(theta);

% Componentes de velocidad en polares
ur = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
ut = - (1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta);

% Conversión a cartesianas
DX = ur.*cos(theta) - ut.*sin(theta);
DY = ur.*sin(theta) + ut.*cos(theta);

% Curvas de nivel y campo de velocidades
figure;
contour(X,Y,phi,50); hold on;
quiver(X,Y,DX,DY,'k');

% Obstáculo circular
plot(cos(theta_vec), sin(theta_vec), 'r', 'LineWidth',1.3);

% Puntos de remanso
plot([1,-1],[0,0],'b*','LineWidth',2,'MarkerSize',10);

axis equal; axis([-5 5 -5 5]);
colorbar;
title('Puntos de remanso y campo de velocidades');
xlabel('X'); ylabel('Y');
hold off;
}}

==.-Ecuación de Bernoulli ==
Las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son las curvas tangentes a los vectores de velocidad de las párticulas del fluido. Para hallarlas simplemente hay que calcular el campo ortogonal a <math>\vec{u}</math> resolviendo el siguiente producto vectorial: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math>: <math>\vec{v}</math> = <math>\vec{k}</math> x <math>\vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix}
e_\rho & e_\theta & e_z \\ 0 & 0 & 1\\ cos(\theta)\cdot (1-\frac{1}{\rho ^2}) & sin(\theta) \cdot (1-\frac{1}{\rho^2}) -\frac{1}{\rho} & 0 \end{vmatrix}=</math> <math> [(1+\frac{1}{\rho ^2}) \cdot sin(\theta) + \frac{1}{\rho}]e_\rho + [(1-\frac{1}{\rho ^2}) \cdot cos(\theta)]e_\theta</math>.
 
 
 Como se ha comprobado en el apartado 5, el rotacional de <math>\vec{u}</math> es nulo. Esto quiere decir que <math>\vec{v}</math> es irrotacional. Asimismo, <math>\vec{v}</math> tiene un potencial llamado <math>\psi </math>, gradiente del propio <math>\vec{v}</math>, y que será descifrado resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales (se desprecia <math>V_z </math> ya que se está trabajando en el plano): <math>\frac{\partial \psi }{\partial \rho }=V_\rho </math>

<math>\frac{1}{\rho }\frac{\partial \psi }{\partial \theta }=V_\theta </math> Tras despejar <math>\frac{1}{\rho }</math> e integrar ambas ecuaciones obtenemos la función <math>\psi</math> = <math> (\rho - \frac{1}{\rho}) \cdot sin(\theta) + Ln(\rho) </math>.
 
Una vez se obtiene tanto <math>\psi</math> como <math>\vec{u}</math>, se introducen en MATLAB, así comprobando que efectivamente los vectores que componen <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las línes de corriente de <math>\psi</math>. Para ello se ha empleado el siguiente código:
[[Archivo:apartado6final.png|325px|thumb|right|Lineas de Corriente]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Función PSI
C=@(rho,theta)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(rho,theta);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica Líneas de Corriente');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
A la vez que los vectores de <math>\vec{v}</math> son ortogonales a las líneas de corriente, los de <math>\vec{u}</math> deberían ser tangentes a estas, y a su vez perpendiculares a los ya mencionados vectores de <math>\vec{v}</math>. Para demostrar esta afirmación gráficamente, se ha diseñado un nuevo código que permite observar los ángulos rectos que se forman:
[[Archivo:apartado6bfinal.png|325px|thumb|right|Comparación entre <math> \vec v </math> y <math> \vec u </math>]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,30);
J=linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
C=@(x,y)((sin(theta).*(rho-1./rho))+log(rho));
Z=C(I,J);
contour(X,Y,Z,30);
hold on
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
%Grandiente de PSI
DX=((1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta))+(cos(theta)./rho)+((-1+(1./(rho.^2))).*cos(theta).*sin(theta));
DY=((sin(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))))+(sin(theta)./rho)+((cos(theta).^2).*(1+(1./(rho.^2))));
quiver(X,Y,DX,DY);
%Gradiente de la función potencial
DXX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DYY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DXX,DYY);
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}
 
Para una mayor apreciación, de las tangencias que forma <math> \vec u </math> a las líneas de corriente y de la ortogonalidad formada por <math> \vec v </math> también con las las líneas de corriente, se ha ampliado la fotografía de la gráfica anterior en un punto cualquiera, dado que se cumple a lo largo de todo el campo. Como se comprueba en la siguiente fotografía:
[[Archivo:Apartado6b1final.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 

==.-Trayectoria de la Partícula==
En el borde del obstáculo <math>\rho = 1</math> lo que quiere decir que <math>\vec{u}(1,\theta) = (-2 \cdot sin(\theta) - 1)</math>. 
El módulo de <math>\vec{u}(1,\theta)</math> es |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1)</math> 
Para que |<math>\vec{u}</math>| alcance su valor máximo, <math>sin(\theta)</math> tiene que ser igual a 1. Esto se alcanza en el ángulo <math>\frac{\pi}{2}</math>. 
Para calcular el punto de remanso se ha de igualar |<math>\vec{u}</math>| a 0 y despejar el valor de <math>\theta</math>: 
<math>\sqrt(4 \cdot sin(\theta)^2 + 4 \cdot sin(\theta) + 1) = 0</math> 
Finalmente <math>\theta = \frac{11 \pi}{6}</math> y <math>\frac{7 \pi}{6}</math> ; existen 2 puntos de remanso. 
Para observar estos cálculos visualmente, una vez más se a codificado todo en MATLAB para así observar como en los puntos de remanso efectivamente no se aprecia ningún vector:
[[Archivo:Dospuntosremansoo.png|325px|thumb|right|Punto de Remanso]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
f=@(x,y)(x+(1./x)).*cos(y)-y;
contour(X,Y,f(rho,theta),50);
hold on
DX=((cos(theta).^2).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).^2).*(1+ 1./(rho.^2)))+(sin(theta)./rho);
DY=((sin(theta).*cos(theta)).*(1-1./(rho.^2)))+((sin(theta).*cos(theta)).*(-1-1./(rho.^2)))-(cos(theta)./rho);
quiver(X,Y,DX,DY);
plot(1*cos(J),1*sin(J),'k','lineWidth',1);
%Punto de remanso previamente calculado
plot(0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3);
plot(-0.866025,-0.5,'r*','LineWidth',3)
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Punto de Remanso');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal
view(2);
hold off
}}
 
Para una mayor claridad se ha ampliado la gráfica anterior, para así conseguir una mayor nitidez de uno de los puntos de remanso:
[[Archivo:Puntoremansoampliado.png|325px|miniaturadeimagen|centro]]
 
 
===.-Variación de Presión y Velocidad===
===.-Deducción a partir de las gráficas===

==.-Paradoja de D´Alembert ==
Con el fin de calcular los puntos donde se alcanza mayor y menor presión. Para ello, se supondrá que la densidad es igual a 2 (d=2). Además, se ha de satisfacer la ecuación de Bernouilli, que estipula : <math> \frac{1}{2} d
|\vec u|^2 + p = cte </math>. 
También, se le asignará a la cte anterior el valor 10 para permitir el cálculo de las presión del fluido. 
Una vez aplicados los cambios nombrados anteriormente, queda la siguiente expresión: <math> p=10-|\vec u|{^2} </math> 

El módulo del gradiente es: |<math>\vec{u}</math>| = <math>\sqrt((\left ( 1-\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\cos(\theta))^2 + (\left ( 1+\frac{1}{\rho^2} \right )\cdot\sin(\theta)-\frac{1}{\rho})^2)</math> 

El módulo del gradiente al cuadrado, es decir, <math> |\vec u|^2 = cos^{2} \theta \cdot (1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}) + (sin^2 \theta + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^2} + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^4}) + \frac{2}{\rho} \cdot (sin \theta + \frac{sin \theta}{\rho^2}) + \frac{1}{\rho^2} </math> 

Por lo tanto, la presión es: <math> p = 10 - cos^{2} \theta \cdot (1 - \frac{2}{\rho^2} + \frac{1}{\rho^4}) + (sin^2 \theta + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^2} + \frac{2sin^2 \theta}{\rho^4}) + \frac{2}{\rho} \cdot (sin \theta + \frac{sin \theta}{\rho^2}) + \frac{1}{\rho^2}. </math> 

Este campo de presiones queda representado en la siguiente gráfica que se obtuvo con la ayuda del siguiente código desarrollado en MATLAB:
[[Archivo:Malladopresiónej8.png|325px|thumb|right|Mallado de Presiones]]
{{matlab|codigo=
clear;clc;
I=linspace(1,5,50);
J=linspace(0,2*pi,50);
[rho,theta]=meshgrid(I,J);
X=rho.*cos(theta);
Y=rho.*sin(theta);
Z=zeros(size(X));
%Ecuación de la presión
p=10-(((cos(theta).^2).*(1-(2./rho.^2)+(1./rho.^4)))+((sin(theta).^2)+((2.*(sin(theta).^2))./rho.^2)+((sin(theta).^2)./rho.^4))+((2./rho).*(sin(theta)+(sin(theta)./(rho.^2))))+(1./(rho.^2)));
surf(X,Y,p);
hold on
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
view(2);
title('Mallado de Presiones');
xlabel 'X'
ylabel 'Y'
axis equal
hold off
}}
Para finalizar se empleará de nuevo un código de Matlab, en el que se obtiene el punto con mayor presión que es: <math> p_{max}= 18.9938 </math> uds y el punto con menor presión siendo este: <math> p_{min}=9.0890</math> uds. 
A continuación se muestra el código empleado:
{{matlab|codigo=
p=10-((cos(theta).^2).*(1-(2./rho.^2)+(1./rho.^4)))+((sin(theta).^2)+((2.*(sin(theta).^2))./rho.^2)+((sin(theta).^2)./rho.^4))+((2./rho).*(sin(theta)+(sin(theta)./(rho.^2))))+(1./(rho.^2));
max(max(p))
min(min(p))
}}
 
 

==.-Reanalisis de los apartados 2,3 y 4 ==
Las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes describen matemáticamente el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. En este apartado,se pretende comprobar que partiendo de la ecuación de Bernouilli, que <math> (\vec{u},p) </math> satisfacen la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, que viene dada por la siguiente expresión: <math> d(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu \Delta \vec{u} </math> 
Para este cálculo, se supondrá que µ = 0, es decir, viscosidad nula; y que d(densidad) <math> = </math> 2: 
<math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> 
Aplicando las propiedades teóricas algebraicas se produce la siguiente igualdad: 
<math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} - \vec u × \nabla × \vec u </math> 
En consecuencia, a que el rotacional es nulo, al multiplicarlo por <math> \vec u </math> sigue siendo nulo y por lo tanto se comprueba que <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> . Por tanto sustituyendo <math> \vec u × \nabla × \vec u = 0 </math> en el paso anterior obtenemos: <math> (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla |\vec u|{^2} = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2} \nabla (4 sin {^2} \theta + 4 sin \theta + 1) = (\vec{u}·\nabla)\vec{u} = \frac{1}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
A continuación se calcula el gradiente de la ecuación de Bernouilli: 
<math> p = 9 - 4sin{^2}\theta - 4sin\theta </math> 
<math> \nabla p = -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} </math> 
Retrocediendo hasta el inicio de este apartado, e introduciendo en <math> 2(\vec{u}·\nabla)\vec{u} + \nabla p = 0 </math> las variables calculadas, se concluye finalmente con que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes: 
<math> \frac{2}{2 \rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} -\frac{1}{\rho}(8sin\theta cos\theta +4cos\theta)\vec{e}_{\theta} = 0 </math>
===.-Función Potencial y Campo de Velocidades===
Función Potencial
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
hold on
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
view(2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
hold off
}}

Función Velocidad
{{matlab|codigo=
clear; clc;
I = linspace(1,5,30);
J = linspace(0,2*pi,30);
[rho,theta] = meshgrid(I,J);
X = rho.*cos(theta);
Y = rho.*sin(theta);
f = @(rho,theta)((rho + 1./rho).*cos(theta) + theta./(4*pi));
contour(X,Y,f(rho,theta),50)
hold on
dphi_r = (1 - 1./(rho.^2)).*cos(theta);
dphi_t = -(1 + 1./(rho.^2)).*sin(theta) + 1./(4*pi*rho);
DX = dphi_r.*cos(theta) - dphi_t.*sin(theta);
DY = dphi_r.*sin(theta) + dphi_t.*cos(theta);
quiver(X,Y,DX,DY)
plot(1.*cos(J),1.*sin(J),'k','lineWidth',2);
axis([-5,5,-5,5]);
colorbar;
title('Gráfica de la Función Potencial');
xlabel('X');
ylabel('Y');
axis equal;
view(2);
hold off
}}

===.-Rotacional y Divergencia===
===.-Lineas de Corriente de campo u===

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T12:58:25Z

Xavier Grimalt: /* .-Puntos de Frontera y Remanso */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T12:29:19Z

Xavier Grimalt: /* .-Líneas de corriente del campo \vec{u} */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T12:20:25Z

Xavier Grimalt:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T12:15:34Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación del Campo de Velocidades */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T12:13:18Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación del Campo de Velocidades */

Archivo:Zoomvelocidades.jpg

2025-12-02T12:12:48Z

Xavier Grimalt:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T12:12:27Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación del Campo de Velocidades */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T11:56:02Z

Xavier Grimalt: /* .-Superficie Mallada */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T11:55:05Z

Xavier Grimalt: /* .-Superficie Mallada */

Archivo:Velocidades2 2.jpg

2025-12-02T11:52:19Z

Xavier Grimalt:

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T11:51:30Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación del Campo de Velocidades */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T11:50:36Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación del Campo de Velocidades */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T11:43:09Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación de la Función Potencial */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T11:42:50Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación de la Función Potencial */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T11:31:39Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación del Campo de Velocidades */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T11:22:55Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación del Campo de Velocidades */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T10:48:36Z

Xavier Grimalt: /* .-Superficie Mallada */

Fluido Alrededor de un Obstáculo Circular (Grupo 45)

2025-12-02T10:47:57Z

Xavier Grimalt: /* .-Representación de la Función Potencial */