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Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T23:24:43Z

Willdanny Ocampo: /* Módulo de Desplazamiento Trasversal en i */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversales(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartado se calculará la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes de Lamé. Para ello se aplicará que el campo de fuerzas que actúa sobre la placa, que es el causante del desplazamiento, se puede aproximar mediante la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al realizar la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además el vector de desplazamiento <math>\vec{u}</math> resultará tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primera derivada es:
<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada es:
<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

Puede observarse que la segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, que ya ha sido calculado previamente en el apartado 8. De modo que si se tiene que <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, y se realiza la divergencia, se obtiene lo siguiente:

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\end{pmatrix}·μ]=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\end{pmatrix}·μ]=0·\vec{j} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ]=0·\vec{k} </math>

Sustituyendo en <math>\vec{F}</math>, resulta la siguiente expresión:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math>

Despejando apropiadamente:

<math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}; π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math>

Resultando la siguiente relación:

<math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinales (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso se debe operar análogamente al proceso anterior, sin embargo ya no se puede reutilizar la <math>σ</math> calculada con anterioridad, por lo que se debe calcular de nuevo ya que el desplazamiento ondulatorio ha cambiado su dirección:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Tomando la expresión: '''<math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>''' y calculando cada sumando, se tiene:

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial (0) }{\partial x}+\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt))}{\partial\ y}+\frac{\partial (0)}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math>

Por tanto:

<math>λ∇·\vec{u}1=λ\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}</math>

Continuando con la exrpesión de <math>Ԑ(\vec{u})</math> resulta lo siguiente:

<math>Ԑ(\vec{u})=\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math>

Es decir, se tiene la siguiente matriz:

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>, por lo que se verifica lo siguiente: <math>Ԑ(\vec{u})=\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=2∇\vec{u}\frac{1}{2}=∇\vec{u}</math>

Con todo ello el tensor de tensiones resulta:

<math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Finalmente se procede a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math> como se hizo previamente,

<math>∇· [\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\end{pmatrix}·λ]=0·\vec{i} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\end{pmatrix}·(λ+2μ)]=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ]=0·\vec{k} </math>

Se vuelve a calcular la segunda derivada, que resulta ser la misma que la del apartado anterior, pero con la nueva dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Finalmente se sustituye en la expresión de la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec{F}</math>, obteniéndose:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

Despejando apropiadamente

<math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math>

Y se obtiene la siguiente relación para el nuevo <math>σ</math>

<math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado se observará como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver así el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Para ello partimos de <math> \vec{u}</math>, que es <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Como el punto a estudiar es el <math>(x,y)=(1/2,1)</math>, empleando la relación calculada en el apartado anterior que dice: <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>, donde se supondrá un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>), se tiene la que <math>v=\frac{1}{3}</math>.

Finalmente sustituyendo resulta:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Para concluir se representará gráficamente, para el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T23:18:13Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinales (\vec{a}=1/3\vec{j}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversales(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartado se calculará la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes de Lamé. Para ello se aplicará que el campo de fuerzas que actúa sobre la placa, que es el causante del desplazamiento, se puede aproximar mediante la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al realizar la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además el vector de desplazamiento <math>\vec{u}</math> resultará tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primera derivada es:
<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada es:
<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

Puede observarse que la segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, que ya ha sido calculado previamente en el apartado 8. De modo que si se tiene que <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, y se realiza la divergencia, se obtiene lo siguiente:

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\end{pmatrix}·μ]=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\end{pmatrix}·μ]=0·\vec{j} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ]=0·\vec{k} </math>

Sustituyendo en <math>\vec{F}</math>, resulta la siguiente expresión:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math>

Despejando apropiadamente:

<math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}; π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math>

Resultando la siguiente relación:

<math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinales (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso se debe operar análogamente al proceso anterior, sin embargo ya no se puede reutilizar la <math>σ</math> calculada con anterioridad, por lo que se debe calcular de nuevo ya que el desplazamiento ondulatorio ha cambiado su dirección:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Tomando la expresión: '''<math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>''' y calculando cada sumando, se tiene:

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial (0) }{\partial x}+\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt))}{\partial\ y}+\frac{\partial (0)}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math>

Por tanto:

<math>λ∇·\vec{u}1=λ\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}</math>

Continuando con la exrpesión de <math>Ԑ(\vec{u})</math> resulta lo siguiente:

<math>Ԑ(\vec{u})=\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math>

Es decir, se tiene la siguiente matriz:

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>, por lo que se verifica lo siguiente: <math>Ԑ(\vec{u})=\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=2∇\vec{u}\frac{1}{2}=∇\vec{u}</math>

Con todo ello el tensor de tensiones resulta:

<math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Finalmente se procede a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math> como se hizo previamente,

<math>∇· [\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\end{pmatrix}·λ]=0·\vec{i} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\end{pmatrix}·(λ+2μ)]=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ]=0·\vec{k} </math>

Se vuelve a calcular la segunda derivada, que resulta ser la misma que la del apartado anterior, pero con la nueva dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Finalmente se sustituye en la expresión de la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec{F}</math>, obteniéndose:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

Despejando apropiadamente

<math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math>

Y se obtiene la siguiente relación para el nuevo <math>σ</math>

<math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T23:14:07Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de Propagación de Ondas Trasversales(\vec{a}=1/3\vec{i}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversales(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartado se calculará la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes de Lamé. Para ello se aplicará que el campo de fuerzas que actúa sobre la placa, que es el causante del desplazamiento, se puede aproximar mediante la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al realizar la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además el vector de desplazamiento <math>\vec{u}</math> resultará tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primera derivada es:
<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada es:
<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

Puede observarse que la segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, que ya ha sido calculado previamente en el apartado 8. De modo que si se tiene que <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, y se realiza la divergencia, se obtiene lo siguiente:

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\end{pmatrix}·μ]=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\end{pmatrix}·μ]=0·\vec{j} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ]=0·\vec{k} </math>

Sustituyendo en <math>\vec{F}</math>, resulta la siguiente expresión:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math>

Despejando apropiadamente:

<math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}; π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math>

Resultando la siguiente relación:

<math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinales (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso se debe operar análogamente al proceso anterior, sin embargo ya no se puede reutilizar la <math>σ</math> calculada con anterioridad, por lo que se debe calcular de nuevo ya que el desplazamiento ondulatorio ha cambiado su dirección:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Tomando la expresión: '''<math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>''' y calculando cada sumando, se tiene:

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial (0) }{\partial x}+\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt))}{\partial\ y}+\frac{\partial (0)}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math>

Por tanto:

<math>λ∇·\vec{u}1=λ\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}</math>

Continuando con la exrpesión de <math>Ԑ(\vec{u})</math> resulta lo siguiente:

<math>Ԑ(\vec{u})=\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math>

Es decir, se tiene la siguiente matriz:

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>, por lo que se verifica lo siguiente: <math>Ԑ(\vec{u})=\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=2∇\vec{u}\frac{1}{2}=∇\vec{u}</math>

Con todo ello el '''Tensor de Tensiones''' resulta:

<math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Finalmente se procede a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math> como se hizo previamente,

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Se vuelve a calcular la segunda derivada, que resulta ser la misma que la del apartado anterior, pero con la nueva dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Finalmente se sustituye en la expresión de la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec{F}</math>, obteniéndose:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

Despejando apropiadamente

<math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math>

Y se obtiene la siguiente relación para el nuevo <math>σ</math>

<math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T23:03:03Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(\vec{a}=1/3\vec{i}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversales(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartado se calculará la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes de Lamé. Para ello se aplicará que el campo de fuerzas que actúa sobre la placa, que es el causante del desplazamiento, se puede aproximar mediante la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al realizar la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además el vector de desplazamiento <math>\vec{u}</math> resultará tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primera derivada es:
<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada es:
<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

Puede observarse que la segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, que ya ha sido calculado previamente en el apartado 8. De modo que si se tiene que <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, y se realiza la divergencia, se obtiene lo siguiente:

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\end{pmatrix}·μ]=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\end{pmatrix}·μ]=0·\vec{j} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ]=0·\vec{k} </math>

Sustituyendo en <math>\vec{F}</math>, resulta la siguiente expresión:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math>

Despejando apropiadamente:

<math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}; π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math>

Resultando la siguiente relación:

<math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinales (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso se debe operar análogamente al proceso anterior, sin embargo ya no se puede reutilizar la <math>σ</math>calculada con anterioridad, por lo que se debe calcular de nuevo ya que el desplazamiento ondulatorio ha cambiado su dirección:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Tomando la expresión: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial (0) }{\partial x}+\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt))}{\partial\ y}+\frac{\partial (0)}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math>

Por tanto:

<math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>.

De modo que <math>Ԑ(\vec{u})=\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=2∇\vec{u}\frac{1}{2}=∇\vec{u}</math>

Con todo ello el tensor de tensiones resulta:

<math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Finalmente se procede a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math> como se hizo previamente,

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Se vuelve a calcular la segunda derivada, que resulta ser la misma que la del apartado anterior, pero con la nueva dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Finalmente se sustituye en la expresión de la ecuación de la elasticidad lineal de <math>\vec{F}</math>, obteniéndose:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

Despejando apropiadamente

<math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math>

Y se obtiene la siguiente relación para el nuevo <math>σ</math>

<math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:44:27Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(\vec{a}=1/3\vec{i}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartado se calculará la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes de Lamé. Para ello se aplicará que el campo de fuerzas que actúa sobre la placa, que es el causante del desplazamiento, se puede aproximar mediante la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al realizar la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además el vector de desplazamiento <math>\vec{u}</math> resultará tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primera derivada es:
<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada es:
<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

Puede observarse que la segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, que ya ha sido calculado previamente en el apartado 8. De modo que si se tiene que <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, y se realiza la divergencia, se obtiene lo siguiente:

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\end{pmatrix}·(μ)]=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\end{pmatrix}·(μ)]=0·\vec{j} </math>

<math>∇· [\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}·(μ)]=0·\vec{k} </math>

Sustituyendo en <math>\vec{F}</math>, resulta la siguiente expresión:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math>

Despejando apropiadamente:

<math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}; π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math>

Resultando la siguiente relación:

<math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:41:21Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(\vec{a}=1/3\vec{i}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartado se calculará la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes de Lamé. Para ello se aplicará que el campo de fuerzas que actúa sobre la placa, que es el causante del desplazamiento, se puede aproximar mediante la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al realizar la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además el vector de desplazamiento <math>\vec{u}</math> resultará tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primera derivada es:
<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada es:
<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

Puede observarse que la segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, que ya ha sido calculado previamente en el apartado 8. De modo que si se tiene que <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, y se realiza la divergencia, se obtiene lo siguiente:

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\end{pmatrix}·(μ)=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\end{pmatrix}·(μ)=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}·(μ)=0·\vec{k} </math>

Sustituyendo en <math>\vec{F}</math>, resulta la siguiente expresión:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math>

Despejando apropiadamente:

<math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}; π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math>

Resultando la siguiente relación:

<math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:29:26Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(\vec{a}=1/3\vec{i}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartado se calculará la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes de Lamé. Para ello se aplicará que el campo de fuerzas que actúa sobre la placa, que es el causante del desplazamiento, se puede modelizar mediante la ecuación de elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al realizar la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además el vector de desplazamiento <math>\vec{u}</math> resultará tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primera derivada es:
<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada es:
<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

Puede observarse que la segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, que ya ha sido calculado previamente en el apartado 8. De modo que si se tiene que <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, y se realiza la divergencia, se obtiene lo siguiente:

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Sustituyendo en <math>\vec{F}</math>, resulta la siguiente expresión:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math>
Despejando apropiadamente:
<math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}; π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math>
Resultando la siguiente relación: <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:24:41Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(\vec{a}=1/3\vec{i}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartado se calculará la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes de Lamé. Para ello se aplicará que el campo de fuerzas que actúa sobre la placa, que es el causante del desplazamiento, se puede modelizar mediante la ecuación de elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al realizar la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además el vector de desplazamiento <math>\vec{u}</math> resultará tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primera derivada es:
<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada es:
<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

Puede observarse que la segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, que ya ha sido calculado previamente en el apartado 8. De modo que si se tiene que <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, y se realiza la divergencia, se obtiene lo siguiente:

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Sustituyendo en <math>\vec{F}</math>, resulta la siguiente expresión:

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:08:47Z

Willdanny Ocampo: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:06:48Z

Willdanny Ocampo: /* Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}_{0}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:06:21Z

Willdanny Ocampo: /* Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}_{0}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:05:25Z

Willdanny Ocampo: /* Sólido Antes y Después del Desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{r}_{d}(x,y)=\vec{r}_{0}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T22:03:41Z

Willdanny Ocampo: /* Tensión Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]]| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se emplea como indicador del buen diseño de estructuras dúctiles, por ello se utiliza en teoría de fallo elástico en el ámbito del cálculo de estructuras.

Para su cálculo se debe emplear la siguiente expresión <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde <math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para su representación se realizará un programa que modeliza dicha tensión en la placa.

(Para el cálculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math> en Matlab)
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tensión y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar sólido después del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T21:18:54Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇⋅\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como:

<math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tension y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-14T21:07:42Z

Willdanny Ocampo: /* Representación del Sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio <math>[−1;1] × [0;12]</math>.

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=

La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>
[[Archivo:VonMises2D.png|600px|thumb|center|texto alternativo]]

[[Archivo:VonMises3D.png|475px|thumb|rigth|texto alternativo]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Definimos nuestra matriz tension y calculamos Von Mises
for i= 1:1:61
for j= 1:1:11
% Asignación de valores para cada componente del mallado
o12=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o12
o21=(pi()/18)*cos((pi()/3)*My(i,j)); % Respecto a o21
% Creación de la matriz de tensiones
O=[0 o12 0;o21 0 0;0 0 0];
autov=eig(O); % Obtención de los autovalores
% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
OVM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Mz(i,j)=OVM;
end
end
%Graficar VonMesis
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Tensión de Von Mises');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
plot(My,Mz);
axis equal
axis([0,12,0,1]);
title('Tensión de Von Mises 2D');
xlabel('Eje de las Y');
ylabel('Eje de las Z');
view(2);
}}

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{π·v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-πvt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{π^2·v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-πvt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>π^2·v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{\sqrt{λ+2μ}}{3}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-πvt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{\sqrt{μ}}{3}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 (<math>μ=1</math>) tenemos que <math>v=\frac{1}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

{{matlab|codigo=
h=2/10;
t0=0;
tN=10;
t=t0:h:tN;
f=@(t) (1/3)*sin(pi/3-(pi*t)/3);
u=f(t);
plot(t,u)
title('Desplazamiento Trasversal');
xlabel('Eje de t');
ylabel('Eje de x');
}}

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T18:00:02Z

Willdanny Ocampo: /* Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, se representará el desplazamiento de cada punto del mallado que se define por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector de desplazamiento que se aplicará al mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:57:34Z

Willdanny Ocampo: /* Energía Calorífica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, se empleará la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, se escribirá la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Gráfica a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:56:05Z

Willdanny Ocampo: /* Representación del Campo de Temperaturas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Expresión de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:55:11Z

Willdanny Ocampo: /* Representación del Campo de Temperaturas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, se puede apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:53:52Z

Willdanny Ocampo: /* Representación del Sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, se dibuja el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, se establece un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que están definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:45:57Z

Willdanny Ocampo: /* Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado se estudiaran las variaciones de las tensiones tangenciales y se representarán.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:41:41Z

Willdanny Ocampo: /* Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero se obtiene <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como se ha realizado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, por ello solo es necesario calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:37:52Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0 </math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ= 2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t))\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:33:59Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es la siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math>=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ=<math>2 μ (\frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math>)\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:30:11Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math> es el siguiente:

<math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:28:58Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable <math>y</math>, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Luego la traspuesta del gradiente de <math>\vec{u} </math>, <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:27:38Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como <math>\vec{u}</math> solo tiene dirección <math>\vec{i}</math> y depende de la variable y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Luego la traspuesta del gradiente de <math>vec{u} </math>, <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:21:48Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son ''coeficientes de Lamé'' que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una dirección (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:20:40Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado se desea comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, se toman los valores de <math>λ=µ=1</math>.

Se empieza calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para ello se calcula el gradiente del campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una dirección (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}^t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora se calcula el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. Se sabe que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez se ha obtenido el tensor de tensiones, se calculan las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:13:34Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor Deformación y Tensión */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{1}{2}(∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensor de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:09:50Z

Willdanny Ocampo: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>.

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:08:33Z

Willdanny Ocampo: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado se calcula el módulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después se calcula los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar se calcula el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Una vez obtenido el rotacional de <math>\vec{u}</math> se calcula el módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, se debe calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido de este.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T17:03:43Z

Willdanny Ocampo: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y después calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en coordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El módulo del rotacional de un campo vectorial mide la rapidez con la que el campo vectorial gira sobre dicho punto. Para hallar los puntos donde se produce un mayor rotacional, debemos calcular los máximos y mínimos de la función, para ello se deriva y se iguala a cero obteniéndose así los valores extremos independientemente del sentido.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:41:17Z

Willdanny Ocampo: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}-(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:38:02Z

Willdanny Ocampo: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:30:38Z

Willdanny Ocampo: /* Divergencia del Vector U */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

Como consecuencia no hay cambio de volumen local debido al desplazamiento.

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:26:01Z

Willdanny Ocampo: /* Módulo de desplazamiento trasversal en i */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de Desplazamiento Trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:25:30Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de propagación de ondas longitudinal (\vec{a}=1/3\vec{j}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de Propagación de Ondas Longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:24:46Z

Willdanny Ocampo: /* Velocidad de propagación de ondas trasversal(\vec{a}=1/3\vec{i}) */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de Propagación de Ondas Trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:24:21Z

Willdanny Ocampo: /* Tensiones tangenciales plano ortogonal a i */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones Tangenciales Plano Ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:23:49Z

Willdanny Ocampo: /* Tensor deformación y tension */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor Deformación y Tensión=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:23:17Z

Willdanny Ocampo: /* Divergencia del vector U */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del Vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:22:51Z

Willdanny Ocampo: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido Antes y Después del Desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-13T16:09:51Z

Willdanny Ocampo: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=

[[Archivo:Apartado1 2023.png|200px|thumb|right|Figura 1]]
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

[[Archivo:Apartado2C.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

[[Archivo:EnergiaCalorificaC.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

=Sólido antes y después del desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{rd}(x,y)=\vec{r}(x,y)+\vec{u}(x,y)=[\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3})+x]\vec{i}+y\vec{j}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
rdi=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
rdj=My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(rdi,rdj,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

En este apartado calcularemos el modulo del rotacional de <math>\vec{u}</math> en los puntos del sólido en t =0 y despues calcularemos los puntos que sufren un mayor rotacional. 

Para empezar calcularemos el rotacional en cordenadas cartesianas:

<center><math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ u1 & u2 & u3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}\ & \frac{\partial }{\partial z}\\ (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)) & 0 & 0 \end{vmatrix}=(\frac{\partial 0}{\partial y}-\frac{\partial 0}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial z})\vec{j}+(\frac{\partial 0}{\partial x}-\frac{\partial (\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y))}{\partial y})\vec{k}= -(\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) \vec{k}</math></center>

Ya que tenemos el rotacional de <math>\vec{u}</math> calculamos su módulo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = (\frac{π}{9}sin(\frac{π}{3}y)) </math>. 

El modulo del rotacional de un campo vectorial, mide la rapidez con la que el campo vectorial gira en dicho punto, para hayar los puntos donde se sufre mayor rotacional debemos dejar claro que los puntos donde se sufre mayor rotacional son donde el modulo alcanza tanto sus maximos y minimos, porque el signo es este caso solo nos dice que tienen direccion contraria, pero el mismo valor al girar en dichos puntos.

Los puntos que tienen mayor rotacional vienen dados por <math>(x,y)=(x,0)</math>,<math>(x,y)=(x,3)</math>,<math>(x,y)=(x,6)</math>,<math>(x,y)=(x,9)</math>,<math>(x,y)=(x,12)</math> donde <math>x∈[-1,1]</math>

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-11T16:25:05Z

Willdanny Ocampo: /* Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.
[[Archivo:Apartado1 2023.png|150px|thumb|right|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=
[[Archivo:Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

[[Archivo:CalorSurf.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

 

 

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta ''Campo de desplazamientos'' :

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

 

 

 

 

 

 

=Sólido antes y después del desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(ui,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-11T16:22:35Z

Willdanny Ocampo: /* Energía Calorífica */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.
[[Archivo:Apartado1 2023.png|150px|thumb|right|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=
[[Archivo:Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa. (Se ha aplicado que la conductividad térmica en la placa es <math>κ=1</math>)

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

[[Archivo:CalorSurf.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

 

 

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta:

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

 

 

 

 

 

 

=Sólido antes y después del desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(ui,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-11T16:21:09Z

Willdanny Ocampo: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.
[[Archivo:Apartado1 2023.png|150px|thumb|right|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=
[[Archivo:Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa.
<center>(Se ha aplicado que la conductividad térmica es <math>κ=1</math>)</center>

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

[[Archivo:CalorSurf.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

 

 

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta:

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

 

 

 

 

 

 

=Sólido antes y después del desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector <math>\vec{u}(x,y)</math> la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(ui,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-11T16:20:09Z

Willdanny Ocampo: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.
[[Archivo:Apartado1 2023.png|150px|thumb|right|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=
[[Archivo:Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa.
<center>(Se ha aplicado que la conductividad térmica es <math>κ=1</math>)</center>

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

[[Archivo:CalorSurf.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

 

 

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta:

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

 

 

 

 

 

 

=Sólido antes y después del desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector desplazamiento <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math> en cada punto del mallado debido a la fuerza ya mencionada.

(Donde puede observarse una clara relación entre esta segunda imagen y la imagen del apartado 4, describiendo dicho vector la nueva posición de los puntos del mallado)

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(ui,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-11T16:14:14Z

Willdanny Ocampo: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.
[[Archivo:Apartado1 2023.png|150px|thumb|right|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=
[[Archivo:Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa.
<center>(Se ha aplicado que la conductividad térmica es <math>κ=1</math>)</center>

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

[[Archivo:CalorSurf.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

 

 

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta:

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

 

 

 

 

 

 

=Sólido antes y después del desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector de desplazamiento <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math> en cada punto del mallado.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(ui,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.

Deformaciones de una placa plana 2-D (Grupo 27-B)

2023-12-11T16:13:12Z

Willdanny Ocampo: /* Sólido antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo 27-B |Teoría de Campos|2023-2024| Diego Morcillo Parga Mirella Espinal Arias Luis David Sánchez Pérez Willdanny Ocampo Gaviria Alejandro Vadillo Muñoz }}

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> (x,y) ∈ [-1,1] × [0,12]</math>.
Físicamente también puede representar la sección trasversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada).

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(y-4)^2</math>,</center>

y los desplazamientos <math>\vec{u}(x,y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x,y)=x\vec{i}+y\vec{j}</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por

<center><math>\vec{r_{d}}(x,y)=\vec{r_{0}}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math></center>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)-vt))</math>,</center>

donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math> es el numero de onda,<math> \vec{d} </math>es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la velocidad de propagación.
La variable <math>t</math> representa el tiempo que congelaremos en <math>t=0</math> en los primeros 10 apartados de los primeros 10 apartados,

<center><math>\vec{u}(x,y)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r_0}(x,y)))</math>.</center>

Supondremos que se trata de una onda trasversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular

<center><math>\vec{a}=1/3\vec{i}, k=1, d=1/3\vec{j}</math></center>

=Representación del Sólido=
En primer lugar, dibujamos el sólido para estudiar su comportamiento. Para ello, definiremos un subespacio con las variables <math>(x,y)</math> que estan definidas para el siguiente dominio [−1;1] × [0;12].

Además se utilizará como paso de muestreo: <math>h=\frac{2}{10}</math>.

El código puede verse en la parte inferior, además del resultado de la representación en la ''Figura 1''.
[[Archivo:Apartado1 2023.png|150px|thumb|right|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
mesh(Mx,My,Mx*0);
%Ejes
title('Mallado del solido');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
axis equal;
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)

}}
 

 

 

 

 

 

 

=Representación del Campo de Temperaturas=
[[Archivo:Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente.png|800px|thumb|rigth|Campo de temperaturas, Curvas de nivel y Gradiente]]

La ''Temperatura'' es una magnitud física que permite medir la energía cinética en un sistema. Para llevar a cabo la representación del campo escalar de temperaturas, se procederá a escribir la función que modeliza el campo, es decir:

<center><math>T(x,y)=log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center>

La primera imagen representa el campo de temperaturas como la coordenada z, mientras que en la segunda imagen, se dibujan las curvas de nivel, que son las proyecciones del campo de temperaturas en el mallado, asociando un color a cada valor de la función T. En la tercera imagen, se representa las curvas de nivel del campo de temperaturas junto con su máxima variación, es decir el gradiente de T, donde se puede observar que la dirección de máxima variación es ortogonal a las curvas de nivel. Para ello se aplicará la definición del gradiente:

<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}=\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j}</math></center>

Por lo tanto, podemos apreciar que los máximos se encuentran en los extremos superiores de la placa, en:
<center><math>1.(x,y)=(-1,12)</math></center>
<center><math>2.(x,y)=(1,12)</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Formula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Gráfico de Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel
subplot (1,3,1);
surf(Mx,My,T);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de Temperaturas y Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Temperatura');
%Gráfico de Curvas de Nivel
subplot (1,3,2);
contour(Mx,My,T,30);
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
%Gráfico de Curvas de Nivel y Gradiente
subplot (1,3,3)
quiver(Mx,My,i,j,"Color",[0 0 0]);
hold on
contour(Mx,My,T,30);
hold off
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Curvas de Nivel y Gradiente');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
colorbar;
}}

=Energía Calorífica=

La ''Energía Calorífica'', es una magnitud física que permite medir el calor intercambiado entre un cuerpo y su entorno. Para su cálculo, emplearemos la '''Ley de Fourier''' que define la energía calorífica como:

<center><math>\vec{Q}=−κ▽T=-1▽T=-(\frac{2x}{1+x^2}\vec{i}+\frac{2y-8}{1+(y-4)^2}\vec{j})</math></center>

Donde <math>▽T</math> es el gradiente de temperaturas y <math>κ</math> es la conductividad térmica de la placa.
<center>(Se ha aplicado que la conductividad térmica es <math>κ=1</math>)</center>

Para representarlo, al igual que con el campo de temperaturas, escribiremos la función que modelice el campo vectorial de energía calorífica sobre la placa, dando como resultado la imagen ''Campo de vectores de calor''.

[[Archivo:CalorSurf.png|150px|thumb|rigth|Campo de vectores de calor]]
{{matlab|codigo=
%Parametrización con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Fórmula de la Temperatura
T=log(1+(Mx.^2))+log(1+((My-4).^2));
%Gradiente
i=(2*Mx)./(1+(Mx.^2));j=((2*My)-8)./(1+(My-4).^2);
%Ley de Fourier
Qi=-1*i;Qj=-1*j;
%Graficar a Q
surf(Mx,My,Mx.*0);
hold on
quiver(Mx,My,Qi,Qj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Energia Calorifica');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}

 

 

 

 

 

 

=Campo de Vectores de Desplazamiento del Sólido=

[[Archivo:Apartado4.1.png|150px|thumb|rigth|Campo de desplazamientos]]

Tras dibujar la placa con su mallado correspondiente, para poder representar el desplazamiento de cada punto del mallado definido por el vector dado:
<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}sin(πk(\vec{d}·\vec{r}(x,y)-vt))</math></center>

Evaluando en <math>t=0, \vec{a}=1/3\vec{i}, \vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j} </math>, resulta el siguiente vector de desplazamiento:

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{1}{3}\vec{i} sin(π(\frac{1}{3}\vec{j}·(x\vec{i}+y\vec{j}))</math></center>

Operando apropiadamente, resulta el siguiente vector posición que se aplicará en el mallado, dando como resultado la imagen adjunta:

<center><math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y)\vec{i}</math></center>

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*ui;
%Graficar a U
mesh(Mx,My,0*Mx)
hold on
quiver(Mx,My,ui,uj,"Color",[0 0 0]);
hold off
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2)
}}
 

 

 

 

 

 

 

 

=Sólido antes y después del desplazamiento=
[[Archivo:Antesydespuesdesplazamiento.png|800px|thumb|right|Sólido antes y después del desplazamiento]]

En la imagen expuesta, se puede apreciar dos mallados. En primer lugar, se tiene la placa antes del desplazamiento causado por la fuerza. En segundo lugar, se tiene la placa tras aplicar el vector de desplazamiento en cada punto del mallado.

{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ui=Mx+1/3*(sin((pi/3)*My));
uj=0*My;
%Graficar solido antes del desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(Mx,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido antes del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
%Graficar solido despues del desplazamiento
subplot(1,2,2);
mesh(ui,My,Mx.*0);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Solido despues del desplazamiento');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
view(2);
}}

=Divergencia del vector U=
Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y)= \frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} = \frac{\partial (\frac{1}{3} \sin (\frac{π}{3} y)) }{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} = 0 </math>

=Rotacional=

[[Archivo:Rotacional23.png|600px|thumb|rigth|Rotacional]]
{{matlab|codigo=
%Parametrizacion con muestreo h=2/10
h=2/10;x=-1:h:1;y=0:h:12;
%Mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Rotacional
Rui=0*My;
Ruj=0*My;
Ruk=-pi/9*(cos((pi/3)*My));
%Graficar
quiver3(Mx,My,My*0,Rui,Ruj,Ruk);
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
title('Rotacional');
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
zlabel('Eje de las Z');
}}

=Tensor deformación y tension=
Para este apartado hay que definir dos nuevos conceptos. El primero es el tensor de deformaciones: <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> que es la parte simétrica de <math>\vec{u}</math>.

El otro es el tensión de tensiones: <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>, donde <math>1</math> es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math>R^3</math> y <math>λ</math> y <math>µ</math> son coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material.

En este apartado queremos comprobar si existen tensiones ortogonales a la dirección de la placa, y si existen, representarlas. Para ello, tomamos los valores de <math>λ=µ=1</math> y empezamos a operar.

Empezamos calculando el gradiente de <math>\vec{u}</math>, para eso recordamos como se calcula el gradiente de un campo vectorial: <math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} </math>.

Como solo tiene en una direccion (<math>\vec{i}</math>) valor de y, va a ser una matriz con una sola componente <math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> Luego la traspuesta del gradiente de u <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>.

Ahora ya podemos calcular el tensor de deformaciones <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math>. También sabemos que <math>∇\vec{u}=0</math>

Por tanto el tensor de tensiones nos queda como <math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>

Una vez hemos sacado el tensor de tensiones, calculamos las tensiones normales respecto a cada uno de los ejes.

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math>

<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>

Como todas son nulas no es posible su representación.

=Tensiones tangenciales plano ortogonal a i=
En este apartado veremos como varían varían las tensiones tangenciales y las representaremos, solo las no nulas.

Primero tenemos que calcular <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>, como hemos calculado en el apartado anterior <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>así que solo hay que calcular <math>|σ·\vec{i}|</math>.

<math>|σ·\vec{i}|=|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}|=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Como solo depende de <math>y</math>, se puede representar con <math>y </math> y con tensión en otro eje.

=Tensión Von Mises=
La tensión de Von Mises se usa como indicador de buen diseño para estructuras dúctiles se usa en teoría de fallo elástico para calculo de estructuras, básicamente indica cuando un material realiza un comportamiento elástico (es decir sufre deformaciones remanentes).

Se calcula de la siguiente forma <math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>, donde<math>σ_{1},σ_{2},σ_{3}</math> son los autovalores del tensor de tensiones <math>σ</math>. Para representarlo haremos un programa que nos representara dicha tension en nuestra placa. Para el calculo de los autovalores usaremos el comando <math>eig</math>

=Velocidad de propagación de ondas trasversal(<math>\vec{a}=1/3\vec{i}</math>)=
En este apartados veremos como se calcula la velocidad de propagación de ondas <math>v</math> en función de las constantes Lamé. Para ellos usaremos que el campo de fuerzas de que actúa sobre la placa (causante del desplazamiento) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal.

<center><math>\vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}-∇·σ</math></center>

donde <math>∇·σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Todo esto suponiendo <math>\vec{F}=0</math>. Además la <math>\vec{u}</math> queda tal que <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La primer derivada:<math>\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}=-\frac{v}{3}·cos(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda derivada:<math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>

La segunda parte del campo de fuerzas es <math>∇·σ</math>, como ya hemos calculado en apartado 8, <math>σ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·μ</math>, ahora aplicamos la divergencia.

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(μ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(μ)·\vec{i} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·μ</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math>

==Velocidad de propagación de ondas longitudinal (<math>\vec{a}=1/3\vec{j}</math>)==
Para este caso debemos rehacer todo el proceso, ya no podemos reutilizar <math>σ</math>,sini que debemos recalcularlo pues nuestro desplazamiento ondulatorio ha cambiado: <math>\vec{u}=\frac{1}{3}·sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>.

Recordamos que <math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>.

<math>∇·\vec{u}=\frac{\partial 0 }{\partial x}+\frac{\partial \frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y-vt)}{\partial\ y}+\frac{\partial 0}{\partial\ z}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) </math> por tanto <math>λ∇·\vec{u}1=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ</math>

<math> ∇\vec{u}= \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math> que es igual a su transpuesta <math>∇\vec{u}=∇\vec{u^t}</math>. Por tanto <math>Ԑ(\vec{u})=(∇\vec{u} + ∇\vec{u}^t)/2=2∇\vec{u}/2=∇\vec{u}</math>

Habiendo calculado ya esto, el tensor de tensiones <math>σ</math> queda tal que <math>σ=\begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)\end{pmatrix}·λ+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}·2μ</math>

Ahora procedemos a calcular la divergencia de los vectores filas de <math>σ</math>

<math>∇· \begin{pmatrix}\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ) & 0 & 0\end{pmatrix}=0·\vec{i} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ) & 0\end{pmatrix}=-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math>

<math>∇· \begin{pmatrix}0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y-vt)·(λ)\end{pmatrix}=0·\vec{k} </math>

Volvemos a calcular la segunda derivada que queda igual que la del apartado anterior nada mas que cambia la dirección <math>\frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}</math>

Ahora sustituimos en <math>\vec{F}</math> y nos queda

<math>\vec{F}=-\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}-[-\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j}]=0; </math> resolviendo <math>\frac{v^2}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{j}=\frac{π^2}{27}sin(\frac{π}{3}y-vt)·(λ+2μ)·\vec{j} </math> y despejando queda <math>v^2=\frac{π^2}{9}·(λ+2μ)</math> y finalmente <math>v=\frac{π}{3}·\sqrt{λ+2μ}</math>

=Módulo de desplazamiento trasversal en i=
En este apartado trataremos de ver como cambia el módulo del desplazamiento trasversal (es decir <math>\vec{u} </math> en direción <math>\vec{i}</math>) en función del tiempo para ver el desplazamiento producido en el punto fijo <math>(1/2,1)</math>.

Lo primero es tener claro nuestro <math> \vec{u}</math>, para eso primero lo escribo sin sustituir <math> \vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}·y-vt)·\vec{i}</math>. Ahora sabiendo que el punto es <math>(X,Y)=(1/2,1)</math>, y además que y que en el apartado hemos calculado que <math> v=\frac{π}{3}·\sqrt{μ}</math> y suponiendo un <math> μ</math> igual que en el apartado 8 tenemos que <math>v=\frac{π}{3}</math>. Finalmente sustituyendo todo nos queda:

<center><math>\vec{u}=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)·\vec{i}</math></center>

Ya solamente queda representarlo gráficamente, lo haremos en el intervalo <math>t ∈ [0, 10] </math>.