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Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:54:50Z

Waen: /* Primera reacción propuesta */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:53:44Z

Waen: /* Ecuación */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:47:21Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:44:41Z

Waen: /* INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:41:46Z

Waen: /* INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2 en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:40:54Z

Waen: /* INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2 en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:39:02Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2 en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:38:16Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2 en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:37:33Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:36:58Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos. Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2 en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion. En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:06:10Z

Waen: /* Sistema de ecuaciones */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:05:14Z

Waen: /* Sistema de ecuaciones */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden:

{{matlab codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T20:04:19Z

Waen: /* Sistema de ecuaciones */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden:

{{matlab código
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:48:07Z

Waen: /* Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden:

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:44:36Z

Waen: /* Sistema de ecuaciones */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden:

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:44:01Z

Waen: /* Sistema de ecuaciones */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{s} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{s} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden:

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:35:45Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]

Archivo:4graficas Heun.jpg

2015-03-05T19:34:44Z

Waen:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:18:08Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:17:35Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:17:04Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:12:32Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
}}
[[Archivo:Metodo heun sistema 4 graficas.jpg|sinmarco|centro]]

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:07:39Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
}}
[[Archivo:Metodo heun sistema 4 graficas.jpg|miniaturadeimagen]]

Archivo:Metodo heun sistema 4 graficas.jpg

2015-03-05T19:06:17Z

Waen:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:01:19Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
}}

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T19:01:01Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
}}

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T18:59:20Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+<math>frac{h*(K1+K2)}{2}</math>\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
}}

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T18:56:54Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
}}

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T18:55:41Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{metodo matlab:

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T17:38:21Z

Waen: /* Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T15:22:40Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T15:22:00Z

Waen: /* Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

<math>\left\{ \begin{array}{c} x'=k1Ax-k2xy \\y'=k2xy-k3y \\A'=-k1Ax\\B'=k3y \end{array}\right </math>

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T15:12:34Z

Waen: /* Sistema de ecuaciones */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T15:11:49Z

Waen: Deshecha la revisión 26544 de Waen (disc.)

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T15:10:25Z

Waen: /* Sistema de ecuaciones */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T15:07:14Z

Waen: /* Primera reacción propuesta */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T15:06:27Z

Waen: /* Primera reacción propuesta */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

===Sistema de ecuaciones===

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T15:05:04Z

Waen: /* Método de Runge-Kutta */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:44:39Z

Waen: /* Método de Heun */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:43:42Z

Waen: /* Método de Heun */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:30:27Z

Waen: /* Método del Trapecio */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:29:50Z

Waen: /* Método del Trapecio */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:29:26Z

Waen: /* Método del Trapecio */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:28:48Z

Waen: /* Método del Trapecio */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:27:32Z

Waen: /* Método del Trapecio */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:26:00Z

Waen: /* Método del Trapecio */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:25:29Z

Waen: /* Método del Trapecio */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:23:53Z

Waen: /* Método del Trapecio */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:21:07Z

Waen: /* Método de Euler */

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T23:17:57Z

Waen: /* Ecuación diferencial */