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Grupo15

2023-12-15T22:17:46Z

Victorzornoza: /* Velocidad de propagación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>. No se indicaran los índices vectoriales hasta el final, ya que ambos sumandos trabajan en <math> \vec{j}</math>.

<math>\vec{F} = \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{9}{y}-vt) \quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad = 0</math> <br>
<math> -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad=\quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt); </math> <br> <math> \quad \frac{1}{3}v^2\quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27} </math> <br> <math> v^2 = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{9};</math> <br> <math> v= \quad {sqrt{(\lambda+2\mu){\frac{(\pi)^2}{9}}}; </math>
</div>
{\sqrt{(frac{(\pi)^2}{3}}}\vec{j}
{\sqrt {\frac {x} {y}}}
<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T22:11:57Z

Victorzornoza: /* Velocidad de propagación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>. No se indicaran los índices vectoriales hasta el final, ya que ambos sumandos trabajan en <math> \vec{j}</math>.

<math>\vec{F} = \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{9}{y}-vt) \quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad = 0</math> <br>
<math> -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad=\quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt); </math> <br> <math> \quad \frac{1}{3}v^2\quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27} </math> <br> <math> v^2 = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{9};</math> <br> <math> v= \quad {sqrt{(\lambda+2\mu){\frac{(\pi)^2}{9}}}; </math>
</div>
{\sqrt{(frac{(\pi)^2}{3}}}\vec{j}
{\sqrt {\frac {x} {y}}}
<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T22:10:07Z

Victorzornoza: /* Velocidad de propagación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>. No se indicaran los índices vectoriales hasta el final, ya que ambos sumandos trabajan en <math> \vec{j}</math>.

<math>\vec{F} = \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{9}{y}-vt) \quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad = 0</math> <br>
<math> -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad=\quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt); </math> <br> <math> \quad \frac{1}{9}v^2\quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27} </math> <br> <math> v^2 = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{9};</math> <br> <math> v= \quad {sqrt{(\lambda+2\mu){\frac{(\pi)^2}{9}}}; </math>
</div>
{\sqrt{(frac{(\pi)^2}{3}}}\vec{j}
{\sqrt {\frac {x} {y}}}
<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T22:09:35Z

Victorzornoza: /* Velocidad de propagación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>. No se indicaran los índices vectoriales hasta el final, ya que ambos sumandos trabajan en <math> \vec{j}</math>.

<math>\vec{F} = \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{9}{y}-vt) \quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad = 0</math> <br>
<math> -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad=\quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt); </math> <br> <math> \quad \frac{1}{9}v^2\quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27} </math> <br> <math> v^2 = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{9};</math> <br> <math> v= \quad {sqrt{(\lambda+2\mu){\frac{(\pi)^2}{9}}}; </math>
</div>
{\sqrt{(frac{(\pi)^2}{3}}}\vec{j}
{\sqrt {\frac {x} {y}}}
<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T22:09:00Z

Victorzornoza: /* Velocidad de propagación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>. No se indicaran los índices vectoriales hasta el final, ya que ambos sumandos trabajan en <math> \vec{j}</math>.

<math>\vec{F} = \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{9}{y}-vt) \quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad = 0</math> <br>
<math> \frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad=\quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt); </math> <br> <math> \quad \frac{1}{9}v^2\quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27} </math> <br> <math> v^2 = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{9};</math> <br> <math> v= \quad {sqrt{(\lambda+2\mu){\frac{(\pi)^2}{9}}}; </math>
</div>
{\sqrt{(frac{(\pi)^2}{3}}}\vec{j}
{\sqrt {\frac {x} {y}}}
<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T22:08:32Z

Victorzornoza: /* Velocidad de propagación */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>. No se indicaran los índices vectoriales hasta el final, ya que ambos sumandos trabajan en <math> \vec{j}</math>.

<math>\vec{F} = \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad -\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{9}{y}-vt) \quad + \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad = 0</math> <br>
<math> \-frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt) \quad=\quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt); </math> <br> <math> \quad \frac{1}{9}v^2\quad = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27} </math> <br> <math> v^2 = \quad (\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{9};</math> <br> <math> v= \quad {sqrt{(\lambda+2\mu){\frac{(\pi)^2}{9}}}; </math>
</div>
{\sqrt{(frac{(\pi)^2}{3}}}\vec{j}
{\sqrt {\frac {x} {y}}}
<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T11:26:36Z

Victorzornoza: /* Cálculo del rotacional del campo de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>
</div>
<math>\vec{F} = \quad \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad- \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \quad + \quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T11:26:17Z

Victorzornoza: /* Cálculo del rotacional del campo de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>
</div>
<math>\vec{F} = \quad \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad- \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \quad + \quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T11:25:44Z

Victorzornoza: /* Cálculo del rotacional del campo de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & \frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>
</div>
<math>\vec{F} = \quad \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad- \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \quad + \quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T11:25:15Z

Victorzornoza: /* Cálculo del rotacional del campo de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & <math>\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y)·\vec{j}</math> & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>
</div>
<math>\vec{F} = \quad \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad- \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \quad + \quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T11:20:26Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2); %PARCIAL DE X
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>
</div>
<math>\vec{F} = \quad \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad- \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \quad + \quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T11:18:50Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>
</div>
<math>\vec{F} = \quad \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad- \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \quad + \quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T11:13:19Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{9}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>
</div>
<math>\vec{F} = \quad \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad- \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} \quad + \quad -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-15T11:10:42Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

El cambio de volumen se puede apreciar en la gráfica ya que en unos puntos hay mayor flujo que en otros.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>
de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br>
bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br>
Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>
tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>
Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>
sa a ser:<br> <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math> =<br> <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j) + (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>
Ya redefinida <math> \sigma </math> se procera al calculo de la divergencia <math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math>:

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma </math> = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}= <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

<div style="text-align: justify;"> En segundo lugar se calculara la segunda derivada parcial de <math> \vec{u}(x,y,t)</math> respecto al tiempo t <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>. Para llevar a cavo este calculo se partira de la primera derivada de <math> \vec{u}(x,y,t) </math> \quad = \quad <math> \frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t} </math> .<br>
<math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math>: <math>\frac{\partial \vec{u}(x,y,t)}{\partial t}</math> = <math> (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j} </math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad = \quad frac{\partial (-\frac{1}{3}vcos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{ \partial t} \quad = \quad (-\frac{1}{3}v^2sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt))\vec{j}</math>
</div>

<div style="text-align: justify;"> Ya cerca del final, se realizara la igualación de ambos terminos, dado que <math>\vec{F} \quad = \quad 0 </math>
</div>
<math>\vec{F} = \quad \frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2} \quad- \bigtriangledown \cdot \sigma \quad = \quad 0; </math> <br> <math> (-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i} + ((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-14T22:35:35Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br> bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br> Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>sa ser <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> /y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math><br><math>+ (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Archivo:Definitivoo.png

2023-12-14T22:35:11Z

Victorzornoza:

Grupo15

2023-12-14T22:34:38Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:definitivoo.png|100px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br> bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br> Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>sa ser <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> /y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math><br><math>+ (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Archivo:Porfayanomas.png

2023-12-14T22:33:36Z

Victorzornoza:

Grupo15

2023-12-14T22:31:05Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Definif.png|100px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
[[Archivo:Loulti.png|100px|miniaturadeimagen|Figura 3]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br> bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br> Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>sa ser <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> /y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math><br><math>+ (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-14T22:30:41Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Definif.png|325px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
[[Archivo:Loulti.png|325px|miniaturadeimagen|Figura 3]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br> bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br> Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>sa ser <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> /y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math><br><math>+ (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Archivo:Loulti.png

2023-12-14T22:29:50Z

Victorzornoza:

Grupo15

2023-12-14T22:26:28Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math> y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Definif.png|325px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color amarillo, es mínima en los valores que están en color azul oscuro y nula en los valores que están en verde.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo, es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>
, <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia , <math>I</math> es el tensor identidad y <math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇ \cdot \vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial x} & \frac{\partial u_{1} }{\partial y} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial x} & \frac{\partial u_{2} }{\partial y} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial x} & \frac{\partial u_{3} }{\partial y} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{\partial(\frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}))}{\partial y} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{\frac{2π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=| \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix} |=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br> bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br> Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>sa ser <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> /y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math><br><math>+ (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\partial ((\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt))}{\partial y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial ((\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2, y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%Generar el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Gráfico de la función desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Archivo:Definif.png

2023-12-14T22:25:38Z

Victorzornoza:

Grupo15

2023-12-14T13:45:10Z

Victorzornoza: /* Cálculo del rotacional del campo de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartadodefinitivo.png|325px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color azul oscuro, es mínima en los valores que están en color amarillo y nula en los valores que están en verde.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3*sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br> bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br> Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>sa ser <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> /y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math><br><math>+ (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2; y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%General el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Grafico de la funcion desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-14T13:44:43Z

Victorzornoza: /* Cálculo del rotacional del campo de deformaciones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
* Alisson Estefania Simbaña Coray
* Alba Xiyi Montoro Poveda
* Daniel Sanz Lavera
* Victor Zornoza Llanos
* Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartadodefinitivo.png|325px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u}(x,y,z) = \frac{\partial ux}{\partial x}(x,y,z)+\frac{\partial uy}{\partial y}(x,y,z)+\frac{\partial uz}{\partial z}(x,y,z)</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y.
En la gráfica se puede observar que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima en los valores que están en color azul oscuro, es mínima en los valores que están en color amarillo y nula en los valores que están en verde.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>
\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Des-<br>de la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>. Ahora <br> bien, en este apartada aondará en la fuerza que recibe el mallado, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .<br> Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta ve-<br>locidad , <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>. Al es-<br>tar igualado a 0, el ejercicio radica en igualar ambos sumandos y de ahí despejar <math> \vec{v}</math>. <br>Comenzaremos por la divergencia de <math> \sigma </math>, esta será redefinida para este apartado dado que en su momento se especifico que t = 0, hecho que en este apartado no podemos suponer. Por lo que <math> \vec{u}(x,y,t)</math> pa-<br>sa ser <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math> /y <math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math><br><math>+ (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>. </div>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto <math>P(x,y)=(1/2,1)</math> y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

<math>P(x,y)=(1/2,1); x=1/2; y=1</math>

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

[[Archivo:Desplazamientotrasversalgrupo15.png|380px|miniaturadeimagen|derecha|Figura12]]

{{matlab|codigo=
clc
clear
%General el vector t
t=linspace(0,10,100);
%Módulo de la velocidad
v=1.81;

%Función del desplazamiento en t
u=1/3.*sin(pi/3-v.*t);
%Grafico de la funcion desplazamiento
plot(t,u,'LineWidth',2)
%Titulo,ejes,leyenda, mallado
title('Desplazamiento trasversal a lo largo de t')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Desplazamiento')
grid on
}}

Grupo15

2023-12-14T10:57:59Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Alisson Estefania Simbaña Coray
Alba Xiyi Montoro Poveda
Daniel Sanz Lavera
Victor Zornoza Llanos
Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartadodefinitivo.png|325px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u} = \frac{\partial\vec{ux}}{\partial x}+\frac{\partial\vec{uy}}{\partial y}+\frac{\partial\vec{uz}}{\partial z}</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y, es decir, queda reducido a calcular los valores máximos, mínimos y nulos la derivada parcial de uy.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>.Ahora bien, en este apartada andará en la fuerza que recibe el, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> . Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad, <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>.</div>
<math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math> ;Donde <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math>

Es necesario redefinir el parámetro <math>\sigma</math>:

<math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <br> \ <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)+(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto P(x,y)=(1/2,1) y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

P(x,y)=(1/2,1) x=1/2 y=1

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

Grupo15

2023-12-14T10:57:40Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Alisson Estefania Simbaña Coray
Alba Xiyi Montoro Poveda
Daniel Sanz Lavera
Victor Zornoza Llanos
Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartadodefinitivo.png|275px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u} = \frac{\partial\vec{ux}}{\partial x}+\frac{\partial\vec{uy}}{\partial y}+\frac{\partial\vec{uz}}{\partial z}</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y, es decir, queda reducido a calcular los valores máximos, mínimos y nulos la derivada parcial de uy.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>.Ahora bien, en este apartada andará en la fuerza que recibe el, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> . Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad, <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>.</div>
<math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math> ;Donde <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math>

Es necesario redefinir el parámetro <math>\sigma</math>:

<math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <br> \ <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)+(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto P(x,y)=(1/2,1) y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

P(x,y)=(1/2,1) x=1/2 y=1

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

Grupo15

2023-12-14T10:57:23Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Alisson Estefania Simbaña Coray
Alba Xiyi Montoro Poveda
Daniel Sanz Lavera
Victor Zornoza Llanos
Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartadodefinitivo.png|200px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u} = \frac{\partial\vec{ux}}{\partial x}+\frac{\partial\vec{uy}}{\partial y}+\frac{\partial\vec{uz}}{\partial z}</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y, es decir, queda reducido a calcular los valores máximos, mínimos y nulos la derivada parcial de uy.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>.Ahora bien, en este apartada andará en la fuerza que recibe el, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> . Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad, <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>.</div>
<math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math> ;Donde <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math>

Es necesario redefinir el parámetro <math>\sigma</math>:

<math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <br> \ <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)+(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto P(x,y)=(1/2,1) y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

P(x,y)=(1/2,1) x=1/2 y=1

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

Grupo15

2023-12-14T10:56:37Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Alisson Estefania Simbaña Coray
Alba Xiyi Montoro Poveda
Daniel Sanz Lavera
Victor Zornoza Llanos
Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen ampliada, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartadodefinitivo.png|400px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u} = \frac{\partial\vec{ux}}{\partial x}+\frac{\partial\vec{uy}}{\partial y}+\frac{\partial\vec{uz}}{\partial z}</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y, es decir, queda reducido a calcular los valores máximos, mínimos y nulos la derivada parcial de uy.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>.Ahora bien, en este apartada andará en la fuerza que recibe el, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> . Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad, <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>.</div>
<math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math> ;Donde <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math>

Es necesario redefinir el parámetro <math>\sigma</math>:

<math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <br> \ <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)+(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto P(x,y)=(1/2,1) y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

P(x,y)=(1/2,1) x=1/2 y=1

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

Archivo:Apartadodefinitivo.png

2023-12-14T10:55:51Z

Victorzornoza:

Grupo15

2023-12-14T10:53:01Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Alisson Estefania Simbaña Coray
Alba Xiyi Montoro Poveda
Daniel Sanz Lavera
Victor Zornoza Llanos
Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
Al no verse claro en la imagen ampliada, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartado_31.png|400px|miniaturadeimagen|Figura 1]][[Archivo:Apartado_32.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u} = \frac{\partial\vec{ux}}{\partial x}+\frac{\partial\vec{uy}}{\partial y}+\frac{\partial\vec{uz}}{\partial z}</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y, es decir, queda reducido a calcular los valores máximos, mínimos y nulos la derivada parcial de uy.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>.Ahora bien, en este apartada andará en la fuerza que recibe el, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> . Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad, <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>.</div>
<math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math> ;Donde <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math>

Es necesario redefinir el parámetro <math>\sigma</math>:

<math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <br> \ <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)+(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto P(x,y)=(1/2,1) y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

P(x,y)=(1/2,1) x=1/2 y=1

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

Grupo15

2023-12-14T10:51:40Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Alisson Estefania Simbaña Coray
Alba Xiyi Montoro Poveda
Daniel Sanz Lavera
Victor Zornoza Llanos
Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores.
[[Archivo:Apartado_31.png|400px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
Al no verse claro en la imagen ampliada, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartado_32.png|300px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u} = \frac{\partial\vec{ux}}{\partial x}+\frac{\partial\vec{uy}}{\partial y}+\frac{\partial\vec{uz}}{\partial z}</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y, es decir, queda reducido a calcular los valores máximos, mínimos y nulos la derivada parcial de uy.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>.Ahora bien, en este apartada andará en la fuerza que recibe el, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> . Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad, <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>.</div>
<math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math> ;Donde <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math>

Es necesario redefinir el parámetro <math>\sigma</math>:

<math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <br> \ <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)+(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto P(x,y)=(1/2,1) y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

P(x,y)=(1/2,1) x=1/2 y=1

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

Grupo15

2023-12-14T10:50:54Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Alisson Estefania Simbaña Coray
Alba Xiyi Montoro Poveda
Daniel Sanz Lavera
Victor Zornoza Llanos
Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores. Al no verse claro en la imagen ampliada, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartado_31.png|400px|miniaturadeimagen|Figura 1]]
[[Archivo:Apartado_32.png|200px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u} = \frac{\partial\vec{ux}}{\partial x}+\frac{\partial\vec{uy}}{\partial y}+\frac{\partial\vec{uz}}{\partial z}</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y, es decir, queda reducido a calcular los valores máximos, mínimos y nulos la derivada parcial de uy.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>.Ahora bien, en este apartada andará en la fuerza que recibe el, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> . Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad, <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>.</div>
<math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math> ;Donde <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math>

Es necesario redefinir el parámetro <math>\sigma</math>:

<math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <br> \ <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)+(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto P(x,y)=(1/2,1) y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

P(x,y)=(1/2,1) x=1/2 y=1

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

Grupo15

2023-12-14T10:50:17Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría: Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Alisson Estefania Simbaña Coray
Alba Xiyi Montoro Poveda
Daniel Sanz Lavera
Victor Zornoza Llanos
Jaime San Vicente Lara}}

<div style="text-align: justify;">

Para el siguiente articulo, consideraremos una placa rectangular plana ocupando la región en el espacio plano<br> <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>. A continuación definimos dos cantidades físicas; por un lado la temperatura dada <br>como <math>T(x, y) = 3log(1+(1+x^2) + log(1+(y-2)^2)</math>.<br>
Por otro lado, hemos de tener en cuenta los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza <br>determinada. Definiendo <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x\vec{i}+y\vec{j}</math> como vector posición de los puntos de la placa antes de la de-<br>formación, la posición de cada punto después de la deformación viene dada por: <math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math>.
Suponemos también que la fuerza aplicada sobre la placa a provocado un desplazamiento ondulatorio dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math> donde <math>\vec{a}</math> se conoce como la amplitud <math>k > 0</math> es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y <math>v</math> es la
velocidad de propagación.
Supondremos que se trata de una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud.
Sabemos que <math>\vec{a}=\vec{d}=1/3\vec{j}, k=1, </math> </div>

==Definición de la placa==
Dibujo del mallado que representa el interior del sólido. Tomamos los ejes en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−1; 1] × [0; 12] </math>y como paso de muestreo h = 2/10 para las variables x e y.
[[Archivo:Mallado_figura1.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
%Definimos el contorno de la malla
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]= meshgrid(x,y);
%Mallado
mesh(X,Y,0*X);
%Representación gráfica del mallado
axis([-6,6,-0.5,12.5]);
%Título y nombre de los ejes
title('Mallado del sólido');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Visualización del gráfico en dos dimensiones
view(2);
%Contorno de la placa rectagular
hold on
x1=[-1,1,1,-1,-1];
y1=[0,0,12,12,0];
plot(x1,y1,'k','LineWidth',1.5);
hold off
}}

==Gradiente de la temperatura==
El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math> (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:
<center><math> \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math> \nabla T=\frac{6(x+1)}{1+(x+1)^2}\vec{i}+ \frac{2(y-2)}{1+(y-2)^2}\vec{j}</math></center>

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 9.4434
[[Archivo:Apartado2vic.png|900px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:12.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2); %TEMP EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,12.5])
view(2)
colorbar
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,12.5]);
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T))
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
view(2)
[M,c]=contour(X,Y,T,[0.0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6.0 6.75 7.5 8.25 9 9.75],'ShowText','on')
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar
}}

A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores. Al no verse claro en la imagen ampliada, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.
[[Archivo:Apartado_31.png|400px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
[[Archivo:Apartado_32.png|400px|miniaturadeimagen|Figura 2]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 2/10;
x = [-1:h:1];
y = [0:h:12];
[X,Y]= meshgrid(x,y);
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
contour(X,Y,T,11);
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis ([-1.25,1.25,-0.5,12.5])
colorbar
}}

==Ley de Fourier==
Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor.
Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada <math>\vec{Q}=−K∇T</math>, donde K es la constante de conductividad térmica que dependera del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1
[[Archivo:Energia_calorifica.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 3]]
{{matlab|codigo=

clear;close all;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
T=3.*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Curvas de nivel
contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
dx=(6.*(X+1))./(1+(X+1).^2);
dy=(2.*(Y-2))./(1+(Y-2).^2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier
k=1;
Q1=-k.*(dx);
Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
title('Energía calorífica');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Campo de deformaciones en el instante inicial==
Dibujo del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido en t=0.
La fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos dado por el vector <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt))</math>. Al ser el tiempo t=0 el vector <math>\vec{u}</math> nos queda <math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(\pi k(\vec{d}·\vec{r_{0}}))</math>.
[[Archivo:Malladoent0.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Función T
T=3*log(1+(X+1).^2)+log(1+(Y-2).^2);
%Campo de vectores en t=0
ux= 0.*X;
uy= 1/3.*sin(pi()*1/3.*Y);
%Título y nombre a los ejes
title('Campo de vectores');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
%Dibujo de los vectores como flechas
quiver(X,Y,ux,uy);
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
}}

==Comparación de la placa antes y después del desplazamiento==

{|width="1500px" align="center" style="border: 1px solid transparent ;"
|<div style="text-align: justify;">
<big>En la entrada del articulo se han definido tanto la sección del solido,definida por <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math>, el campo de deformaciones <math> \vec{u}(x,y,t)</math>, el cual hemos supuesto 0. <br> <br> Para nuestro trabajo, y por ultimo se ha expresado el vector <math>\vec{r_{d}}(x,y)</math>,define los puntos del mallado después de las deformación. Este ultimo lo define la suma de <math> \vec{r_{0}}(x, y)</math> y <math> \vec{u}(x,y,t)</math> .</big>
</div>
|[[Archivo:Sección antes y déspues .png|rigth|Figura representativa de caso general utilizando paint]]
|<div style='text-align: justify;'> <big>Ahora ya entendida la problemática del ejercicio. Se expondrán una serie de gráficos ilustrativos junto con el código asociado asociado.</big></div>
|}

{|width="300px" align="center" style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:M.png|600px|tumb|derecha|Malla previa a ser deformada]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Cd1.png|600px|tumb|derecha|Campo de deformaciones]]

|style="border: 1px solid transparent;" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center"|[[Archivo:Md1.png|600px|tumb|derecha|Malla después de ser deformada]]
|}
<div style="text-align:right"><big>Aparte de los gráficos pedidos en las consignas del trabajo se ha agregado un cuarto, en el cual<br> se puede ver con mayor precisión el efecto que tomara el campo <math> \vec{u}(x,y,t)</math> en la sección.</big></div>

[[Archivo:UCDYM2.png|800px|tumb|derecha|Unión de la malla y el campo de deformaciones]]

{{matlab|codigo=
clear;clc; close all
% Definamos el contorno de la malla.
h=1/5;
x=-1:h:1; y=0:h:12;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=X.*0;
figure name 'M'
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b') % Malla previa a ser deformada
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección antes'])

figure name 'Cd'
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Campo de deformaciones
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize',1)
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
title(['Campo de deformaciones U'])

figure name 'Md'
Rdx=X; Rdy= Y + uy; % Sección en t=0 despues de
mesh(Rdx,Rdy,Z,'EdgeColor','c') % de la deformación.
axis([-1,1,0,12])
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Sección déspues'])

figure name 'Unión de Cd y M'
hold on
mesh(X,Y,Z,'EdgeColor','b', ...
'MarkerSize',0.5)
ux=X.*0; uy=1/3*sin(pi()*1/3.*Y); % Mediante el hold on/off
quiver(X,Y,ux,uy,'g','Markersize' ...
,8,'LineWidth',2) % conseguimos la unios de
axis([-1,1,0,12]) % ambos graficos
xlabel('X')
ylabel('Y',rotation=pi()/2)
view(2)
title(['Unión de Cd y M'],'FontSize',12.5)
hold off
}}

== Visualización de la divergencia del campo de deformaciones==
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial. Se calcula sumando las derivadas parciales respecto a este:

<math>\vec{u}(x,y,z)=ux(x,y,z)\vec{i}+uy(x,y,z)\vec{j}+uz(x,y,z)\vec{k}</math>

<math>∇ \cdot \vec{u} = \frac{\partial\vec{ux}}{\partial x}+\frac{\partial\vec{uy}}{\partial y}+\frac{\partial\vec{uz}}{\partial z}</math>

En nuestro caso <math>\vec{u}(x,y)=\frac{1}{3}sin(\frac{πy}{3})</math> en t=0. La divergencia quedaría:

<math>∇ \cdot \vec{u}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math>

Los vectores son ambos 1/3j por lo que al hacer las derivadas parciales de <math> \vec{u} </math> queda un único sumando que es el correspondiente a y, es decir, queda reducido a calcular los valores máximos, mínimos y nulos la derivada parcial de uy.

[[Archivo:Divergenciau.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 6]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
%Creación del mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Cálculo de la divergencia
Diver= pi/9*cos((pi/3).*Y);
shading flat
%Gráfico de la superficie
surf(X,Y,Diver)
colorbar
view(2)
axis([-2,2,-0.5,12.5]);
%Título y nombre a los ejes
title('Divergencia del campo')
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
}}

==Cálculo del rotacional del campo de deformaciones==

Sea |∇ × <math>\vec{u}</math>| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (0,1/3sin((\pi*y)/3), 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ ∂/∂x & ∂/∂y & ∂/∂z \\ 0 & 1/3sin((\pi*y)/3) & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

==Cálculo de las tensiones normales==
El tensor de tensiones <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}I + 2µЄ</math> describe un medio elástico, isótropo y homogéneo de los desplazamientos.
Donde:
<math>Є(\vec{u})=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math>

<math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia de <math>\vec{u}</math>

<math>I</math> es el tensor identidad.

<math>λ,µ =1</math> son los conocidos como coeficientes de Lamé.

<math>∇\vec{u} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{1} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{1} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{2} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{2} }{\partial z} \\
\frac{\partial u_{3} }{\partial ρ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial θ} & \frac{\partial u_{3} }{\partial z}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{1}{9}sin(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>Є(\vec{u})=\frac{\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})+\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})}{2}=\frac{2π}{9}cos(πy)=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

<math>\sigma=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})(\vec{i} \otimes \vec{i}+\vec{j} \otimes \vec{j}+\vec{k} \otimes \vec{k})+2\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\vec{j} \otimes \vec{j}</math>

<math>σij=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}</math>

Tensor <math>i \cdot \sigma \cdot i= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>j \cdot \sigma \cdot j= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3})</math>

Tensor <math>k \cdot \sigma \cdot k= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3}) & 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{πy}{3}) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{πy}{3})</math>

[[Archivo:Tensionesnormalesgrupo15.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura8]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Tensiones
Ti=pi/9.*cos(pi/3.*Y);
Tj=pi/3.*cos(pi/3.*Y);
Tk=pi/9.*cos(pi/3.*Y);

figure
%Gráfico de las tensiones en i
subplot(1,3,1)
pcolor(X,Y,Ti)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en i')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en j
subplot(1,3,2)
pcolor(X,Y,Tj)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en j')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)

%Gráfico de las tensiones en k
subplot(1,3,3)
pcolor(X,Y,Tk)
colorbar
shading flat
%Título y nombre de los ejes
title('Tensiones normales en k')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis ([-1,1,0,12])
view(2)
}}

==Cálculo de tensiones tangenciales==
Cálculo de las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ ·\vec{i} − (\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|</math>, en t=0.

Lo calculamos por separado como : <math>(σ ·\vec{i})-((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})</math>

<math>(σ·\vec{i})=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)& 0 & 0\\0 & \frac{π}{3}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ 0 & 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

<math>((\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i})= \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}</math>

Ahora si como valor absoluto

<math>|σ ·\vec{i}|-|(\vec{i} · σ ·\vec{i})\vec{i}|=|\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)\\0 \\0 \end{pmatrix}|=0</math>

Por lo tanto las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math> no existe.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises viene dada por la expresión:

<math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math>

donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> también conocidos como tensiones principales. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro. Debe su nombre a Richard Edler von Mises quien propuso que un material dúctil sufría fallo elástico cuando la energía de distorsión elástica rebasaba cierto valor, sin embargo, el criterio fue claramente formulado con anterioridad por Maxwell en 1865.

En nuestro caso, la tensión alcanza su valor máximo en varios puntos, los cuales, coinciden con los valores máximos y mínimos de las tensiones tangenciales. Si nos fijamos esto guarda relación con las deformaciones antes del desplazamiento. Su valor máximo es <math>0.6981</math>.

[[Archivo:VM23.png|500px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clc; clear all
%Definición de regiones
h=1/5;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*Y;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[M,N]=size(Y);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:M
for j=1:N
sigma=[(pi/9)*cos(pi/3*Y(i,j)) 0 0; 0 pi/3*cos(pi/3*Y(i,j)) 0; 0 0 pi/9*cos(pi/3*Y(i,j))];
Autovalores=eig(sigma);
A1=Autovalores(1);
A2=Autovalores(2);
A3=Autovalores(3);
MVonM(i,j)=VonMises(A1,A2,A3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y','Rotation',pi/2);
view(2);
colorbar
max(max(MVonM))
}}

==Velocidad de propagación==
<div style="text-align: justify;"> Ya llegando al conclusión del trabajo. Nos encontramos con un apartado que pone de manifiesto las relaciones existentes entre los distintos apartados que se han ido resolviendo hasta llegar hasta aquí. Desde la introducción de este trabajo hemos estado atajando distintos sucesos que le ocurrían a la sección de un solido determinado como la temperatura, <math> \vec{T}(x,y)</math>, o el campo deformaciones, <math> \vec{u}(x,y,t)</math>.Ahora bien, en este apartada andará en la fuerza que recibe el, causante de las deformaciones ocasionadas por <math> \vec{u}(x,y,t)</math> . Esta fuerza viene descrita por la ecuación diferencial <math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math>. Estas deformaciones, se propagan con una cierta velocidad, <math> \vec{v}</math>, que será calculada suponiendo <math> \vec{F} = 0</math> y en función de los terminos de lame expuestos en el apartado 8,<math>\lambda, \mu </math>.</div>
<math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math> ;Donde <math>\vec{u}</math> = <math>\frac{1}{3}sin(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec{j}</math>

Es necesario redefinir el parámetro <math>\sigma</math>:

<math> \sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\cdot I (\vec i \otimes \vec i)(\vec j \otimes \vec j)(\vec k \otimes \vec k) + 2\mu\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)</math>= <br> \ <math>(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec i \otimes \vec i) +(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)(\vec j \otimes \vec j)+(\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\vec k \otimes \vec k </math>

Procedemos a calcular la divergencia de <math>\sigma</math>

frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt)} }{\partial ρ}

<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial x} & 0 & 0 \\ 0 & frac{(\lambda+2\mu)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt){\partial y}} & 0 \\ 0 & 0 & frac{\partial (\lambda)\frac{\pi}{9}cos(\frac{\pi}{3}{y}-vt) }{\partial k}\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 0\\ -(\lambda+2\mu)\frac{(\pi)^2}{27}sen(\frac{\pi}{3}{y}-vt)\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

Ahora realizamos <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math>

<math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math>

Entonces:

<math>\vec{F}</math> = <math>\frac{\partial ^2\vec{u}}{\partial t^2}</math> - <math>\bigtriangledown \cdot \sigma</math> = <math>(-\frac{2}{5}v^2sen(x-vt))\vec{i}</math> + <math>((\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt))\vec{i}</math>

Tras aplicar la condición de que <math>\vec F=0</math> se procede a despejar el parámetro deseado, es decir, <math>v</math>. Por lo tanto:

<math>v^2</math> = <math>(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

v= <math>\sqrt(\lambda+2\mu)\vec{i}</math>

==Módulo de desplazamiento transversal==
Fijamos el punto P(x,y)=(1/2,1) y calculamos el módulo del desplazamiento trasversal (dirección <math>\vec{j}</math>) a lo largo de <math>t ∈ [0, 10]</math>

Tenemos los siguientes datos:

<math>\vec{u}=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}</math>

<math>|\vec{v}|=1.81</math> (la velocidad se calculo previamente en el apartado 11)

P(x,y)=(1/2,1) x=1/2 y=1

Sustituimos los datos para calcular el '''''módulo de <math>\vec{u}</math>'''''

<math>|\vec{u}|=|\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3}y)-vt)·\vec{j}|=\frac{1}{3}sen((\frac{π}{3})-1.81t)</math>

Para representar el módulo del desplazamiento trasversal consideramos que <math>t ∈ [0, 10]</math>

Grupo15

2023-12-13T12:12:47Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T12:12:30Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T12:12:06Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T12:04:23Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T12:04:04Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T12:03:41Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Archivo:Apartado 32.png

2023-12-13T12:03:32Z

Victorzornoza:

Archivo:Apartado 31.png

2023-12-13T12:01:44Z

Victorzornoza:

Grupo15

2023-12-13T12:01:15Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Archivo:Apartado2vic.png

2023-12-13T12:00:13Z

Victorzornoza:

Grupo15

2023-12-13T11:56:42Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T11:55:57Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T11:55:25Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T11:53:39Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-13T11:52:39Z

Victorzornoza: /* Gradiente de la temperatura */

Grupo15

2023-12-11T18:29:30Z

Victorzornoza: /* Rotacional de un campo de desplazamientos */