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Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-14T21:54:21Z

Valentina gomez:

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y. Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''rho'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>.

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura y su magnitud indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos comprobar la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-14T21:19:41Z

Valentina gomez:

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y. Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''rho'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>.

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura y su magnitud indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos comprobar la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}

</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Archivo:Mail.png

2023-12-14T21:09:52Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T22:08:41Z

Valentina gomez:

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y. Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''rho'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>.

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura y su magnitud indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos comprobar la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}

</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T22:07:47Z

Valentina gomez:

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y. Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''rho'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>.

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura y su magnitud indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos comprobar la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|500px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}

</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T22:04:07Z

Valentina gomez:

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y. Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''rho'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>.

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura y su magnitud indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos comprobar la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}

</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T21:26:20Z

Valentina gomez:

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y. Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''rho'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>.

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura y su magnitud indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos comprobar la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite clacular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu

\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}

</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdoti = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdotj = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdotk = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T20:40:18Z

Valentina gomez:

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y. Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''rho'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>.

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura y su magnitud indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos comprobar la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

MATRI U BLAH

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

MATRIZ E(U)

Esto permite clacular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé mu=lambda=1

EC DE SIGMAY SU MATRIZ

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i </math> : EC(1)
Dirección que marca el eje <math> j </math> : EC(2)
Dirección que marca el eje <math> j </math> : EC(3)

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T20:29:05Z

Valentina gomez:

Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png

2023-12-13T20:23:52Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T20:22:03Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T12:02:57Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T20:19:05Z

Valentina gomez: /* Artículos de Interés */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T20:17:42Z

Valentina gomez: /* Rotacional del Campo en t=0 */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T20:16:11Z

Valentina gomez:

Archivo:Rotacolombjavvalent.png

2023-12-07T19:26:35Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T16:42:40Z

Valentina gomez:

Archivo:Divergencianas.png

2023-12-07T16:42:03Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T16:05:57Z

Valentina gomez: divergencia max y min

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T11:24:29Z

Valentina gomez:

Archivo:Subploteado.png

2023-12-07T11:19:21Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T11:06:49Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T11:00:54Z

Valentina gomez:

Archivo:Compval.png

2023-12-07T10:53:52Z

Valentina gomez:

Archivo:Despdespval.png

2023-12-07T10:52:11Z

Valentina gomez:

Archivo:Antesdespval.png

2023-12-07T10:49:19Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-07T08:43:32Z

Valentina gomez:

Archivo:Javit0.png

2023-12-07T08:42:01Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T18:58:08Z

Valentina gomez:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-05T19:58:14Z

Valentina gomez:

Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 energia calorifica.png

2023-12-05T19:19:42Z

Valentina gomez: