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Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T19:46:39Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== MALLADO DEL SOLIDO ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

''' x= uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
}}

[[Archivo:1imagen.jpg|marco|centro]]

==LINEAS COORDENADAS Y VECTORES DE LA BASE NATURAL==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Imagen.jpg|marco|centro]]

== TEMPERATURA DEL SOLIDO ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,f);
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,f);
colorbar;
}}

[[Archivo:2Imagen.jpg|marco|centro]]

La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
hold on
f=exp(-yy);
contour(xx,yy,f,30)
axis([-1,1,-1,1])
fx=xx*0;
fy=-exp(-yy);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Gradienteplacaplaca.jpg|marco|centro]]

== CAMPO Y CAMPO DE DEFORMACIONES ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')
}}

[[Archivo:C.png|marco|centro]]

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

{{matlab|codigo=

subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view
}}

[[Archivo:Aaa.jpg|marco|centro]]

== DIVERGENCIA ==

Previamente ha operar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== ROTACIONAL ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 )

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)
}}

[[Archivo:Aa.jpg|marco|ninguna]]

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== TENSIONES ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tensiones normales en la dirección de u

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección de v

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

[[Archivo:Aja.jpg|marco|centro]]

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== MASA TOTAL DE LA PLACA ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T18:25:23Z

Trabajo de campos:

Archivo:Aja.jpg

2014-12-05T18:23:43Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T18:16:14Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== MALLADO DEL SOLIDO ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

''' x= uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
}}

[[Archivo:1imagen.jpg|marco|centro]]

==LINEAS COORDENADAS Y VECTORES DE LA BASE NATURAL==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:Imagen.jpg|marco|centro]]

== TEMPERATURA DEL SOLIDO ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,f);
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,f);
colorbar;
}}

[[Archivo:2imagen.jpg|marco|centro]]

La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
hold on
f=exp(-yy);
contour(xx,yy,f,30)
axis([-1,1,-1,1])
fx=xx*0;
fy=-exp(-yy);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
colorbar
hold off
}}
[[Archivo:Gradienteplacaplaca.jpg|marco|centro]]

== CAMPO Y CAMPO DE DEFORMACIONES ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
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subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')
}}

[[Archivo:C.png|marco|centro]]

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

{{matlab|codigo=

subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view
}}

[[Archivo:Aaa.jpg|marco|centro]]

== DIVERGENCIA ==

Previamente ha operar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== ROTACIONAL ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 )

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)
}}

[[Archivo:Aa.jpg|marco|ninguna]]

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== TENSIONES ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tensiones normales en la dirección de u

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección de v

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

[[Archivo:Bb.jpg|marco|centro]]

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== MASA TOTAL DE LA PLACA ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T18:11:37Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== MALLADO DEL SOLIDO ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

''' x= uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

==LINEAS COORDENADAS Y VECTORES DE LA BASE NATURAL==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
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figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
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}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== TEMPERATURA DEL SOLIDO ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,f);
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,f);
colorbar;
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>

La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
hold on
f=exp(-yy);
contour(xx,yy,f,30)
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fx=xx*0;
fy=-exp(-yy);
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axis([-1,1,-1,1])
view(2)
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}}
[[Archivo:Gradienteplacaplaca.jpg|marco|centro]]

== CAMPO Y CAMPO DE DEFORMACIONES ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

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Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view
}}

== DIVERGENCIA ==

Previamente ha operar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== ROTACIONAL ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 )

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== TENSIONES ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tensiones normales en la dirección de u

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección de v

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== MASA TOTAL DE LA PLACA ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T18:10:10Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== MALLADO DEL SOLIDO ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

''' x= uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

==LINEAS COORDENADAS Y VECTORES DE LA BASE NATURAL==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== TEMPERATURA DEL SOLIDO ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,f);
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,f);
colorbar;
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>

La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
hold on
f=exp(-yy);
contour(xx,yy,f,30)
axis([-1,1,-1,1])
fx=xx*0;
fy=-exp(-yy);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
colorbar
hold off
}}

[[Archivo:Gradienteplacaplaca.jpg|marco|izquierda]]

== CAMPO Y CAMPO DE DEFORMACIONES ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view
}}

== DIVERGENCIA ==

Previamente ha operar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== ROTACIONAL ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 )

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== TENSIONES ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tensiones normales en la dirección de u

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección de v

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== MASA TOTAL DE LA PLACA ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T18:07:45Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== MALLADO DEL SOLIDO ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

''' x= uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

==LINEAS COORDENADAS Y VECTORES DE LA BASE NATURAL==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== TEMPERATURA DEL SOLIDO ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,f);
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,f);
colorbar;
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>

La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
hold on
f=exp(-yy);
contour(xx,yy,f,30)
axis([-1,1,-1,1])
fx=xx*0;
fy=-exp(-yy);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
colorbar
hold off
}}
<gallery>
Archivo:gradienteplacaplaca.jpg|
</gallery>

== CAMPO Y CAMPO DE DEFORMACIONES ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view
}}

== DIVERGENCIA ==

Previamente ha operar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== ROTACIONAL ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 )

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== TENSIONES ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tensiones normales en la dirección de u

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección de v

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== MASA TOTAL DE LA PLACA ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Archivo:Gradienteplacaplaca.jpg

2014-12-05T18:03:30Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T18:01:05Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== MALLADO DEL SOLIDO ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

''' x= uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

==LINEAS COORDENADAS Y VECTORES DE LA BASE NATURAL==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== TEMPERATURA DEL SOLIDO ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,f);
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,f);
colorbar;
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>

La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
hold on
f=exp(-yy);
contour(xx,yy,f,30)
axis([-1,1,-1,1])
fx=xx*0;
fy=-exp(-yy);
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
colorbar
hold off
}}
<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

== CAMPO Y CAMPO DE DEFORMACIONES ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view
}}

== DIVERGENCIA ==

Previamente ha operar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== ROTACIONAL ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 )

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== TENSIONES ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tensiones normales en la dirección de u

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección de v

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== MASA TOTAL DE LA PLACA ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T17:31:11Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== MALLADO DEL SOLIDO ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

''' x= uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

==LINEAS COORDENADAS Y VECTORES DE LA BASE NATURAL==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== TEMPERATURA DEL SOLIDO ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,f);
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,f);
colorbar;
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>

La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Grad);
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);
f=(exp(-yy));
contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel
hold on
fx=0; % Derivada parcial respecto de X
Fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y
quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial
axis([-1,1,-1,1]) % Región
view(2)
colorbar
}}

== CAMPO Y CAMPO DE DEFORMACIONES ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view
}}

== DIVERGENCIA ==

Previamente ha operar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== ROTACIONAL ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 )

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== TENSIONES ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tensiones normales en la dirección de u

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección de v

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== MASA TOTAL DE LA PLACA ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T17:12:34Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tenciones normales en la dirección que marca

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección que marca

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T17:09:54Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

h=0.2;
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])
view(2)
subplot(1,2,2);

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tenciones normales en la dirección que marca

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección que marca

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T13:41:43Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tenciones normales en la dirección que marca

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección que marca

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-05T13:41:21Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math>)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tenciones normales en la dirección que marca

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección que marca

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-04T23:01:46Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:

<gallery>
Archivo:c.png
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tenciones normales en la dirección que marca

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección que marca

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Archivo:C.png

2014-12-04T22:59:24Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-04T10:14:35Z

Trabajo de campos: /* Introducción */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>

== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

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Archivo:imagen.jpg|
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== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
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<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tenciones normales en la dirección que marca

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección que marca

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-04T10:08:52Z

Trabajo de campos: /* Tensiones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙ū)∙1+2µϵ = 2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙ū )= 0
σi, j = 2µϵ = \begin{pmatrix} 8v2/ ( u2 + v2 ) & 8v/ ( u2 + v2 ) \\ 8v/ ( u2 + v2 ) & 8v2/ ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

las tenciones normales en la dirección que marca

(ḡu) /| ḡu | ∙ σ∙ (ḡu) /| ḡu | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡu

y las tensiones normales en la dirección que marca

(ḡv) /| ḡv | ∙ σ∙ (ḡv) /| ḡv | = (8v2)/ (( u2 + v2 )2 ) ḡv

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-04T10:01:33Z

Trabajo de campos: /* Tensiones */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

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Archivo:2Imagen.jpg|
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La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

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Archivo:A.jpg|
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{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ(ū)=(∇ū+∇ūt )1/2

∇ū = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 8v-4v3/(u2 + v2 ) \\ 4v3/( u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

∇ūt = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v3/( u2 + v2 ) \\ 8v-4v3/(u2 + v2 ) & 4v2 / ( u2 + v2 ) \end{pmatrix}

ϵ(ū)=(∇ū +∇ūt)1/2 = \begin{pmatrix} 4v2/(u2+v2) & 4v/(u2+v2) \\ 4v/(u2+v2) & 4v2/(u2+v2) \end{pmatrix}

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tenciones normales en la dirección que marca

(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca

(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-04T09:48:55Z

Trabajo de campos: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇xū = 1/√g \begin{vmatrix} gu & gv \\ d/du & d/dv \\ Uu & Uv \end{vmatrix} = ( -8v/u2 + v2 ) ḡu

|∇ x ū| = (-8v)/(u2+v2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2

∇(u ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )@(4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

∇(u^t ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(4v^3)/(u^2+v^2 )@(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2= (■((4v^2)/(u^2+v^2 )&4v/(u^2+v^2 )@4v/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tenciones normales en la dirección que marca

(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca

(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-04T09:35:58Z

Trabajo de campos: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (î, ĵ) a ( ḡu,ḡv) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) ḡu

∇∙ū=1/√g [ d/(dxi ) (√gUi) ] = 1/(u2+ v2 ) [ d/du((u2+ v2 )Uu+d/dv((u2+ v2)Uv ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇x u ̅ =1/√g |■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@u_u&u_v )|=|■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@4v^2&0)|= (-8v)/(u^2+v^2 ) ((g_v ) ̅ )

|∇ x u ̅ |=(-8v)/(u^2+v^2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2

∇(u ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )@(4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

∇(u^t ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(4v^3)/(u^2+v^2 )@(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2= (■((4v^2)/(u^2+v^2 )&4v/(u^2+v^2 )@4v/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tenciones normales en la dirección que marca

(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca

(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-04T09:13:18Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (i ̅,j ̅) a ((g_u ) ̅,(g_v ) ̅ ) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

u ̅(u,v)=(4v^2)/(u^2+v^2 ) ((g_u ) ̅ )

∇∙u ̅=1/√g [d/(dx^i ) (√g .u^i)]=1/(u^2+ v^2 ) [d/du((u^2+ v^(2 ) ).u^u+d/dv((u^2+ v^(2 ) ).u^v ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇x u ̅ =1/√g |■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@u_u&u_v )|=|■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@4v^2&0)|= (-8v)/(u^2+v^2 ) ((g_v ) ̅ )

|∇ x u ̅ |=(-8v)/(u^2+v^2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2

∇(u ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )@(4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

∇(u^t ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(4v^3)/(u^2+v^2 )@(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2= (■((4v^2)/(u^2+v^2 )&4v/(u^2+v^2 )@4v/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tenciones normales en la dirección que marca

(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca

(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)

Por lo tanto:

M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓x281/18X2+1/18 (xe-1/y2) dydx = 4.6405*10-5 unidades de masa

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-04T09:08:46Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (i ̅,j ̅) a ((g_u ) ̅,(g_v ) ̅ ) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

u ̅(u,v)=(4v^2)/(u^2+v^2 ) ((g_u ) ̅ )

∇∙u ̅=1/√g [d/(dx^i ) (√g .u^i)]=1/(u^2+ v^2 ) [d/du((u^2+ v^(2 ) ).u^u+d/dv((u^2+ v^(2 ) ).u^v ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇x u ̅ =1/√g |■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@u_u&u_v )|=|■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@4v^2&0)|= (-8v)/(u^2+v^2 ) ((g_v ) ̅ )

|∇ x u ̅ |=(-8v)/(u^2+v^2 )

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Archivo:aa.jpg
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{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2

∇(u ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )@(4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

∇(u^t ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(4v^3)/(u^2+v^2 )@(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2= (■((4v^2)/(u^2+v^2 )&4v/(u^2+v^2 )@4v/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tenciones normales en la dirección que marca

(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca

(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

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Archivo:bb.jpg
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Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

== Masa total de la placa ==

La densidad de la placa esta definida por la siguiente función:

d(x,y)=|x|e(-1/y2)
Por lo tanto:
M=2 <big>ʃ</big>0.30<big>ʃ</big>½-⅓X281/18X2+1/18

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T23:08:11Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

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Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (i ̅,j ̅) a ((g_u ) ̅,(g_v ) ̅ ) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

u ̅(u,v)=(4v^2)/(u^2+v^2 ) ((g_u ) ̅ )

∇∙u ̅=1/√g [d/(dx^i ) (√g .u^i)]=1/(u^2+ v^2 ) [d/du((u^2+ v^(2 ) ).u^u+d/dv((u^2+ v^(2 ) ).u^v ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇x u ̅ =1/√g |■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@u_u&u_v )|=|■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@4v^2&0)|= (-8v)/(u^2+v^2 ) ((g_v ) ̅ )

|∇ x u ̅ |=(-8v)/(u^2+v^2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2

∇(u ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )@(4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

∇(u^t ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(4v^3)/(u^2+v^2 )@(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2= (■((4v^2)/(u^2+v^2 )&4v/(u^2+v^2 )@4v/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tenciones normales en la dirección que marca

(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca

(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T23:00:16Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (i ̅,j ̅) a ((g_u ) ̅,(g_v ) ̅ ) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

u ̅(u,v)=(4v^2)/(u^2+v^2 ) ((g_u ) ̅ )

∇∙u ̅=1/√g [d/(dx^i ) (√g .u^i)]=1/(u^2+ v^2 ) [d/du((u^2+ v^(2 ) ).u^u+d/dv((u^2+ v^(2 ) ).u^v ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇x u ̅ =1/√g |■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@u_u&u_v )|=|■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@4v^2&0)|= (-8v)/(u^2+v^2 ) ((g_v ) ̅ )

|∇ x u ̅ |=(-8v)/(u^2+v^2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2

∇(u ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )@(4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

∇(u^t ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(4v^3)/(u^2+v^2 )@(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2= (■((4v^2)/(u^2+v^2 )&4v/(u^2+v^2 )@4v/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tenciones normales en la dirección que marca

(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca

(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T22:58:53Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (i ̅,j ̅) a ((g_u ) ̅,(g_v ) ̅ ) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

u ̅(u,v)=(4v^2)/(u^2+v^2 ) ((g_u ) ̅ )

∇∙u ̅=1/√g [d/(dx^i ) (√g .u^i)]=1/(u^2+ v^2 ) [d/du((u^2+ v^(2 ) ).u^u+d/dv((u^2+ v^(2 ) ).u^v ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇x u ̅ =1/√g |■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@u_u&u_v )|=|■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@4v^2&0)|= (-8v)/(u^2+v^2 ) ((g_v ) ̅ )

|∇ x u ̅ |=(-8v)/(u^2+v^2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2

∇(u ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )@(4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

∇(u^t ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(4v^3)/(u^2+v^2 )@(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2= (■((4v^2)/(u^2+v^2 )&4v/(u^2+v^2 )@4v/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tenciones normales en la dirección que marca

(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca

(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

<gallery>
Archivo:bb.jpg
</gallery>

Comparando las graficas de las tensiones normales con las del modulo de la divergencia y la del modulo del rotacional, vemos que como la divergencia es nula, es distinta de las graficas obtenidas anteriormente y con respecto al rotacional la grafica de la tensión normal en u y v es igual que la del rotacional pero cambiadas de signo.

Archivo:Bb.jpg

2014-12-03T22:54:45Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T22:54:20Z

Trabajo de campos:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 17-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Ana Cristina Fernández Delgado, Patricia Alcón Gil, Dolores Ruiz Mirón }}

== Introducción ==
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y−81x2−1 = 0, y P2 : 2y +x2 −1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

'''x = uv
y= 1/2(u2-v2)'''

con u, v definidas en (u, v) ∈ [1/3, 1] × [−1, 1].

La representación de los puntos interiores del sólido nos queda:

{{matlab|codigo=

% h=0.2; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv; % ParametrizaciÛn X.
yy=0.5*((uu.^2)-(vv.^2)); % ParametrizaciÛn Y.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx);

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:1imagen.jpg|
</gallery>
== Lineas coordenadas y vectores de la base natural ==

Las líneas coordenadas y los vectores de la base natural irán cambiado de dirección según cada punto de la placa, ya que la base natural en estas coordenadas no es constante.

Se observa en el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv;
guv=uu;
gvu=uu;
gvv=-vv;
figure(6)
hold on
mesh(xx,yy,0*xx);
quiver(xx,yy,guu,guv)
quiver(xx,yy,gvu,gvv)
axis(-1,1,-1,1)
view(2)
hold off

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:imagen.jpg|
</gallery>

== Temperatura del sólido ==

La temperatura de nuestro campo escalar esta definida por la función T(x, y) =e-y, por lo que observaremos su comportamiento la lo largo de nuestra placa plana. Nuestra función depende únicamente de la segunda variable (y), lo que quiere decir que la temperatura se mantendrá constante para cada valor de y. Además por el signo negativo del exponente, la T aumenta con valores pequeños de y, concentrándose una gran cantidad de calor en la zona inferior de la placa (-1,-0,2). Finalmente podemos observar como la temperatura va descendiendo a medida la curva del arco de placa se va haciendo más grande.

{{matlab|codigo=

% f=exp(-yy); % Campo escalar de la Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias im•genes. 1∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); % VisualizaciÛn 2D.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regÌon a representar en 2D.
subplot(1,2,2); % Muestra varias im•genes. 2∫ Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % VisualizaciÛn 3D m•s leyenda en color.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:2Imagen.jpg|
</gallery>
La variación del campo escalar T para estudiarla usaremos el ∇T. Se puede observar por la definición de gradiente que el campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de la placa. Además cuando la temperatura es más alta, el modulo del gradiente es mayor en cada punto.

∇T = ∂T/∂u ḡu+∂T/∂v ḡv = eu/(u2 + v2) ḡu + ev/(u2+ v2 ) ḡv

{{matlab|codigo=

% Grad=-exp(-yy); % Gradiente del campo.
hold on % Inicio superposiciÛn de gr•ficos
quiver(xx,yy,0*xx,Grad); % RepresentaciÛn de los vectores gradientes del campo escalar.
contour(xx,yy,f,20) % Define 20 lÌneas de nivel.;
hold off % Fin superposiciÛn de gr•ficos.

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

<gallery>
Archivo:A.jpg|
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;

[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de rho y theta

xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2 - vv.^2);

f=(exp(-yy)); % Campo escalar

contour(xx,yy,f) % Dibujar las lÌneas de nivel

hold on

fx=0; % Derivada parcial respecto de X

fy=(-exp(-yy)); % Derivada Parcial respecto de Y

quiver(xx,yy,fx,fy) % Dibujar el Campo Vectorial

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

view(2)

colorbar

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Campo de deformaciones ==

El campo ū nos ha quedado como ū(u,v)=(4v2)/(u2+v2 ) (vî+uĵ) . Para dibujar los vectores en los puntos del mallado del sólido, mediante matlab hemos obtenido:
imagen

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0.*xx)
view(2)
axis([-1,1,-1,1])
hold on

title('campo con vectores')
subplot(1,2,2)
plot3(ux,uy,0.*xx)
title('campo de deformaciones')

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores ū. Como podemos ver si se ha producido un desplazamiento apreciable, produciéndose un desplazamiento transversal en las distintas direcciones.

<gallery>
Archivo:aaa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% subplot(1,2,1)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));

mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujo del mallado

axis([-1,1,-1,1]) % RegiÛn del dibujo

axis equal

subplot(1,2,2)
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu.*vv;
yy=((1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)));
figure(1)
ux=((4.*(vv.^3))./ (uu.^2 + vv.^2));
uy=((4.*uu.*(vv.^2))./ (uu.^2 + vv.^2));
mesh(ux+xx,uy+yy,xx*0) % Dibujo de las funciones

axis([-1,1,-1,1])

axis equal

view

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

== Divergencia ==

Previamente ha realizar la divergencia hemos realizado un cambio de base de (i ̅,j ̅) a ((g_u ) ̅,(g_v ) ̅ ) por lo que haciendo el cambio de base el campo vectorial nos ha quedado finalmente:

u ̅(u,v)=(4v^2)/(u^2+v^2 ) ((g_u ) ̅ )

∇∙u ̅=1/√g [d/(dx^i ) (√g .u^i)]=1/(u^2+ v^2 ) [d/du((u^2+ v^(2 ) ).u^u+d/dv((u^2+ v^(2 ) ).u^v ] = 0

La divergencia es 0 no se producirán deformaciones de área, y todos los puntos poseen la misma divergencia.

== Rotacional ==

Con el campo calcularemos el rotacional:

∇x u ̅ =1/√g |■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@u_u&u_v )|=|■((g_u ) ̅&(g_v ) ̅@d/du&d/dv@4v^2&0)|= (-8v)/(u^2+v^2 ) ((g_v ) ̅ )

|∇ x u ̅ |=(-8v)/(u^2+v^2 )

<gallery>
Archivo:aa.jpg
</gallery>

{{matlab|codigo=

% h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=((1/2)*((uu.^2)-(vv.^2)));
rot=(-8*vv./(uu.^2 + vv.^2));

subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,rot)
view(2)
axis equal
title('rotacional 2D')
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,rot)
title('rotacional 3D')
view(2)

a = 1 + 2;
disp(a);
}}

El rotacional se interpreta como la cantidad de giro que produce un campo,en este caso alrededor de vector ḡv.
Como podemos observar en el gráfico, el rotacional, el rotacional es mayor cuando aumenta en el valor de las ordenadas (v). Como conclusión las puntos que se aprecian que tiene mayor rotacional son cuando la v vale 15.

== Tensiones ==

La parte simétrica del tensor gradiente de ū la definimos como:
ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2

∇(u ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )@(4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

∇(u^t ) ̅=(■((4v^2)/(u^2+v^2 )&(4v^3)/(u^2+v^2 )@(8v-4v^3)/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

ϵ((u ) ̅)=(∇(u ) ̅+∇(u^t ) ̅)1/2= (■((4v^2)/(u^2+v^2 )&4v/(u^2+v^2 )@4v/(u^2+v^2 )&(4v^2)/(u^2+v^2 )))

el tensor de tensiones σ :

σ = λ (∇∙u ̅ )∙1+2µϵ=2µϵ Tomando λ = µ = 1, y sabiendo que (∇∙u ̅ )=0
σ_(i,j) =2µϵ=(■((8v^2)/(u^2+v^2 )&8v/(u^2+v^2 )@8v/(u^2+v^2 )&(8v^2)/(u^2+v^2 )))

las tensiones normales en la dirección que marca
(g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | ∙ σ∙ (g_u ) ̅/|(g_u ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_u ) ̅

y las tensiones normales en la dirección que marca
(g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | ∙ σ∙ (g_v ) ̅/|(g_v ) ̅ | =(8v^2)/(〖(u〗^2+v^2 )^2 ) (g_v ) ̅

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T22:50:55Z

Trabajo de campos:

Archivo:Aa.jpg

2014-12-03T22:49:14Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T22:48:24Z

Trabajo de campos:

Archivo:Aaa.jpg

2014-12-03T22:44:40Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T22:41:02Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T22:39:39Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-03T22:24:36Z

Trabajo de campos:

Archivo:A.jpg

2014-12-03T22:21:24Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T22:25:02Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T22:23:35Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T22:19:58Z

Trabajo de campos:

Archivo:1imagen.jpg

2014-12-02T22:15:16Z

Trabajo de campos:

Archivo:2Imagen.jpg

2014-12-02T22:14:47Z

Trabajo de campos:

Archivo:Imagen.jpg

2014-12-02T22:13:48Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T18:19:11Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T17:57:17Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T17:52:29Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T17:48:18Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T17:10:21Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T16:58:17Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T16:50:10Z

Trabajo de campos:

Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G17-A)

2014-12-02T16:48:35Z

Trabajo de campos: