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La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T15:14:17Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);

</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]

<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');

</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
clear;clc;
N=10000;
h=(2*pi)/N;
t=0:h:(2*pi-h);

dx=R*(1-cos(t));
dy=R*sin(t);
ds=sqrt(dx.^2+dy.^2);

Longitud=sum(ds*h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===
El vector tangente es un vector de magnitud uno que apunta en la misma dirección que la velocidad. Su función es mostrar la dirección instantánea del movimiento a lo largo de la curva.
* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
El vector normal es el vector perpendicular (ortogonal) al vector tangente. Este vector señala la concavidad de la curva, es decir, hacia dónde está girando en ese punto.
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).
[[Archivo:Curva_Tangente_Normal2.png|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, tangente y normal generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,12);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
T1=R*(1-cos(t));
T2=R*(sin(t));
norma= sqrt(T1.^2+T2.^2);
N1=T1./norma;
N2=T2./norma;

figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,N1,N2,'r');
quiver(x,y,N2,-N1,'b');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','`Tangente','Normal');
title('Curva, tangente y normal');
</source>
[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===
[[Archivo:Cicloide-rotacionchino.gif|thumb|333px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal, conocida como el eje horizontal o directriz, abarcando una longitud de 2πr, donde r es el radio del círculo generador.
 
Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
 
-Círculo Generador: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
 
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
 
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto del círculo generador en cualquier instante, respectivamente.
 
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.
 

[[Archivo:Rafajarillopillo.gif|thumb|250px|Visualización de la tautócronia]]
 
La cicloide posee notables propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>
[[Archivo:3Dhola.jpg|thumb|center|400px|Cicloide parametrizada en dimensión 3]]
<source lang="matlab">
u = 0:0.1:1;
t= 0:0.1:2*pi;
[U,T] = meshgrid(u,t);

X1 = U;
X2 = R*(T-sin(T));
X3 = R*(1+cos(T));

surf(X1,X2,X3);
colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis equal
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T15:06:04Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);

</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]

<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');

</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
clear;clc;
N=10000;
h=(2*pi)/N;
t=0:h:(2*pi-h);

dx=R*(1-cos(t));
dy=R*sin(t);
ds=sqrt(dx.^2+dy.^2);

Longitud=sum(ds*h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).
[[Archivo:Curva_Tangente_Normal2.png|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, tangente y normal generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,12);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
T1=R*(1-cos(t));
T2=R*(sin(t));
norma= sqrt(T1.^2+T2.^2);
N1=T1./norma;
N2=T2./norma;

figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,N1,N2,'r');
quiver(x,y,N2,-N1,'b');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','`Tangente','Normal');
title('Curva, tangente y normal');
</source>
[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===
[[Archivo:Cicloide-rotacionchino.gif|thumb|333px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal, conocida como el eje horizontal o directriz, abarcando una longitud de 2πr, donde r es el radio del círculo generador.
 
Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
 
-Círculo Generador: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
 
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
 
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto del círculo generador en cualquier instante, respectivamente.
 
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.
 

[[Archivo Rafajarillopillo.gif|thumb|250px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide posee notables propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>
[[Archivo:3Dhola.jpg|thumb|center|400px|Cicloide parametrizada en dimensión 3]]
<source lang="matlab">
u = 0:0.1:1;
t= 0:0.1:2*pi;
[U,T] = meshgrid(u,t);

X1 = U;
X2 = R*(T-sin(T));
X3 = R*(1+cos(T));

surf(X1,X2,X3);
colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis equal
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T15:05:31Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);

</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]

<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
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%Etiquetas
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title('Curva, velocidad y aceleración');

</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
clear;clc;
N=10000;
h=(2*pi)/N;
t=0:h:(2*pi-h);

dx=R*(1-cos(t));
dy=R*sin(t);
ds=sqrt(dx.^2+dy.^2);

Longitud=sum(ds*h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).
[[Archivo:Curva_Tangente_Normal2.png|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, tangente y normal generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,12);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
T1=R*(1-cos(t));
T2=R*(sin(t));
norma= sqrt(T1.^2+T2.^2);
N1=T1./norma;
N2=T2./norma;

figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
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axis equal
legend('Curva','`Tangente','Normal');
title('Curva, tangente y normal');
</source>
[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===
[[Archivo:Cicloide-rotacionchino.gif|thumb|333px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal, conocida como el eje horizontal o directriz, abarcando una longitud de 2πr, donde r es el radio del círculo generador.
 
Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
 
-Círculo Generador: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
 
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
 
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto del círculo generador en cualquier instante, respectivamente.
 
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.
 

[[Archivo Rafajarillopillo.gif|thumb|250px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide posee notables propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>
[[Archivo:3Dhola.jpg|thumb|center|400px|Cicloide parametrizada en dimensión 3]]
<source lang="matlab">
u = 0:0.1:1;
t= 0:0.1:2*pi;
[U,T] = meshgrid(u,t);

X1 = U;
X2 = R*(T-sin(T));
X3 = R*(1+cos(T));

surf(X1,X2,X3);
colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis equal
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Curva Tangente Normal2.png

2025-12-03T15:05:00Z

Tomas.young:

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T14:48:51Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]

<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).
[[Archivo:Curva_Tangente_Normal.png|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, tangente y normal generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,12);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
T1=R*(1-cos(t));
T2=R*(sin(t));
norma= sqrt(T1.^2+T2.^2);
N1=T1./norma;
N2=T2./norma;

figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,N1,N2,'r');
quiver(x,y,-N2,N1,'b');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','`Tangente','Normal');
title('Curva, tangente y normal');
</source>
[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===
[[Archivo:Cicloide-rotacionchino.gif|thumb|333px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal, conocida como el eje horizontal o directriz, abarcando una longitud de 2πr, donde r es el radio del círculo generador.
 
Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
 
-Círculo Generador: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
 
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
 
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto del círculo generador en cualquier instante, respectivamente.
 
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.
 

[[Archivo Rafajarillopillo.gif|thumb|250px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide posee notables propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>
[[Archivo:3Dhola.jpg|thumb|center|400px|Cicloide parametrizada en dimensión 3]]
<source lang="matlab">
u = 0:0.1:1;
t= 0:0.1:2*pi;
[U,T] = meshgrid(u,t);

X1 = U;
X2 = R*(T-sin(T));
X3 = R*(1+cos(T));

surf(X1,X2,X3);
colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis equal
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Curva Tangente Normal.png

2025-12-03T14:34:45Z

Tomas.young:

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T14:08:33Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).

<source lang="matlab">
% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5;
for k = 1:length(t_vals)
tk = t_vals(k);
Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];

vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
Tk = vk / norm(vk); % Tangente
Nk = [Tk(2), -Tk(1)]; % Normal

quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end
</source>

[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===

La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal, conocida como el eje horizontal o directriz. abarcando una longitud de 2πr, donde r es el radio del círculo generador
-Círculo Generador: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto del círculo generador en cualquier instante, respectivamente.
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.
La cicloide posee notables propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

[[Archivo:Kimbell_Art_Museum.jpg|thumb|center|400px|Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell]]

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>

<source lang="matlab">
% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T13:38:11Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

== G. La Cicloide ==

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
% --- 1. Gráfica de la Cicloide ---

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

figure(1);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

 
 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):

<source lang="matlab">
% --- 2. Vectores Velocidad y Aceleración ---
t_p = pi/2; % Punto de ejemplo
P_vec = [R*(t_p - sin(t_p)), R*(1 - cos(t_p))];

% Cálculo de vectores
Vel = [R*(1 - cos(t_p)), R*sin(t_p)];
Acc = [3*sin(t_p), 3*cos(t_p)];

figure(1); hold on;
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Vel(1), Vel(2), 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Velocidad');
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Acc(1), Acc(2), 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Aceleración');
legend show;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Vectores.png|thumb|center|400px|Vectores velocidad y aceleración sobre la curva]]

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).

<source lang="matlab">
% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5;
for k = 1:length(t_vals)
tk = t_vals(k);
Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];

vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
Tk = vk / norm(vk); % Tangente
Nk = [Tk(2), -Tk(1)]; % Normal

quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end
</source>

[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===

La cicloide es una curva fundamental en la historia de la física y la matemática. Describe dos fenómenos clave:
* **La Braquistócrona:** Es la curva de descenso más rápido entre dos puntos bajo la acción de la gravedad.
* **La Tautócrona:** El periodo de oscilación de una partícula que desliza sobre una cicloide invertida es independiente de su amplitud.

En ingeniería, se utiliza en el diseño de engranajes cicloidales, los cuales sufren menos desgaste por rozamiento que los engranajes convencionales.

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

[[Archivo:Kimbell_Art_Museum.jpg|thumb|center|400px|Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell]]

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>

<source lang="matlab">
% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T13:22:36Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

== G. La Cicloide ==

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
% --- 1. Gráfica de la Cicloide ---

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

figure(1);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

 
 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):

<source lang="matlab">
% --- 2. Vectores Velocidad y Aceleración ---
t_p = pi/2; % Punto de ejemplo
P_vec = [R*(t_p - sin(t_p)), R*(1 - cos(t_p))];

% Cálculo de vectores
Vel = [R*(1 - cos(t_p)), R*sin(t_p)];
Acc = [3*sin(t_p), 3*cos(t_p)];

figure(1); hold on;
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Vel(1), Vel(2), 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Velocidad');
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Acc(1), Acc(2), 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Aceleración');
legend show;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Vectores.png|thumb|center|400px|Vectores velocidad y aceleración sobre la curva]]

=== (3) Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== (4) Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).

<source lang="matlab">
% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5;
for k = 1:length(t_vals)
tk = t_vals(k);
Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];

vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
Tk = vk / norm(vk); % Tangente
Nk = [Tk(2), -Tk(1)]; % Normal

quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end
</source>

[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== (5) Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== (6) Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== (7) Información sobre la curva ===

La cicloide es una curva fundamental en la historia de la física y la matemática. Describe dos fenómenos clave:
* **La Braquistócrona:** Es la curva de descenso más rápido entre dos puntos bajo la acción de la gravedad.
* **La Tautócrona:** El periodo de oscilación de una partícula que desliza sobre una cicloide invertida es independiente de su amplitud.

En ingeniería, se utiliza en el diseño de engranajes cicloidales, los cuales sufren menos desgaste por rozamiento que los engranajes convencionales.

=== (8) Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

[[Archivo:Kimbell_Art_Museum.jpg|thumb|center|400px|Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell]]

=== (9) Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>

<source lang="matlab">
% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== (10) Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T13:18:03Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

== G. La Cicloide ==

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.

<source lang="matlab">
% --- 1. Gráfica de la Cicloide ---
R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

figure(1);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):

<source lang="matlab">
% --- 2. Vectores Velocidad y Aceleración ---
t_p = pi/2; % Punto de ejemplo
P_vec = [R*(t_p - sin(t_p)), R*(1 - cos(t_p))];

% Cálculo de vectores
Vel = [R*(1 - cos(t_p)), R*sin(t_p)];
Acc = [3*sin(t_p), 3*cos(t_p)];

figure(1); hold on;
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Vel(1), Vel(2), 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Velocidad');
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Acc(1), Acc(2), 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Aceleración');
legend show;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Vectores.png|thumb|center|400px|Vectores velocidad y aceleración sobre la curva]]

=== (3) Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== (4) Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).

<source lang="matlab">
% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5;
for k = 1:length(t_vals)
tk = t_vals(k);
Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];

vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
Tk = vk / norm(vk); % Tangente
Nk = [Tk(2), -Tk(1)]; % Normal

quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end
</source>

[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== (5) Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== (6) Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== (7) Información sobre la curva ===

La cicloide es una curva fundamental en la historia de la física y la matemática. Describe dos fenómenos clave:
* **La Braquistócrona:** Es la curva de descenso más rápido entre dos puntos bajo la acción de la gravedad.
* **La Tautócrona:** El periodo de oscilación de una partícula que desliza sobre una cicloide invertida es independiente de su amplitud.

En ingeniería, se utiliza en el diseño de engranajes cicloidales, los cuales sufren menos desgaste por rozamiento que los engranajes convencionales.

=== (8) Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

[[Archivo:Kimbell_Art_Museum.jpg|thumb|center|400px|Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell]]

=== (9) Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>

<source lang="matlab">
% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== (10) Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T13:14:20Z

Tomas.young:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3
==Dibujo de la curva==
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]

{{matlab|codigo=

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));
figure;
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
grid on;
}}
 
 
==Vector velocidad y aceleración==
===Velocidad===
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
 
<math> γ'(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j </math>
 
Como se aprecia en la imagen abajo, esta parametrización muestra la longitud, dirección y sentido que sigue cada punto en la curva inicial.
===Aceleración===
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
 

== G. La Cicloide ==

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.

<source lang="matlab">
% --- 1. Gráfica de la Cicloide ---
R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

figure(1);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Grafica.png|thumb|center|400px|Gráfica de la Cicloide generada con MATLAB]]

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):

<source lang="matlab">
% --- 2. Vectores Velocidad y Aceleración ---
t_p = pi/2; % Punto de ejemplo
P_vec = [R*(t_p - sin(t_p)), R*(1 - cos(t_p))];

% Cálculo de vectores
Vel = [R*(1 - cos(t_p)), R*sin(t_p)];
Acc = [3*sin(t_p), 3*cos(t_p)];

figure(1); hold on;
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Vel(1), Vel(2), 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Velocidad');
quiver(P_vec(1), P_vec(2), Acc(1), Acc(2), 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 0.5, 'DisplayName', 'Aceleración');
legend show;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Vectores.png|thumb|center|400px|Vectores velocidad y aceleración sobre la curva]]

=== (3) Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== (4) Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).

<source lang="matlab">
% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5;
for k = 1:length(t_vals)
tk = t_vals(k);
Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];

vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
Tk = vk / norm(vk); % Tangente
Nk = [Tk(2), -Tk(1)]; % Normal

quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end
</source>

[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== (5) Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== (6) Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== (7) Información sobre la curva ===

La cicloide es una curva fundamental en la historia de la física y la matemática. Describe dos fenómenos clave:
* **La Braquistócrona:** Es la curva de descenso más rápido entre dos puntos bajo la acción de la gravedad.
* **La Tautócrona:** El periodo de oscilación de una partícula que desliza sobre una cicloide invertida es independiente de su amplitud.

En ingeniería, se utiliza en el diseño de engranajes cicloidales, los cuales sufren menos desgaste por rozamiento que los engranajes convencionales.

=== (8) Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

[[Archivo:Kimbell_Art_Museum.jpg|thumb|center|400px|Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell]]

=== (9) Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>

<source lang="matlab">
% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== (10) Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]