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Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-12T14:27:32Z

Teresapereramagre: /* Resultados */

{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II| Juan Uria Amador;Mario Andrés Silva Peñaloza; Teresa Perera Magre | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 100 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Introducción ==
Analizando todos los canales, hemos visto que el distrito de Fuencarral tenía una mala comunicación con los distritos de Chamartín, Tetuán, Chamberí y Moncloa-Aravaca. Por ese motivo hemos decidido diseñar un carril bici que recorra los siguientes canales: Canal Alto, Canal de Santillana y Canal Bajo.
A lo largo de los canales la mayoría de la zona está vacía, pero en algunos casos, se necesita proceder a demoler edificios abandonados y en otros casos no es posible la construcción como tal de un carril bici y en esos casos los ciclistas tendrán que ir por la carretera

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Canales y vías]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici, la diferencia de velocidades varía según los obstáculos o vehículos que pueda haber en los alrededores del carril, en el calculo se considera que las vias no tienen sentido definido.

[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Vías digitalizadas]]

[[Archivo:Canalesycarrilbici.jpg|miniaturadeimagen|Figura5. Canales y carril bici]]

== Resultados ==
[[Archivo:Rutassincarrilbici.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Ruta sin carril bici]]

[[Archivo:Carrilbiciproyecto.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Carril bici diseñado]]

Los nuevos carriles bici tienen las siguientes longitudes:

El tramo del carril bici que va de Fuencarral a Catellana, sería de unos 7106 metros.

Y el tramo que va de Fuencarral a Escuela Técnica Superior de Caminos Canales y Puertos tendría unos 10834 metros

Con el nuevo carril reduciríamos el tiempo de llegada a los destinos, para llegar a la Castellana desde Fuencarral, a una velocidad aproximadamente de 20km/h, tardaríamos 21 minutos y 4 segundos

Y para llegar a la ETSCCP, tardaríamos 32 minutos y 5 segundos.

Si comparamos estos resultados con los que nos saldrían si no utilizaramos estos nuevos carriles bici, observamos que la construcción de los mismos es rentable. Ya que sin el carril bici nuevo tardaríamos en llegar a la Castellana 27 minutos y 48 segundos, y para llegar a la ETSCCP tardaríamos 36 minutos y 6 minutos.

== Conclusiones ==

Para concluir, el carril bici sería una buena incorporación, ya que disminuye el tiempo de viaje y aumenta la seguridad de los ciclistas. Además de unir zonas que antes no disponían de conexión mediante carril bici.

Algunas de las rutas que consideramos en un principio no fueron posibles ya que se tomó el sentido en ambas direcciones, y no consideramos el sentido real de la vía, por tanto ir por las mismas no era posible, y teníamos que buscar alguna ruta alternativa y se alargaba el tiempo de trayecto.

== Anejos ==

Los archivos que hemos utilizado los hemos encontrado en las siguientes páginas:

Carril bici: https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

Vías: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/index.jsp

Canales: https://geoportal.madrid.es/IDEAM_WBGEOPORTAL/dataset.iam?id=24e8dc9a-f090-11ec-a3a0-3024a94b329d

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-12T13:03:07Z

Teresapereramagre: /* Conclusiones */

{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II| Juan Uria Amador;Mario Andrés Silva Peñaloza; Teresa Perera Magre | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 100 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Introducción ==
Analizando todos los canales, hemos visto que el distrito de Fuencarral tenía una mala comunicación con los distritos de Chamartín, Tetuán, Chamberí y Moncloa-Aravaca. Por ese motivo hemos decidido diseñar un carril bici que recorra los siguientes canales: Canal Alto, Canal de Santillana y Canal Bajo.
A lo largo de los canales la mayoría de la zona está vacía, pero en algunos casos, se necesita proceder a demoler edificios abandonados y en otros casos no es posible la construcción como tal de un carril bici y en esos casos los ciclistas tendrán que ir por la carretera

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Canales y vías]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici, la diferencia de velocidades varía según los obstáculos o vehículos que pueda haber en los alrededores del carril, en el calculo se considera que las vias no tienen sentido definido.

[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Vías digitalizadas]]

[[Archivo:Canalesycarrilbici.jpg|miniaturadeimagen|Figura5. Canales y carril bici]]

== Resultados ==
[[Archivo:Rutassincarrilbici.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Ruta sin carril bici]]

[[Archivo:Carrilbiciproyecto.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Carril bici diseñado]]

El tramo del carril bici que va de Fuencarral a Catellana, sería de unos 7106 metros

Y el tramo que va de Fuencarral a Escuela Técnica Superior de Caminos Canales y Puertos tendría unos 10834 metros

Con el nuevo carril reduciríamos el tiempo de llegada a los destinos, para llegar a la Castellana desde Fuencarral, a una velocidad aproximadamente de 20km/h, tardaríamos 21 minutos y 4 segundos

Y para llegar a la ETSCCP, tardaríamos 32 minutos y 5 segundos.

Si comparamos estos resultados con los que nos saldrían si no utilizaramos estos nuevos carriles bici, observamos que la construcción de los mismos es rentable. Ya que sin el carril bici nuevo tardaríamos en llegar a la Castellana 27 minutos y 48 segundos, y para llegar a la ETSCCP tardaríamos 36 minutos y 6 minutos.

== Conclusiones ==

Para concluir, el carril bici sería una buena incorporación, ya que disminuye el tiempo de viaje y aumenta la seguridad de los ciclistas. Además de unir zonas que antes no disponían de conexión mediante carril bici.

Algunas de las rutas que consideramos en un principio no fueron posibles ya que se tomó el sentido en ambas direcciones, y no consideramos el sentido real de la vía, por tanto ir por las mismas no era posible, y teníamos que buscar alguna ruta alternativa y se alargaba el tiempo de trayecto.

== Anejos ==

Los archivos que hemos utilizado los hemos encontrado en las siguientes páginas:

Carril bici: https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

Vías: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/index.jsp

Canales: https://geoportal.madrid.es/IDEAM_WBGEOPORTAL/dataset.iam?id=24e8dc9a-f090-11ec-a3a0-3024a94b329d

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-12T13:00:37Z

Teresapereramagre: /* Resultados */

{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II| Juan Uria Amador;Mario Andrés Silva Peñaloza; Teresa Perera Magre | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 100 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Introducción ==
Analizando todos los canales, hemos visto que el distrito de Fuencarral tenía una mala comunicación con los distritos de Chamartín, Tetuán, Chamberí y Moncloa-Aravaca. Por ese motivo hemos decidido diseñar un carril bici que recorra los siguientes canales: Canal Alto, Canal de Santillana y Canal Bajo.
A lo largo de los canales la mayoría de la zona está vacía, pero en algunos casos, se necesita proceder a demoler edificios abandonados y en otros casos no es posible la construcción como tal de un carril bici y en esos casos los ciclistas tendrán que ir por la carretera

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Canales y vías]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici, la diferencia de velocidades varía según los obstáculos o vehículos que pueda haber en los alrededores del carril, en el calculo se considera que las vias no tienen sentido definido.

[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Vías digitalizadas]]

[[Archivo:Canalesycarrilbici.jpg|miniaturadeimagen|Figura5. Canales y carril bici]]

== Resultados ==
[[Archivo:Rutassincarrilbici.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Ruta sin carril bici]]

[[Archivo:Carrilbiciproyecto.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Carril bici diseñado]]

El tramo del carril bici que va de Fuencarral a Catellana, sería de unos 7106 metros

Y el tramo que va de Fuencarral a Escuela Técnica Superior de Caminos Canales y Puertos tendría unos 10834 metros

Con el nuevo carril reduciríamos el tiempo de llegada a los destinos, para llegar a la Castellana desde Fuencarral, a una velocidad aproximadamente de 20km/h, tardaríamos 21 minutos y 4 segundos

Y para llegar a la ETSCCP, tardaríamos 32 minutos y 5 segundos.

Si comparamos estos resultados con los que nos saldrían si no utilizaramos estos nuevos carriles bici, observamos que la construcción de los mismos es rentable. Ya que sin el carril bici nuevo tardaríamos en llegar a la Castellana 27 minutos y 48 segundos, y para llegar a la ETSCCP tardaríamos 36 minutos y 6 minutos.

== Conclusiones ==

Para concluir, el carril bici sería una buena incorporación, ya que disminuye el tiempo de viaje y aumenta la seguridad de los ciclistas. Además de unir zonas que antes no disponían de conexión mediante carril bici.

Algunas de las rutas que consideramos en un principio no fueron posibles ya que se tomó el sentido en ambas direcciones,

== Anejos ==

Los archivos que hemos utilizado los hemos encontrado en las siguientes páginas:

Carril bici: https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

Vías: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/index.jsp

Canales: https://geoportal.madrid.es/IDEAM_WBGEOPORTAL/dataset.iam?id=24e8dc9a-f090-11ec-a3a0-3024a94b329d

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-12T12:49:18Z

Teresapereramagre: /* Conclusiones */

{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II| Juan Uria Amador;Mario Andrés Silva Peñaloza; Teresa Perera Magre | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 100 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Introducción ==
Analizando todos los canales, hemos visto que el distrito de Fuencarral tenía una mala comunicación con los distritos de Chamartín, Tetuán, Chamberí y Moncloa-Aravaca. Por ese motivo hemos decidido diseñar un carril bici que recorra los siguientes canales: Canal Alto, Canal de Santillana y Canal Bajo.
A lo largo de los canales la mayoría de la zona está vacía, pero en algunos casos, se necesita proceder a demoler edificios abandonados y en otros casos no es posible la construcción como tal de un carril bici y en esos casos los ciclistas tendrán que ir por la carretera

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Canales y vías]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici, la diferencia de velocidades varía según los obstáculos o vehículos que pueda haber en los alrededores del carril, en el calculo se considera que las vias no tienen sentido definido.

[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Vías digitalizadas]]

[[Archivo:Canalesycarrilbici.jpg|miniaturadeimagen|Figura5. Canales y carril bici]]

== Resultados ==
[[Archivo:Rutassincarrilbici.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Ruta sin carril bici]]

[[Archivo:Carrilbiciproyecto.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Carril bici diseñado]]

Longitudes carril bici
Se ha reducido el tiempo

== Conclusiones ==

Para concluir, el carril bici sería una buena incorporación, ya que disminuye el tiempo de viaje y aumenta la seguridad de los ciclistas. Además de unir zonas que antes no disponían de conexión mediante carril bici.

Algunas de las rutas que consideramos en un principio no fueron posibles ya que se tomó el sentido en ambas direcciones,

== Anejos ==

Los archivos que hemos utilizado los hemos encontrado en las siguientes páginas:

Carril bici: https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

Vías: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/index.jsp

Canales: https://geoportal.madrid.es/IDEAM_WBGEOPORTAL/dataset.iam?id=24e8dc9a-f090-11ec-a3a0-3024a94b329d

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-12T12:49:04Z

Teresapereramagre: /* Conclusiones */

{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II| Juan Uria Amador;Mario Andrés Silva Peñaloza; Teresa Perera Magre | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 100 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Introducción ==
Analizando todos los canales, hemos visto que el distrito de Fuencarral tenía una mala comunicación con los distritos de Chamartín, Tetuán, Chamberí y Moncloa-Aravaca. Por ese motivo hemos decidido diseñar un carril bici que recorra los siguientes canales: Canal Alto, Canal de Santillana y Canal Bajo.
A lo largo de los canales la mayoría de la zona está vacía, pero en algunos casos, se necesita proceder a demoler edificios abandonados y en otros casos no es posible la construcción como tal de un carril bici y en esos casos los ciclistas tendrán que ir por la carretera

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Canales y vías]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici, la diferencia de velocidades varía según los obstáculos o vehículos que pueda haber en los alrededores del carril, en el calculo se considera que las vias no tienen sentido definido.

[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Vías digitalizadas]]

[[Archivo:Canalesycarrilbici.jpg|miniaturadeimagen|Figura5. Canales y carril bici]]

== Resultados ==
[[Archivo:Rutassincarrilbici.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Ruta sin carril bici]]

[[Archivo:Carrilbiciproyecto.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Carril bici diseñado]]

Longitudes carril bici
Se ha reducido el tiempo

== Conclusiones ==

Para concluir, el carril bici sería una buena incorporación, ya que disminuye el tiempo de viaje y aumenta la seguridad de los ciclistas. Además de unir zonas que antes no disponían de conexión mediante carril bici.
Algunas de las rutas que consideramos en un principio no fueron posibles ya que se tomó el sentido en ambas direcciones,

== Anejos ==

Los archivos que hemos utilizado los hemos encontrado en las siguientes páginas:

Carril bici: https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

Vías: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/index.jsp

Canales: https://geoportal.madrid.es/IDEAM_WBGEOPORTAL/dataset.iam?id=24e8dc9a-f090-11ec-a3a0-3024a94b329d

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-12T12:40:03Z

Teresapereramagre: /* Resultados */

{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II| Juan Uria Amador;Mario Andrés Silva Peñaloza; Teresa Perera Magre | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 100 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Introducción ==
Analizando todos los canales, hemos visto que el distrito de Fuencarral tenía una mala comunicación con los distritos de Chamartín, Tetuán, Chamberí y Moncloa-Aravaca. Por ese motivo hemos decidido diseñar un carril bici que recorra los siguientes canales: Canal Alto, Canal de Santillana y Canal Bajo.
A lo largo de los canales la mayoría de la zona está vacía, pero en algunos casos, se necesita proceder a demoler edificios abandonados y en otros casos no es posible la construcción como tal de un carril bici y en esos casos los ciclistas tendrán que ir por la carretera

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Canales y vías]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici, la diferencia de velocidades varía según los obstáculos o vehículos que pueda haber en los alrededores del carril, en el calculo se considera que las vias no tienen sentido definido.

[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Vías digitalizadas]]

[[Archivo:Canalesycarrilbici.jpg|miniaturadeimagen|Figura5. Canales y carril bici]]

== Resultados ==
[[Archivo:Rutassincarrilbici.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Ruta sin carril bici]]

[[Archivo:Carrilbiciproyecto.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Carril bici diseñado]]

Longitudes carril bici
Se ha reducido el tiempo

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Los archivos que hemos utilizado los hemos encontrado en las siguientes páginas:

Carril bici: https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

Vías: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/index.jsp

Canales: https://geoportal.madrid.es/IDEAM_WBGEOPORTAL/dataset.iam?id=24e8dc9a-f090-11ec-a3a0-3024a94b329d

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-12T12:39:06Z

Teresapereramagre: /* Metodología */

{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II| Juan Uria Amador;Mario Andrés Silva Peñaloza; Teresa Perera Magre | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 100 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Introducción ==
Analizando todos los canales, hemos visto que el distrito de Fuencarral tenía una mala comunicación con los distritos de Chamartín, Tetuán, Chamberí y Moncloa-Aravaca. Por ese motivo hemos decidido diseñar un carril bici que recorra los siguientes canales: Canal Alto, Canal de Santillana y Canal Bajo.
A lo largo de los canales la mayoría de la zona está vacía, pero en algunos casos, se necesita proceder a demoler edificios abandonados y en otros casos no es posible la construcción como tal de un carril bici y en esos casos los ciclistas tendrán que ir por la carretera

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Canales y vías]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici, la diferencia de velocidades varía según los obstáculos o vehículos que pueda haber en los alrededores del carril, en el calculo se considera que las vias no tienen sentido definido.

[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 2: Vías digitalizadas]]

[[Archivo:Canalesycarrilbici.jpg|miniaturadeimagen|Figura5. Canales y carril bici]]

== Resultados ==
[[Archivo:Rutassincarrilbici.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Ruta sin carril bici]]

[[Archivo:Carrilbiciproyecto.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Figura 4: Carril bici diseñado]]

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Los archivos que hemos utilizado los hemos encontrado en las siguientes páginas:

Carril bici: https://datos.madrid.es/sites/v/index.jsp?vgnextoid=325e827b864f4410VgnVCM2000000c205a0aRCRD&vgnextchannel=374512b9ace9f310VgnVCM100000171f5a0aRCRD

Vías: https://centrodedescargas.cnig.es/CentroDescargas/index.jsp

Canales: https://geoportal.madrid.es/IDEAM_WBGEOPORTAL/dataset.iam?id=24e8dc9a-f090-11ec-a3a0-3024a94b329d

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Archivo:Canalesycarrilbici.jpg

2023-12-12T12:38:02Z

Teresapereramagre:

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T18:42:18Z

Teresapereramagre: /* Introducción */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T18:36:23Z

Teresapereramagre: /* Introducción */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T18:23:40Z

Teresapereramagre: /* Resultados */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T18:22:59Z

Teresapereramagre: /* Resultados */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T18:21:15Z

Teresapereramagre: /* Metodología */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T18:07:32Z

Teresapereramagre: /* Resultados */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T18:07:15Z

Teresapereramagre: /* Resultados */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T17:54:47Z

Teresapereramagre: /* Resultados */

Archivo:Carrilbiciproyecto.png

2023-12-11T17:48:35Z

Teresapereramagre:

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T17:17:24Z

Teresapereramagre:

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T17:15:48Z

Teresapereramagre: /* Introducción */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T17:15:39Z

Teresapereramagre:

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T17:14:22Z

Teresapereramagre: /* Anejos */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T17:12:56Z

Teresapereramagre: /* Anejos */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T17:12:25Z

Teresapereramagre: /* Anejos */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T17:10:05Z

Teresapereramagre: /* Metodología */

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T16:57:07Z

Teresapereramagre:

{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II| Juan Uria Amador;Mario Andrés Silva Peñaloza; Teresa Perera Magre | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_23/24]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_23/24|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 23/24]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 17.366 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, ni vegetación,etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Canales y vías]]
[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Vías digitalizadas]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-11T16:50:26Z

Teresapereramagre:

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_23/24]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_23/24|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 23/24]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 17.366 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, ni vegetación,etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Canales y vías]]
[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Vías digitalizadas]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-08T19:27:46Z

Teresapereramagre: /* Metodología */

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_23/24]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_23/24|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 23/24]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 17.366 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, ni vegetación,etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Canales y vías]]
[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Vías digitalizadas]]

Las velocidades máximas de nuestros carriles bici serían 15km/h para las vías normales y de 20km/h para carriles bici

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-08T19:04:39Z

Teresapereramagre: /* Metodología */

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_23/24]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_23/24|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 23/24]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 17.366 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, ni vegetación,etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Canales y vías]]
[[Archivo:Vias digitalizadas.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Vías digitalizadas]]
Las dimensiones de los carriles bici son las siguientes:
Vias digitalizadas.jpeg

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Archivo:Vias digitalizadas.jpeg

2023-12-08T19:03:31Z

Teresapereramagre:

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-08T19:00:53Z

Teresapereramagre: /* Metodología */

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_23/24]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_23/24|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 23/24]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 17.366 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, ni vegetación,etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales y vias.jpeg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Canales y vías]]
Las dimensiones de los carriles bici son las siguientes:

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-08T18:58:31Z

Teresapereramagre: /* Metodología */

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_23/24]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_23/24|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 23/24]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 17.366 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, ni vegetación,etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.

[[Archivo:Canales_y_Viasg|500px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 1: Canales y vías]]
Las dimensiones de los carriles bici son las siguientes:

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Archivo:Canales y vias.jpeg

2023-12-08T18:56:15Z

Teresapereramagre: En color rojo tenemos los canales y en amarillo el carril bici

En color rojo tenemos los canales y en amarillo el carril bici

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-08T18:44:12Z

Teresapereramagre: /* Metodología */

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_23/24]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_23/24|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 23/24]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 17.366 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, ni vegetación,etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Metodología ==
Para la elaboración de nuestros carriles, en primer lugar hemos digitalizado las vías, los carriles bici y los canales. Después de esto, hemos ido probando rutas por vías convencionales, y probando rutas por el carril bici ya modificado( por encima de los canales), para así poder analizar la efectividad de nuestro proyecto, viendo que sea más rápido y viendo si mejora la movilidad.
Las dimensiones de los carriles bici son las siguientes:

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-12-08T18:37:35Z

Teresapereramagre: /* Introducción */

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_23/24|Curso 23/24]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_23/24]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_23/24|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 23/24]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==
En nuestro estudio, queremos analizar las alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel II. Antes de ello, entraremos en contexto, el Canal de Isabel II es la empresa pública que se encarga de la gestión del ciclo integral del agua prácticamente en toda la totalidad de la Comunidad de Madrid, encargándose de la administración de los recursos hídricos. Actualmente la red de distribución de agua está formada por más de 17.366 kilómetros de conducciones.
Muchas de las zonas por las que pasa el canal no tienen nada en la superficie, ni carreteras, ni construcciones, ni vegetación,etc. Además hay muchos barrios que no tienen muy buena conectividad en bicicleta. Por tanto, hemos realizado un estudio sobre estas áreas, tratando de encontrar zonas donde construir carriles bici que conecten estos barrios.

== Metodología ==

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_23/24]]

Archivo:Captura de pantalla 2023-12-06 a las 16.43.43.png

2023-12-07T14:57:14Z

Teresapereramagre:

Archivo:Captura de pantalla 2023-12-06 a las 16.18.19.png

2023-12-07T14:52:56Z

Teresapereramagre:

Flujo de Couette grupo 21

2023-12-06T15:52:13Z

Teresapereramagre: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido sometido a campos escalares y vectoriales. Grupo 21 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2023-24]] | Raúl Lacruz Rodríguez, Teresa Perera Magre, Natalia Velasco de Vega, Miryam Sánchez-Ferragut Samalea}}
==INTRODUCCIÓN==
Este proyecto tiene como objetivo analizar y representar visualmente tanto campos escalares como vectoriales, que fueron abordados durante el curso de grado, en el contexto de fluidos. En este estudio, nos enfocaremos en un fluido incompresible con fluctuaciones de caudal a lo largo de un canal con paredes horizontales rectas, sometido simultáneamente a tres campos: dos escalares (presión y temperatura) y uno vectorial (velocidad).

La cinemática de los fluidos se centra en el movimiento de estos sin considerar sus causas subyacentes, destacando aspectos como trayectorias, velocidades y aceleraciones. Además, reconocemos que un fluido incompresible mantiene una densidad constante a lo largo del tiempo y posee la capacidad de resistir la compresión en diversas condiciones.

Para llevar a cabo este trabajo, empleamos el programa informático Matlab, el cual nos facilitó la visualización del comportamiento del fluido a través de gráficos.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La superficie en la que nos vamos a basar va a ser [0,8]x[0,1] en <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, por lo que trabajamos en el plano x=0, entonces definimos la y en [0,8] y la z en [0,1], aunque el eje z lo definimos como [-1,2].
Para obsérvalo vamos a recurrir a octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[yy,zz]=meshgrid(y,z); %mallado ZY
hold on
mesh(yy,zz,0.*yy); %representar el canal
axis([0,8,-1,2]);
axis equal
view(2);
title ('Mallado del canal');
hold off
}}

La superficie de trabajo es la que se muestra en la siguiente imagen:

[[Archivo:Apartado1.jpeg]]

==ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA==
En el ámbito de la dinámica de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes son expresiones matemáticas que describen el movimiento tridimensional de sustancias fluidas viscosas.
Estas ecuaciones encuentran aplicaciones diversas, siendo utilizadas para prever fenómenos como el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en sistemas de tuberías o reactores, así como en el análisis del flujo sanguíneo, entre otros usos, como el diseño de submarinos.
En esta sección específica, nuestro propósito es demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sujeto el fluido cumplen con la ecuación estacionaria de Navier-Stokes. Esto implicaría que el fluido es incompresible, ya que estas ecuaciones modelan el comportamiento de los fluidos newtonianos, es decir, aquellos en los que la resistencia a deformaciones puede considerarse constante a lo largo del tiempo.

La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:
<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Trabajando en componentes tenemos que:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> , <math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math>,
<math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math>

En nuestro caso, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math> es el campo vectorial velocidad , <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido.

Para la demostración, se trabajará en componentes respecto de la base cartesiana <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>.

El primer término de la ecuación será:
<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

Sustituyendo, nuestro campo y operando tenemos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z) \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

Cálculamos ahora, el gradiente del campo de presiones, <math>\nabla p</math>, siendo <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math>

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por último, calculamos el Laplaciano,<math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center>''Decidimos emplear esta expresión para calcular el Laplaciano y no calcularlo como el gradiente de la divergencia, porque entre sus términos, además de la divergencia, aparece el rotacional; operadores que se desarrollaran y serán útiles a lo largo del proyecto.''</center>

1. Cálculo de la divergergencia:
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

<center>'''¿Qué siginifica que la divergencia sea nula?''' </center>

Obtenemos que el fluido es incompresible, pues la condición de incompresibilidad es <math>\nabla \cdot \vec{u}=0</math>. Teniendo en cuenta que la divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo, ésta al ser nula, conlleva que el movimiento de las partículas no afecta al volumen provocando que la densidad permanezca constante en el tiempo, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible ya mencionada anteriormente.

2. Cálculo del rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

3. Cálculo de <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math> (doble rotacional)
<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos los resultados anteriores en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos que:

<center><math>\Delta\vec{u}=-f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos por último, todos los términos en la expresión de la ecuación de Navier-Stokes estacionaria <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math>; resultando:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z) \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por lo que:

<center><math>f''(z)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{μ}=\frac{p_1-p_2}{-μ}\vec{j}</math></center>

Para averiguar f(z) tenemos que integrar 2 veces sobre <math>\frac{p_1-p_2}{-μ}</math>. Al hacerlo y aplicando las condiciones de contorno proporcionadas por el enunciado donde f(z=0)=v y f(z=1)=0:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

<center><math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2\ {,} \ μ=1 \ {,} \ v=1</math></center>

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

<center><math>\vec{u}(y,z)=(1-z)(1+ \frac{(2-1)z}{2})\vec{j}</math></center>
<center><math>\vec{u}(y,z)=(4-3z-z^2)\vec{j}</math></center>

Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:
{{matlab|codigo=
% Definir el dominio de y y z
[y, z] = meshgrid(0:0.25:8, 0:0.1:1);

% Definir las funciones vectoriales uy(y, z) y uz(y, z)
uy = ((z.^2 - z) / -2);
uz = zeros(size(y));

% Visualizar los resultados con quiver
quiver(y, z, uy, uz);
xlabel('y');
ylabel('z');
title('\vec{u}(y, z) = ((z^2 - z) / -2, 0)');
axis([0, 8, -1, 2]);
grid on;
}}

Resultando el siguiente gráfico:

[[Archivo:Campo de velocidades.jpg]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Lo primero que observamos, es que la velocidad es nula la pared superior del canal pues en <math>z=1</math> no existen líneas de campo, como ya habíamos demostrado analíticamente., mientras que en y <math>z=0</math> si.
Además, en las deducciones previas habíamos asegurado que la velocidad sería paralela a las paredes del canal, cosa que también observamos en la gráfica, pues las líneas de campo son paralelas a las rectas <math>z=1</math> y <math>z=0</math> que coinciden con las paredes del canal a la vez que se forma la mencionada ya curva parabólica que sigue nuestra función solución de la ecuación diferencial al sustituir los valores mencionados.

Por otro lado, se intuye que la velocidad máxima se alcanza en <math>z=-1/2</math> como a continuación se demuestra analíticamente.

=== CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j} \mapsto \frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z} , z=-1/2 </math></center>

Igualando a 0, las derivadas anteriores, obtenemos que la velocidad máxima se obtienen en los puntos de la recta <math>z=-1/2</math>, interpretando así que la velocidad será máxima fuera del recinto propuesto coincidiendo así con el máximo de dicha función parabólica.

==CAMPO DE PRESIONES==
El campo de presiones al que está sometido nuestro fluido es un campo escalar, con las siguiente expresión:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>
Para representarlo gráficamente se consideran nuevamente los valores:
<math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2 \ {,} \ μ=1\ {,} \ v=1 </math>
.Obteniendo, por tanto:
<center><math> p(x,y,z)=y</math></center>

Implementado el código siguiente en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
p=Y;
surf(Y,Z,p)
title('Campo de presiones');
view(2)
axis([0,8,-1,2]);
}}

Obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Apartado4.jpeg]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>

Observamos en el gráfico que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo, las presiones altas están representadas con colores azules y derivados de éste, y las más bajas con tonos anaranjados. Esto es así, porque para mantener el caudal de un fluido viscoso estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre las paredes del canal. Esta diferencia de presión es necesaria debida a la fuerza de arrastre o frenada que ejerce el canal sobre la capa de fluido en contacto con él y la que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. A estas fuerzas las denominamos fuerzas viscosas. El resultado de su presencia, hace que la velocidad del fluido no sea constante a lo largo del canal siendo mayor cerca del centro y menor cerca de las paredes tal como se explicó y demostró en el apartado anterior.

==ROTACIONAL==
Para calcular el rotacional del campo, utilizamos la siguiente expresión:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{u}=-f'(z)\vec{i}</math>, sustituyendo los valores:
<center><math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2 \ {,} \ μ=1</math></center>
Tenemos que:
<math>\nabla\times\vec u=-z+C_1\vec{i}</math>, donde \ C_1 \ ya ha sido calculada anteriormente aplicando las condiciones de contorno y siendo igual a -1/2

Finalmente obtenemos el módulo del rotacional, <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+1/2</math>, como se observa en la expresión, depende del valor de <math>z</math>.
Tomando los valores máximos en los extremos del intervalo en el que está definido <math>z</math>, <math> [0,1]</math>, y el valor mínimo en <math>z=-1/2</math>

Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente recurrimos a Octave,
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(Z-1/2);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

Resultando el siguiente gráfico, donde se representa el rotacional:

[[Archivo:ROTACIONAL.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>
El rotacional muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Por otra parte, el rotacional caracteriza la rotación de un fluido, por lo que en los extremos del canal el efecto de giro será máximo, particularizando en <math>z=0</math> tendrá el valor máximo en el sentido positivo de <math>\vec{i}</math> , lo que implica rotaciones en sentido antihorario, y en <math>z=1</math> no alcanzara ningun valor debido a las hipótesis tomadas en las condiciones de contorno atribuyendo a este 0 mencionadas por e enunciado ,lo que provocará rotaciones en sentido horario. Para el valor <math>z=-1/2</math>, que es un valor fuera de nuestro recinto, el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
Con esto quedan demostradas, las hipótesis anteriores, pues en el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación aparecen representados con colores cálidos, amarillos hacia verde azulado, y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos, azules.

== CAMPO DE TEMPERATURAS==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)cos^2θ</math></center>

Se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel:
FOTO GRÁFICA

En Matlab hemos empleado el siguiente programa:
{{matlab|codigo=

x=1:0.05:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.05:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2; %Matriz de la z
subplot(1,2,1); %Ventanas
surf(Mx,My,Mz); %Dibujo de la superficie
shading flat %Difuminado
subplot(1,2,2) %Ventana 2
pcolor(Mx,My,Mz); %Proyección en planta
hold on %Mantener ventana
contour(Mx,My,Mz,7,'k') %7 curvas de nivel
hold off

}}

A continuación, representamos una gráfica donde observamos en que punto la temperatura es máxima.

FOTO GRÁFICA

En Matlab hemos utilizado el siguiente código:

{{matlab|codigo=

x=1:0.05:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.05:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2; %Matriz de la z
plot3(Mx,My,Mz); %Dibujo en líneas del campo

}}

==LÍNEAS DE CORRIENTE==

Las líneas de corriente, son rectas tangentes al campo de velocidad en cada punto.
Para calcular estas rectas, calculamos el campo <math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec u</math>. Dicho campo es:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Las líneas de corriente corresponden con <math>\psi=cte</math>, siendo <math>\psi</math> la función de corriente de <math>\vec{u}</math>. Esta función, es la función potencial o el potencial escalar del que deriva el campo <math>\vec{v}</math>, para calcularlo, lo primero que debemos comprobar es que <math>\vec{v}</math> es irrotacional, pues en caso contario, dicho campo no admitiría función potencial.

'''Demostración <math>\nabla\times\vec v=0</math>'''

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que el campo es irrotacional y ahora ya podemos calcular su función potencial.

''' Cálculo de la función potencial <math>\psi (x,y)</math>''': Busco un campo escalar u tal que \nabla\u=vec v

1. Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

2. Operamos:

<center> <math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

3. Derivamos con respecto a <math>z</math>:

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{-1}{2}(z^2-z) \rightarrow\frac{\partial }{\partial y}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math></center>

4. Resolvemos la ecuación <math>f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math> para obtener <math>f(z)</math>.

<center> <math>f(z)=\int\frac{-1}{2}(z^2-z) \ dz=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

Así,

<center> <math> \psi (y,z)=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)</math></center>

''' Representación gráfica'''

Representamos las líneas <math>\psi=cte</math>
[[Archivo:LINEAS.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

<center> '''¿Coinciden las rectas representadas con las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>?'''</center>

Como se observa en el gráfico, estas líneas son tangentes al campo vectorial <math>\vec{u}</math> en cada punto quedando así demostrado que son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>

''Código Octave utilizado para la representación''
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure 1
lineas=(-1/12)*((2*Z.^3)-(3*Z.^2))
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

==CAUDAL==
El caudal es el volumen de fluido que pasa a travésa del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

{{ referencias }}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Grupo B7: Comportamiento de un fluido sometido a campos escales y vectoriales]]

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Informática]]

Flujo de Couette grupo 21

2023-12-06T15:31:57Z

Teresapereramagre: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido sometido a campos escalares y vectoriales. Grupo 21 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2023-24]] | Raúl Lacruz Rodríguez, Teresa Perera Magre, Natalia Velasco de Vega, Miryam Sánchez-Ferragut Samalea}}
==INTRODUCCIÓN==
Este proyecto tiene como objetivo analizar y representar visualmente tanto campos escalares como vectoriales, que fueron abordados durante el curso de grado, en el contexto de fluidos. En este estudio, nos enfocaremos en un fluido incompresible con fluctuaciones de caudal a lo largo de un canal con paredes horizontales rectas, sometido simultáneamente a tres campos: dos escalares (presión y temperatura) y uno vectorial (velocidad).

La cinemática de los fluidos se centra en el movimiento de estos sin considerar sus causas subyacentes, destacando aspectos como trayectorias, velocidades y aceleraciones. Además, reconocemos que un fluido incompresible mantiene una densidad constante a lo largo del tiempo y posee la capacidad de resistir la compresión en diversas condiciones.

Para llevar a cabo este trabajo, empleamos el programa informático Matlab, el cual nos facilitó la visualización del comportamiento del fluido a través de gráficos.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La superficie en la que nos vamos a basar va a ser [0,8]x[0,1] en <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, por lo que trabajamos en el plano x=0, entonces definimos la y en [0,8] y la z en [0,1], aunque el eje z lo definimos como [-1,2].
Para obsérvalo vamos a recurrir a octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[yy,zz]=meshgrid(y,z); %mallado ZY
hold on
mesh(yy,zz,0.*yy); %representar el canal
axis([0,8,-1,2]);
axis equal
view(2);
title ('Mallado del canal');
hold off
}}

La superficie de trabajo es la que se muestra en la siguiente imagen:

[[Archivo:Apartado1.jpeg]]

==ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA==
En el ámbito de la dinámica de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes son expresiones matemáticas que describen el movimiento tridimensional de sustancias fluidas viscosas.
Estas ecuaciones encuentran aplicaciones diversas, siendo utilizadas para prever fenómenos como el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en sistemas de tuberías o reactores, así como en el análisis del flujo sanguíneo, entre otros usos, como el diseño de submarinos.
En esta sección específica, nuestro propósito es demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sujeto el fluido cumplen con la ecuación estacionaria de Navier-Stokes. Esto implicaría que el fluido es incompresible, ya que estas ecuaciones modelan el comportamiento de los fluidos newtonianos, es decir, aquellos en los que la resistencia a deformaciones puede considerarse constante a lo largo del tiempo.

La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:
<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Trabajando en componentes tenemos que:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> , <math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math>,
<math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math>

En nuestro caso, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math> es el campo vectorial velocidad , <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido.

Para la demostración, se trabajará en componentes respecto de la base cartesiana <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>.

El primer término de la ecuación será:
<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

Sustituyendo, nuestro campo y operando tenemos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z) \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

Cálculamos ahora, el gradiente del campo de presiones, <math>\nabla p</math>, siendo <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math>

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por último, calculamos el Laplaciano,<math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center>''Decidimos emplear esta expresión para calcular el Laplaciano y no calcularlo como el gradiente de la divergencia, porque entre sus términos, además de la divergencia, aparece el rotacional; operadores que se desarrollaran y serán útiles a lo largo del proyecto.''</center>

1. Cálculo de la divergergencia:
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

<center>'''¿Qué siginifica que la divergencia sea nula?''' </center>

Obtenemos que el fluido es incompresible, pues la condición de incompresibilidad es <math>\nabla \cdot \vec{u}=0</math>. Teniendo en cuenta que la divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo, ésta al ser nula, conlleva que el movimiento de las partículas no afecta al volumen provocando que la densidad permanezca constante en el tiempo, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible ya mencionada anteriormente.

2. Cálculo del rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

3. Cálculo de <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math> (doble rotacional)
<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos los resultados anteriores en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos que:

<center><math>\Delta\vec{u}=-f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos por último, todos los términos en la expresión de la ecuación de Navier-Stokes estacionaria <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math>; resultando:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z) \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por lo que:

<center><math>f''(z)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{μ}=\frac{p_1-p_2}{-μ}\vec{j}</math></center>

Para averiguar f(z) tenemos que integrar 2 veces sobre <math>\frac{p_1-p_2}{-μ}</math>. Al hacerlo y aplicando las condiciones de contorno proporcionadas por el enunciado donde f(z=0)=v y f(z=1)=0:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

<center><math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2\ {,} \ μ=1 \ {,} \ v=1</math></center>

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

<center><math>\vec{u}(y,z)=(1-z)(1+ \frac{(2-1)z}{2})\vec{j}</math></center>
<center><math>\vec{u}(y,z)=(4-3z-z^2)\vec{j}</math></center>

Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:
{{matlab|codigo=
% Definir el dominio de y y z
[y, z] = meshgrid(0:0.25:8, 0:0.1:1);

% Definir las funciones vectoriales uy(y, z) y uz(y, z)
uy = ((z.^2 - z) / -2);
uz = zeros(size(y));

% Visualizar los resultados con quiver
quiver(y, z, uy, uz);
xlabel('y');
ylabel('z');
title('\vec{u}(y, z) = ((z^2 - z) / -2, 0)');
axis([0, 8, -1, 2]);
grid on;
}}

Resultando el siguiente gráfico:

[[Archivo:Campo de velocidades.jpg]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Lo primero que observamos, es que la velocidad es nula la pared superior del canal pues en <math>z=1</math> no existen líneas de campo, como ya habíamos demostrado analíticamente., mientras que en y <math>z=0</math> si.
Además, en las deducciones previas habíamos asegurado que la velocidad sería paralela a las paredes del canal, cosa que también observamos en la gráfica, pues las líneas de campo son paralelas a las rectas <math>z=1</math> y <math>z=0</math> que coinciden con las paredes del canal a la vez que se forma la mencionada ya curva parabólica que sigue nuestra función solución de la ecuación diferencial al sustituir los valores mencionados.

Por otro lado, se intuye que la velocidad máxima se alcanza en <math>z=-1/2</math> como a continuación se demuestra analíticamente.

=== CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j} \mapsto \frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z} , z=-1/2 </math></center>

Igualando a 0, las derivadas anteriores, obtenemos que la velocidad máxima se obtienen en los puntos de la recta <math>z=-1/2</math>, interpretando así que la velocidad será máxima fuera del recinto propuesto coincidiendo así con el máximo de dicha función parabólica.

==CAMPO DE PRESIONES==
El campo de presiones al que está sometido nuestro fluido es un campo escalar, con las siguiente expresión:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>
Para representarlo gráficamente se consideran nuevamente los valores:
<math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2 \ {,} \ μ=1\ {,} \ v=1 </math>
.Obteniendo, por tanto:
<center><math> p(x,y,z)=y</math></center>

Implementado el código siguiente en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
p=Y;
surf(Y,Z,p)
title('Campo de presiones');
view(2)
axis([0,8,-1,2]);
}}

Obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Apartado4.jpeg]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>

Observamos en el gráfico que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo, las presiones altas están representadas con colores azules y derivados de éste, y las más bajas con tonos anaranjados. Esto es así, porque para mantener el caudal de un fluido viscoso estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre las paredes del canal. Esta diferencia de presión es necesaria debida a la fuerza de arrastre o frenada que ejerce el canal sobre la capa de fluido en contacto con él y la que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. A estas fuerzas las denominamos fuerzas viscosas. El resultado de su presencia, hace que la velocidad del fluido no sea constante a lo largo del canal siendo mayor cerca del centro y menor cerca de las paredes tal como se explicó y demostró en el apartado anterior.

==ROTACIONAL==
Para calcular el rotacional del campo, utilizamos la siguiente expresión:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{u}=-f'(z)\vec{i}</math>, sustituyendo los valores:
<center><math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2 \ {,} \ μ=1</math></center>
Tenemos que:
<math>\nabla\times\vec u=-z+C_1\vec{i}</math>, donde \ C_1 \ ya ha sido calculada anteriormente aplicando las condiciones de contorno y siendo igual a -1/2

Finalmente obtenemos el módulo del rotacional, <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+1/2</math>, como se observa en la expresión, depende del valor de <math>z</math>.
Tomando los valores máximos en los extremos del intervalo en el que está definido <math>z</math>, <math> [0,1]</math>, y el valor mínimo en <math>z=-1/2</math>

Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente recurrimos a Octave,
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(Z-1/2);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

Resultando el siguiente gráfico, donde se representa el rotacional:

[[Archivo:ROTACIONAL.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>
El rotacional muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Por otra parte, el rotacional caracteriza la rotación de un fluido, por lo que en los extremos del canal el efecto de giro será máximo, particularizando en <math>z=0</math> tendrá el valor máximo en el sentido positivo de <math>\vec{i}</math> , lo que implica rotaciones en sentido antihorario, y en <math>z=1</math> no alcanzara ningun valor debido a las hipótesis tomadas en las condiciones de contorno atribuyendo a este 0 mencionadas por e enunciado ,lo que provocará rotaciones en sentido horario. Para el valor <math>z=-1/2</math>, que es un valor fuera de nuestro recinto, el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
Con esto quedan demostradas, las hipótesis anteriores, pues en el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación aparecen representados con colores cálidos, amarillos hacia verde azulado, y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos, azules.

== CAMPO DE TEMPERATURAS==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)cos^2θ</math></center>

Se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel:
FOTO GRÁFICA

En Matlab hemos empleado el siguiente programa:
{{matlab|codigo=

x=1:0.05:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.05:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2; %Matriz de la z
subplot(1,2,1); %Ventanas
surf(Mx,My,Mz); %Dibujo de la superficie
shading flat %Difuminado
subplot(1,2,2) %Ventana 2
pcolor(Mx,My,Mz); %Proyección en planta
hold on %Mantener ventana
contour(Mx,My,Mz,7,'k') %7 curvas de nivel
hold off

}}

''' REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS '''

El campo de temperaturas es un campo escalar que representa la distribución espacial de la temperatura asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión <math> T(y{,}z)=1+z^2 e^{-(y^2+z^2-1/2)^2}</math>, por lo tanto no depende del tiempo, se dice que es estacionario, sino exclusivamente de las componentes espaciales <math>(y{,}z)</math>

Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Y.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar

figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:TEMPERATURA2.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]
[[Archivo:TEMPERATURA6.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>
En el gráfico se puede observar que la temperatura es mayor en los valores próximos a <math>z=1</math>, este aparece representado con colores cálidos, mientras que si nos alejamos de este punto la temperatura disminuye.

''' REPRESENTACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL '''

El código utilizado para la representación de este gráfico está expuesto en la representación del campo de temperaturas.

[[Archivo:TEMPERATURA1.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Curvas de nivel de campo]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torono a los puntos <math>z=1</math> y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

La representaciónes anteriores permite determinar que en el punto <math>(y,z)= (0,1)</math> la temperatura es máxima.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:

<center><math>\nabla T(y,z)=-4yz^2e^-(y^2+z^2-\frac{1}{2})\cdot (y^2+z^2-\frac{1}{2})\vec{i}+ e^-(y^2+z^2-\frac{1}{2})\cdot(-4z^3(z^2+y^2+\frac{1}{2})+2z) \vec{k}</math></center>

Como observación, el gradiente analíticamente se calcula como <math>\frac{\partial T(y,z)}{\partial y}</math> siendo ésta la compontente <math>\vec{j}</math> del campo vectorial gradiente y <math>\frac{\partial T(y,z)}{\partial z }</math> la componente <math>\vec{k}</math>.

''' REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL GRADIENTE''''''

El gráfico del gradiente de la temperatura, se ha representado utilizando el siguiente código:
{{Matlab|codigo=

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pX)
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

}}

[[Archivo:TEMPERATURA3.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código Octave utilizado:
{{Matlab|codigo=

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
contour(Y,Z,p,'k');
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

}}
[[Archivo:TEMPERATURA4.PNG|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico afirmamos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero más ampliado para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:TEMPERATURA5.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Para estudiar la variacion de temperatura a lo largo del canal analizamos el gradiente que indica la direccion de crecimiento de la funcion temperatura en cada uno de los puntos. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial (como ya se ha mencionado) junto con las curvas de nivel. Observamos que en torno al punto <math>z=1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a ese punto. Por otra parte, vemos que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel. El gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas, las definiciones anteriores serían contradictorias.

==LÍNEAS DE CORRIENTE==

Las líneas de corriente, son rectas tangentes al campo de velocidad en cada punto.
Para calcular estas rectas, calculamos el campo <math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec u</math>. Dicho campo es:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Las líneas de corriente corresponden con <math>\psi=cte</math>, siendo <math>\psi</math> la función de corriente de <math>\vec{u}</math>. Esta función, es la función potencial o el potencial escalar del que deriva el campo <math>\vec{v}</math>, para calcularlo, lo primero que debemos comprobar es que <math>\vec{v}</math> es irrotacional, pues en caso contario, dicho campo no admitiría función potencial.

'''Demostración <math>\nabla\times\vec v=0</math>'''

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que el campo es irrotacional y ahora ya podemos calcular su función potencial.

''' Cálculo de la función potencial <math>\psi (x,y)</math>''': Busco un campo escalar u tal que \nabla\u=vec v

1. Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

2. Operamos:

<center> <math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

3. Derivamos con respecto a <math>z</math>:

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{-1}{2}(z^2-z) \rightarrow\frac{\partial }{\partial y}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math></center>

4. Resolvemos la ecuación <math>f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math> para obtener <math>f(z)</math>.

<center> <math>f(z)=\int\frac{-1}{2}(z^2-z) \ dz=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

Así,

<center> <math> \psi (y,z)=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)</math></center>

''' Representación gráfica'''

Representamos las líneas <math>\psi=cte</math>
[[Archivo:LINEAS.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

<center> '''¿Coinciden las rectas representadas con las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>?'''</center>

Como se observa en el gráfico, estas líneas son tangentes al campo vectorial <math>\vec{u}</math> en cada punto quedando así demostrado que son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>

''Código Octave utilizado para la representación''
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure 1
lineas=(-1/12)*((2*Z.^3)-(3*Z.^2))
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

==CAUDAL==
El caudal es el volumen de fluido que pasa a travésa del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

{{ referencias }}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Grupo B7: Comportamiento de un fluido sometido a campos escales y vectoriales]]

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Informática]]

Flujo de Couette grupo 21

2023-12-05T18:07:43Z

Teresapereramagre: /* CAMPO DE TEMPERATURAS */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido sometido a campos escalares y vectoriales. Grupo 21 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2023-24]] | Raúl Lacruz Rodríguez, Teresa Perera Magre, Natalia Velasco de Vega, Miryam Sánchez-Ferragut Samalea}}
==INTRODUCCIÓN==
Este proyecto tiene como objetivo analizar y representar visualmente tanto campos escalares como vectoriales, que fueron abordados durante el curso de grado, en el contexto de fluidos. En este estudio, nos enfocaremos en un fluido incompresible con fluctuaciones de caudal a lo largo de un canal con paredes horizontales rectas, sometido simultáneamente a tres campos: dos escalares (presión y temperatura) y uno vectorial (velocidad).

La cinemática de los fluidos se centra en el movimiento de estos sin considerar sus causas subyacentes, destacando aspectos como trayectorias, velocidades y aceleraciones. Además, reconocemos que un fluido incompresible mantiene una densidad constante a lo largo del tiempo y posee la capacidad de resistir la compresión en diversas condiciones.

Para llevar a cabo este trabajo, empleamos el programa informático Matlab, el cual nos facilitó la visualización del comportamiento del fluido a través de gráficos.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La superficie en la que nos vamos a basar va a ser [0,8]x[0,1] en <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, por lo que trabajamos en el plano x=0, entonces definimos la y en [0,8] y la z en [0,1], aunque el eje z lo definimos como [-1,2].
Para obsérvalo vamos a recurrir a octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[yy,zz]=meshgrid(y,z); %mallado ZY
hold on
mesh(yy,zz,0.*yy); %representar el canal
axis([0,8,-1,2]);
axis equal
view(2);
title ('Mallado del canal');
hold off
}}

La superficie de trabajo es la que se muestra en la siguiente imagen:

[[Archivo:Apartado1.jpeg]]

==ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA==
En el ámbito de la dinámica de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes son expresiones matemáticas que describen el movimiento tridimensional de sustancias fluidas viscosas.
Estas ecuaciones encuentran aplicaciones diversas, siendo utilizadas para prever fenómenos como el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en sistemas de tuberías o reactores, así como en el análisis del flujo sanguíneo, entre otros usos, como el diseño de submarinos.
En esta sección específica, nuestro propósito es demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sujeto el fluido cumplen con la ecuación estacionaria de Navier-Stokes. Esto implicaría que el fluido es incompresible, ya que estas ecuaciones modelan el comportamiento de los fluidos newtonianos, es decir, aquellos en los que la resistencia a deformaciones puede considerarse constante a lo largo del tiempo.

La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:
<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Trabajando en componentes tenemos que:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> , <math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math>,
<math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math>

En nuestro caso, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math> es el campo vectorial velocidad , <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido.

Para la demostración, se trabajará en componentes respecto de la base cartesiana <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>.

El primer término de la ecuación será:
<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

Sustituyendo, nuestro campo y operando tenemos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z) \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

Cálculamos ahora, el gradiente del campo de presiones, <math>\nabla p</math>, siendo <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math>

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por último, calculamos el Laplaciano,<math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center>''Decidimos emplear esta expresión para calcular el Laplaciano y no calcularlo como el gradiente de la divergencia, porque entre sus términos, además de la divergencia, aparece el rotacional; operadores que se desarrollaran y serán útiles a lo largo del proyecto.''</center>

1. Cálculo de la divergergencia:
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

<center>'''¿Qué siginifica que la divergencia sea nula?''' </center>

Obtenemos que el fluido es incompresible, pues la condición de incompresibilidad es <math>\nabla \cdot \vec{u}=0</math>. Teniendo en cuenta que la divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo, ésta al ser nula, conlleva que el movimiento de las partículas no afecta al volumen provocando que la densidad permanezca constante en el tiempo, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible ya mencionada anteriormente.

2. Cálculo del rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

3. Cálculo de <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math> (doble rotacional)
<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos los resultados anteriores en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos que:

<center><math>\Delta\vec{u}=-f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos por último, todos los términos en la expresión de la ecuación de Navier-Stokes estacionaria <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math>; resultando:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z) \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por lo que:

<center><math>f''(z)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{μ}=\frac{p_1-p_2}{-μ}\vec{j}</math></center>

Para averiguar f(z) tenemos que integrar 2 veces sobre <math>\frac{p_1-p_2}{-μ}</math>. Al hacerlo y aplicando las condiciones de contorno proporcionadas por el enunciado donde f(z=0)=v y f(z=1)=0:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

<center><math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2\ {,} \ μ=1 \ {,} \ v=1</math></center>

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

<center><math>\vec{u}(y,z)=(1-z)(1+ \frac{(2-1)z}{2})\vec{j}</math></center>
<center><math>\vec{u}(y,z)=(4-3z-z^2)\vec{j}</math></center>

Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:
{{matlab|codigo=
% Definir el dominio de y y z
[y, z] = meshgrid(0:0.25:8, 0:0.1:1);

% Definir las funciones vectoriales uy(y, z) y uz(y, z)
uy = ((z.^2 - z) / -2);
uz = zeros(size(y));

% Visualizar los resultados con quiver
quiver(y, z, uy, uz);
xlabel('y');
ylabel('z');
title('\vec{u}(y, z) = ((z^2 - z) / -2, 0)');
axis([0, 8, -1, 2]);
grid on;
}}

Resultando el siguiente gráfico:

[[Archivo:Campo de velocidades.jpg]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Lo primero que observamos, es que la velocidad es nula la pared superior del canal pues en <math>z=1</math> no existen líneas de campo, como ya habíamos demostrado analíticamente., mientras que en y <math>z=0</math> si.
Además, en las deducciones previas habíamos asegurado que la velocidad sería paralela a las paredes del canal, cosa que también observamos en la gráfica, pues las líneas de campo son paralelas a las rectas <math>z=1</math> y <math>z=0</math> que coinciden con las paredes del canal a la vez que se forma la mencionada ya curva parabólica que sigue nuestra función solución de la ecuación diferencial al sustituir los valores mencionados.

Por otro lado, se intuye que la velocidad máxima se alcanza en <math>z=-1/2</math> como a continuación se demuestra analíticamente.

=== CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j} \mapsto \frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z} , z=-1/2 </math></center>

Igualando a 0, las derivadas anteriores, obtenemos que la velocidad máxima se obtienen en los puntos de la recta <math>z=-1/2</math>, interpretando así que la velocidad será máxima fuera del recinto propuesto coincidiendo así con el máximo de dicha función parabólica.

==CAMPO DE PRESIONES==
El campo de presiones al que está sometido nuestro fluido es un campo escalar, con las siguiente expresión:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>
Para representarlo gráficamente se consideran nuevamente los valores:
<math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2 \ {,} \ μ=1\ {,} \ v=1 </math>
.Obteniendo, por tanto:
<center><math> p(x,y,z)=y</math></center>

Implementado el código siguiente en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
p=Y;
surf(Y,Z,p)
title('Campo de presiones');
view(2)
axis([0,8,-1,2]);
}}

Obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Apartado4.jpeg]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>

Observamos en el gráfico que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo, las presiones altas están representadas con colores azules y derivados de éste, y las más bajas con tonos anaranjados. Esto es así, porque para mantener el caudal de un fluido viscoso estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre las paredes del canal. Esta diferencia de presión es necesaria debida a la fuerza de arrastre o frenada que ejerce el canal sobre la capa de fluido en contacto con él y la que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. A estas fuerzas las denominamos fuerzas viscosas. El resultado de su presencia, hace que la velocidad del fluido no sea constante a lo largo del canal siendo mayor cerca del centro y menor cerca de las paredes tal como se explicó y demostró en el apartado anterior.

==ROTACIONAL==
Para calcular el rotacional del campo, utilizamos la siguiente expresión:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{u}=-f'(z)\vec{i}</math>, sustituyendo los valores:
<center><math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2 \ {,} \ μ=1</math></center>
Tenemos que:
<math>\nabla\times\vec u=-z+C_1\vec{i}</math>, donde \ C_1 \ ya ha sido calculada anteriormente aplicando las condiciones de contorno y siendo igual a -1/2

Finalmente obtenemos el módulo del rotacional, <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+1/2</math>, como se observa en la expresión, depende del valor de <math>z</math>.
Tomando los valores máximos en los extremos del intervalo en el que está definido <math>z</math>, <math> [0,1]</math>, y el valor mínimo en <math>z=-1/2</math>

Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente recurrimos a Octave,
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(Z-1/2);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

Resultando el siguiente gráfico, donde se representa el rotacional:

[[Archivo:ROTACIONAL.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>
El rotacional muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Por otra parte, el rotacional caracteriza la rotación de un fluido, por lo que en los extremos del canal el efecto de giro será máximo, particularizando en <math>z=0</math> tendrá el valor máximo en el sentido positivo de <math>\vec{i}</math> , lo que implica rotaciones en sentido antihorario, y en <math>z=1</math> no alcanzara ningun valor debido a las hipótesis tomadas en las condiciones de contorno atribuyendo a este 0 mencionadas por e enunciado ,lo que provocará rotaciones en sentido horario. Para el valor <math>z=-1/2</math>, que es un valor fuera de nuestro recinto, el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
Con esto quedan demostradas, las hipótesis anteriores, pues en el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación aparecen representados con colores cálidos, amarillos hacia verde azulado, y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos, azules.

== CAMPO DE TEMPERATURAS==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)cos^2θ</math></center>

Como se observa, la expresión del campo está en coordenadas porlares. Teniendo en cuenta que las relación para pasar de coordenadas polares a cartesianas es:
: <math>x=ρcosθ</math>
: <math>y=ρsenθ</math>

Pero como nosotros estamos en los ejes <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, usaremos:

: <math>y=ρcosθ</math>
: <math>z=ρsenθ</math>
Podemos expresar el campo en coordenadas cartesianas, que es el sistema en el cual estamos trabajando, resultando:
<center><math> T(y{,}z)=1+z^2 e^{-(y^2+z^2-1/2)^2}</math></center>

''' REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS '''

El campo de temperaturas es un campo escalar que representa la distribución espacial de la temperatura asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión <math> T(y{,}z)=1+z^2 e^{-(y^2+z^2-1/2)^2}</math>, por lo tanto no depende del tiempo, se dice que es estacionario, sino exclusivamente de las componentes espaciales <math>(y{,}z)</math>

Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Y.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar

figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:TEMPERATURA2.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]
[[Archivo:TEMPERATURA6.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>
En el gráfico se puede observar que la temperatura es mayor en los valores próximos a <math>z=1</math>, este aparece representado con colores cálidos, mientras que si nos alejamos de este punto la temperatura disminuye.

''' REPRESENTACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL '''

El código utilizado para la representación de este gráfico está expuesto en la representación del campo de temperaturas.

[[Archivo:TEMPERATURA1.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Curvas de nivel de campo]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torono a los puntos <math>z=1</math> y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

La representaciónes anteriores permite determinar que en el punto <math>(y,z)= (0,1)</math> la temperatura es máxima.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:

<center><math>\nabla T(y,z)=-4yz^2e^-(y^2+z^2-\frac{1}{2})\cdot (y^2+z^2-\frac{1}{2})\vec{i}+ e^-(y^2+z^2-\frac{1}{2})\cdot(-4z^3(z^2+y^2+\frac{1}{2})+2z) \vec{k}</math></center>

Como observación, el gradiente analíticamente se calcula como <math>\frac{\partial T(y,z)}{\partial y}</math> siendo ésta la compontente <math>\vec{j}</math> del campo vectorial gradiente y <math>\frac{\partial T(y,z)}{\partial z }</math> la componente <math>\vec{k}</math>.

''' REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL GRADIENTE''''''

El gráfico del gradiente de la temperatura, se ha representado utilizando el siguiente código:
{{Matlab|codigo=

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pX)
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

}}

[[Archivo:TEMPERATURA3.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código Octave utilizado:
{{Matlab|codigo=

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
contour(Y,Z,p,'k');
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

}}
[[Archivo:TEMPERATURA4.PNG|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico afirmamos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero más ampliado para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:TEMPERATURA5.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Para estudiar la variacion de temperatura a lo largo del canal analizamos el gradiente que indica la direccion de crecimiento de la funcion temperatura en cada uno de los puntos. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial (como ya se ha mencionado) junto con las curvas de nivel. Observamos que en torno al punto <math>z=1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a ese punto. Por otra parte, vemos que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel. El gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas, las definiciones anteriores serían contradictorias.

==LÍNEAS DE CORRIENTE==

Las líneas de corriente, son rectas tangentes al campo de velocidad en cada punto.
Para calcular estas rectas, calculamos el campo <math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec u</math>. Dicho campo es:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Las líneas de corriente corresponden con <math>\psi=cte</math>, siendo <math>\psi</math> la función de corriente de <math>\vec{u}</math>. Esta función, es la función potencial o el potencial escalar del que deriva el campo <math>\vec{v}</math>, para calcularlo, lo primero que debemos comprobar es que <math>\vec{v}</math> es irrotacional, pues en caso contario, dicho campo no admitiría función potencial.

'''Demostración <math>\nabla\times\vec v=0</math>'''

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que el campo es irrotacional y ahora ya podemos calcular su función potencial.

''' Cálculo de la función potencial <math>\psi (x,y)</math>''': Busco un campo escalar u tal que \nabla\u=vec v

1. Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

2. Operamos:

<center> <math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

3. Derivamos con respecto a <math>z</math>:

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{-1}{2}(z^2-z) \rightarrow\frac{\partial }{\partial y}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math></center>

4. Resolvemos la ecuación <math>f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math> para obtener <math>f(z)</math>.

<center> <math>f(z)=\int\frac{-1}{2}(z^2-z) \ dz=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

Así,

<center> <math> \psi (y,z)=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)</math></center>

''' Representación gráfica'''

Representamos las líneas <math>\psi=cte</math>
[[Archivo:LINEAS.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

<center> '''¿Coinciden las rectas representadas con las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>?'''</center>

Como se observa en el gráfico, estas líneas son tangentes al campo vectorial <math>\vec{u}</math> en cada punto quedando así demostrado que son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>

''Código Octave utilizado para la representación''
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure 1
lineas=(-1/12)*((2*Z.^3)-(3*Z.^2))
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

==CAUDAL==
El caudal es el volumen de fluido que pasa a travésa del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

{{ referencias }}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Grupo B7: Comportamiento de un fluido sometido a campos escales y vectoriales]]

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Informática]]

Flujo de Couette grupo 21

2023-12-05T17:14:57Z

Teresapereramagre: /* ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido sometido a campos escalares y vectoriales. Grupo 21 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2023-24]] | Raúl Lacruz Rodríguez, Teresa Perera Magre, Natalia Velasco de Vega, Miryam Sánchez-Ferragut Samalea}}
==INTRODUCCIÓN==
Este proyecto tiene como objetivo analizar y representar visualmente tanto campos escalares como vectoriales, que fueron abordados durante el curso de grado, en el contexto de fluidos. En este estudio, nos enfocaremos en un fluido incompresible con fluctuaciones de caudal a lo largo de un canal con paredes horizontales rectas, sometido simultáneamente a tres campos: dos escalares (presión y temperatura) y uno vectorial (velocidad).

La cinemática de los fluidos se centra en el movimiento de estos sin considerar sus causas subyacentes, destacando aspectos como trayectorias, velocidades y aceleraciones. Además, reconocemos que un fluido incompresible mantiene una densidad constante a lo largo del tiempo y posee la capacidad de resistir la compresión en diversas condiciones.

Para llevar a cabo este trabajo, empleamos el programa informático Matlab, el cual nos facilitó la visualización del comportamiento del fluido a través de gráficos.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La superficie en la que nos vamos a basar va a ser [0,8]x[0,1] en <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, por lo que trabajamos en el plano x=0, entonces definimos la y en [0,8] y la z en [0,1], aunque el eje z lo definimos como [-1,2].
Para obsérvalo vamos a recurrir a octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[yy,zz]=meshgrid(y,z); %mallado ZY
hold on
mesh(yy,zz,0.*yy); %representar el canal
axis([0,8,-1,2]);
axis equal
view(2);
title ('Mallado del canal');
hold off
}}

La superficie de trabajo es la que se muestra en la siguiente imagen:

[[Archivo:Apartado1.jpeg]]

==ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA==
En el ámbito de la dinámica de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes son expresiones matemáticas que describen el movimiento tridimensional de sustancias fluidas viscosas.
Estas ecuaciones encuentran aplicaciones diversas, siendo utilizadas para prever fenómenos como el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en sistemas de tuberías o reactores, así como en el análisis del flujo sanguíneo, entre otros usos, como el diseño de submarinos.
En esta sección específica, nuestro propósito es demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sujeto el fluido cumplen con la ecuación estacionaria de Navier-Stokes. Esto implicaría que el fluido es incompresible, ya que estas ecuaciones modelan el comportamiento de los fluidos newtonianos, es decir, aquellos en los que la resistencia a deformaciones puede considerarse constante a lo largo del tiempo.

La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:
<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Trabajando en componentes tenemos que:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> , <math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math>,
<math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math>

En nuestro caso, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math> es el campo vectorial velocidad , <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido.

Para la demostración, se trabajará en componentes respecto de la base cartesiana <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>.

El primer término de la ecuación será:
<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

Sustituyendo, nuestro campo y operando tenemos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z) \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

Cálculamos ahora, el gradiente del campo de presiones, <math>\nabla p</math>, siendo <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math>

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por último, calculamos el Laplaciano,<math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center>''Decidimos emplear esta expresión para calcular el Laplaciano y no calcularlo como el gradiente de la divergencia, porque entre sus términos, además de la divergencia, aparece el rotacional; operadores que se desarrollaran y serán útiles a lo largo del proyecto.''</center>

1. Cálculo de la divergergencia:
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

<center>'''¿Qué siginifica que la divergencia sea nula?''' </center>

Obtenemos que el fluido es incompresible, pues la condición de incompresibilidad es <math>\nabla \cdot \vec{u}=0</math>. Teniendo en cuenta que la divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo, ésta al ser nula, conlleva que el movimiento de las partículas no afecta al volumen provocando que la densidad permanezca constante en el tiempo, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible ya mencionada anteriormente.

2. Cálculo del rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

3. Cálculo de <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math> (doble rotacional)
<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos los resultados anteriores en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos que:

<center><math>\Delta\vec{u}=-f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos por último, todos los términos en la expresión de la ecuación de Navier-Stokes estacionaria <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math>; resultando:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z) \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por lo que:

<center><math>f''(z)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{μ}=\frac{p_1-p_2}{-μ}\vec{j}</math></center>

Para averiguar f(z) tenemos que integrar 2 veces sobre <math>\frac{p_1-p_2}{-μ}</math>. Al hacerlo y aplicando las condiciones de contorno proporcionadas por el enunciado donde f(z=0)=v y f(z=1)=0:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

<center><math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2\ {,} \ μ=1 \ {,} \ v=1</math></center>

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

<center><math>\vec{u}(y,z)=(1-z)(1+ \frac{(2-1)z}{2})\vec{j}</math></center>
<center><math>\vec{u}(y,z)=(4-3z-z^2)\vec{j}</math></center>

Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:
{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((z.^2-z))./(-2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(Y,Z,U,V);
}}

Resultando el siguiente gráfico:

[[Archivo:VELOCIDAD.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Lo primero que observamos, es que la velocidad es nula en las paredes del canal pues en <math>z=1</math> y <math>z=0</math> no existen líneas de campo, como ya habíamos demostrado analíticamente. Además, en las deducciones previas habíamos asegurado que la velocidad sería paralela a las paredes del canal, cosa que también observamos en la gráfica, pues las líneas de campo son paralelas a las rectas <math>z=1</math> y <math>z=0</math> que coinciden con las paredes del canal.

Por otro lado, se observa que la velocidad máxima se alcanza en <math>z=1/2</math> como a continuación se demuestra analíticamente.

=== CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j} \mapsto \frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z} , z=-1/2 </math></center>

Igualando a 0, las derivadas anteriores, obtenemos que la velocidad máxima se obtienen en los puntos de la recta <math>z=-1/2</math>, interpretando así que la velocidad será máxima fuera del recinto propuesto coincidiendo así con el máximo de dicha función parabólica.

==CAMPO DE PRESIONES==
El campo de presiones al que está sometido nuestro fluido es un campo escalar, con las siguiente expresión:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>
Para representarlo gráficamente se consideran nuevamente los valores:
<math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2 \ {,} \ μ=1\ {,} \ v=1 </math>
.Obteniendo, por tanto:
<center><math> p(x,y,z)=y</math></center>

Implementado el código siguiente en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
p=Y;
surf(Y,Z,p)
title('Campo de presiones');
view(2)
axis([0,8,-1,2]);
}}

Obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Apartado4.jpeg]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>

Observamos en el gráfico que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo, las presiones altas están representadas con colores cálidos y las más bajas con colores fríos. Esto es así, porque para mantener el caudal de un fluido viscoso estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre las paredes del canal. Esta diferencia de presión es necesaria debida a la fuerza de arrastre o frenada que ejerce el canal sobre la capa de fluido en contacto con él y la que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. A estas fuerzas las denominamos fuerzas viscosas. El resultado de su presencia, hace que la velocidad del fluido no sea constante a lo largo del canal siendo mayor cerca del centro y menor cerca de las paredes tal como se explicó y demostró en el apartado anterior.

==ROTACIONAL==
Para calcular el rotacional del campo, utilizamos la siguiente expresión:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{(z^2-z)\cdot(p_1-p_2)}{-2μ} & 0 \end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{u}=(2z-1)\frac{(p_1-p_2)}{2μ}\vec{k}</math>, sustituyendo los valores:
<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>
Tenemos que:
<math>\nabla\times\vec u=(z-1/2)\vec{i}</math>, siendo el módulo del rotacional, <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z-1/2</math>, como se observa en la expresión, depende del valor de <math>z</math>. Tomando los valores máximos en los extremos del intervalo en el que está definido <math>z</math>, <math> [0,1]</math>, y el valor mínimo en <math>z=1/2</math>

Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente recurrimos a Octave,
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(Z-1/2);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

Resultando el siguiente gráfico, donde se representa el rotacional:

[[Archivo:ROTACIONAL.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>
El rotacional muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Por otra parte, el rotacional caracteriza la rotación de un fluido, por lo que en los extremos del canal el efecto de giro será máximo, particularizando en <math>z=1</math> tendrá el valor máximo en el sentido positivo de <math>\vec{i}</math> , lo que implica rotaciones en sentido antihorario, y en <math>z=0</math> alcanzará también el valor máximo, pero en el sentido negativo de <math>\vec{i}</math> ,lo que provocará rotaciones en sentido horario. Para el valor <math>z=1/2</math>, que es un valor intermedio el rotacional es nulo y este punto coindice con la velocidad máxima.
Con esto quedan demostradas, las hipótesis anteriores, pues en el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación aparecen representados con colores cálidos, amarillos hacia verde azulado, y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos, azules. Situados los primeros, en torno a las paredes del canal y los segundos en torno al centro del canal, <math>z=0</math>, <math>z=1</math> e <math>z=1/2</math>, respectivamente.

== CAMPO DE TEMPERATURAS==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=1+ρ^2 sen^2θ e^{-(ρ^2-1/2)^2}</math></center>

Como se observa, la expresión del campo está en coordenadas porlares. Teniendo en cuenta que las relación para pasar de coordenadas polares a cartesianas es:
: <math>x=ρcosθ</math>
: <math>y=ρsenθ</math>

Pero como nosotros estamos en los ejes <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, usaremos:

: <math>y=ρcosθ</math>
: <math>z=ρsenθ</math>
Podemos expresar el campo en coordenadas cartesianas, que es el sistema en el cual estamos trabajando, resultando:
<center><math> T(y{,}z)=1+z^2 e^{-(y^2+z^2-1/2)^2}</math></center>

''' REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS '''

El campo de temperaturas es un campo escalar que representa la distribución espacial de la temperatura asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión <math> T(y{,}z)=1+z^2 e^{-(y^2+z^2-1/2)^2}</math>, por lo tanto no depende del tiempo, se dice que es estacionario, sino exclusivamente de las componentes espaciales <math>(y{,}z)</math>

Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Y.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar

figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:TEMPERATURA2.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]
[[Archivo:TEMPERATURA6.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>
En el gráfico se puede observar que la temperatura es mayor en los valores próximos a <math>z=1</math>, este aparece representado con colores cálidos, mientras que si nos alejamos de este punto la temperatura disminuye.

''' REPRESENTACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL '''

El código utilizado para la representación de este gráfico está expuesto en la representación del campo de temperaturas.

[[Archivo:TEMPERATURA1.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Curvas de nivel de campo]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torono a los puntos <math>z=1</math> y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

La representaciónes anteriores permite determinar que en el punto <math>(y,z)= (0,1)</math> la temperatura es máxima.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:

<center><math>\nabla T(y,z)=-4yz^2e^-(y^2+z^2-\frac{1}{2})\cdot (y^2+z^2-\frac{1}{2})\vec{i}+ e^-(y^2+z^2-\frac{1}{2})\cdot(-4z^3(z^2+y^2+\frac{1}{2})+2z) \vec{k}</math></center>

Como observación, el gradiente analíticamente se calcula como <math>\frac{\partial T(y,z)}{\partial y}</math> siendo ésta la compontente <math>\vec{j}</math> del campo vectorial gradiente y <math>\frac{\partial T(y,z)}{\partial z }</math> la componente <math>\vec{k}</math>.

''' REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL GRADIENTE''''''

El gráfico del gradiente de la temperatura, se ha representado utilizando el siguiente código:
{{Matlab|codigo=

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pX)
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

}}

[[Archivo:TEMPERATURA3.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código Octave utilizado:
{{Matlab|codigo=

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
contour(Y,Z,p,'k');
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

}}
[[Archivo:TEMPERATURA4.PNG|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico afirmamos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero más ampliado para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:TEMPERATURA5.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Para estudiar la variacion de temperatura a lo largo del canal analizamos el gradiente que indica la direccion de crecimiento de la funcion temperatura en cada uno de los puntos. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial (como ya se ha mencionado) junto con las curvas de nivel. Observamos que en torno al punto <math>z=1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a ese punto. Por otra parte, vemos que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel. El gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas, las definiciones anteriores serían contradictorias.

==LÍNEAS DE CORRIENTE==

Las líneas de corriente, son rectas tangentes al campo de velocidad en cada punto.
Para calcular estas rectas, calculamos el campo <math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec u</math>. Dicho campo es:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Las líneas de corriente corresponden con <math>\psi=cte</math>, siendo <math>\psi</math> la función de corriente de <math>\vec{u}</math>. Esta función, es la función potencial o el potencial escalar del que deriva el campo <math>\vec{v}</math>, para calcularlo, lo primero que debemos comprobar es que <math>\vec{v}</math> es irrotacional, pues en caso contario, dicho campo no admitiría función potencial.

'''Demostración <math>\nabla\times\vec v=0</math>'''

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que el campo es irrotacional y ahora ya podemos calcular su función potencial.

''' Cálculo de la función potencial <math>\psi (x,y)</math>''': Busco un campo escalar u tal que \nabla\u=vec v

1. Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

2. Operamos:

<center> <math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

3. Derivamos con respecto a <math>z</math>:

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{-1}{2}(z^2-z) \rightarrow\frac{\partial }{\partial y}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math></center>

4. Resolvemos la ecuación <math>f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math> para obtener <math>f(z)</math>.

<center> <math>f(z)=\int\frac{-1}{2}(z^2-z) \ dz=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

Así,

<center> <math> \psi (y,z)=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)</math></center>

''' Representación gráfica'''

Representamos las líneas <math>\psi=cte</math>
[[Archivo:LINEAS.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

<center> '''¿Coinciden las rectas representadas con las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>?'''</center>

Como se observa en el gráfico, estas líneas son tangentes al campo vectorial <math>\vec{u}</math> en cada punto quedando así demostrado que son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>

''Código Octave utilizado para la representación''
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure 1
lineas=(-1/12)*((2*Z.^3)-(3*Z.^2))
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

==CAUDAL==
El caudal es el volumen de fluido que pasa a travésa del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

{{ referencias }}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Grupo B7: Comportamiento de un fluido sometido a campos escales y vectoriales]]

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Informática]]

Flujo de Couette grupo 21

2023-12-05T17:14:24Z

Teresapereramagre: /* ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA */

{{ TrabajoED | Comportamiento de un fluido sometido a campos escalares y vectoriales. Grupo 21 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2023-24]] | Raúl Lacruz Rodríguez, Teresa Perera Magre, Natalia Velasco de Vega, Miryam Sánchez-Ferragut Samalea}}
==INTRODUCCIÓN==
Este proyecto tiene como objetivo analizar y representar visualmente tanto campos escalares como vectoriales, que fueron abordados durante el curso de grado, en el contexto de fluidos. En este estudio, nos enfocaremos en un fluido incompresible con fluctuaciones de caudal a lo largo de un canal con paredes horizontales rectas, sometido simultáneamente a tres campos: dos escalares (presión y temperatura) y uno vectorial (velocidad).

La cinemática de los fluidos se centra en el movimiento de estos sin considerar sus causas subyacentes, destacando aspectos como trayectorias, velocidades y aceleraciones. Además, reconocemos que un fluido incompresible mantiene una densidad constante a lo largo del tiempo y posee la capacidad de resistir la compresión en diversas condiciones.

Para llevar a cabo este trabajo, empleamos el programa informático Matlab, el cual nos facilitó la visualización del comportamiento del fluido a través de gráficos.

==SUPERFICIE DE TRABAJO==
La superficie en la que nos vamos a basar va a ser [0,8]x[0,1] en <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, por lo que trabajamos en el plano x=0, entonces definimos la y en [0,8] y la z en [0,1], aunque el eje z lo definimos como [-1,2].
Para obsérvalo vamos a recurrir a octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[yy,zz]=meshgrid(y,z); %mallado ZY
hold on
mesh(yy,zz,0.*yy); %representar el canal
axis([0,8,-1,2]);
axis equal
view(2);
title ('Mallado del canal');
hold off
}}

La superficie de trabajo es la que se muestra en la siguiente imagen:

[[Archivo:Apartado1.jpeg]]

==ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ESTACIONARIA==
En el ámbito de la dinámica de fluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes son expresiones matemáticas que describen el movimiento tridimensional de sustancias fluidas viscosas.
Estas ecuaciones encuentran aplicaciones diversas, siendo utilizadas para prever fenómenos como el clima, las corrientes oceánicas, el flujo de agua en sistemas de tuberías o reactores, así como en el análisis del flujo sanguíneo, entre otros usos, como el diseño de submarinos.
En esta sección específica, nuestro propósito es demostrar que el campo de velocidad y el campo de presión al que está sujeto el fluido cumplen con la ecuación estacionaria de Navier-Stokes. Esto implicaría que el fluido es incompresible, ya que estas ecuaciones modelan el comportamiento de los fluidos newtonianos, es decir, aquellos en los que la resistencia a deformaciones puede considerarse constante a lo largo del tiempo.

La ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:
<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Trabajando en componentes tenemos que:

<math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> , <math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math>,
<math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math>

En nuestro caso, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math> es el campo vectorial velocidad , <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido.

Para la demostración, se trabajará en componentes respecto de la base cartesiana <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>.

El primer término de la ecuación será:
<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

Susutituyendo, nuestro campo y operando tenemos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z) \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

Cálculamos ahora, el gradiente del campo de presiones, <math>\nabla p</math>, siendo <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math>

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por último, calculamos el Laplaciano,<math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades, <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

<center>''Decidimos emplear esta expresión para calcular el Laplaciano y no calcularlo como el gradiente de la divergencia, porque entre sus términos, además de la divergencia, aparece el rotacional; operadores que se desarrollaran y serán útiles a lo largo del proyecto.''</center>

1. Cálculo de la divergergencia:
<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

<center>'''¿Qué siginifica que la divergencia sea nula?''' </center>

Obtenemos que el fluido es incompresible, pues la condición de incompresibilidad es <math>\nabla \cdot \vec{u}=0</math>. Teniendo en cuenta que la divergencia mide el cambio de volumen del fluido inducido por el campo, ésta al ser nula, conlleva que el movimiento de las partículas no afecta al volumen provocando que la densidad permanezca constante en el tiempo, coincidiendo con la definición dada de fluido incompresible ya mencionada anteriormente.

2. Cálculo del rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

3. Cálculo de <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math> (doble rotacional)
<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos los resultados anteriores en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos que:

<center><math>\Delta\vec{u}=-f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituimos por último, todos los términos en la expresión de la ecuación de Navier-Stokes estacionaria <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math>; resultando:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z) \\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

Por lo que:

<center><math>f''(z)\vec{j}=\frac{p_2-p_1}{μ}=\frac{p_1-p_2}{-μ}\vec{j}</math></center>

Para averiguar f(z) tenemos que integrar 2 veces sobre <math>\frac{p_1-p_2}{-μ}</math>. Al hacerlo y aplicando las condiciones de contorno proporcionadas por el enunciado donde f(z=0)=v y f(z=1)=0:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

==CAMPO DE VELOCIDADES==
Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

<center><math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2\ {,} \ μ=1 \ {,} \ v=1</math></center>

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

<center><math>\vec{u}(y,z)=(1-z)(1+ \frac{(2-1)z}{2})\vec{j}</math></center>
<center><math>\vec{u}(y,z)=(4-3z-z^2)\vec{j}</math></center>

Para su representación se ha implementado en Octave, el siguiente código:
{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((z.^2-z))./(-2)','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
axis([0,8,-1,2]);
quiver(Y,Z,U,V);
}}

Resultando el siguiente gráfico:

[[Archivo:VELOCIDAD.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Lo primero que observamos, es que la velocidad es nula en las paredes del canal pues en <math>z=1</math> y <math>z=0</math> no existen líneas de campo, como ya habíamos demostrado analíticamente. Además, en las deducciones previas habíamos asegurado que la velocidad sería paralela a las paredes del canal, cosa que también observamos en la gráfica, pues las líneas de campo son paralelas a las rectas <math>z=1</math> y <math>z=0</math> que coinciden con las paredes del canal.

Por otro lado, se observa que la velocidad máxima se alcanza en <math>z=1/2</math> como a continuación se demuestra analíticamente.

=== CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO===
Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j} \mapsto \frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z} , z=-1/2 </math></center>

Igualando a 0, las derivadas anteriores, obtenemos que la velocidad máxima se obtienen en los puntos de la recta <math>z=-1/2</math>, interpretando así que la velocidad será máxima fuera del recinto propuesto coincidiendo así con el máximo de dicha función parabólica.

==CAMPO DE PRESIONES==
El campo de presiones al que está sometido nuestro fluido es un campo escalar, con las siguiente expresión:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>
Para representarlo gráficamente se consideran nuevamente los valores:
<math>p_1=1 \ {,} \ p_2=2 \ {,} \ μ=1\ {,} \ v=1 </math>
.Obteniendo, por tanto:
<center><math> p(x,y,z)=y</math></center>

Implementado el código siguiente en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8; %vector y
z=0:0.1:1; %vector z
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
p=Y;
surf(Y,Z,p)
title('Campo de presiones');
view(2)
axis([0,8,-1,2]);
}}

Obtenemos el siguiente gráfico:

[[Archivo:Apartado4.jpeg]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>

Observamos en el gráfico que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo, las presiones altas están representadas con colores cálidos y las más bajas con colores fríos. Esto es así, porque para mantener el caudal de un fluido viscoso estable debe mantenerse una diferencia de presiones entre las paredes del canal. Esta diferencia de presión es necesaria debida a la fuerza de arrastre o frenada que ejerce el canal sobre la capa de fluido en contacto con él y la que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. A estas fuerzas las denominamos fuerzas viscosas. El resultado de su presencia, hace que la velocidad del fluido no sea constante a lo largo del canal siendo mayor cerca del centro y menor cerca de las paredes tal como se explicó y demostró en el apartado anterior.

==ROTACIONAL==
Para calcular el rotacional del campo, utilizamos la siguiente expresión:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & \frac{(z^2-z)\cdot(p_1-p_2)}{-2μ} & 0 \end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{u}=(2z-1)\frac{(p_1-p_2)}{2μ}\vec{k}</math>, sustituyendo los valores:
<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>
Tenemos que:
<math>\nabla\times\vec u=(z-1/2)\vec{i}</math>, siendo el módulo del rotacional, <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z-1/2</math>, como se observa en la expresión, depende del valor de <math>z</math>. Tomando los valores máximos en los extremos del intervalo en el que está definido <math>z</math>, <math> [0,1]</math>, y el valor mínimo en <math>z=1/2</math>

Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente recurrimos a Octave,
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(Z-1/2);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

Resultando el siguiente gráfico, donde se representa el rotacional:

[[Archivo:ROTACIONAL.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

<center> '''INTERPRETACIÓN''' </center>
El rotacional muestra la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Por otra parte, el rotacional caracteriza la rotación de un fluido, por lo que en los extremos del canal el efecto de giro será máximo, particularizando en <math>z=1</math> tendrá el valor máximo en el sentido positivo de <math>\vec{i}</math> , lo que implica rotaciones en sentido antihorario, y en <math>z=0</math> alcanzará también el valor máximo, pero en el sentido negativo de <math>\vec{i}</math> ,lo que provocará rotaciones en sentido horario. Para el valor <math>z=1/2</math>, que es un valor intermedio el rotacional es nulo y este punto coindice con la velocidad máxima.
Con esto quedan demostradas, las hipótesis anteriores, pues en el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación aparecen representados con colores cálidos, amarillos hacia verde azulado, y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos, azules. Situados los primeros, en torno a las paredes del canal y los segundos en torno al centro del canal, <math>z=0</math>, <math>z=1</math> e <math>z=1/2</math>, respectivamente.

== CAMPO DE TEMPERATURAS==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=1+ρ^2 sen^2θ e^{-(ρ^2-1/2)^2}</math></center>

Como se observa, la expresión del campo está en coordenadas porlares. Teniendo en cuenta que las relación para pasar de coordenadas polares a cartesianas es:
: <math>x=ρcosθ</math>
: <math>y=ρsenθ</math>

Pero como nosotros estamos en los ejes <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, usaremos:

: <math>y=ρcosθ</math>
: <math>z=ρsenθ</math>
Podemos expresar el campo en coordenadas cartesianas, que es el sistema en el cual estamos trabajando, resultando:
<center><math> T(y{,}z)=1+z^2 e^{-(y^2+z^2-1/2)^2}</math></center>

''' REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS '''

El campo de temperaturas es un campo escalar que representa la distribución espacial de la temperatura asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión <math> T(y{,}z)=1+z^2 e^{-(y^2+z^2-1/2)^2}</math>, por lo tanto no depende del tiempo, se dice que es estacionario, sino exclusivamente de las componentes espaciales <math>(y{,}z)</math>

Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Y.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar

figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k');
grid on
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:TEMPERATURA2.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]
[[Archivo:TEMPERATURA6.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>
En el gráfico se puede observar que la temperatura es mayor en los valores próximos a <math>z=1</math>, este aparece representado con colores cálidos, mientras que si nos alejamos de este punto la temperatura disminuye.

''' REPRESENTACIÓN DE LAS CURVAS DE NIVEL '''

El código utilizado para la representación de este gráfico está expuesto en la representación del campo de temperaturas.

[[Archivo:TEMPERATURA1.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Curvas de nivel de campo]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torono a los puntos <math>z=1</math> y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

La representaciónes anteriores permite determinar que en el punto <math>(y,z)= (0,1)</math> la temperatura es máxima.

===GRADIENTE DEL CAMPO DE TEMPERATURAS===
El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>, en nuestro caso:

<center><math>\nabla T(y,z)=-4yz^2e^-(y^2+z^2-\frac{1}{2})\cdot (y^2+z^2-\frac{1}{2})\vec{i}+ e^-(y^2+z^2-\frac{1}{2})\cdot(-4z^3(z^2+y^2+\frac{1}{2})+2z) \vec{k}</math></center>

Como observación, el gradiente analíticamente se calcula como <math>\frac{\partial T(y,z)}{\partial y}</math> siendo ésta la compontente <math>\vec{j}</math> del campo vectorial gradiente y <math>\frac{\partial T(y,z)}{\partial z }</math> la componente <math>\vec{k}</math>.

''' REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL GRADIENTE''''''

El gráfico del gradiente de la temperatura, se ha representado utilizando el siguiente código:
{{Matlab|codigo=

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pX)
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

}}

[[Archivo:TEMPERATURA3.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código Octave utilizado:
{{Matlab|codigo=

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
contour(Y,Z,p,'k');
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off

}}
[[Archivo:TEMPERATURA4.PNG|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico afirmamos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero más ampliado para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:TEMPERATURA5.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

Para estudiar la variacion de temperatura a lo largo del canal analizamos el gradiente que indica la direccion de crecimiento de la funcion temperatura en cada uno de los puntos. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial (como ya se ha mencionado) junto con las curvas de nivel. Observamos que en torno al punto <math>z=1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a ese punto. Por otra parte, vemos que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel. El gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas, las definiciones anteriores serían contradictorias.

==LÍNEAS DE CORRIENTE==

Las líneas de corriente, son rectas tangentes al campo de velocidad en cada punto.
Para calcular estas rectas, calculamos el campo <math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec u</math>. Dicho campo es:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Las líneas de corriente corresponden con <math>\psi=cte</math>, siendo <math>\psi</math> la función de corriente de <math>\vec{u}</math>. Esta función, es la función potencial o el potencial escalar del que deriva el campo <math>\vec{v}</math>, para calcularlo, lo primero que debemos comprobar es que <math>\vec{v}</math> es irrotacional, pues en caso contario, dicho campo no admitiría función potencial.

'''Demostración <math>\nabla\times\vec v=0</math>'''

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>
Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que el campo es irrotacional y ahora ya podemos calcular su función potencial.

''' Cálculo de la función potencial <math>\psi (x,y)</math>''': Busco un campo escalar u tal que \nabla\u=vec v

1. Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

2. Operamos:

<center> <math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

3. Derivamos con respecto a <math>z</math>:

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{-1}{2}(z^2-z) \rightarrow\frac{\partial }{\partial y}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math></center>

4. Resolvemos la ecuación <math>f'(z)=\frac{-1}{2}(z^2-z)</math> para obtener <math>f(z)</math>.

<center> <math>f(z)=\int\frac{-1}{2}(z^2-z) \ dz=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

Así,

<center> <math> \psi (y,z)=\frac{-1}{12}(2z^3-3z^2)</math></center>

''' Representación gráfica'''

Representamos las líneas <math>\psi=cte</math>
[[Archivo:LINEAS.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

<center> '''¿Coinciden las rectas representadas con las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>?'''</center>

Como se observa en el gráfico, estas líneas son tangentes al campo vectorial <math>\vec{u}</math> en cada punto quedando así demostrado que son las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>

''Código Octave utilizado para la representación''
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure 1
lineas=(-1/12)*((2*Z.^3)-(3*Z.^2))
contour (Y,Z,lineas)
axis([0,8,-1,2])
view (2)
}}

==CAUDAL==
El caudal es el volumen de fluido que pasa a travésa del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

{{ referencias }}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Grupo B7: Comportamiento de un fluido sometido a campos escales y vectoriales]]

[[Categoría:TC23/24]]
[[Categoría:Informática]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-11-30T16:13:26Z

Teresapereramagre:

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_22/23|Curso 22/23]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

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Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==

== Metodología ==

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_22/23]]

Análisis de alternativas de carriles bici sobre los canales de Isabel ll

2023-11-30T16:12:43Z

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[[Categoría:SIGAIC_22/23]]

Grupo B9-T2: Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D

2021-12-09T08:04:46Z

Teresapereramagre: /* Tensiones normales en dirección del eje \vec k */

{{ TrabajoED | Grupo B9-T2:

Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Álvaro Parrilla

Alfonso Esplá

Teresa Perera

Pablo Sotos}}
<big>'''Enunciado del Trabajo 2:'''</big> 
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región '''(x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]'''.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

La temperatura T(x, y), que viene dada por: <math>T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> ; y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición del punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos

<math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>

donde f(y) es una función que no conocemos.

== Representación del sólido 2D ==

Para la representación del sólido delimitado por '''(x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]''', hemos dibujado un mallado como paso de muestreo de <math> h=\frac {1}{2} </math> para las variables x e y.
[[Archivo:Representación_del_sólido.jpg|350px|thumb|right|Representación del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Mallado (x,y) = (0,10)x(-1,1)
% Región del sólido
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];
z=[0:0];
% Matriz de la región
[Mx,My,Mz]= meshgrid(x,y,z);
% Mallado
figure(1)
mesh(Mx,My,Mz);
% Gráfico ajustado
axis([-0.5 10.5 -1.5 1.5]);
view(0,90);
title('Sólido 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Líneas de nivel de la temperatura definida como un campo escalar y temperatura máxima ==

La distribución de temperatura en el sólido viene dada por una función escalar en coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en 2D): <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math>

Está distribución se puede resolver de dos formas:

'''Forma 1:''' Para que nos sea más fácil cálcularla y aplicarla en el sólido, convertiremos las coordenadas cilíndricas en cartesianas. <math> T(x,y) = x \sqrt{x^2+y^2}\ - 4x + \frac {4x}{\sqrt{x^2+y^2}} </math>

Una vez convertida, ya podríamos dibujarlo en la gráfica.

[[Archivo:Curvasdenivel2.jpg|350px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura (forma 1 y 2)]]

{{matlab|codigo=
% Temperatura en cartesianas
% Definimos parámetros y creamos las matrices
h=1/10;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Definimos la función de temperatura
T= Mx.* sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx+4*(Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2));
% Dibujamos las líneas de nivel
figure(1)
contour(Mx,My,T)
axis([-0.5 10.5 -1.5 1.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('EjeY')
colorbar
title('Curvas de nivel de la temperatura')
}}

Forma 2:

La segunda forma de resolverlo es un poco más tediosa, pero se obtiene lo mismo. Primero parametrizamos la región de interés en cartesianas, luego convertimos estas coordenadas en cilíndricas, aplicamos la función escalar de temperatura: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> , y por último dibujamos las curvas de nivel '''"contour(Mx,My,T)"'''

{{matlab|codigo=
%Curvas de nivel de la temperatura en cilíndricas
% Creo los vectores
h= 1/10;
x= 0:h:10;
y= -1:h:1;
%Creo las matrices
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Convierto cada matriz a coordenadas cilíndricas
Mp = sqrt(Mx.^2+My.^2);
Mtt= atan(My./Mx);
%Aplico la fórmula de la temperatura
T=(Mp-2).^2.*cos(Mtt);
%Creo las curvas de nivel
figure(1)
contour(Mx,My,T);
axis([-0.5 10.5 -1.5 1.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('EjeY')
colorbar
title('Curvas de nivel de la temperatura')
}}

== Cálculo y representación del Gradiente de la temperatura ==

== Cálculo del campo de desplazamientos <math>\vec u </math> ==

== Representación del campo vectorial en los puntos del sólido ==

A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos000.jpg|400px|thumb|right|Campo de desplazamientos]]

{{matlab|codigo=
u=0:0.1:10;
v=-1:0.1:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos el vector desplazamiento
Ux= (My.^2)/80;
Uy= Mx.*My /40;
%Representamos el campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Campo de desplazamientos')
}}

== Situación inicial y final del sólido ==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superposición de las imágenes con la función plot3 para que se pueda apreciar visualmente la deformación

[[Archivo:comparacion_del_desplazamiento.jpg|centro]]

{{matlab|codigo=
u=0:0.1:10;
v=-1:0.1:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= My.^2/80 ;
Uy= Mx.*My /40 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(1,3,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Despues del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparacion')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Divergencia máxima, mínima y nula de <math>\vec u </math> ==
Ahora procedemos a dibujar la divergencia del vector <math>\vec u </math>, <math>\nabla · \vec u </math> , y determinar analíticamente los puntos en los que es máxima, mínima y nula.
Procedemos a calcularla analíticamente: dado el vector
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> , la divergencia: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:figura_de_divergencia.png|centro]]

{{matlab|codigo=
u=0:0.1:10;
v=-1:0.1:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Representamos la divergencia
div= Mx./40;
surf(Mx,My, div);
axis ([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
axis equal
view(2)
xlabel('X')
ylabel('Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}

La divergencia es máxima en x=10, y su valor es 0,25. Por otro lado, será mínima (y nula) en x=0

== Módulo del rotacional de <math>\vec u </math> ==
Calculamos el |∇× <math>\vec u </math> | en todos los puntos del sólido.

Sabiendo que:

<math> f(y) =\frac{y}{40} </math>

<math> \vec{u} (x,y) = \frac {y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j = \frac {y^2}{80}\vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u =\left|
\begin{matrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

El rotacional es nulo, por lo que su módulo también lo es y no existe rotación en la placa.

== Cálculo del tensor de tensiones y representación de este en la base física cartesiana ==

La fórmula que aplicaremos para el cálculo del tensor de tensiones es:

<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>

Donde λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. En este caso ambos coeficientes valen 1.

Primero, para calcular la <math>\epsilon</math>, obtendremos el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math> \vec{u} (x,y) =\frac {y^2}{80}\vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u =\left (
\begin{matrix} \frac{\partial{u_1}}{\partial{x}} & \frac{\partial{u_1}}{\partial{y}} & \frac{\partial{u_1}}{\partial{z}} \\ & \\
\frac{\partial{u_2}}{\partial{x}} & \frac{\partial{u_2}}{\partial{y}} & \frac{\partial{u_2}}{\partial{z}} \\ & \\
\frac{\partial{u_3}}{\partial{x}} & \frac{\partial{u_3}}{\partial{y}} & \frac{\partial{u_3}}{\partial{z}} \end{matrix} \right ) =
\left ( \begin{matrix} 0 & \frac{y}{40} & 0 \\ & \\
\frac{y}{40} & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )
</math>

Al ser una matriz simétrica, su traspuesto es la misma matriz:

<math>\nabla \vec u ^t=
\left ( \begin{matrix} 0 & \frac{y}{40} & 0 \\ & \\
\frac{y}{40} & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )
</math>

Por lo que la matriz simétrica es ella misma, aplicando la fórmula:

<math>\epsilon(\vec u) = \frac{1}{2} (∇\vec u + ∇\vec u ^t)</math>

Obtenemos:

<math>\epsilon(\vec u)=
\left ( \begin{matrix} 0 & \frac{y}{40} & 0 \\ & \\
\frac{y}{40} & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )
</math>

Con esto ya tendríamos todos los datos necesarios (la <math> \nabla · \vec u </math> ya la hemos obtenido en apartados anteriores), solo nos falta sustituir en la fórmula:

<math>\sigma_{ij} = \left(
\begin{matrix} \frac{x}{40} & 0 & 0 \\ & \\
0 & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & \frac{x}{40} \end{matrix} \right ) + 2 ·
\left ( \begin{matrix} 0 & \frac{y}{40} & 0 \\ & \\
\frac{y}{40} & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & 0 \end{matrix} \right ) =
\left ( \begin{matrix} \frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0 \\ & \\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & \frac{x}{40} \end{matrix} \right )
</math>

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac{x}{40}</math>

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{3x}{40}</math>

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{x}{40}</math>

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i </math> ==

Para poder obtener las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i </math>, aplicaremos la fórmula:

<math>\left | \sigma \cdot \vec i - (\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i ) \vec i \right |</math>

sustituyendo los datos del apartado anterior.

<math>\left | \sigma \cdot \vec i - (\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i ) \vec i \right | =
\left | \left ( \begin{matrix} \frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0 \\ & \\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & \frac{x}{40} \end{matrix} \right )
\left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{x}{40}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | = \frac {y}{20} </math>

== Cálculo y representación de la tensión de Von Mises <math>(σ_{VM})</math> ==

=== Fórmula ===

=== Autovalores ===

=== Cálculo y representación ===

=== Máximo valor de <math>σ_{VM}</math> ===

== Cálculo y representación del campo de fuerzas <math>\vec F </math> que actúa sobre la placa ==

El campo de fuerzas <math>\vec F </math>, es el causante del desplazamiento observado. Este se aproxima con la ecuación de elasticidad lineal:

<math>\vec {F}=-\nabla \cdot σ </math>

La divergencia del campo tensorial "σ", con signo negativo, es la fuerza aplicada en la placa.

=== Representación del campo ===

Para su cálculo, una vez definido el campo tensorial: <math> \sigma_{i,j}</math> = \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular la divergencia del campo, sumamos las derivadas de cada fila de la matriz de componentes del tensor σ, respecto a "x" (la primera columna), "y" (la segunda columna) y "z" (la tercera columna). Así obtendremos un campo vectorial teniendo como componentes: <math> F_1,F_2,F_3</math> correspondientes al vector <math> \vec F</math>

<math> F_1 = - \frac{\partial σ_{j1}}{\partial x} = -\frac{3}{40}</math> --> correspondiente a <math>\vec i</math>

<math> F_2 = - \frac{\partial σ_{j2}}{\partial y} = 0</math> --> correspondiente a <math>\vec j</math>

<math> F_3 = - \frac{\partial σ_{j3}}{\partial z} = 0</math> --> correspondiente a <math>\vec k</math>

Finalmente obtenemos:

<math> \vec F = -\frac{3}{40} \vec i </math>

=== Interpretación de la gráfica ===

Al dibujar la gráfica de este campo vectorial, observamos que la fuerza que actúa para deformar la placa tiene la dirección, pero el sentido contrario al vector <math>\vec i </math>. Esta fuerza hace que el extremo izquierdo de la placa no se vea perjudicado (x=0), pero a medida que te hacercas al extremo x=10, existe una deformación progresiva del sólido, siendo máxima en este extremo.

[[Archivo:Campodefuerzas1.jpg|350px|thumb|right|Representación del campo de fuerzas <math>\vec F </math>]]

{{matlab|codigo=
%Representamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Componentes del campo vectorial F
Fx= -3/40+0*Mx;
Fy= 0*My;
%Representamos el campo de Fuerzas F
figure(1)
quiver(Mx,My,Fx,Fy)
axis([-0.5 10.5 -1.5 1.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación del campo de fuerzas')
view(0,90)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo B9-T2: Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D

2021-12-09T08:04:06Z

Teresapereramagre: /* Tensiones normales en dirección del eje \vec k */

{{ TrabajoED | Grupo B9-T2:

Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Álvaro Parrilla

Alfonso Esplá

Teresa Perera

Pablo Sotos}}
<big>'''Enunciado del Trabajo 2:'''</big> 
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región '''(x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]'''.

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas:

La temperatura T(x, y), que viene dada por: <math>T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> ; y los desplazamientos <math>\vec u(x,y) </math> producidos por la acción de una fuerza determinada.

De esta forma, si definimos <math>\vec r_{0}(x,y) </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición del punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por:

<math>\vec r(x,y) = \vec r_{0}(x,y) + \vec u(x,y) </math>

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos

<math> \vec u = \frac {y^2}{80} \vec i + xf(y)\vec j </math>

donde f(y) es una función que no conocemos.

== Representación del sólido 2D ==

Para la representación del sólido delimitado por '''(x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]''', hemos dibujado un mallado como paso de muestreo de <math> h=\frac {1}{2} </math> para las variables x e y.
[[Archivo:Representación_del_sólido.jpg|350px|thumb|right|Representación del sólido]]

{{matlab|codigo=
%Mallado (x,y) = (0,10)x(-1,1)
% Región del sólido
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];
z=[0:0];
% Matriz de la región
[Mx,My,Mz]= meshgrid(x,y,z);
% Mallado
figure(1)
mesh(Mx,My,Mz);
% Gráfico ajustado
axis([-0.5 10.5 -1.5 1.5]);
view(0,90);
title('Sólido 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Líneas de nivel de la temperatura definida como un campo escalar y temperatura máxima ==

La distribución de temperatura en el sólido viene dada por una función escalar en coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en 2D): <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math>

Está distribución se puede resolver de dos formas:

'''Forma 1:''' Para que nos sea más fácil cálcularla y aplicarla en el sólido, convertiremos las coordenadas cilíndricas en cartesianas. <math> T(x,y) = x \sqrt{x^2+y^2}\ - 4x + \frac {4x}{\sqrt{x^2+y^2}} </math>

Una vez convertida, ya podríamos dibujarlo en la gráfica.

[[Archivo:Curvasdenivel2.jpg|350px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura (forma 1 y 2)]]

{{matlab|codigo=
% Temperatura en cartesianas
% Definimos parámetros y creamos las matrices
h=1/10;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Definimos la función de temperatura
T= Mx.* sqrt(Mx.^2+My.^2)-4*Mx+4*(Mx./sqrt(Mx.^2+My.^2));
% Dibujamos las líneas de nivel
figure(1)
contour(Mx,My,T)
axis([-0.5 10.5 -1.5 1.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('EjeY')
colorbar
title('Curvas de nivel de la temperatura')
}}

Forma 2:

La segunda forma de resolverlo es un poco más tediosa, pero se obtiene lo mismo. Primero parametrizamos la región de interés en cartesianas, luego convertimos estas coordenadas en cilíndricas, aplicamos la función escalar de temperatura: <math> T(ρ, θ) = (ρ − 2)^2 cos(θ) </math> , y por último dibujamos las curvas de nivel '''"contour(Mx,My,T)"'''

{{matlab|codigo=
%Curvas de nivel de la temperatura en cilíndricas
% Creo los vectores
h= 1/10;
x= 0:h:10;
y= -1:h:1;
%Creo las matrices
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Convierto cada matriz a coordenadas cilíndricas
Mp = sqrt(Mx.^2+My.^2);
Mtt= atan(My./Mx);
%Aplico la fórmula de la temperatura
T=(Mp-2).^2.*cos(Mtt);
%Creo las curvas de nivel
figure(1)
contour(Mx,My,T);
axis([-0.5 10.5 -1.5 1.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('EjeY')
colorbar
title('Curvas de nivel de la temperatura')
}}

== Cálculo y representación del Gradiente de la temperatura ==

== Cálculo del campo de desplazamientos <math>\vec u </math> ==

== Representación del campo vectorial en los puntos del sólido ==

A continuación se representa mediante un gráfico realizado en Octave, el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:Campo_de_desplazamientos000.jpg|400px|thumb|right|Campo de desplazamientos]]

{{matlab|codigo=
u=0:0.1:10;
v=-1:0.1:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Definimos el vector desplazamiento
Ux= (My.^2)/80;
Uy= Mx.*My /40;
%Representamos el campo vectorial
quiver(Mx,My,Ux,Uy);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title ('Campo de desplazamientos')
}}

== Situación inicial y final del sólido ==
En este apartado, procederemos a mostrar gráficamente el antes y el después del desplazamiento de la placa, junto con una superposición de las imágenes con la función plot3 para que se pueda apreciar visualmente la deformación

[[Archivo:comparacion_del_desplazamiento.jpg|centro]]

{{matlab|codigo=
u=0:0.1:10;
v=-1:0.1:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
Ux= My.^2/80 ;
Uy= Mx.*My /40 ;
figure(1)
%ANTES
subplot(1,3,1)
mesh(Mx,My,0*Mx);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Antes del desplazamiento');
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%DESPUÉS
subplot(1,3,2)
mesh(Ux+Mx ,Uy+My,0*Ux);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Despues del desplazamiento')
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%COMPARACIÓN
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,Mx*0);
hold on
plot3(Ux+Mx,Uy+My,0*Ux);
hold off
view(2)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title ('Comparacion')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Divergencia máxima, mínima y nula de <math>\vec u </math> ==
Ahora procedemos a dibujar la divergencia del vector <math>\vec u </math>, <math>\nabla · \vec u </math> , y determinar analíticamente los puntos en los que es máxima, mínima y nula.
Procedemos a calcularla analíticamente: dado el vector
<math>\vec u(x,y) = \frac{y^2}{80} \vec i + \frac{xy}{40}\vec j </math> , la divergencia: <math>\nabla ·\vec u = \frac{\partial u_1}{\partial x} + \frac{\partial u_2}{\partial y} = \frac{x}{40}. </math>

[[Archivo:figura_de_divergencia.png|centro]]

{{matlab|codigo=
u=0:0.1:10;
v=-1:0.1:1;
[Mx,My]=meshgrid(u,v);
%Representamos la divergencia
div= Mx./40;
surf(Mx,My, div);
axis ([-0.5,10.5,-1.5,1.5])
axis equal
view(2)
xlabel('X')
ylabel('Y')
colorbar
title ('Divergencia')
}}

La divergencia es máxima en x=10, y su valor es 0,25. Por otro lado, será mínima (y nula) en x=0

== Módulo del rotacional de <math>\vec u </math> ==
Calculamos el |∇× <math>\vec u </math> | en todos los puntos del sólido.

Sabiendo que:

<math> f(y) =\frac{y}{40} </math>

<math> \vec{u} (x,y) = \frac {y^2}{80} \vec i + x f(y) \vec j = \frac {y^2}{80}\vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math>

<math>
\nabla \times \vec u =\left|
\begin{matrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right|
=\left|
\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ & & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\ \frac{y^2}{80} & \frac{xy}{40} & 0 \end{matrix}\right|
=\left(
\frac{\partial 0}{\partial y} - \frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial z}\right)\vec i +
\left(\frac{\partial \frac{y^2}{80}}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right)\vec j +
\left(\frac{ \partial \frac{xy}{40}}{\partial x} - \frac{ \partial \frac{y^2}{80}}{\partial y}\right)\vec k
=\left(0 - 0\right)\vec i + \left(0 - 0\right)\vec j + \left(\frac{y}{40}-\frac{2y}{80}\right)\vec k
=0
</math>

El rotacional es nulo, por lo que su módulo también lo es y no existe rotación en la placa.

== Cálculo del tensor de tensiones y representación de este en la base física cartesiana ==

La fórmula que aplicaremos para el cálculo del tensor de tensiones es:

<math>\sigma = λ \nabla · \vec u I + 2µ \epsilon </math>

Donde λ , μ son los coeficiente de Lamé, los cuales dependen de las cualidades elásticas del material. En este caso ambos coeficientes valen 1.

Primero, para calcular la <math>\epsilon</math>, obtendremos el gradiente de <math>\vec u </math> y su traspuesto:

<math> \vec{u} (x,y) =\frac {y^2}{80}\vec i + \frac{xy}{40} \vec j </math>

<math>\nabla \vec u =\left (
\begin{matrix} \frac{\partial{u_1}}{\partial{x}} & \frac{\partial{u_1}}{\partial{y}} & \frac{\partial{u_1}}{\partial{z}} \\ & \\
\frac{\partial{u_2}}{\partial{x}} & \frac{\partial{u_2}}{\partial{y}} & \frac{\partial{u_2}}{\partial{z}} \\ & \\
\frac{\partial{u_3}}{\partial{x}} & \frac{\partial{u_3}}{\partial{y}} & \frac{\partial{u_3}}{\partial{z}} \end{matrix} \right ) =
\left ( \begin{matrix} 0 & \frac{y}{40} & 0 \\ & \\
\frac{y}{40} & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )
</math>

Al ser una matriz simétrica, su traspuesto es la misma matriz:

<math>\nabla \vec u ^t=
\left ( \begin{matrix} 0 & \frac{y}{40} & 0 \\ & \\
\frac{y}{40} & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )
</math>

Por lo que la matriz simétrica es ella misma, aplicando la fórmula:

<math>\epsilon(\vec u) = \frac{1}{2} (∇\vec u + ∇\vec u ^t)</math>

Obtenemos:

<math>\epsilon(\vec u)=
\left ( \begin{matrix} 0 & \frac{y}{40} & 0 \\ & \\
\frac{y}{40} & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & 0 \end{matrix} \right )
</math>

Con esto ya tendríamos todos los datos necesarios (la <math> \nabla · \vec u </math> ya la hemos obtenido en apartados anteriores), solo nos falta sustituir en la fórmula:

<math>\sigma_{ij} = \left(
\begin{matrix} \frac{x}{40} & 0 & 0 \\ & \\
0 & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & \frac{x}{40} \end{matrix} \right ) + 2 ·
\left ( \begin{matrix} 0 & \frac{y}{40} & 0 \\ & \\
\frac{y}{40} & \frac{x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & 0 \end{matrix} \right ) =
\left ( \begin{matrix} \frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0 \\ & \\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & \frac{x}{40} \end{matrix} \right )
</math>

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec i </math> ===

Aplicamos: <math>\vec i \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec i = \frac{x}{40}</math>

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec j </math> ===

Aplicamos: <math>\vec j \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec j = \frac{3x}{40}</math>

=== Tensiones normales en dirección del eje <math>\vec k </math> ===

Aplicamos: <math>\vec k \cdot \sigma_{ij} \cdot \vec k = \frac{x}{40}</math>

{{matlab|codigo=
x=0:0.1:10;
y=-1:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Tensiones normales en las direcciones de los ejes coordenados
TNi=xx./40;
TNj=(3.*xx)./40;
TNk=xx./40;
%Representación tensiones normales
figure
subplot(1,3,1)
surf(xx,yy,TNi)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal dirección eje i')
subplot(1,3,2)
surf(xx,yy,TNj)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal dirección eje j')
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,TNk)
axis image
view(2)
colorbar
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Tensión normal dirección eje k')

== Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i </math> ==

Para poder obtener las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec i </math>, aplicaremos la fórmula:

<math>\left | \sigma \cdot \vec i - (\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i ) \vec i \right |</math>

sustituyendo los datos del apartado anterior.

<math>\left | \sigma \cdot \vec i - (\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i ) \vec i \right | =
\left | \left ( \begin{matrix} \frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0 \\ & \\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0 \\ & \\
0 & 0 & \frac{x}{40} \end{matrix} \right )
\left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right )-
(\frac{x}{40}) \left ( \begin {matrix} 1 \\ & \\ 0 \\ & \\ 0 \end{matrix} \right ) \right | = \frac {y}{20} </math>

== Cálculo y representación de la tensión de Von Mises <math>(σ_{VM})</math> ==

=== Fórmula ===

=== Autovalores ===

=== Cálculo y representación ===

=== Máximo valor de <math>σ_{VM}</math> ===

== Cálculo y representación del campo de fuerzas <math>\vec F </math> que actúa sobre la placa ==

El campo de fuerzas <math>\vec F </math>, es el causante del desplazamiento observado. Este se aproxima con la ecuación de elasticidad lineal:

<math>\vec {F}=-\nabla \cdot σ </math>

La divergencia del campo tensorial "σ", con signo negativo, es la fuerza aplicada en la placa.

=== Representación del campo ===

Para su cálculo, una vez definido el campo tensorial: <math> \sigma_{i,j}</math> = \begin{pmatrix}
\frac{x}{40} & \frac{y}{20} & 0\\
\frac{y}{20} & \frac{3x}{40} & 0\\
0 & 0 & \frac{x}{40}
\end{pmatrix}

Para calcular la divergencia del campo, sumamos las derivadas de cada fila de la matriz de componentes del tensor σ, respecto a "x" (la primera columna), "y" (la segunda columna) y "z" (la tercera columna). Así obtendremos un campo vectorial teniendo como componentes: <math> F_1,F_2,F_3</math> correspondientes al vector <math> \vec F</math>

<math> F_1 = - \frac{\partial σ_{j1}}{\partial x} = -\frac{3}{40}</math> --> correspondiente a <math>\vec i</math>

<math> F_2 = - \frac{\partial σ_{j2}}{\partial y} = 0</math> --> correspondiente a <math>\vec j</math>

<math> F_3 = - \frac{\partial σ_{j3}}{\partial z} = 0</math> --> correspondiente a <math>\vec k</math>

Finalmente obtenemos:

<math> \vec F = -\frac{3}{40} \vec i </math>

=== Interpretación de la gráfica ===

Al dibujar la gráfica de este campo vectorial, observamos que la fuerza que actúa para deformar la placa tiene la dirección, pero el sentido contrario al vector <math>\vec i </math>. Esta fuerza hace que el extremo izquierdo de la placa no se vea perjudicado (x=0), pero a medida que te hacercas al extremo x=10, existe una deformación progresiva del sólido, siendo máxima en este extremo.

[[Archivo:Campodefuerzas1.jpg|350px|thumb|right|Representación del campo de fuerzas <math>\vec F </math>]]

{{matlab|codigo=
%Representamos el mallado
h=1/10;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Componentes del campo vectorial F
Fx= -3/40+0*Mx;
Fy= 0*My;
%Representamos el campo de Fuerzas F
figure(1)
quiver(Mx,My,Fx,Fy)
axis([-0.5 10.5 -1.5 1.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación del campo de fuerzas')
view(0,90)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Grupo B9-T2: Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D

2021-12-07T16:00:04Z

Teresapereramagre: /* Módulo del rotacional de \vec u */

Grupo B9-T2: Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D

2021-12-07T15:58:58Z

Teresapereramagre: /* Módulo del rotacional de \vec u */

Grupo B9-T2: Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D

2021-12-07T15:58:03Z

Teresapereramagre: /* Módulo del rotacional de \vec u */

Grupo B9-T2: Deformaciones elásticas de una placa plana en 2D

2021-12-07T15:51:18Z

Teresapereramagre: /* Módulo del rotacional de \vec u */