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Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

2025-05-21T09:06:56Z

Teresa.vegetti:

{{ TrabajoSIG | Evaluación de la acción climática en ciudades españolas | Sergio Puente Puente Pablo Ramos Bartol Teresa Chiara Vegetti Sanmamed | [[:Categoría:SIGAIC_24/25|Curso 24/25]] }}
Este artículo se ha elaborado como parte de un trabajo de investigación realizado en el marco de la asignatura de [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica]]. El objetivo de este trabajo es evaluar la acción climática en seis de las principales ciudades españolas. De mayor a menor población, se han seleccionado: Madrid, Barcelona, Valencia, Sevilla, Zaragoza y Málaga.

La acción climática urbana ha adquirido una relevancia creciente en las agendas políticas locales, y su evaluación requiere herramientas técnicas capaces de integrar información espacial y temática diversa. En este contexto, el presente estudio utiliza herramientas de análisis geoespacial para medir el grado de implantación de infraestructuras clave para la sostenibilidad urbana. En particular, se han considerado tres dimensiones fundamentales: la gestión de residuos, a través de la distribución de centros de reciclado y puntos limpios; la movilidad sostenible, mediante la cobertura del territorio por infraestructuras ciclistas; y la densidad de dichas infraestructuras en relación con la extensión del municipio.

Posteriormente, se llevó a cabo una evaluación comparativa entre las ciudades seleccionadas, aplicando un enfoque multicriterio basado en ponderaciones relativas. Esta metodología permitió construir una nota media compuesta que refleja el grado de avance de cada ciudad hacia un modelo urbano más sostenible. Los resultados globales obtenidos sitúan a Barcelona como la ciudad con mejor desempeño seguida por Sevilla, Madrid, Valencia, Málaga, y Zaragoza.

Entre las principales mejoras identificadas tras el análisis, se recomienda una ampliación generalizada de las redes ciclistas en aquellas ciudades con baja cobertura y densidad, así como una redistribución más equitativa y accesible de las infraestructuras de reciclaje. Algunas urbes requieren un refuerzo puntual en determinados servicios, mientras que otras se beneficiarían de una planificación más equilibrada que permita avanzar de forma homogénea en todos las dimensiones evaluadas.

== Introducción ==

La creciente urgencia de la crisis climática ha situado a las ciudades en el centro de las estrategias de mitigación y adaptación. Dado que los entornos urbanos concentran la mayor parte de la población y las emisiones de gases de efecto invernadero, evaluar su grado de preparación y compromiso con la acción climática se convierte en una tarea prioritaria. En este contexto, el presente estudio plantea como problema principal la falta de indicadores integrados y territorializados que permitan medir de forma precisa el grado de implantación de políticas urbanas sostenibles en diferentes ciudades españolas. Frente a enfoques genéricos o sectoriales, se propone una metodología basada en el análisis geoespacial que permita observar con detalle las carencias y fortalezas de cada municipio.

La elección de los indicadores empleados en esta investigación responde a criterios de relevancia ambiental, disponibilidad de datos y capacidad para reflejar intervenciones urbanas concretas. En primer lugar, se analiza la cobertura de infraestructuras ciclistas, tanto en términos de superficie servida como de densidad (longitud de carril bici por kilómetro cuadrado), por ser un elemento central en la promoción de la movilidad sostenible, la reducción del uso del vehículo privado y la mejora de la calidad del aire.

En segundo lugar, se evalúa la gestión de residuos urbanos a través de dos elementos complementarios: la distribución de puntos limpios, como espacios destinados a la recogida de residuos especiales y voluminosos, y los centros de reciclado, que permiten el tratamiento y reaprovechamiento de residuos domésticos comunes. Ambos indicadores reflejan no solo el compromiso institucional con la economía circular, sino también la facilidad de acceso de la ciudadanía a estos servicios.

== Metodología ==

Para la realización de este trabajo se ha seguido una metodología basada en el análisis geoespacial mediante el uso del programa QGIS. Todos los planos y análisis han sido ejecutados dentro de este entorno, permitiendo una representación precisa y detallada del territorio y de las infraestructuras urbanas estudiadas.

La información relativa a la red de carriles bici de cada ciudad ha sido obtenida a partir de bases de datos oficiales proporcionadas por los respectivos ayuntamientos. Estas capas vectoriales, que contienen los trazados de las infraestructuras ciclistas, han sido incorporadas a QGIS para su análisis. Por su parte, los datos correspondientes a los centros de reciclado y a los puntos limpios se han extraído a través de la herramienta QuickOSM, un complemento integrado en QGIS que permite descargar información directamente desde la base de datos abierta de OpenStreetMap, filtrando específicamente por las etiquetas <math> \textit{recycling} </math> y <math> \textit{waste_disposal} </math>.

Una vez recopilada y procesada toda la información geográfica, se procedió a delimitar el contorno de cada municipio como unidad de análisis espacial. Sobre esta base, se generaron áreas de influencia en torno a los carriles bici, centros de reciclado y puntos limpios, estableciendo radios adecuados según el tipo de infraestructura. Posteriormente se calculó el área municipal cubierta y no cubierta por cada servicio, mediante operaciones de intersección espacial.

Para evaluar la relevancia y eficacia de las infraestructuras medioambientales y de movilidad sostenible en varias ciudades, se ha llevado a cabo un análisis cuantitativo basado en cuatro indicadores: el índice de área servida por puntos limpios, el índice de área servida por centros de reciclado, el índice de área servida por infraestructura ciclista (carriles bici) y la relación entre la longitud total de carriles bici y el área total del municipio (<math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math> de superficie municipal).

== Resultados ==

=== Madrid ===

==== Carril bici ====

Madrid cuenta con una cobertura ciclista del 33,19% del área municipal, muy similar a la de Valencia. La longitud total de carriles bici asciende a 832,69 <math> km </math>, lo que la convierte en la ciudad con más kilómetros de carril bici, aunque su relación longitud-superficie es de 1,38 <math> km/km^{2} </math>, lejos del liderazgo de Barcelona. La gran extensión del municipio (más de 600 <math> km^{2} </math>) y la presencia de zonas naturales protegidas como El Pardo o Casa de Campo, así como áreas residenciales dispersas, influyen en que una gran parte del territorio quede fuera de la cobertura ciclista. Aun así, la red existente tiene una buena base estructural, con potencial para expandirse a zonas menos servidas y reforzar la intermodalidad con el transporte público.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmadridbici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 1.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_bici1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.1 - Carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_bici2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.2 - Carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Madrid, con un 24,30% de cobertura en reciclaje y 67,13% en puntos limpios, ocupa una posición intermedia. La baja cobertura de reciclaje puede atribuirse, en parte, a su amplísima extensión territorial (más de 600 <math> km^{2} </math>), que incluye grandes zonas verdes y no urbanizadas, como El Pardo, la Casa de Campo o áreas periféricas con baja densidad. Esto hace que grandes superficies no requieran o no justifiquen servicios distribuidos de reciclaje. Aun así, el buen desempeño en puntos limpios demuestra una infraestructura sólida en zonas urbanizadas.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmadridreciclado.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 1.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_puntos1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_puntos2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_sup1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.5 - Puntos limpios de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_sup2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.6 - Puntos limpios de la ciudad de Madrid''' ]]

=== Barcelona ===

==== Carril bici ====

Barcelona destaca como la ciudad mejor posicionada en infraestructura ciclista. Más del 52,47% de su área municipal está servida por carriles bici, y su relación longitud/superficie es la más alta de todas las ciudades analizadas: 1,98 km de carril bici por km². Esto se debe a su densa y compacta trama urbana, que favorece una movilidad no motorizada. Además, las políticas públicas a favor de la bicicleta (como la red de carriles segregados y el sistema <math> \textit{Bicing} </math>) han consolidado un modelo exitoso que combina eficiencia y sostenibilidad. Barcelona sirve como referente para otras ciudades españolas en términos de planificación ciclista integrada.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsbarcelonabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 2.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:ptsbici1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.1 - Carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_bici2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.2 - Carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Barcelona se posiciona como la ciudad con mejor desempeño global. Su 78,17% de cobertura en centros de reciclado y 94,87% en puntos limpios reflejan una política medioambiental bien estructurada, con una red eficiente y accesible de infraestructuras. La densidad urbana, la menor extensión territorial (apenas 100 <math> km^{2} </math>) y una planificación orientada a la proximidad y la sostenibilidad hacen posible esta altísima cobertura. La estructura de barrios compactos y la presión ciudadana también han impulsado un fuerte compromiso institucional con la gestión de residuos.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsbarcelonareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 2.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_puntos1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_puntos2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_sup1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.5 - Puntos limpios de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_sup2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.6 - Puntos limpios de la ciudad de Barcelona''' ]]

=== Valencia ===

==== Carril bici ====

Valencia presenta una cobertura ciclista intermedia: el 33,29% de su superficie municipal cuenta con carriles bici, con una longitud total de 192,5 <math> km </math>. La relación de 1,38 <math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math> la sitúa en una posición similar a la de Madrid, aunque por debajo de Barcelona y lejos del ideal. A diferencia de Málaga, Valencia tiene una estructura urbana más compacta y plana, lo que facilita el uso de la bicicleta como medio de transporte diario. No obstante, aún dos tercios del municipio están sin cobertura ciclista, lo cual sugiere que existen zonas periféricas, industriales o rurales (como la huerta valenciana o áreas cercanas a la Albufera) que no han sido integradas en la red de movilidad ciclista. Pese a ello, Valencia tiene un potencial significativo para avanzar, especialmente considerando el uso creciente de la bicicleta en el centro urbano y su clima favorable. Una ampliación ordenada de la red ciclista, enfocada en conectar barrios y zonas verdes, podría llevar a Valencia a competir con ciudades de referencia en movilidad sostenible.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsvalenciabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 3.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_bici1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.1 - Carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_bici2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.2 - Carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Valencia muestra un desempeño muy limitado en cobertura de centros de reciclado (18,13%), aunque mejora notablemente en lo que respecta a puntos limpios, con una cobertura del 50,42%. Este desbalance refleja una red de reciclaje insuficiente frente a una planificación algo más avanzada en lo referente a puntos limpios. El término municipal de Valencia, si bien no es tan extenso como el de Madrid o Zaragoza, presenta una mezcla de áreas densamente urbanizadas y otras más industriales o agrícolas, especialmente en la zona de huerta. Además, la presencia de infraestructuras como el puerto y el aeropuerto, así como grandes parques urbanos y naturales (como el de la Albufera), ocupan superficie sin cobertura de servicios ambientales, reduciendo el índice efectivo de servicio en zonas habitadas.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsvalenciareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 3.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_puntos1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_puntos2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_sup1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.5 - Puntos limpios de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_sup2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.6 - Puntos limpios de la ciudad de Valencia''' ]]

=== Sevilla ===

==== Carril bici ====

Sevilla presenta una cobertura del 41,52%, una de las mejores después de Barcelona. Su red ciclista suma 181,74 <math> km </math>, con una densidad de 1,28 <math> km/km^{2} </math>, ligeramente inferior a Madrid o Valencia, pero aceptable considerando su superficie. La ciudad fue pionera en infraestructura ciclista en España, con inversiones destacadas en la última década. Su estructura urbana más concentrada y orografía plana han favorecido la implantación de una red funcional, aunque aún quedan zonas al este y sur con baja cobertura. Consolidar conexiones interbarrios y mejorar la calidad de los carriles existentes podrían ser los próximos pasos para seguir avanzando.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptssevillabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 4.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_bici1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.1 - Carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_bici2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.2 - Carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Sevilla presenta un contraste notable. Mientras que el 95,42% del municipio está cubierto por puntos limpios, solo el 16,79% tiene acceso a centros de reciclado. Esta dualidad puede explicarse por un modelo más centralizado de recogida selectiva y una posible falta de descentralización en los centros de reciclaje. Además, parte del término municipal sevillano está formado por espacios rurales o poco urbanizados, donde probablemente no se justifique una instalación distribuida de reciclaje.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptssevillareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 4.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_puntos1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_puntos2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_sup1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.5 - Puntos limpios de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_sup2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.6 - Puntos limpios de la ciudad de Sevilla''' ]]

=== Zaragoza ===

==== Carril bici ====

Zaragoza muestra una cobertura extremadamente baja: solo el 5,48% de su área cuenta con carriles bici, pese a tener una longitud total de 158,55 <math> km </math>. La densidad es de apenas 0,16 <math> km/km^{2} </math>, la segunda más baja. El principal factor es su enorme superficie municipal (casi 974 <math> km^{2} </math>), una de las más grandes de España, que incluye vastas zonas agrícolas, logísticas e industriales. Aunque el centro urbano tiene infraestructura ciclista razonable, su peso es mínimo en comparación con el territorio total. Es prioritario fortalecer las conexiones urbanas internas y extender el servicio a distritos exteriores, especialmente en un contexto de baja densidad.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptszaragozabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 5.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_bici1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.1 - Carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_bici2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.2 - Carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Zaragoza presenta los índices más bajos de toda la muestra, con solo 4,72% de cobertura en reciclaje y 14,76% en puntos limpios. Esta situación responde, en parte, al hecho de que Zaragoza posee la mayor superficie municipal de todas las ciudades analizadas (casi 974 <math> km^{2} </math>). Su término municipal incluye amplias zonas de campo, desierto (como los Monegros) y áreas industriales con baja ocupación residencial. La dispersión geográfica y la menor presión urbana podrían haber llevado a una menor inversión en infraestructuras distribuidas, aunque los niveles actuales indican necesidad urgente de expansión para atender adecuadamente incluso a la población urbana.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptszaragozareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 5.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_puntos1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_puntos2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_sup1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.5 - Puntos limpios de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_sup2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.6 - Puntos limpios de la ciudad de Zaragoza''' ]]

=== Málaga ===

==== Carril bici ====

Málaga muestra una situación crítica en cuanto a infraestructura ciclista. Con una cobertura de solo el 5,88% del área municipal por carriles bici, es una de las ciudades peor posicionadas en este aspecto. La longitud total de carril bici es de apenas 49 km, lo que, comparado con su superficie de más de 395 <math> km^{2} </math>, da una relación de 0,12 <math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math>, la más baja del conjunto analizado. Esta situación puede explicarse por varios factores urbanísticos y territoriales. Málaga es una ciudad muy extensa y fragmentada geográficamente, con barrios alejados del centro como Campanillas, Churriana o El Palo, y una orografía irregular que no facilita la conectividad ciclista continua. Además, el enfoque en infraestructuras para el automóvil y la dispersión metropolitana han desplazado la bicicleta a un segundo plano en el modelo de movilidad urbana. El margen de mejora es amplio: un plan de movilidad sostenible que conecte el litoral, el centro histórico y los barrios periféricos mediante carriles bici seguros y continuos podría cambiar radicalmente este panorama.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmalagabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 6.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_bici1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.1 - Carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_bici2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.2 - Carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Málaga presenta una cobertura del 30,91% en centros de reciclado y 38,59% en puntos limpios, lo que la sitúa en un nivel medio-bajo en comparación con otras ciudades analizadas. Si bien sus cifras son superiores a las de Zaragoza o Sevilla en reciclaje, aún están lejos de los estándares que muestran ciudades como Barcelona o Madrid. Una de las principales causas de esta cobertura parcial es la estructura territorial dispersa del municipio. Málaga cuenta con barrios periféricos alejados del centro, como Churriana, Campanillas o Puerto de la Torre, que dificultan la distribución uniforme de infraestructuras medioambientales. A esto se suma la presencia de zonas industriales y rurales dentro de su término municipal, que pueden no estar priorizadas en la planificación de puntos limpios o reciclaje domiciliario.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmalagareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 6.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_puntos1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_puntos2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_sup1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.5 - Puntos limpios de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_sup2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.6 - Puntos limpios de la ciudad de Málaga''' ]]

== Conclusiones ==

==== Conclusiones generales ====

Con el objetivo de analizar la influencia de los indicadores presentados en relación con la acción climática, se ha llevado a cabo una evaluación ponderada en función de su importancia.

Se estableció que la cobertura de puntos limpios tiene una relevancia del 30%, dado su papel fundamental en la gestión adecuada de residuos y la reducción de contaminación. La cobertura por centros de reciclado se valoró con un 25%, por su importancia en fomentar el reciclaje y la economía circular. La cobertura por infraestructura ciclista recibió un 25%, considerando que promueve la movilidad sostenible y la reducción de emisiones de gases de efecto invernadero. Finalmente, la relación entre la longitud de carril bici y la superficie del municipio fue ponderada con un 20%, como indicador de accesibilidad y densidad real de la infraestructura ciclista.

A continuación, se procedió a normalizar cada indicador para cada ciudad. Para ello, se identificó el valor máximo registrado en cada indicador como referencia (que se asignó la nota máxima de 10) y se calculó la nota proporcional para el resto de ciudades. Esto permitió convertir valores absolutos y porcentajes en una escala homogénea de 0 a 10, facilitando la comparación directa entre ciudades y entre indicadores.

Finalmente, se aplicó la ponderación establecida a las notas normalizadas para obtener una nota final compuesta para cada ciudad. Esta nota final refleja un índice global que sintetiza el desempeño relativo de cada municipio en cuanto a la cobertura y densidad de infraestructuras de gestión de residuos y movilidad sostenible.

[[File:Ptsresultados.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 7 - Resultados finales del análisis''' ]]

Los resultados obtenidos evidencian que Barcelona se posiciona claramente como la ciudad con mejor desempeño global. Por otra parte, Sevilla también muestra un buen desempeño, especialmente en puntos limpios e infraestructura ciclista, aunque con menor cobertura en centros de reciclado. Madrid se sitúa en una posición intermedia, mientras que Valencia y Málaga presentan resultados medios-bajos, mostrando margen significativo para mejorar su infraestructura ambiental y ciclista. Por último, Zaragoza refleja un desempeño bajo en todos los indicadores, probablemente debido a su extensa superficie municipal y menor densidad de infraestructura, lo que indica la necesidad de intervenciones urgentes y planificación estratégica para mejorar su cobertura.

==== Mejoras a futuro ====

De cara al futuro, se sugiere una planificación urbana más coordinada que priorice la equidad territorial en el acceso a infraestructuras sostenibles. Entre las principales recomendaciones se encuentra la expansión y conexión de la red de carriles bici, especialmente en ciudades con baja cobertura y densidad, así como la mejora de la distribución y proximidad de puntos limpios y centros de reciclado para garantizar su uso efectivo por parte de la ciudadanía. Asimismo, se propone integrar estos indicadores en los instrumentos de planificación municipal como parte de estrategias más amplias de acción climática, con el objetivo de avanzar hacia ciudades más resilientes, inclusivas y ambientalmente responsables.

== Bibliografía ==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_24/25]]

Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

2025-05-21T09:05:30Z

Teresa.vegetti:

{{ TrabajoSIG | Evaluación de la acción climática en ciudades españolas | Sergio Puente Puente Pablo Ramos Bartol Teresa Chiara Vegetti Sanmamed | [[:Categoría:SIGAIC_24/25|Curso 24/25]] }}
Este artículo se ha elaborado como parte de un trabajo de investigación realizado en el marco de la asignatura de [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica]]. El objetivo de este trabajo es evaluar la acción climática en seis de las principales ciudades españolas. De mayor a menor población, se han seleccionado: Madrid, Barcelona, Valencia, Sevilla, Zaragoza y Málaga.

La acción climática urbana ha adquirido una relevancia creciente en las agendas políticas locales, y su evaluación requiere herramientas técnicas capaces de integrar información espacial y temática diversa. En este contexto, el presente estudio utiliza herramientas de análisis geoespacial para medir el grado de implantación de infraestructuras clave para la sostenibilidad urbana. En particular, se han considerado tres dimensiones fundamentales: la gestión de residuos, a través de la distribución de centros de reciclado y puntos limpios; la movilidad sostenible, mediante la cobertura del territorio por infraestructuras ciclistas; y la densidad de dichas infraestructuras en relación con la extensión del municipio.

Posteriormente, se llevó a cabo una evaluación comparativa entre las ciudades seleccionadas, aplicando un enfoque multicriterio basado en ponderaciones relativas. Esta metodología permitió construir una nota media compuesta que refleja el grado de avance de cada ciudad hacia un modelo urbano más sostenible. Los resultados globales obtenidos sitúan a Barcelona como la ciudad con mejor desempeño seguida por Sevilla, Madrid, Valencia, Málaga, y Zaragoza.

Entre las principales mejoras identificadas tras el análisis, se recomienda una ampliación generalizada de las redes ciclistas en aquellas ciudades con baja cobertura y densidad, así como una redistribución más equitativa y accesible de las infraestructuras de reciclaje. Algunas urbes requieren un refuerzo puntual en determinados servicios, mientras que otras se beneficiarían de una planificación más equilibrada que permita avanzar de forma homogénea en todos las dimensiones evaluadas.

== Introducción ==

La creciente urgencia de la crisis climática ha situado a las ciudades en el centro de las estrategias de mitigación y adaptación. Dado que los entornos urbanos concentran la mayor parte de la población y las emisiones de gases de efecto invernadero, evaluar su grado de preparación y compromiso con la acción climática se convierte en una tarea prioritaria. En este contexto, el presente estudio plantea como problema principal la falta de indicadores integrados y territorializados que permitan medir de forma precisa el grado de implantación de políticas urbanas sostenibles en diferentes ciudades españolas. Frente a enfoques genéricos o sectoriales, se propone una metodología basada en el análisis geoespacial que permita observar con detalle las carencias y fortalezas de cada municipio.

La elección de los indicadores empleados en esta investigación responde a criterios de relevancia ambiental, disponibilidad de datos y capacidad para reflejar intervenciones urbanas concretas. En primer lugar, se analiza la cobertura de infraestructuras ciclistas, tanto en términos de superficie servida como de densidad (longitud de carril bici por kilómetro cuadrado), por ser un elemento central en la promoción de la movilidad sostenible, la reducción del uso del vehículo privado y la mejora de la calidad del aire.

En segundo lugar, se evalúa la gestión de residuos urbanos a través de dos elementos complementarios: la distribución de puntos limpios, como espacios destinados a la recogida de residuos especiales y voluminosos, y los centros de reciclado, que permiten el tratamiento y reaprovechamiento de residuos domésticos comunes. Ambos indicadores reflejan no solo el compromiso institucional con la economía circular, sino también la facilidad de acceso de la ciudadanía a estos servicios.

== Metodología ==

Para la realización de este trabajo se ha seguido una metodología basada en el análisis geoespacial mediante el uso del programa QGIS. Todos los planos y análisis han sido ejecutados dentro de este entorno, permitiendo una representación precisa y detallada del territorio y de las infraestructuras urbanas estudiadas.

La información relativa a la red de carriles bici de cada ciudad ha sido obtenida a partir de bases de datos oficiales proporcionadas por los respectivos ayuntamientos. Estas capas vectoriales, que contienen los trazados de las infraestructuras ciclistas, han sido incorporadas a QGIS para su análisis. Por su parte, los datos correspondientes a los centros de reciclado y a los puntos limpios se han extraído a través de la herramienta QuickOSM, un complemento integrado en QGIS que permite descargar información directamente desde la base de datos abierta de OpenStreetMap, filtrando específicamente por las etiquetas <math> \textit{recycling} </math> y <math> \textit{waste_disposal} </math>.

Una vez recopilada y procesada toda la información geográfica, se procedió a delimitar el contorno de cada municipio como unidad de análisis espacial. Sobre esta base, se generaron áreas de influencia en torno a los carriles bici, centros de reciclado y puntos limpios, estableciendo radios adecuados según el tipo de infraestructura. Posteriormente se calculó el área municipal cubierta y no cubierta por cada servicio, mediante operaciones de intersección espacial.

Para evaluar la relevancia y eficacia de las infraestructuras medioambientales y de movilidad sostenible en varias ciudades, se ha llevado a cabo un análisis cuantitativo basado en cuatro indicadores: el índice de área servida por puntos limpios, el índice de área servida por centros de reciclado, el índice de área servida por infraestructura ciclista (carriles bici) y la relación entre la longitud total de carriles bici y el área total del municipio (<math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math> de superficie municipal).

== Resultados ==

=== Madrid ===

==== Carril bici ====

Madrid cuenta con una cobertura ciclista del 33,19% del área municipal, muy similar a la de Valencia. La longitud total de carriles bici asciende a 832,69 <math> km </math>, lo que la convierte en la ciudad con más kilómetros de carril bici, aunque su relación longitud-superficie es de 1,38 <math> km/km^{2} </math>, lejos del liderazgo de Barcelona. La gran extensión del municipio (más de 600 <math> km^{2} </math>) y la presencia de zonas naturales protegidas como El Pardo o Casa de Campo, así como áreas residenciales dispersas, influyen en que una gran parte del territorio quede fuera de la cobertura ciclista. Aun así, la red existente tiene una buena base estructural, con potencial para expandirse a zonas menos servidas y reforzar la intermodalidad con el transporte público.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmadridbici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 1.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_bici1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.1 - Carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_bici2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.2 - Carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Madrid, con un 24,30% de cobertura en reciclaje y 67,13% en puntos limpios, ocupa una posición intermedia. La baja cobertura de reciclaje puede atribuirse, en parte, a su amplísima extensión territorial (más de 600 <math> km^{2} </math>), que incluye grandes zonas verdes y no urbanizadas, como El Pardo, la Casa de Campo o áreas periféricas con baja densidad. Esto hace que grandes superficies no requieran o no justifiquen servicios distribuidos de reciclaje. Aun así, el buen desempeño en puntos limpios demuestra una infraestructura sólida en zonas urbanizadas.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmadridreciclado.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 1.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_puntos1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_puntos2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_sup1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.5 - Puntos limpios de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_sup2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 1.6 - Puntos limpios de la ciudad de Madrid''' ]]

=== Barcelona ===

==== Carril bici ====

Barcelona destaca como la ciudad mejor posicionada en infraestructura ciclista. Más del 52,47% de su área municipal está servida por carriles bici, y su relación longitud/superficie es la más alta de todas las ciudades analizadas: 1,98 km de carril bici por km². Esto se debe a su densa y compacta trama urbana, que favorece una movilidad no motorizada. Además, las políticas públicas a favor de la bicicleta (como la red de carriles segregados y el sistema <math> \textit{Bicing} </math>) han consolidado un modelo exitoso que combina eficiencia y sostenibilidad. Barcelona sirve como referente para otras ciudades españolas en términos de planificación ciclista integrada.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsbarcelonabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 2.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:ptsbici1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.1 - Carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_bici2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.2 - Carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Barcelona se posiciona como la ciudad con mejor desempeño global. Su 78,17% de cobertura en centros de reciclado y 94,87% en puntos limpios reflejan una política medioambiental bien estructurada, con una red eficiente y accesible de infraestructuras. La densidad urbana, la menor extensión territorial (apenas 100 <math> km^{2} </math>) y una planificación orientada a la proximidad y la sostenibilidad hacen posible esta altísima cobertura. La estructura de barrios compactos y la presión ciudadana también han impulsado un fuerte compromiso institucional con la gestión de residuos.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsbarcelonareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 2.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_puntos1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_puntos2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_sup1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.5 - Puntos limpios de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_sup2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 2.6 - Puntos limpios de la ciudad de Barcelona''' ]]

=== Valencia ===

==== Carril bici ====

Valencia presenta una cobertura ciclista intermedia: el 33,29% de su superficie municipal cuenta con carriles bici, con una longitud total de 192,5 <math> km </math>. La relación de 1,38 <math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math> la sitúa en una posición similar a la de Madrid, aunque por debajo de Barcelona y lejos del ideal. A diferencia de Málaga, Valencia tiene una estructura urbana más compacta y plana, lo que facilita el uso de la bicicleta como medio de transporte diario. No obstante, aún dos tercios del municipio están sin cobertura ciclista, lo cual sugiere que existen zonas periféricas, industriales o rurales (como la huerta valenciana o áreas cercanas a la Albufera) que no han sido integradas en la red de movilidad ciclista. Pese a ello, Valencia tiene un potencial significativo para avanzar, especialmente considerando el uso creciente de la bicicleta en el centro urbano y su clima favorable. Una ampliación ordenada de la red ciclista, enfocada en conectar barrios y zonas verdes, podría llevar a Valencia a competir con ciudades de referencia en movilidad sostenible.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsvalenciabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 3.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_bici1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.1 - Carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_bici2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.2 - Carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Valencia muestra un desempeño muy limitado en cobertura de centros de reciclado (18,13%), aunque mejora notablemente en lo que respecta a puntos limpios, con una cobertura del 50,42%. Este desbalance refleja una red de reciclaje insuficiente frente a una planificación algo más avanzada en lo referente a puntos limpios. El término municipal de Valencia, si bien no es tan extenso como el de Madrid o Zaragoza, presenta una mezcla de áreas densamente urbanizadas y otras más industriales o agrícolas, especialmente en la zona de huerta. Además, la presencia de infraestructuras como el puerto y el aeropuerto, así como grandes parques urbanos y naturales (como el de la Albufera), ocupan superficie sin cobertura de servicios ambientales, reduciendo el índice efectivo de servicio en zonas habitadas.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsvalenciareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 3.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_puntos1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_puntos2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_sup1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.5 - Puntos limpios de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_sup2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 3.6 - Puntos limpios de la ciudad de Valencia''' ]]

=== Sevilla ===

==== Carril bici ====

Sevilla presenta una cobertura del 41,52%, una de las mejores después de Barcelona. Su red ciclista suma 181,74 <math> km </math>, con una densidad de 1,28 <math> km/km^{2} </math>, ligeramente inferior a Madrid o Valencia, pero aceptable considerando su superficie. La ciudad fue pionera en infraestructura ciclista en España, con inversiones destacadas en la última década. Su estructura urbana más concentrada y orografía plana han favorecido la implantación de una red funcional, aunque aún quedan zonas al este y sur con baja cobertura. Consolidar conexiones interbarrios y mejorar la calidad de los carriles existentes podrían ser los próximos pasos para seguir avanzando.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptssevillabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 4.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_bici1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.1 - Carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_bici2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.2 - Carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Sevilla presenta un contraste notable. Mientras que el 95,42% del municipio está cubierto por puntos limpios, solo el 16,79% tiene acceso a centros de reciclado. Esta dualidad puede explicarse por un modelo más centralizado de recogida selectiva y una posible falta de descentralización en los centros de reciclaje. Además, parte del término municipal sevillano está formado por espacios rurales o poco urbanizados, donde probablemente no se justifique una instalación distribuida de reciclaje.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptssevillareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 4.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_puntos1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_puntos2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_sup1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.5 - Puntos limpios de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_sup2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 4.6 - Puntos limpios de la ciudad de Sevilla''' ]]

=== Zaragoza ===

==== Carril bici ====

Zaragoza muestra una cobertura extremadamente baja: solo el 5,48% de su área cuenta con carriles bici, pese a tener una longitud total de 158,55 <math> km </math>. La densidad es de apenas 0,16 <math> km/km^{2} </math>, la segunda más baja. El principal factor es su enorme superficie municipal (casi 974 <math> km^{2} </math>), una de las más grandes de España, que incluye vastas zonas agrícolas, logísticas e industriales. Aunque el centro urbano tiene infraestructura ciclista razonable, su peso es mínimo en comparación con el territorio total. Es prioritario fortalecer las conexiones urbanas internas y extender el servicio a distritos exteriores, especialmente en un contexto de baja densidad.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptszaragozabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 5.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_bici1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.1 - Carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_bici2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.2 - Carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Zaragoza presenta los índices más bajos de toda la muestra, con solo 4,72% de cobertura en reciclaje y 14,76% en puntos limpios. Esta situación responde, en parte, al hecho de que Zaragoza posee la mayor superficie municipal de todas las ciudades analizadas (casi 974 <math> km^{2} </math>). Su término municipal incluye amplias zonas de campo, desierto (como los Monegros) y áreas industriales con baja ocupación residencial. La dispersión geográfica y la menor presión urbana podrían haber llevado a una menor inversión en infraestructuras distribuidas, aunque los niveles actuales indican necesidad urgente de expansión para atender adecuadamente incluso a la población urbana.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptszaragozareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 5.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_puntos1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_puntos2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_sup1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.5 - Puntos limpios de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_sup2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 5.6 - Puntos limpios de la ciudad de Zaragoza''' ]]

=== Málaga ===

==== Carril bici ====

Málaga muestra una situación crítica en cuanto a infraestructura ciclista. Con una cobertura de solo el 5,88% del área municipal por carriles bici, es una de las ciudades peor posicionadas en este aspecto. La longitud total de carril bici es de apenas 49 km, lo que, comparado con su superficie de más de 395 <math> km^{2} </math>, da una relación de 0,12 <math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math>, la más baja del conjunto analizado. Esta situación puede explicarse por varios factores urbanísticos y territoriales. Málaga es una ciudad muy extensa y fragmentada geográficamente, con barrios alejados del centro como Campanillas, Churriana o El Palo, y una orografía irregular que no facilita la conectividad ciclista continua. Además, el enfoque en infraestructuras para el automóvil y la dispersión metropolitana han desplazado la bicicleta a un segundo plano en el modelo de movilidad urbana. El margen de mejora es amplio: un plan de movilidad sostenible que conecte el litoral, el centro histórico y los barrios periféricos mediante carriles bici seguros y continuos podría cambiar radicalmente este panorama.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmalagabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 6.1 - Índices del carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_bici1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.1 - Carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_bici2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.2 - Carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Málaga presenta una cobertura del 30,91% en centros de reciclado y 38,59% en puntos limpios, lo que la sitúa en un nivel medio-bajo en comparación con otras ciudades analizadas. Si bien sus cifras son superiores a las de Zaragoza o Sevilla en reciclaje, aún están lejos de los estándares que muestran ciudades como Barcelona o Madrid. Una de las principales causas de esta cobertura parcial es la estructura territorial dispersa del municipio. Málaga cuenta con barrios periféricos alejados del centro, como Churriana, Campanillas o Puerto de la Torre, que dificultan la distribución uniforme de infraestructuras medioambientales. A esto se suma la presencia de zonas industriales y rurales dentro de su término municipal, que pueden no estar priorizadas en la planificación de puntos limpios o reciclaje domiciliario.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmalagareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla 6.2 - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_puntos1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.3 - Centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_puntos2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.4 - Centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_sup1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.5 - Puntos limpios de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_sup2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura 6.6 - Puntos limpios de la ciudad de Málaga''' ]]

== Conclusiones ==

==== Conclusiones generales ====

Con el objetivo de analizar la influencia de los indicadores presentados en relación con la acción climática, se ha llevado a cabo una evaluación ponderada en función de su importancia.

Se estableció que la cobertura de puntos limpios tiene una relevancia del 30%, dado su papel fundamental en la gestión adecuada de residuos y la reducción de contaminación. La cobertura por centros de reciclado se valoró con un 25%, por su importancia en fomentar el reciclaje y la economía circular. La cobertura por infraestructura ciclista recibió un 25%, considerando que promueve la movilidad sostenible y la reducción de emisiones de gases de efecto invernadero. Finalmente, la relación entre la longitud de carril bici y la superficie del municipio fue ponderada con un 20%, como indicador de accesibilidad y densidad real de la infraestructura ciclista.

A continuación, se procedió a normalizar cada indicador para cada ciudad. Para ello, se identificó el valor máximo registrado en cada indicador como referencia (que se asignó la nota máxima de 10) y se calculó la nota proporcional para el resto de ciudades. Esto permitió convertir valores absolutos y porcentajes en una escala homogénea de 0 a 10, facilitando la comparación directa entre ciudades y entre indicadores.

Finalmente, se aplicó la ponderación establecida a las notas normalizadas para obtener una nota final compuesta para cada ciudad. Esta nota final refleja un índice global que sintetiza el desempeño relativo de cada municipio en cuanto a la cobertura y densidad de infraestructuras de gestión de residuos y movilidad sostenible.

[[File:Ptsresultados.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Resultados finales del análisis''' ]]

Los resultados obtenidos evidencian que Barcelona se posiciona claramente como la ciudad con mejor desempeño global. Por otra parte, Sevilla también muestra un buen desempeño, especialmente en puntos limpios e infraestructura ciclista, aunque con menor cobertura en centros de reciclado. Madrid se sitúa en una posición intermedia, mientras que Valencia y Málaga presentan resultados medios-bajos, mostrando margen significativo para mejorar su infraestructura ambiental y ciclista. Por último, Zaragoza refleja un desempeño bajo en todos los indicadores, probablemente debido a su extensa superficie municipal y menor densidad de infraestructura, lo que indica la necesidad de intervenciones urgentes y planificación estratégica para mejorar su cobertura.

==== Mejoras a futuro ====

De cara al futuro, se sugiere una planificación urbana más coordinada que priorice la equidad territorial en el acceso a infraestructuras sostenibles. Entre las principales recomendaciones se encuentra la expansión y conexión de la red de carriles bici, especialmente en ciudades con baja cobertura y densidad, así como la mejora de la distribución y proximidad de puntos limpios y centros de reciclado para garantizar su uso efectivo por parte de la ciudadanía. Asimismo, se propone integrar estos indicadores en los instrumentos de planificación municipal como parte de estrategias más amplias de acción climática, con el objetivo de avanzar hacia ciudades más resilientes, inclusivas y ambientalmente responsables.

== Bibliografía ==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_24/25]]

Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

2025-05-21T08:46:41Z

Teresa.vegetti:

{{ TrabajoSIG | Evaluación de la acción climática en ciudades españolas | Sergio Puente Puente Pablo Ramos Bartol Teresa Chiara Vegetti Sanmamed | [[:Categoría:SIGAIC_24/25|Curso 24/25]] }}
Este artículo se ha elaborado como parte de un trabajo de investigación realizado en el marco de la asignatura de [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica]]. El objetivo de este trabajo es evaluar la acción climática en seis de las principales ciudades españolas. De mayor a menor población, se han seleccionado: Madrid, Barcelona, Valencia, Sevilla, Zaragoza y Málaga.

La acción climática urbana ha adquirido una relevancia creciente en las agendas políticas locales, y su evaluación requiere herramientas técnicas capaces de integrar información espacial y temática diversa. En este contexto, el presente estudio utiliza herramientas de análisis geoespacial para medir el grado de implantación de infraestructuras clave para la sostenibilidad urbana. En particular, se han considerado tres ejes fundamentales: la gestión de residuos, a través de la distribución de centros de reciclado y puntos limpios; la movilidad sostenible, mediante la cobertura del territorio por infraestructuras ciclistas; y la densidad de dichas infraestructuras en relación con la extensión del municipio.

Posteriormente, se llevó a cabo una evaluación comparativa entre las ciudades seleccionadas, aplicando un enfoque multicriterio basado en ponderaciones relativas. Esta metodología permitió construir una nota media compuesta que refleja el grado de avance de cada ciudad hacia un modelo urbano más sostenible.
Los resultados globales obtenidos sitúan a Barcelona como la ciudad con mejor desempeño seguida por Sevilla, Madrid, Valencia, Málaga, y Zaragoza.
Entre las principales mejoras identificadas tras el análisis, se recomienda una ampliación generalizada de las redes ciclistas en aquellas ciudades con baja cobertura y densidad, así como una redistribución más equitativa y accesible de las infraestructuras de reciclaje. Algunas urbes requieren un refuerzo puntual en determinados servicios, mientras que otras se beneficiarían de una planificación más equilibrada que permita avanzar de forma homogénea en todos los ejes evaluados.

== Introducción ==

== Metodología ==

Para la realización de este trabajo se ha seguido una metodología basada en el análisis geoespacial mediante el uso del programa QGIS. Todos los planos y análisis han sido ejecutados dentro de este entorno, permitiendo una representación precisa y detallada del territorio y de las infraestructuras urbanas estudiadas.

La información relativa a la red de carriles bici de cada ciudad ha sido obtenida a partir de bases de datos oficiales proporcionadas por los respectivos ayuntamientos. Estas capas vectoriales, que contienen los trazados de las infraestructuras ciclistas, han sido incorporadas a QGIS para su análisis. Por su parte, los datos correspondientes a los centros de reciclado y a los puntos limpios se han extraído a través de la herramienta QuickOSM, un complemento integrado en QGIS que permite descargar información directamente desde la base de datos abierta de OpenStreetMap, filtrando específicamente por las etiquetas <math> \textit{recycling} </math> y <math> \textit{waste_disposal} </math>.

Una vez recopilada y procesada toda la información geográfica, se procedió a delimitar el contorno de cada municipio como unidad de análisis espacial. Sobre esta base, se generaron áreas de influencia en torno a los carriles bici, centros de reciclado y puntos limpios, estableciendo radios adecuados según el tipo de infraestructura. Posteriormente se calculó el área municipal cubierta y no cubierta por cada servicio, mediante operaciones de intersección espacial.

Para evaluar la relevancia y eficacia de las infraestructuras medioambientales y de movilidad sostenible en varias ciudades, se ha llevado a cabo un análisis cuantitativo basado en cuatro indicadores: el índice de área servida por puntos limpios, el índice de área servida por centros de reciclado, el índice de área servida por infraestructura ciclista (carriles bici) y la relación entre la longitud total de carriles bici y el área total del municipio (<math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math> de superficie municipal).

== Resultados ==

=== Madrid ===

==== Carril bici ====

Madrid cuenta con una cobertura ciclista del 33,19% del área municipal, muy similar a la de Valencia. La longitud total de carriles bici asciende a 832,69 <math> km </math>, lo que la convierte en la ciudad con más kilómetros de carril bici, aunque su relación longitud-superficie es de 1,38 <math> km/km^{2} </math>, lejos del liderazgo de Barcelona. La gran extensión del municipio (más de 600 <math> km^{2} </math>) y la presencia de zonas naturales protegidas como El Pardo o Casa de Campo, así como áreas residenciales dispersas, influyen en que una gran parte del territorio quede fuera de la cobertura ciclista. Aun así, la red existente tiene una buena base estructural, con potencial para expandirse a zonas menos servidas y reforzar la intermodalidad con el transporte público.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmadridbici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices del carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_bici1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_bici2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Madrid''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Madrid, con un 24,30% de cobertura en reciclaje y 67,13% en puntos limpios, ocupa una posición intermedia. La baja cobertura de reciclaje puede atribuirse, en parte, a su amplísima extensión territorial (más de 600 <math> km^{2} </math>), que incluye grandes zonas verdes y no urbanizadas, como El Pardo, la Casa de Campo o áreas periféricas con baja densidad. Esto hace que grandes superficies no requieran o no justifiquen servicios distribuidos de reciclaje. Aun así, el buen desempeño en puntos limpios demuestra una infraestructura sólida en zonas urbanizadas.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmadridreciclado.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_puntos1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_puntos2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_sup1_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Madrid''' ]]

[[File:pts_sup2_madrid.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Madrid''' ]]

=== Barcelona ===

==== Carril bici ====

Barcelona destaca como la ciudad mejor posicionada en infraestructura ciclista. Más del 52,47% de su área municipal está servida por carriles bici, y su relación longitud/superficie es la más alta de todas las ciudades analizadas: 1,98 km de carril bici por km². Esto se debe a su densa y compacta trama urbana, que favorece una movilidad no motorizada. Además, las políticas públicas a favor de la bicicleta (como la red de carriles segregados y el sistema <math> \textit{Bicing} </math>) han consolidado un modelo exitoso que combina eficiencia y sostenibilidad. Barcelona sirve como referente para otras ciudades españolas en términos de planificación ciclista integrada.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsbarcelonabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices del carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:ptsbici1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_bici2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Barcelona''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Barcelona se posiciona como la ciudad con mejor desempeño global. Su 78,17% de cobertura en centros de reciclado y 94,87% en puntos limpios reflejan una política medioambiental bien estructurada, con una red eficiente y accesible de infraestructuras. La densidad urbana, la menor extensión territorial (apenas 100 <math> km^{2} </math>) y una planificación orientada a la proximidad y la sostenibilidad hacen posible esta altísima cobertura. La estructura de barrios compactos y la presión ciudadana también han impulsado un fuerte compromiso institucional con la gestión de residuos.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsbarcelonareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_puntos1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_puntos2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_sup1_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Barcelona''' ]]

[[File:pts_sup2_barcelona.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Barcelona''' ]]

=== Valencia ===

==== Carril bici ====

Valencia presenta una cobertura ciclista intermedia: el 33,29% de su superficie municipal cuenta con carriles bici, con una longitud total de 192,5 <math> km </math>. La relación de 1,38 <math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math> la sitúa en una posición similar a la de Madrid, aunque por debajo de Barcelona y lejos del ideal. A diferencia de Málaga, Valencia tiene una estructura urbana más compacta y plana, lo que facilita el uso de la bicicleta como medio de transporte diario. No obstante, aún dos tercios del municipio están sin cobertura ciclista, lo cual sugiere que existen zonas periféricas, industriales o rurales (como la huerta valenciana o áreas cercanas a la Albufera) que no han sido integradas en la red de movilidad ciclista. Pese a ello, Valencia tiene un potencial significativo para avanzar, especialmente considerando el uso creciente de la bicicleta en el centro urbano y su clima favorable. Una ampliación ordenada de la red ciclista, enfocada en conectar barrios y zonas verdes, podría llevar a Valencia a competir con ciudades de referencia en movilidad sostenible.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsvalenciabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices del carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_bici1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_bici2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Valencia''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Valencia muestra un desempeño muy limitado en cobertura de centros de reciclado (18,13%), aunque mejora notablemente en lo que respecta a puntos limpios, con una cobertura del 50,42%. Este desbalance refleja una red de reciclaje insuficiente frente a una planificación algo más avanzada en lo referente a puntos limpios. El término municipal de Valencia, si bien no es tan extenso como el de Madrid o Zaragoza, presenta una mezcla de áreas densamente urbanizadas y otras más industriales o agrícolas, especialmente en la zona de huerta. Además, la presencia de infraestructuras como el puerto y el aeropuerto, así como grandes parques urbanos y naturales (como el de la Albufera), ocupan superficie sin cobertura de servicios ambientales, reduciendo el índice efectivo de servicio en zonas habitadas.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsvalenciareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_puntos1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_puntos2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_sup1_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Valencia''' ]]

[[File:pts_sup2_valencia.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Valencia''' ]]

=== Sevilla ===

==== Carril bici ====

Sevilla presenta una cobertura del 41,52%, una de las mejores después de Barcelona. Su red ciclista suma 181,74 <math> km </math>, con una densidad de 1,28 <math> km/km^{2} </math>, ligeramente inferior a Madrid o Valencia, pero aceptable considerando su superficie. La ciudad fue pionera en infraestructura ciclista en España, con inversiones destacadas en la última década. Su estructura urbana más concentrada y orografía plana han favorecido la implantación de una red funcional, aunque aún quedan zonas al este y sur con baja cobertura. Consolidar conexiones interbarrios y mejorar la calidad de los carriles existentes podrían ser los próximos pasos para seguir avanzando.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptssevillabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices del carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_bici1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_bici2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Sevilla''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Sevilla presenta un contraste notable. Mientras que el 95,42% del municipio está cubierto por puntos limpios, solo el 16,79% tiene acceso a centros de reciclado. Esta dualidad puede explicarse por un modelo más centralizado de recogida selectiva y una posible falta de descentralización en los centros de reciclaje. Además, parte del término municipal sevillano está formado por espacios rurales o poco urbanizados, donde probablemente no se justifique una instalación distribuida de reciclaje.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptssevillareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_puntos1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_puntos2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_sup1_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Sevilla''' ]]

[[File:pts_sup2_sevilla.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Sevilla''' ]]

=== Zaragoza ===

==== Carril bici ====

Zaragoza muestra una cobertura extremadamente baja: solo el 5,48% de su área cuenta con carriles bici, pese a tener una longitud total de 158,55 <math> km </math>. La densidad es de apenas 0,16 <math> km/km^{2} </math>, la segunda más baja. El principal factor es su enorme superficie municipal (casi 974 <math> km^{2} </math>), una de las más grandes de España, que incluye vastas zonas agrícolas, logísticas e industriales. Aunque el centro urbano tiene infraestructura ciclista razonable, su peso es mínimo en comparación con el territorio total. Es prioritario fortalecer las conexiones urbanas internas y extender el servicio a distritos exteriores, especialmente en un contexto de baja densidad.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptszaragozabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices del carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_bici1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_bici2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Zaragoza''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Zaragoza presenta los índices más bajos de toda la muestra, con solo 4,72% de cobertura en reciclaje y 14,76% en puntos limpios. Esta situación responde, en parte, al hecho de que Zaragoza posee la mayor superficie municipal de todas las ciudades analizadas (casi 974 <math> km^{2} </math>). Su término municipal incluye amplias zonas de campo, desierto (como los Monegros) y áreas industriales con baja ocupación residencial. La dispersión geográfica y la menor presión urbana podrían haber llevado a una menor inversión en infraestructuras distribuidas, aunque los niveles actuales indican necesidad urgente de expansión para atender adecuadamente incluso a la población urbana.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptszaragozareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_puntos1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_puntos2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_sup1_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Zaragoza''' ]]

[[File:pts_sup2_zaragoza.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Zaragoza''' ]]

=== Málaga ===

==== Carril bici ====

Málaga muestra una situación crítica en cuanto a infraestructura ciclista. Con una cobertura de solo el 5,88% del área municipal por carriles bici, es una de las ciudades peor posicionadas en este aspecto. La longitud total de carril bici es de apenas 49 km, lo que, comparado con su superficie de más de 395 <math> km^{2} </math>, da una relación de 0,12 <math> km </math> de carril bici por <math> km^{2} </math>, la más baja del conjunto analizado. Esta situación puede explicarse por varios factores urbanísticos y territoriales. Málaga es una ciudad muy extensa y fragmentada geográficamente, con barrios alejados del centro como Campanillas, Churriana o El Palo, y una orografía irregular que no facilita la conectividad ciclista continua. Además, el enfoque en infraestructuras para el automóvil y la dispersión metropolitana han desplazado la bicicleta a un segundo plano en el modelo de movilidad urbana. El margen de mejora es amplio: un plan de movilidad sostenible que conecte el litoral, el centro histórico y los barrios periféricos mediante carriles bici seguros y continuos podría cambiar radicalmente este panorama.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes al carril bici de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmalagabici.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices del carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_bici1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_bici2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Carril bici de la ciudad de Málaga''' ]]

==== Centros de reciclado y puntos limpios ====

Málaga presenta una cobertura del 30,91% en centros de reciclado y 38,59% en puntos limpios, lo que la sitúa en un nivel medio-bajo en comparación con otras ciudades analizadas. Si bien sus cifras son superiores a las de Zaragoza o Sevilla en reciclaje, aún están lejos de los estándares que muestran ciudades como Barcelona o Madrid. Una de las principales causas de esta cobertura parcial es la estructura territorial dispersa del municipio. Málaga cuenta con barrios periféricos alejados del centro, como Churriana, Campanillas o Puerto de la Torre, que dificultan la distribución uniforme de infraestructuras medioambientales. A esto se suma la presencia de zonas industriales y rurales dentro de su término municipal, que pueden no estar priorizadas en la planificación de puntos limpios o reciclaje domiciliario.

A continuación, se muestran los datos e índices correspondientes a los puntos limpios y a los centro de reciclado de la ciudad, así como la representación geoespacial de los resultados.

[[File:Ptsmalagareciclaje.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Índices de puntos limpios y centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_puntos1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_puntos2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Centros de reciclado de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_sup1_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Málaga''' ]]

[[File:pts_sup2_malaga.png|600px|miniaturadeimagen|center| '''Figura X - Puntos limpios de la ciudad de Málaga''' ]]

== Conclusiones ==

Con el objetivo de analizar la influencia de los indicadores presentados en relación con la acción climática, se ha llevado a cabo una evaluación ponderada en función de su importancia.

Se estableció que la cobertura de puntos limpios tiene una relevancia del 30%, dado su papel fundamental en la gestión adecuada de residuos y la reducción de contaminación. La cobertura por centros de reciclado se valoró con un 25%, por su importancia en fomentar el reciclaje y la economía circular. La cobertura por infraestructura ciclista recibió un 25%, considerando que promueve la movilidad sostenible y la reducción de emisiones de gases de efecto invernadero. Finalmente, la relación entre la longitud de carril bici y la superficie del municipio fue ponderada con un 20%, como indicador de accesibilidad y densidad real de la infraestructura ciclista.

A continuación, se procedió a normalizar cada indicador para cada ciudad. Para ello, se identificó el valor máximo registrado en cada indicador como referencia (que se asignó la nota máxima de 10) y se calculó la nota proporcional para el resto de ciudades. Esto permitió convertir valores absolutos y porcentajes en una escala homogénea de 0 a 10, facilitando la comparación directa entre ciudades y entre indicadores.

Finalmente, se aplicó la ponderación establecida a las notas normalizadas para obtener una nota final compuesta para cada ciudad. Esta nota final refleja un índice global que sintetiza el desempeño relativo de cada municipio en cuanto a la cobertura y densidad de infraestructuras de gestión de residuos y movilidad sostenible.

[[File:Ptsresultados.png|800px|miniaturadeimagen|center| '''Tabla X - Resultados finales del análisis''' ]]

Los resultados obtenidos evidencian que Barcelona se posiciona claramente como la ciudad con mejor desempeño global. Por otra parte, Sevilla también muestra un buen desempeño, especialmente en puntos limpios e infraestructura ciclista, aunque con menor cobertura en centros de reciclado. Madrid se sitúa en una posición intermedia, mientras que Valencia y Málaga presentan resultados medios-bajos, mostrando margen significativo para mejorar su infraestructura ambiental y ciclista. Por último, Zaragoza refleja un desempeño bajo en todos los indicadores, probablemente debido a su extensa superficie municipal y menor densidad de infraestructura, lo que indica la necesidad de intervenciones urgentes y planificación estratégica para mejorar su cobertura.

== Bibliografía ==

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_24/25]]

Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

2025-05-21T07:45:59Z

Teresa.vegetti:

Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

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Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

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Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

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Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

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Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

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Evaluación de la acción climática en ciudades españolas

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Teresa.vegetti:

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-14T05:24:04Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo y dibujo del rotacional */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá entender los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:rot23b.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=abs(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{\rho \, \theta}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

Ya conocemos el valor de la divergencia del campo <math> \vec u </math>, calculado en el apartado 6. Así, en coordenadas cartesianas, el gradiente de la divergencia nos quedaría:

 
<center><math> \nabla(\nabla \cdot \vec u)=-\frac{3}{5}\frac{\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))}{\rho} \sin\theta \vec i+\frac{3}{5}\frac{\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))}{\rho} \cos\theta \vec j </math></center>
 

Por otro lado, el laplaciano del campo vectorial <math> \vec u </math> ha sido calculado, en coordenadas cartesianas, de la siguiente manera:

 
<center><math> \Delta \vec u=\frac{1}{\rho}\left [ \frac{\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))}{20}\cos\theta+\frac{1}{20}\left \{
-36\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta-6\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta-6\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta-\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \right \} \right ]\vec i+ </math></center>
 
<center><math> + \frac{1}{\rho}\left [ \frac{\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))}{20}\sin\theta+\frac{1}{20}\left \{
-36\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta+6\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta+6\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta-\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \right \} \right ]\vec j </math></center>
 

Tras introducir estas dos expresiones en la ecuación del campo de fuerzas <math> \vec F </math>, obtenemos el siguiente código M que nos permite representarlo:

[[File:23Bapartado11.jpg|460px|miniaturadeimagen|left|'''CAMPO DE FUERZAS F QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Rot23b.jpg

2022-12-14T05:22:26Z

Teresa.vegetti:

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-13T09:23:32Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de las tensiones normales */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá entender los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{\rho \theta}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

Ya conocemos el valor de la divergencia del campo <math> \vec u </math>, calculado en el apartado 6. Así, en coordenadas cartesianas, el gradiente de la divergencia nos quedaría:

 
<center><math> \nabla(\nabla \cdot \vec u)=-\frac{3}{5}\frac{\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))}{\rho} \sin\theta \vec i+\frac{3}{5}\frac{\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))}{\rho} \cos\theta \vec j </math></center>
 

Por otro lado, el laplaciano del campo vectorial <math> \vec u </math> ha sido calculado, en coordenadas cartesianas, de la siguiente manera:

 
<center><math> \Delta \vec u=\frac{1}{\rho}\left [ \frac{\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))}{20}\cos\theta+\frac{1}{20}\left \{
-36\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta-6\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta-6\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta-\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \right \} \right ]\vec i+ </math></center>
 
<center><math> + \frac{1}{\rho}\left [ \frac{\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))}{20}\sin\theta+\frac{1}{20}\left \{
-36\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta+6\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta+6\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta-\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \right \} \right ]\vec j </math></center>
 

Tras introducir estas dos expresiones en la ecuación del campo de fuerzas <math> \vec F </math>, obtenemos el siguiente código M que nos permite representarlo:

[[File:23Bapartado11.jpg|460px|miniaturadeimagen|left|'''CAMPO DE FUERZAS F QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T08:01:46Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

[[File:23Bapartado11.jpg|460px|miniaturadeimagen|left|'''CAMPO DE FUERZAS F QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T08:01:32Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

[[File:23Bapartado11.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''CAMPO DE FUERZAS F QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T08:01:17Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

[[File:23Bapartado11.jpg|470px|miniaturadeimagen|left|'''CAMPO DE FUERZAS F QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T08:00:57Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

[[File:23Bapartado11.jpg|500px|miniaturadeimagen|left|'''CAMPO DE FUERZAS F QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T07:59:59Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo y dibujo del campo de fuerzas */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

[[File:23Bapartado11.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''CAMPO DE FUERZAS F QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:23Bapartado11.jpg

2022-12-09T07:57:40Z

Teresa.vegetti:

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T07:51:37Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T07:50:55Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5a.png|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T07:50:41Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23Bapartado5a.png|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:23apartado5a.jpg

2022-12-09T07:50:01Z

Teresa.vegetti:

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T07:37:32Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23BBapartado5.png|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3/4*pi,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-09T07:36:56Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo antes y después del desplazamiento */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones. Para llevarlo a cabo, nos ayudaremos del lenguaje de programación M y del programa informático MATLAB, que nos permitirá representar los cálculos de una manera más visual.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23BBapartado5.png|800px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (1,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz sigma
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,2) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz sigma
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
shading interp
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{z}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{10} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (3,3) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz sigma
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
shading interp
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
axis equal
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_{VM} =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 

donde <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math> son los autovalores de <math> \sigma </math>, también conocidos como «tensiones principales». Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material inicia un comportamiento plástico. Para calcularlos, hemos empleado el comando '''eig''' en MATLAB.

En las siguientes gráficas, podemos observar que los puntos en que <math> \sigma_{VM} </math> alcanza su mayor valor son aquellos representados en color amarillo. Este valor es 0.5614 (calculado por MATLAB) y se da en los puntos cuyas coordenadas cumplen una de las siguientes condiciones:
 
<center><math> \theta=\frac{\pi}{4} \;;\; \theta=\frac{7\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{5\pi}{12} \;;\; \theta=\frac{3\pi}{4} </math></center>
 

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

 
<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>
 
donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material, por lo que la ecuación queda:
 
<center><math> \vec F=-\Delta \vec u-2\nabla(\nabla \cdot \vec u) </math></center>
 

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

fuerzai=(6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-6*cos(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20))./ro;
fuerzaj=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
quiver(Mx,My,fuerzai,fuerzaj);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T16:52:18Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 
habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>: <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math>.

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

Como podemos observar en el gráfico, la tensión de Von Mises alcanza su valor máximo en el punto (x,y,z), dado en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>

donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material.

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T16:51:46Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 
habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>: <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math>.

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

Como podemos observar en el gráfico, la tensión de Von Mises alcanza su valor máximo en el punto (x,y,z), dado en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>

donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material.

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T16:51:07Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 
habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>: <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math>.

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''']]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''']]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

Como podemos observar en el gráfico, la tensión de Von Mises alcanza su valor máximo en el punto (x,y,z), dado en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>

donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material.

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T16:49:42Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 
habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>: <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math>.

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''' ]]

Como podemos observar en el gráfico, la tensión de Von Mises alcanza su valor máximo en el punto (x,y,z), dado en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>

donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material.

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T16:48:55Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T(x,y)=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor de deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DE DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\rho} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\rho}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{\theta} </math>''' ===
Las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_{\theta}</math> vienen dadas por:

 
<center><math> \vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} </math></center>
 

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN DEL EJE <math> \vec e_{z} </math>''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

A pesar de que los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y pueden existir en la dirección ortogonal al plano de la placa. En este caso, podemos ver que la tensión es más elevada en las direcciones <math> \vec e_{\rho} </math> y <math> \vec e_{\theta} </math> que en la dirección <math> \vec e_{z} </math>.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math> \vec e_{\rho} </math>, es decir, <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>.

 
<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>
 

Podemos ver que la solución se corresponde con la componente (2,1) de la matriz del tensor de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} \,, </math></center>
 
habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>: <math> \sigma_1 </math>, <math> \sigma_2 </math> y <math> \sigma_3 </math>.

[[File:23Bapartado10a.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado10.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}

Como podemos observar en el gráfico, la tensión de Von Mises alcanza su valor máximo en el punto (x,y,z), dado en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

El campo de fuerzas <math> \vec F </math>, que actúa sobre la placa y que es el causante del desplazamiento observado, se calcula con la ecuación de Lamé:

<center><math> \vec F=\frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2}-\mu \Delta \vec u-(\lambda+\mu)\nabla(\nabla \cdot \vec u) \,, </math></center>

donde <math> \Delta \vec u </math> es el laplaciano del campo <math> \vec u </math> y <math> \nabla(\nabla \cdot \vec u) </math> es el gradiente de la divergencia del campo <math> \vec u </math>. Por otro lado, sabemos que el campo <math> \vec u </math> no depende del tiempo y que <math> \lambda=\mu=1 </math> por las propiedades del material.

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T11:21:38Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:23Bapartado10a.jpg|400px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado10.jpg|400px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T11:20:43Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:23Bapartado10a.jpg|400px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado10.jpg|400px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T11:20:17Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:23Bapartado10a.jpg|600px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado10.jpg|600px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T11:19:53Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:23Bapartado10a.jpg|800px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado10.jpg|800px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T11:18:46Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:23Bapartado10a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado10.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:23Bapartado10.jpg

2022-12-07T11:13:35Z

Teresa.vegetti:

Archivo:23Bapartado10a.jpg

2022-12-07T11:11:18Z

Teresa.vegetti:

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T11:07:53Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:23Bapartado10a.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIÓN DE VON MISES EN 2D ''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T11:03:04Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo de las tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \end{pmatrix}+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right) \,; </math></center>
 
<center><math> \sigma (\rho,\theta,z)=\begin{pmatrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{pmatrix} </math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left |\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right |=\frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(Mx,My,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:50:37Z

Teresa.vegetti: /* Dibujo de la tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

lu=length(u);
lv=length(v);
%creamos las componentes de la matriz sigma
AA=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
BB=inline('(1/5.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
CC=inline('(1/10.*(sin(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
AB=inline('(6/20.*(cos(6.*(atan(Mx./My)-pi/4))))','Mx','My');
Msig=[];
%hallamos los autovalores
for i=1:lv
for j=1:lu
X=AA(Mx(i,j),My(i,j));
Y=BB(Mx(i,j),My(i,j));
Z=CC(Mx(i,j),My(i,j));
O=AB(Mx(i,j),My(i,j));
Msig=[X,O,0;O,Y,0;0,0,Z];
autovalores=eig(Msig);
VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));
G(i,j)=VM;
end
end
%dibujamos la tensión de Von Mises
surf(Mx,My,G);
shading interp
title('Tensión de Von Mises')
colorbar
%valor máximo de la tensión de Von Mises
max=max(max(G))
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:40:18Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo y dibujo del gradiente */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂x}\vec i + \frac{∂T}{∂y}\vec j </math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:39:04Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo y dibujo del gradiente */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. El gradiente se define como:
<center><math>\nabla T(x,y) =\frac{∂T}{∂X}\vec i + \frac{∂T}{∂Y}\vec j </math></center>
En nuestro caso queda:
<center><math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math></center>

Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:33:46Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo de las tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto: <math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math>.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:32:23Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo de las tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto: <math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math>.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|370px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:31:59Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo de las tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto: <math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math>.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|450px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL <math> \vec e_{\rho}\ </math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:29:00Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo de las tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto: <math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math>.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

La solución corresponde con la componente de la posición (2,1) en la matriz de tensiones.

[[File:23Bapartado9.jpg|320px|miniaturadeimagen|right]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:25:05Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo de las tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto: <math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math>.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

[[File:23Bapartado9.jpg|320px|miniaturadeimagen|right]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)

2022-12-07T10:24:41Z

Teresa.vegetti: /* Cálculo de las tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]]| Pablo Ramos Bartol Irene Serra García Marc Torres Vidal Teresa Chiara Vegetti Sanmamed }}

El trabajo correspondiente a nuestro grupo es el número 5, que consiste en el estudio de campos y deformaciones en dos dimensiones.

Consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|, por lo que trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Físicamente representa la sección transversal de un sólido para el cual se desprecian las variaciones en la dirección ortogonal a la sección considerada.

En ella, vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math> T(x,y) </math>, que viene dada por <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>, y los desplazamientos <math> \vec u(\rho,\theta) </math>, producidos por la acción de una fuerza <math> \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math>.

De esta forma, si definimos <math> \vec r_{0}(x,y)=x \vec i+y\vec j </math> como el vector posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math> (x,y) </math> de la placa después de la deformación vendrá dada por <math> \vec r_{d}(x,y)=\vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y) </math>.

== Dibujo del sólido ==
Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/20 para las variables x e y.
[[File:23apartado1.jpg|410px|miniaturadeimagen|right|'''REPRESENTACIÓN DEL MALLADO''' ]]
{{matlab|codigo=
%limpieza de programas anteriores
clear
clc
%mallado interior de la placa rectangular
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
%cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Mz tiene que ser una matriz nula del mismo tamaño que My
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
}}

== Dibujo de las curvas de nivel ==
Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar <math> T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 </math>.
Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos aproximados de máxima temperatura: [-1.4,1.4] y [1.4,1.4].

[[File:23apartado2.jpg|675px|miniaturadeimagen|left| '''CAMPO DE TEMPERATURAS Y CURVAS DE NIVEL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);

%campo escalar de la temperatura
T=Mx.^2+(My-1).^2;

%este gráfico se coloca en la fila de arriba
subplot(2,1,1)
%aplicamos la función al mallado con un degradado de colores
surf(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
%para verlo desde arriba
view(2)
title('Campo de temperaturas')
%este gráfico se coloca en la fila de abajo
subplot(2,1,2)
%dibujamos las curvas de nivel
contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
title('Curvas de nivel')
%barra de indicación de colores
colorbar
}}

== Cálculo y dibujo del gradiente ==
A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto: <math> \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j </math>.

[[File:23Bapartado3.jpg|675px|miniaturadeimagen|right| '''DIBUJO DEL GRADIENTE''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
T=Mx.^2+(My-1).^2;

contour(Mx,My,T);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar

%para que se inserten los gráficos de las curvas de nivel y el gradiente en un mismo gráfico
hold on
%vectores del gradiente
Mxx=2*Mx;
Myy=2*(My-1);
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,Mxx,Myy);
%centramos los ejes
axis equal
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Gradiente de T')
hold off
}}

== Dibujo del campo de vectores ==
Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector <math> \vec e_{\rho} </math>:
<center><math> \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j </math></center>

El campo en cilíndricas es el siguiente:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } </math></center>
El campo en cartesianas nos queda:
<center><math> \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\cos\theta \vec i+\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\sin\theta \vec j </math></center>

[[File:23apartado4.jpg|520px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DEL CAMPO''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
mesh(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo u')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

hold on
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
%campo vectorial en 2D
quiver(Mx,My,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
hold off
}}

== Dibujo antes y después del desplazamiento ==
Seguidamente, representaremos el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math> \vec u </math>. En vista de su expresión, el campo de desplazamientos sólo varía en la dirección del vector unitario <math> \vec e_{\rho} </math>.

[[File:23apartado5.jpg|5000px|miniaturadeimagen|right|'''SÓLIDO ANTES DEL DESPLAZAMIENTO.

SÓLIDO DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO.

COMPARACIÓN DEL ANTES Y DEL DESPUÉS''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%situación inicial
subplot(1,3,1)
surf(Mx,My,My*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación inicial')

%situación final
subplot(1,3,2)
mx=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*cos(teta))/20;
my=(ro.*sin(6.*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20;
rx=Mx+mx;
ry=My+my;
surf(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Situación final')

%comparación
subplot(1,3,3)
plot3(Mx,My,My*0);
hold on
plot3(rx,ry,ry*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Comparación')
hold off
}}

== Cálculo de la divergencia ==
A continuación, calcularemos la divergencia del campo <math> \vec u </math>, que es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. Su expresión es:
<center><math>\nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho u_{\rho})+\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\theta})+\frac{\partial}{\partial z}(\rho u_{z})]</math></center>
En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial \rho}(\frac{\rho^2}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})))]=\frac{2\rho}{20\rho}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>
De este modo, deducimos que si un cuerpo se desplaza en un medio elástico y la divergencia del campo correspondiente es cero, esto quiere decir que no ha cambiado su volumen. En este caso, como obtenemos una divergencia distinta de cero, afirmamos que el volumen del sólido se ve afectado por el movimiento de sus moléculas.

En la siguiente gráfica, podemos ver que los puntos en los que la divergencia es '''mínima''' son aquellos que cumplen:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=-1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{3\pi}{2} ;\; \theta=\frac{3\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} </math></center>
Los puntos en los que la divergencia es '''máxima''' vienen dados de dos formas:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3} \end{matrix}\right. </math></center>
Por otro lado, los puntos en los que la divergencia es '''nula''' quedan definidos por:
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>
<center><math> \sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=0 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=\pi + 2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{12} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23apartado6.jpg|425px|miniaturadeimagen|left|'''DIBUJO DE LA DIVERGENCIA''' ]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%representamos la divergencia
div=(sin(6.*(teta-pi/4)))/10;
surf(Mx,My,div);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Divergencia')
colorbar
%para mostrar un degradado de colores
shading interp
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional ==
En este apartado, calcularemos el rotacional del campo <math> \vec u </math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ u_{\rho} & \rho u_{\theta} & u_{z} \end{matrix}\right| </math></center>

En nuestro caso, queda:
<center><math> \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) =\frac{1}{\rho} \left|\begin{matrix} \vec e_{\rho} & \rho \vec e_{\theta} & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) & 0 & 0 \end{matrix}\right|=-\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) \vec e_{z} </math></center>

Mientras que el rotacional se representa como un campo vectorial, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar:
<center><math> \left | \nabla \times \vec u(\rho,\theta,z) \right |=\frac{3}{10}\cos(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math></center>

El rotacional nos indica la capacidad que tienen los distintos puntos de nuestra placa para girar sobre otro punto determinado. En la siguiente gráfica, podemos observar que los puntos que sufren un mayor rotacional son aquellos representados en color amarillo. Estos puntos vienen dados por:
<center><math> \cos(6(\theta-\frac{\pi}{4}))=1 ;\; 6(\theta-\frac{\pi}{4})=2\pi k, \: k\in\mathbb{Z} \; \left\{\begin{matrix} para\,k=0: & \theta=\frac{\pi}{4} \\ para\,k=1: & \theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12} \end{matrix}\right. </math></center>

[[File:23Bapartado7.jpg|425px|miniaturadeimagen|right|'''DIBUJO DEL MÓDULO DEL ROTACIONAL''' ]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3/4*pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%módulo del rotacional
rot=(cos(6.*(teta-pi/4)).*(3/10));
%dibujamos el rotacional
surf(Mx,My,rot);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Módulo del rotacional')
colorbar
shading interp
}}

== Dibujo de las tensiones normales ==
A continuación, analizaremos las tensiones normales a las que se ve sometida la placa. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{i j}</math> a través de la fórmula:

<center><math>σ(x,y)=λ∇ \cdot (\vec u)1 + 2μ\epsilon \,,</math></center>

donde:
* '''1''' es el tensor identidad en el conjunto de vectores libres del espacio <math> \mathbb{R}^{3}</math>
* '''λ''', '''µ''' son los conocidos como «coeficientes de Lamé», que dependen de las propiedades elásticas de cada material

Definimos <math>\epsilon (\vec u)=(\nabla\vec u+ \nabla \vec u^{t})/2 </math> como la parte simétrica del tensor gradiente de <math> \vec u </math> conocido como «tensor deformaciones».
Tomando λ=μ=1 debido a las propiedades de nuestro material, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\rho </math>, en la dirección que marca el eje <math>\vec e_\theta </math> y las correspondientes al eje <math>\vec e_z </math>, y las representamos en el dibujo.

==='''CÁLCULO DEL TENSOR DEFORMACIONES Y DE TENSIONES''' ===

Para calcular el tensor deformaciones <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math>, necesitamos calcular:

 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\vec e_{\rho})=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+u_{\rho} \vec 0=\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial \theta}=\frac{\partial}{\partial \theta}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial \theta}(\vec e_{\rho})=6 \rho\frac{cos(6(\theta-\pi/4))}{20}\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec e_{\theta}</math>
 
*<math>\frac{\partial \vec u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(u_{\rho})\vec e_{\rho}+u_{\rho}\frac{\partial}{\partial z}(\vec e_{\rho})=0\vec e_{\rho}+\rho \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{20} \vec 0=\vec 0</math>
 
Ahora sí, calculamos <math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}</math> y <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t</math>:

 
*<math>\nabla{\vec u(ρ,θ,z)}= \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 
* <math>(\nabla{\vec u(ρ,θ,z)})^t = \left(\begin{matrix} \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 & 0 \\ \frac{ 6 cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{ sin (6(\theta-\pi/4))}{20}& 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right)</math>
 

Sabemos que <math> \lambda = \mu =1 </math> y que <math> \nabla \cdot \vec u(\rho,\theta,z)=\frac{1}{10}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4})) </math>, por lo que el resultado del tensor de tensiones sería:

 
<center><math> σ(ρ,θ,z)= \left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)</math></center>
 

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\rho}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\rho}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (1,1)

donde <math>\vec e_{\rho}= \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8a.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8a2.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\rho}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-ro
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (1,1) de la matriz tensión
sigma1=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma1);
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-ro')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{\theta}\cdot \sigma\cdot\vec e_{\theta}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (2,2)

donde <math>\vec e_{\theta}= \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8b.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8b1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{\theta}</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-teta
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (2,2) de la matriz tensión
sigma2=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/5));
surf(Mx,My,sigma2);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-teta')
colorbar
}}

==='''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_{z}</math> ''' ===
 
<math>\vec e_{z}\cdot \sigma\cdot\vec e_{z}\Rightarrow </math> Posición de la componente en la matriz de tensiones: (3,3)

donde <math>\vec e_{z}= \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}</math>

[[File:23Bapartado8c.jpg|430px|miniaturadeimagen|left|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 2D''' ]]

[[File:23Bapartado8c1.jpg|430px|miniaturadeimagen|right|'''TENSIONES NORMALES AL EJE <math>\vec e_z</math> EN 3D''' ]]
{{matlab|codigo=
%tensiones normales al eje e-z
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);

%elemento (3,3) de la matriz tensión
sigma3=(sin(6.*(teta-pi/4)).*(1/10));
surf(Mx,My,sigma3);
view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
shading interp
title('Tensiones normales en la dirección del eje e-z')
colorbar
}}

Pese a que los desplazamientos se realizan en plano, las tensiones no tienen por qué ser planas y se pueden representar en las tres direcciones del espacio <math> \vec e_ρ\ </math>, <math> \vec e_θ\ </math> y <math> \vec e_z\ </math> .
En este caso podemos ver que la tensión es más elevada en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> que en la dirección <math> \vec e_θ\ </math> por tanto es mayor en la dirección radial que en la perpendicular a los radios.

== Cálculo de las tensiones tangenciales ==
En este apartado calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal <math> \vec e_{\rho}\ </math> es decir <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<center><math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |=\left(\begin{matrix} \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & 0 \\ \frac{6cos (6(\theta-\pi/4))}{20} & \frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{sin (6(\theta-\pi/4))}{10} \end{matrix}\right)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}-\frac{sin(6(\theta-\pi/4))}{5}\cdot \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\left | \frac{6cos(6(\theta-\pi/4))}{20} \right | </math></center>

[[File:23Bapartado9.jpg|320px|miniaturadeimagen|right]]
{{matlab|codigo=
%cálculo de las tensiones tangenciales
clear
clc
u=1:0.05:2;
v=pi/4:0.05:3*pi/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
erho=abs(6*cos(6*(teta-pi/4))/20);
surf(xx,yy,erho);
shading interp
title('Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e-rho')
colorbar
axis equal
}}

== Dibujo de la tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:
::::::::::<math> \sigma_V =\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}} = \sqrt{3(\frac{sen(θ)^2}{25}+\frac{cos(θ)^2}{100})} </math>
Habiendo sacado anteriormente los autovalores de <math> \sigma </math>:
<math> \sigma_1= 0 </math>,
<math> \sigma_2=\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>,
<math> \sigma_3=-\sqrt{\frac{(sen(θ)^2}{25}+\frac{(cos(θ)^2}{100}}</math>

[[File:vonmises121.jpg|350px|right]]
{{matlab|codigo=
%Tension de Von Mises
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
x=(3/25).*(sin(teta).^2);
y=(3/100).*(cos(teta).^2);
sigmavm=sqrt(x+y);
surf(xx,yy,sigmavm);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
title('Tensión de Von Mises')
}}
Como podemos observar en el gráfico la tensión de Von Mises alcanza valor máximo en el punto (-0,06;1,99;0,35)en coordenadas cartesianas.

== Cálculo y dibujo del campo de fuerzas ==

Para calcular el campo de fuerzas F que actúa sobre la placa se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal <math>\vec F=\nabla·\vec σ </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(ρ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({sen(θ)}{\frac{(ρ)}{5}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(cos(θ)}{5}})=\frac{sen(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::<math>\nabla·\vec σ(θ) =\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial ρ}({cos(θ)}{\frac{(ρ)}{10}})+\frac{1}{ρ} \frac{\partial}{\partial θ}({\frac{(-sen(θ)}{5}})=\frac{-cos(θ)}{10ρ} </math>
::::::::::::::<math> \vec F=\frac{(-sen(θ))}{10ρ}(\vec e_{ρ}) + \frac{(cos(θ))}{10ρ}(\vec e_{\theta}) </math>

[[File:campof.jpg|340px|right]]

{{matlab|codigo=
%Campo F
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mx=(-1/10.*ro).*sin(teta);
my=(1/10.*ro).*cos(teta);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2);
title('Campo de fuerzas F')
}}
Comparando este campo de fuerzas con el anterior podemos observar que en el campo u se producía principalmente deformación en la dirección <math> \vec e_ρ\ </math> , y en este campo la principal variación en el desplazamiento sería en la dirección de <math> \vec e_θ\ </math> .

[[Categoría:Grado en Ingeniería Civil y Territorial]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]