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Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T21:00:00Z

Sofia.romero: /* Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

:: '''Derivación de la base física'''
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

:: '''Tensor de deformación ε como gradiente de u'''
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

Observar que se trata de un tensor que es simétrico (simetría radial) y por tanto el tensor deformación es el propio gradiente (no tiene parte antimetrica).

:: '''Divergencia: coordenadas cilíndricas'''

<math>
\nabla \cdot \mathbf{u} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} (\rho u_{\rho}) + \frac{1}{\rho} \partial_{\theta} u_{\theta} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} \left( \frac{1}{5} (\rho^3 - \rho^2) \right) = \frac{1}{5} (3\rho - 2)
</math>

:: '''Tensor de tensiones en medios elásticos'''
<math>
\sigma = \lambda \nabla \cdot \vec{u} \, \mathbf{I} + 2 \mu \epsilon
</math>

Donde:
* <math>\sigma</math> es el tensor de tensiones.
* <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los parámetros de Lamé.
* <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> es la divergencia del campo de desplazamientos.
* <math>\mathbf{I}</math> es el tensor identidad.
* <math>\epsilon</math> es el tensor de deformaciones.

<math>
\sigma(\rho) =
\begin{pmatrix}
\frac{7\rho - 4}{5} & 0 \\
0 & \frac{5\rho - 4}{5}
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

===Interpretación física===

* Comportamiento tensiones normales: dado que tratamos con un campo de desplazamientos que aumenta con el radio tenemos por la propiedad de elasticidad lineal que las tensiones normales aumentan a medida que lo hace el radio.

:: - Las tensiones en dirección rho se producen directamente por el alargamiento del elemento en dirección radial
:: - Las tensiones en dirección theta se producen por un alargamiento en esa componente de los elementos diferenciales como efecto indirecto del alargamiento del radio ya que permiten la continuidad (elementos diferenciales no se despeguen).

'''Longitud de arco desplazada en coordenadas polares'''
<math>
ds'_0 = \rho' d\theta = (\rho + u_{\rho}) d\theta
</math>

* Componentes de tensiones tangenciales
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \vec{e}_{\rho}</math>

Componentes tensiones tangenciales: dado que es un campo que sólo depende de rho en su componente radial y carece de componentes tangenciales, no se producen deformaciones tangenciales en ninguno de los puntos del sólido por lo que sus tensiones también serán nulas.

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por los radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y los ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre la superficie del semianillo:

<math>M = \iint_{\text{A}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) dA</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''

La masa total es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

*Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

* En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

*En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:55:24Z

Sofia.romero: /* Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

:: '''Derivación de la base física'''
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

:: '''Tensor de deformación ε como gradiente de u'''
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

Observar que se trata de un tensor que es simétrico (simetría radial) y por tanto el tensor deformación es el propio gradiente (no tiene parte antimetrica).

:: '''Divergencia: coordenadas cilíndricas'''

<math>
\nabla \cdot \mathbf{u} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} (\rho u_{\rho}) + \frac{1}{\rho} \partial_{\theta} u_{\theta} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} \left( \frac{1}{5} (\rho^3 - \rho^2) \right) = \frac{1}{5} (3\rho - 2)
</math>

:: '''Tensor de tensiones en medios elásticos'''
<math>
\sigma = \lambda \nabla \cdot \vec{u} \, \mathbf{I} + 2 \mu \epsilon
</math>

Donde:
* <math>\sigma</math> es el tensor de tensiones.
* <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los parámetros de Lamé.
* <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> es la divergencia del campo de desplazamientos.
* <math>\mathbf{I}</math> es el tensor identidad.
* <math>\epsilon</math> es el tensor de deformaciones.

<math>
\sigma(\rho) =
\begin{pmatrix}
\frac{7\rho - 4}{5} & 0 \\
0 & \frac{5\rho - 4}{5}
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:55:05Z

Sofia.romero: /* Ejemplo de tensor de tensiones como función de \rho */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

:: '''Derivación de la base física'''
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

:: '''Tensor de deformación ε como gradiente de u'''
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

Observar que se trata de un tensor que es simétrico (simetría radial) y por tanto el tensor deformación es el propio gradiente (no tiene parte antimetrica).

:: '''Divergencia: coordenadas cilíndricas'''

<math>
\nabla \cdot \mathbf{u} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} (\rho u_{\rho}) + \frac{1}{\rho} \partial_{\theta} u_{\theta} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} \left( \frac{1}{5} (\rho^3 - \rho^2) \right) = \frac{1}{5} (3\rho - 2)
</math>

::'''Tensor de tensiones'''
:: '''Tensor de tensiones en medios elásticos'''
<math>
\sigma = \lambda \nabla \cdot \vec{u} \, \mathbf{I} + 2 \mu \epsilon
</math>

Donde:
* <math>\sigma</math> es el tensor de tensiones.
* <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los parámetros de Lamé.
* <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> es la divergencia del campo de desplazamientos.
* <math>\mathbf{I}</math> es el tensor identidad.
* <math>\epsilon</math> es el tensor de deformaciones.

<math>
\sigma(\rho) =
\begin{pmatrix}
\frac{7\rho - 4}{5} & 0 \\
0 & \frac{5\rho - 4}{5}
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:54:30Z

Sofia.romero: /* Tensor de tensiones en medios elásticos */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

:: '''Derivación de la base física'''
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

:: '''Tensor de deformación ε como gradiente de u'''
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

Observar que se trata de un tensor que es simétrico (simetría radial) y por tanto el tensor deformación es el propio gradiente (no tiene parte antimetrica).

:: '''Divergencia: coordenadas cilíndricas'''

<math>
\nabla \cdot \mathbf{u} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} (\rho u_{\rho}) + \frac{1}{\rho} \partial_{\theta} u_{\theta} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} \left( \frac{1}{5} (\rho^3 - \rho^2) \right) = \frac{1}{5} (3\rho - 2)
</math>

::'''Tensor de tensiones'''
:: '''Tensor de tensiones en medios elásticos'''
<math>
\sigma = \lambda \nabla \cdot \vec{u} \, \mathbf{I} + 2 \mu \epsilon
</math>

Donde:
* <math>\sigma</math> es el tensor de tensiones.
* <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los parámetros de Lamé.
* <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> es la divergencia del campo de desplazamientos.
* <math>\mathbf{I}</math> es el tensor identidad.
* <math>\epsilon</math> es el tensor de deformaciones.

== Ejemplo de tensor de tensiones como función de <math>\rho</math> ==
<math>
\sigma(\rho) =
\begin{pmatrix}
\frac{7\rho - 4}{5} & 0 \\
0 & \frac{5\rho - 4}{5}
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:54:14Z

Sofia.romero: /* Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

:: '''Derivación de la base física'''
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

:: '''Tensor de deformación ε como gradiente de u'''
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

Observar que se trata de un tensor que es simétrico (simetría radial) y por tanto el tensor deformación es el propio gradiente (no tiene parte antimetrica).

:: '''Divergencia: coordenadas cilíndricas'''

<math>
\nabla \cdot \mathbf{u} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} (\rho u_{\rho}) + \frac{1}{\rho} \partial_{\theta} u_{\theta} = \frac{1}{\rho} \partial_{\rho} \left( \frac{1}{5} (\rho^3 - \rho^2) \right) = \frac{1}{5} (3\rho - 2)
</math>

::'''Tensor de tensiones'''
== Tensor de tensiones en medios elásticos ==
<math>
\sigma = \lambda \nabla \cdot \vec{u} \, \mathbf{I} + 2 \mu \epsilon
</math>

Donde:
* <math>\sigma</math> es el tensor de tensiones.
* <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los parámetros de Lamé.
* <math>\nabla \cdot \vec{u}</math> es la divergencia del campo de desplazamientos.
* <math>\mathbf{I}</math> es el tensor identidad.
* <math>\epsilon</math> es el tensor de deformaciones.

== Ejemplo de tensor de tensiones como función de <math>\rho</math> ==
<math>
\sigma(\rho) =
\begin{pmatrix}
\frac{7\rho - 4}{5} & 0 \\
0 & \frac{5\rho - 4}{5}
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:52:22Z

Sofia.romero: /* Tensor de deformación ε como gradiente de u */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

:: '''Derivación de la base física'''
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

:: '''Tensor de deformación ε como gradiente de u'''
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:52:05Z

Sofia.romero: /* Derivación de la base física */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

:: '''Derivación de la base física'''
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

== Tensor de deformación ε como gradiente de u ==
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:51:54Z

Sofia.romero: /* Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

== Derivación de la base física ==
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

== Tensor de deformación ε como gradiente de u ==
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:51:38Z

Sofia.romero: /* Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.'''
:: '''Gradiente del campo de desplazamientos en coordenadas cilíndricas'''
<math>
\nabla \mathbf{u} \triangleq
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u_{\rho}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\rho}}{\partial \theta} - \frac{u_{\theta}}{\rho} \\
\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \rho} & \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_{\rho}}{\rho}
\end{pmatrix}_{(e_{\rho}, e_{\theta})}
</math>

== Derivación de la base física ==
<math>
\frac{\partial e_{\rho}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\rho}}{\partial \theta} = e_{\theta}, \\
\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \rho} = 0, \quad \frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta} = -e_{\rho}
</math>

== Tensor de deformación ε como gradiente de u ==
<math>
\varepsilon = \nabla \mathbf{u} =
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{\rho\rho} & \varepsilon_{\rho\theta} \\
\varepsilon_{\theta\rho} & \varepsilon_{\theta\theta}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\
0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)
\end{pmatrix}
</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:49:54Z

Sofia.romero: /* Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

* Derivadas del campo vectorial: derivación de las componentes del campo vectorial y los vectores de la base física aplicando los símbolos de Christoffel.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

===Cálculo de la masa del sólido===

Considerando el semianillo definido por radios <math>\rho=1</math> y <math>\rho=2</math>
y ángulos <math>\theta=0</math> y <math>\theta=π</math>.

'''Expresión del diferencial de área'''

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* Este factor de conversión <math>\rho</math> es esencial para evitar redundancias y los errores que provocan en la integración.

'''Integral de área'''

La masa se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{Área}} (1+e^{\rho^2 *cos(\theta)}) \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* La masa no está distribuida uniformemente ya que la densidad depende de <math>\cos(\theta)</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>\rho^2</math>.
* En el centro, donde <math>\cos(\theta)=0</math> la densidad se mantiene constante
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>) la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultado'''
La masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

*El semianillo es más pesado en su parte derecha

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:41:58Z

Sofia.romero: /* Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

:: Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

::Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

::Apagado automático de reactores nucleares.

::Protección de transformadores y turbinas.

::Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

::Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

::Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:41:38Z

Sofia.romero: /* Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

:: Activación del freno de emergencia.

Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

Apagado automático de reactores nucleares.

Protección de transformadores y turbinas.

Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:40:37Z

Sofia.romero: /* Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes

Activación del freno de emergencia.

Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

Apagado automático de reactores nucleares.

Protección de transformadores y turbinas.

Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:40:22Z

Sofia.romero: /* Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes
Activación del freno de emergencia.
Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:
Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.
Apagado automático de reactores nucleares.
Protección de transformadores y turbinas.
Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:
Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.
Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:39:45Z

Sofia.romero: /* Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

**Protocolos de emergencia en transportes

* Activación del freno de emergencia.

* Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

* Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

* Apagado automático de reactores nucleares.

* Protección de transformadores y turbinas.

* Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

* Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

* Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:38:07Z

Sofia.romero: /* Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

**Protocolos de emergencia en transportes:

* Activación del freno de emergencia.

* Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

* Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

* Apagado automático de reactores nucleares.

* Protección de transformadores y turbinas.

* Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

* Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

* Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:36:00Z

Sofia.romero: /* Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes:

* Activación del freno de emergencia.

* Cierre de túneles y puentes.

- En infraestructuras energéticas:

* Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.

* Apagado automático de reactores nucleares.

* Protección de transformadores y turbinas.

* Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.

- En edificios:

* Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.

* Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:35:45Z

Sofia.romero: /* Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo de desplazamientos proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

* '''Ejemplos de protocolos de emergencia''':

- Protocolos de emergencia en transportes:
* Activación del freno de emergencia.
* Cierre de túneles y puentes.
- En infraestructuras energéticas:
* Cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo.
* Apagado automático de reactores nucleares.
* Protección de transformadores y turbinas.
* Desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
- En edificios:
* Bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia.
* Activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:33:21Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

* '''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

* '''Definición y comportamiento de ondas P''':

Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:32:50Z

Sofia.romero: /* Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Gift2.gif|300px]]
 ''Figura 12.3: Simulación animada de propagación sísmica''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Archivo:Gift2.gif

2025-12-07T20:31:52Z

Sofia.romero:

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:29:12Z

Sofia.romero: /* Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Aplicación del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

Acotación del efecto del sismo: Mediante el cálculo de la divergencia y otros operadores diferenciales del campo de desplazamientos, el modelo permite estimar con rapidez la magnitud de los daños del fenómeno sísmico en las zonas próximas al epicentro lo que facilita la anticipación y optimización de la respuesta necesaria para hacer frente a las consecuencias del sismo.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.3.jpg|300px]]
 ''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre''
</div>

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:28:15Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.3.jpg|300px]]
 ''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre''
</div>

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-07T20:27:48Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

===Análisis del dominio de la figura y representación numeríca:===
Construcción de una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>.
Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

==Cálculo del gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

'''Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>'''
===Cálculo del gradiente:===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
Este vector indica la dirección de máximo crecimiento de 𝑇. Su magnitud depende de la distancia a la recta 𝑦 = 𝑥, que es precisamente donde 𝑇 = 0.

===Curvas de nivel de T:===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
* El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo.
* Las curvas de nivel son rectas paralelas a la bisectriz 𝑦 = 𝑥 que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.

===Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
* Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva.

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
===Análisis del campo vectorial: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>===
El campo vectorial depende únicamente de la componente y variable
𝜌
, por lo que los vectores siempre apuntan hacia el exterior y existe simetría radial.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, los vectores crecen en módulo hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2, región hasta donde está definida la figura.

* El módulo de los vectores crece de forma cuadrática con 𝜌.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

===Análisis de la deformación producida por el campo de desplazamientos===

El campo de desplazamientos provoca que cada punto del sólido se mueva radialmente hacia el exterior una distancia determinada según la expresión <math>u_\rho=1/5*(\rho^2-\rho)</math>

* El desplazamiento es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

El sólido deformado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo de desplazamientos, a aumentado de radio de forma considerable manteniendo la continuidad entre sus elementos diferenciales.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

==Cálculo de la divergencia en los puntos del sólido==

===Cálculo de la divergencia===

'''Definición del operador divergencia'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Análisis de la divergencia===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

==Cálculo del rotacional en los puntos del sólido==
===Cálculo del operador rotacional en coordenadas polares===

Considerar el campo de desplazamietos en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

===Análisis del rotacional===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran. Esto es debido a que el campo es '''puramente radial''', es decir, no tiene componente tangencial.

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Interpretación sísmica del campo de desplazamientos''':

Modelo estático de deformaciones producidas por ondas P: el campo de desplazamientos proporcionado es un modelo estático simplificado que representa el comportamiento expansivo inicial asociado a las ondas P en la corteza terrestre antes de que la amortiguación ejerza un efecto relevante. Su comportamiento imita los desplazamientos longitudinales de material y el frente de onda con simetría radial. El modelo no genera tensiones tangenciales que alteren la clasificación de la onda que lo produce como tipo P. La magnitud del desplazamiento aumenta con el radio, una característica exclusiva de las regiones próximas al epicentro donde la transmisión de energía es prácticamente completa por la falta de efecto de la atenuación. Como se trata de un campo estático no se puede generalizar para el fenómeno sísmico completo y se reduce a las zonas cercanas al epicentro.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter longitudinal que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión. Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico. En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.3.jpg|300px]]
 ''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre''
</div>

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:54:37Z

Sofia.romero: /* Análisis de la función (x-y)^2 */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}
=== Análisis de la función <math>T (x,y)=(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.3.jpg|300px]]
 ''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre''
</div>

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:47:37Z

Sofia.romero: /* Análisis de la función T(x,y) = (x-y)^2 */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}
=== Análisis de la función <math>(x-y)^2</math> ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.3.jpg|300px]]
 ''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre''
</div>

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:47:03Z

Sofia.romero: /* Dibujar la temperatura del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}
=== Análisis de la función T(x,y) = (x-y)^2 ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.3.jpg|300px]]
 ''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre''
</div>

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:46:44Z

Sofia.romero: /* Dibujar la temperatura del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

=== Análisis de la función T(x,y) = (x-y)^2 ===

'''Distribución de temperatura en el semidisco''':
La temperatura del semidisco presenta una distribución simétrica respecto de la recta <math>y = x</math>, en la cual se alcanza un '''mínimo absoluto''' de valor <math>T = 0</math>.

'''Incremento cuadrático de la temperatura''':
El incremento de temperatura es de carácter '''cuadrático''', alcanzando su valor máximo en el punto
<math>r(\rho,\theta) = (2, \tfrac{3\pi}{4})</math>
(extremo superior izquierdo del semidisco), con un valor <math>T = 8</math>.

'''Patrón de deformación térmica''':
La función describe un patrón de deformación térmica donde:
* El extremo correspondiente al '''cuadrante II''' presenta una '''dilatación'''.
* La diagonal <math>y = x</math>, eje de simetría térmico, presenta una '''zona de contracción'''.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.3.jpg|300px]]
 ''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre''
</div>

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:44:15Z

Sofia.romero: /* Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.3.jpg|300px]]
 ''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre''
</div>

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:42:37Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|300px]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

[[Archivo:Foto12.3.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre'']]

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:42:21Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|thumb|300px|]]
 ''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

[[Archivo:Foto12.3.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre'']]

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:41:48Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Figura12.2.jpg|thumb|300px|'''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco''']]
</div>

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

[[Archivo:Foto12.3.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre'']]

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:41:25Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|300px]]
 ''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

[[Archivo:Figura12.2.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco'']]

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

[[Archivo:Foto12.3.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre'']]

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:40:44Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

<div style="text-align: center;">
[[Archivo:Foto12.1.jpg|thumb|300px|'''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''']]
</div>

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

[[Archivo:Figura12.2.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco'']]

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

[[Archivo:Foto12.3.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre'']]

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:39:37Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

[[Archivo:Foto12.1.jpg|thumb|center|300px|'''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias''']]

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

[[Archivo:Figura12.2.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco'']]

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

[[Archivo:Foto12.3.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre'']]

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:37:57Z

Sofia.romero: /* Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

[[Archivo:Foto12.1.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias'']]

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

[[Archivo:Figura12.2.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco'']]

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

[[Archivo:Foto12.3.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.3: Trayectorias de ondas sísmicas a través del interior terrestre'']]

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Archivo:Foto12.3.jpg

2025-12-02T17:36:10Z

Sofia.romero:

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:35:26Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

[[Archivo:Foto12.1.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias'']]

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

[[Archivo:Figura12.2.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.2: Esquema de propagación sísmica desde el foco'']]

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Archivo:Figura12.2.jpg

2025-12-02T17:34:53Z

Sofia.romero:

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:28:58Z

Sofia.romero: /* Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

[[Archivo:Foto12.1.jpg|frameless|center|300px|''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias'']]

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:27:54Z

Sofia.romero: /* Interpretación del trabajo */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

[[Archivo:Foto12.1.jpg|thumb|center|300px|''Figura 12.1: Dirección de desplazamiento en ondas primarias'']]

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Archivo:Foto12.1.jpg

2025-12-02T17:25:47Z

Sofia.romero:

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:23:37Z

Sofia.romero: /* Interpretación del trabajo */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

=== Interpretación sísmica del campo vectorial: Ondas P ===

'''Definición y comportamiento de ondas P''':
Las ondas P son ondas sísmicas de carácter '''longitudinal''' que producen variaciones de volumen en el material a través de ciclos de compresión y expansión.
Su propagación genera frentes de onda de geometría esférica, asociados a una expansión radial desde el foco sísmico.
En este tipo de ondas no aparecen tensiones de cizalla significativas, por lo que su comportamiento se describe fundamentalmente mediante esfuerzos normales de compresión y tracción.

'''Comportamiento del campo de desplazamientos''':
El campo de desplazamientos proporcionado es puramente radial. Los elementos diferenciales del sólido se desplazan longitudinalmente en la dirección del radio (desplazamiento tangencial nulo), por lo que experimentan únicamente tensiones normales y no sufren deformaciones ni tensiones en dirección tangencial.

'''Modelo de ondas P con el campo de desplazamientos proporcionado''':
El campo de desplazamientos proporcionado es un modelo simplificado de cómo actúan las ondas P en las capas de la Tierra.
Su comportamiento radial imita los desplazamientos longitudinales del material y los frentes de onda con simetría circular.
Además, no genera tensiones tangenciales que desclasifiquen a la onda del tipo P.

=== Empleo del modelo matemático en el análisis de fenómenos sísmicos ===

* '''Localización del epicentro''': debido al comportamiento puramente radial de las ondas P, el modelo permite detectar el epicentro del sismo mediante la lectura de señales sismográficas recogidas por los dispositivos sismológicos en la corteza terrestre.
* '''Acotación del efecto del sismo''': el cálculo de la divergencia del campo de desplazamientos del modelo permite estimar la magnitud de los efectos sísmicos y delimitar su alcance, identificando las zonas donde la expansión de la onda resulta más intensa.
* '''Activación de protocolos de emergencia''': la predicción de las zonas de daño, obtenidas a partir del cálculo de la distribución de energía sísmica con el modelo simplificado, permite anticipar de forma más temprana y eficaz la respuesta necesaria frente a los daños que el sismo puede generar o ya ha generado.

'''Programa empleado''': Seismic Waves IRIS

=== Importancia de la aplicación del modelo para reducir los efectos en infraestructuras ===

La detección y estimación temprana de los efectos y el alcance de los sismos mediante modelos como el del campo vectorial proporcionado permite la activación de protocolos de seguridad que son determinantes para reducir daños tanto humanos como materiales.

'''Ejemplos de protocolos de emergencia''':
* En transportes: activación del freno de emergencia, cierre de túneles y puentes.
* En infraestructuras energéticas: cierre de válvulas y tuberías de suministro de gas y petróleo, apagado automático de reactores nucleares, protección de transformadores y turbinas, desconexión de líneas de transmisión al sistema eléctrico.
* En edificios: bloqueo de ascensores y apertura de puertas de emergencia, activación de planes de evacuación.

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:20:41Z

Sofia.romero: /* Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''positiva''', lo que sugiere '''expansión local'''.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''negativa''', indicando '''contracción local'''.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es '''cero''', lo que implica '''conservación de volumen'''.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:19:41Z

Sofia.romero: /* Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es *positiva*, lo que sugiere *expansión local*.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es *negativa*, indicando *contracción local*.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es *cero*, lo que implica *conservación de volumen*.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:19:00Z

Sofia.romero: /* Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es **positiva**, lo que sugiere **expansión local**.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es **negativa**, indicando **contracción local**.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es **cero**, lo que implica **conservación de volumen**.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:18:39Z

Sofia.romero: /* Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

'''Definición general'''

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

'''Ejercicio'''

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

===Explicación===

La divergencia de un campo vectorial nos indica cómo varía el volumen localmente en cada punto del sólido. Es decir:

* Expandiendo (divergencia positiva)
* Contrayendo (divergencia negativa)
* Conservando volumen (divergencia cero)

=== Interpretación de la divergencia ===

En este caso:

* Si <math>\rho > \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es **positiva**, lo que sugiere **expansión local**.
* Si <math>\rho < \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es **negativa**, indicando **contracción local**.
* En <math>\rho = \tfrac{2}{3}</math>, la divergencia es **cero**, lo que implica **conservación de volumen**.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:12:53Z

Sofia.romero: /* Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

=== Definición general ===

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:
<math>\vec{u} = u_{\rho}(\rho)\,\hat{e}_{\rho}</math>

La divergencia se calcula como:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}</math>

Como en este caso <math>u_{\theta} = 0</math>, el segundo término desaparece:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big)</math>

=== Ejemplo ===

Dado:
<math>u_{\rho}(\rho) = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{2} - \rho\big)</math>

Entonces:
<math>\rho\,u_{\rho} = \frac{1}{5}\,\big(\rho^{3} - \rho^{2}\big)</math>

Derivando respecto a <math>\rho</math>:
<math>\frac{\partial}{\partial \rho}\big(\rho\,u_{\rho}\big) = \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big)</math>

Finalmente, la divergencia es:
<math>\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho}\cdot \frac{1}{5}\,\big(3\rho^{2} - 2\rho\big) = \frac{1}{5}\,(3\rho - 2)</math>

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:12:07Z

Sofia.romero: /* Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

'''Divergencia en coordenadas polares'''

=== Definición general ===

Para un campo vectorial polar 2D de la forma:

$$
\vec{u} = u_\rho(\rho) \, \hat{e}_\rho
$$

La divergencia se calcula como:

$$
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\theta}{\partial \theta}
$$

Como en este caso $ u_\theta = 0 $, el segundo término desaparece:

$$
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho)
$$

=== Ejemplo ===

Dado:

$$
u_\rho(\rho) = \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho)
$$

Entonces:

$$
\rho u_\rho = \frac{1}{5}(\rho^3 - \rho^2)
$$

Derivando respecto a $ \rho $:

$$
\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\rho) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)
$$

Finalmente, la divergencia es:

$$
\nabla \cdot \vec{u} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho) = \frac{1}{5}(3\rho - 2)
$$

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==

Ondas en un arco y cálculo vectorial (66)

2025-12-02T17:09:04Z

Sofia.romero: /* Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido */

Ondas en un arco y cálculo vectorial

{{ TrabajoED | Ondas en un arco y cálculo vectorial. Grupo 66 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Jorge Lianes
Paula Calderón

Marina Morillo

Marta García-Inés

Sofía Romero }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

<big><big>'''Trabajo N: Arco II'''
</big></big>

'''<big>Introducción</big>'''

==Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido==

''Mallado que representa los puntos interiores del sólido:''
Se construye una rejilla rectangular con paso <math>h = \frac{1}{10}</math> en <math>x</math> e <math>y</math>. Para cada línea vertical <math>x = x_i</math> se calculan los límites interiores del semianillo como <math>y \in \big[\max\{0,\sqrt{1 - x_i^2}\}, \sqrt{4 - x_i^2}\big]</math>, y se dibuja únicamente ese tramo. De forma análoga, para cada horizontal <math>y = y_j</math> se dibujan los segmentos <math>x \in \big[\sqrt{1 - y_j^2}, \sqrt{4 - y_j^2}\big]</math> y su simétrico negativo, siempre que existan.
El dominio del semianillo está definido por la condición:
<math>1 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 2 \quad \text{y} \quad y \ge 0</math>
Así el mallado queda aislado y representa exclusivamente los puntos interiores del sólido.

'''Código MATLAB y representación'''

[[Archivo:malladoptosint.jpg|thumb|right|500px|''Figura 1.1: Mallado puntos interiores'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;

% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
theta_vals = 0:h:pi;

% Iniciar figura
figure; hold on; axis equal; grid on;

% Dibujar líneas radiales (constante theta)
for i = 1:length(theta_vals)
th = theta_vals(i);
x_line = [R_int R_ext] * cos(th);
y_line = [R_int R_ext] * sin(th);
plot(x_line, y_line, 'c');
end

% Dibujar líneas circulares (constante rho)
for j = 1:length(rho_vals)
rj = rho_vals(j);
th = linspace(0, pi, 300);
x_arc = rj * cos(th);
y_arc = rj * sin(th);
plot(x_arc, y_arc, 'c');
end

% Dibujar contornos del semianillo en negro
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);

% Ajustar vista
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-0.1 2.5]);
title('Mallado polar que representa los puntos interiores del sólido');
hold off;
}}

==Dibujar la temperatura del sólido==

* La temperatura se incrementa a medida que ρ se aproxima a 1, porque el denominador del logaritmo disminuye.

* Esto indica un centro de calor concentrado en los puntos que se encuentran a una distancia de 1 desde el origen.

* La temperatura disminuye gradualmente al alejarnos del centro (hacia <math>\rho = 2</math>).

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Temperatura T(x,y).jpeg|thumb|center|500px|''Figura 2.1: Temperatura T(x,y).'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Malla estructural 2D con temperatura T(x,y) = (x - y)^2 en semianillo
% Parámetros de malla
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Vectores de radios y ángulos
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1); % asegura que incluya pi
% Preparar figura
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Distribución de temperatura T(x,y) en la sección');
xlabel('X');
ylabel('Y');
% Pintar cada sector con color según temperatura
for i = 1:length(r)-1
for j = 1:length(theta)-1
r1 = r(i); r2 = r(i+1);
th1 = theta(j); th2 = theta(j+1);
% Coordenadas de los vértices del sector
x = [r1*cos(th1), r2*cos(th1), r2*cos(th2), r1*cos(th2)];
y = [r1*sin(th1), r2*sin(th1), r2*sin(th2), r1*sin(th2)];
% Centro del sector para evaluar temperatura
xc = mean(x);
yc = mean(y);
T = (xc - yc)^2;
% Rellenar el sector con color proporcional a T
fill(x, y, T, 'EdgeColor', 'k'); % borde negro
end
end
% Dibujar líneas radiales
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-');
end
% Dibujar líneas circulares
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-');
end
% Contornos más gruesos
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r_max*cos(th), r_max*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(r_min*cos(th), r_min*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([r_min r_max]*cos(0), [r_min r_max]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho
plot([r_min r_max]*cos(pi), [r_min r_max]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo
% Ajustes visuales
colormap(jet); % mapa de colores tipo térmico
colorbar; % barra de escala de temperatura
}}

* Para ver la temperatura en cada punto del semianillo, se emplea un mapa de colores (colorbar).

* Las áreas de temperatura más alta (cerca de <math>\rho = 1</math>) están señaladas por los colores más fuertes.

* Las áreas más frías (alrededor de <math>\rho = 2</math>) están representadas por los colores menos intensos.

==Calcular el gradiente y dibujarlo como campo vectorial==

Campo de desplazamiento en polares: <math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \,\vec{e}_{\rho}</math>
Función de temperatura: <math>T(x,y) = (x - y)^2</math>
==='''Cálculo del gradiente:'''===
<math>T=(x - y)^2 = 2x - 2y - 2xy</math>
<math>\frac{\partial T}{\partial x} = 2 - 2y;</math>
<math> \frac{\partial T}{\partial y} = -2 + 2x</math>
<math>\nabla T(x,y) = (\,2 - 2y,\,-2 + 2x\,)</math>
==='''Curvas de nivel de T:'''===
La condición de las curvas de nivel es:
<math>T(x,y) = c\;\;\Rightarrow\;\; (x - y)^2=c;</math>
<math>(x - y)^2 = c\quad\Rightarrow\quad y=x\mp\sqrt{c}</math>
 * El dominio es ρ ∈ [1,2], θ ∈ [0,π], es decir, el semianillo del plano superior. Se debe a que la sección longitudinal del semianillo recorta las curvas de nivel y el campo. 
 * Las curvas de nivel son rectas que, al intersectar el semianillo generan segmentos rectos dentro de la figura.
==='''Ortogonalidad de ∇T a las curvas de nivel:'''===
Para ello, se considera el diferencial total de la función de temperatura:
<math>dT = \frac{\partial T}{\partial x}\,dx + \frac{\partial T}{\partial y}\,dy = \nabla T \cdot d\vec{r}</math>
En una curva de nivel, donde <math>T(x,y) = c</math>, se cumple:
<math>dT = 0 \;\;\Rightarrow\;\; \nabla T \cdot d\vec{r} = 0</math>
 * Esto demuestra que el gradiente <math>\nabla T</math> es ortogonal al vector tangente <math>d\vec{r}</math> de la curva de nivel.
Las flechas del gradiente son normales a cada curva de nivel porque, por construcción, el gradiente apunta en la dirección del máximo incremento de T y el valor de T es constante a lo largo de la curva. 
==='''Campo radial en la sección del arco y su conversión'''===
Campo dado en polares:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Campo en cartesianas:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho</math> 
<math>U_x = u_{\rho} \cos\theta;\quad U_y = u_{\rho} \sin\theta</math>
 * Dirección radial (sale del centro).
 * Magnitud nula en <math>\rho = 1</math> y máxima en <math>\rho = 2</math> (dentro del arco mostrado).

'''Código MATLAB y representación'''
[[Archivo:Apartado3 .jpg|thumb|right|500px|''Figura 3.4.1: Campo del gradiente de la temperatura'']]
{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_int = 1; R_ext = 2; h = 0.1;
rho_vals = R_int:h:R_ext;
% Asegurar que theta_vals incluya exactamente pi
theta_vals = 0:h:pi;
if theta_vals(end) < pi
theta_vals = [theta_vals pi];
end
% Crear malla polar
[TH, RHO] = meshgrid(theta_vals, rho_vals);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = RHO .* cos(TH);
Y = RHO .* sin(TH);
% Calcular el gradiente de T(x, y) = (x - y)^2
Tx = 2 * (X - Y); % Componente en x
Ty = -2 * (X - Y); % Componente en y
% Calcular T para curvas de nivel
T = (X - Y).^2;
% Graficar curvas de nivel
figure;
contour(X, Y, T, 10, 'LineWidth', 1.2); hold on;
% Graficar campo vectorial ∇T
quiver(X, Y, Tx, Ty, 0.6, 'r', 'LineWidth', 1);
% Dibujar contorno del semianillo
th = linspace(0, pi, 400);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 2); % borde interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral derecho
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 2); % lateral izquierdo
% Ajustar vista
axis equal; grid on;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]);
title('Campo vectorial ∇T');
}}

==Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.==
'''Líneas coordenadas en cartesianas:'''
<math>\vec{u}(\rho,\theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho \, \vec{e}_{\rho}</math>

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado4Ec.N.jpg|thumb|right|300px|''Figura 4.1: Campo del gradiente'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2;
t1 = 0; t2 = pi;

% Mallado
[R,T] = meshgrid(linspace(r1,r2,20), linspace(t1,t2,40));

% Campo en polares
Ur = (R-1).*R/5; % componente radial
Ut = 0; % componente tangencial nula

% Conversión a cartesianas
X = R.*cos(T);
Y = R.*sin(T);
Ux = Ur.*cos(T);
Uy = Ur.*sin(T);

% Dibujo del campo
figure;
quiver(X,Y,Ux,Uy,'b'); axis equal; hold on;

% Contorno del arco
theta = linspace(t1,t2,200);
plot(r1*cos(theta), r1*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia interior
plot(r2*cos(theta), r2*sin(theta),'k','LineWidth',1); % semicircunferencia exterior
plot([r1*cos(t1) r2*cos(t1)], [r1*sin(t1) r2*sin(t1)], 'k','LineWidth',1); % radio izquierdo
plot([r1*cos(t2) r2*cos(t2)], [r1*sin(t2) r2*sin(t2)], 'k','LineWidth',1); % radio derecho

title('Campo u(r,θ) = (1/5)(r-1)r e_r en medio arco');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

En este segmento se representa un campo radial definido en coordenadas polares. La magnitud de los vectores depende únicamente de la distancia radial
𝜌
, por lo que siempre apuntan hacia el exterior desde el centro.

* En 𝜌 = 1 el campo se anula.

* Conforme aumenta 𝜌, las flechas crecen en longitud hasta alcanzar su máximo en 𝜌 = 2.

* El contorno del medio arco muestra claramente la región en la que el campo está definido.

==Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado5uno.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.1:Semianillo en reposo'']]
[[Archivo:Apartado5dos.jpg|thumb|center|400px|''Figura 5.2:Semianillo desplazado por campo radial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros del semianillo
R_ext = 2; % radio exterior
R_int = 1; % radio interior
n_ang = 40; % divisiones angulares
n_rad = 15; % divisiones radiales
% Ángulos y radios
theta = linspace(0, pi, n_ang);
r = linspace(R_int, R_ext, n_rad);
% Crear malla en coordenadas polares
[Theta, R] = meshgrid(theta, r);
% Coordenadas cartesianas en reposo
X0 = R .* cos(Theta);
Y0 = R .* sin(Theta);
% Campo de desplazamiento radial
U_r = (1/5) * (R - 1) .* R;
% Coordenadas desplazadas
R1 = R + U_r;
X1 = R1 .* cos(Theta);
Y1 = R1 .* sin(Theta);
% Dibujo con subplot
figure('Color','w');
% Subplot 1: semianillo en reposo
subplot(1,2,1);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo en reposo');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla en amarillo
for i = 1:n_ang
plot(X0(:,i), Y0(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X0(i,:), Y0(i,:), 'b');
end
% Contornos en negro
th = linspace(0, pi, 300);
plot(R_ext*cos(th), R_ext*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior
plot(R_int*cos(th), R_int*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior
plot([R_int R_ext]*cos(0), [R_int R_ext]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 1
plot([R_int R_ext]*cos(pi), [R_int R_ext]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral 2
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
% Subplot 2: semianillo desplazado
subplot(1,2,2);
hold on; axis equal; grid on;
title('Semianillo desplazado por campo radial');
xlabel('x'); ylabel('y');
% Dibujar malla desplazada
for i = 1:n_ang
plot(X1(:,i), Y1(:,i), 'b');
end
for i = 1:n_rad
plot(X1(i,:), Y1(i,:), 'b');
end
% Contornos desplazados
th = linspace(0, pi, 300);
R_ext_d = R_ext + (1/5)*(R_ext - 1)*R_ext;
R_int_d = R_int + (1/5)*(R_int - 1)*R_int;
plot(R_ext_d*cos(th), R_ext_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco exterior desplazado
plot(R_int_d*cos(th), R_int_d*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5); % arco interior desplazado
% Líneas laterales desplazadas (cerrando por abajo)
x_lateral = [R_int_d, R_ext_d];
y_lateral = [0, 0]; % porque sin(0) = sin(pi) = 0
plot(x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral derecho (θ = 0)
plot(-x_lateral, y_lateral, 'k', 'LineWidth', 1.5); % lateral izquierdo (θ = π)
xlim([-2.5 2.5]); ylim([-1.5 3]);
hold off;
}}

En esta sección se ilustra de manera gráfica cómo cambia el sólido cuando se le aplica el campo de desplazamiento.

Este campo señala que cada punto del sólido se mueve radialmente hacia afuera y que la distancia al centro determina la magnitud del desplazamiento: es cero en <math>\rho = 1</math> y llega a su máximo en <math>\rho = 2</math>.

A fin de observar este fenómeno:

* El sólido original, que es un semianillo entre los radios 1 y 2, se dibuja primero.

* Después, se representa el sólido desplazado, en el que cada punto ha sido trasladado de acuerdo con el campo <math>\vec{u}</math>.

* Se pueden comparar de manera directa la geometría antes y después del desplazamiento, ya que ambos se encuentran en la misma figura usando <code>subplot</code>.

Este tipo de movimiento simula una expansión radial, como si el material se estuviera empujando desde el centro hacia afuera. Es característico en modelos de ondas sísmicas tipo S o en procedimientos de expansión térmica que se llevan a cabo en estructuras con forma circular.

==Calcula la divergencia en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:Apartado6nuevo.jpg|thumb|center|400px|''Figura 6.1'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros del dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
theta_min = 0; theta_max = pi;
% Paso de malla h = 0.1
h = 0.1;
Nr = round((rho_max - rho_min)/h) + 1;
Nt = round((theta_max - theta_min)/h) + 1;
[theta, rho] = meshgrid(linspace(theta_min, theta_max, Nt), ...
linspace(rho_min, rho_max, Nr));
% Conversión a coordenadas cartesianas
x = rho .* cos(theta);
y = rho .* sin(theta);
% Divergencia: (1/5)(3*rho - 2)
div_u = (1/5) * (3*rho - 2);
% --- Gráfico ---
figure;
contourf(x, y, div_u, 50, 'LineColor', 'none');
colormap(winter);
cb = colorbar;
ylabel(cb, '\nabla \cdot u');
title('Divergencia del campo de desplazamientos');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;
hold on, grid on;
% Dibujar la malla (líneas radiales y angulares)
for i = 1:Nt
plot(x(:,i), y(:,i), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas radiales
end
for j = 1:Nr
plot(x(j,:), y(j,:), 'k-', 'LineWidth', 0.15); % líneas angulares
end
% Borde grueso del semianillo
theta_borde = linspace(theta_min, theta_max, 200);
plot(rho_min*cos(theta_borde), rho_min*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
plot(rho_max*cos(theta_borde), rho_max*sin(theta_borde), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Bordes horizontales (y=0)
plot([rho_min rho_max], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde derecho
plot([-rho_max -rho_min], [0 0], 'k-', 'LineWidth', 1); % borde izquierdo
hold off;
}}

En el borde exterior (<math>\rho = 2</math>), el desplazamiento radial es:
<math>u_{\rho} = \frac{1}{5}(2 - 1)\cdot 2 = \frac{2}{5}</math>
Por tanto, el borde exterior se desplaza hasta <math>\rho = 2 + \frac{2}{5} = 2.4</math>

''Desplazamiento de un semianillo mediante un campo radial en coordenadas cilíndricas:''
Consideramos un sólido con forma de semianillo definido en coordenadas cilíndricas por <math>\rho \in [1, 2]</math> y <math>\theta \in [0, \pi]</math>. El objetivo es representar gráficamente el efecto de un desplazamiento radial sobre este dominio.
El campo de desplazamiento aplicado a cada punto es puramente radial y está definido por:
<math>\vec{u}(\rho, \theta) = \frac{1}{5}(\rho - 1)\rho\,\vec{e}_{\rho}</math>
Este campo provoca que cada punto se desplace en la dirección radial, con una magnitud que depende de su posición inicial <math>\rho</math>. El desplazamiento es nulo en el borde interior (<math>\rho = 1</math>) y máximo en el borde exterior (<math>\rho = 2</math>).
Para visualizar este efecto, se construye un mallado en coordenadas cilíndricas formado por:
<ul>
<li>Líneas radiales: segmentos con <math>\rho</math> variable y <math>\theta</math> constante</li>
<li>Líneas circulares: arcos con <math>\rho</math> constante y <math>\theta</math> variable</li>
</ul>
Se dibujan dos figuras en la misma ventana usando <code>subplot</code>:
<ul>
<li>La primera muestra el mallado original del semianillo</li>
<li>La segunda muestra el mismo mallado tras aplicar el desplazamiento <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math></li>
</ul>
Ambas figuras incluyen los bordes del semianillo en color negro para facilitar la comparación. Se observa cómo el desplazamiento radial deforma el mallado, expandiendo el dominio hacia fuera de forma no uniforme.

==Calcular el rotacional en todos los puntos del sólido==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:FiguraAp.7jpg.jpg|thumb|center|500px|''Figura 4.2: Campo radial en medio arco.'']]

{{matlab|codigo=
% Medio arco: radios 1 a 2, ángulos 0 a pi
r1 = 1; r2 = 2; t1 = 0; t2 = pi;
dr = 0.05; dt = 0.05;
r = r1:dr:r2; t = t1:dt:t2;
[TT, RR] = meshgrid(t, r);
% Coordenadas cartesianas
X = RR .* cos(TT);
Y = RR .* sin(TT);
% Rotacional del campo radial: nulo en todo el dominio
C = zeros(size(RR));
% Puntos coloreados en azul
figure;
scatter(X(:), Y(:), 15, C(:), 'filled');
colormap('winter'); colorbar; % 'winter' = gama azul
hold on;
% Contorno negro del medio arco
tt = linspace(t1, t2, 300);
plot(r1*cos(tt), r1*sin(tt), 'k', r2*cos(tt), r2*sin(tt), 'k');
plot([r1*cos(t1), r2*cos(t1)], [r1*sin(t1), r2*sin(t1)], 'k');
plot([r1*cos(t2), r2*cos(t2)], [r1*sin(t2), r2*sin(t2)], 'k');
axis equal;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('campo radial en medio arco');
grid on; hold off;
}}

==='''Rotacional del campo radial en coordenadas polares '''===

Considera el campo en el plano, en coordenadas polares:

<math>\vec{u}(\rho, \theta) = u_\rho(\rho, \theta) \, \vec{e}\rho + u\theta(\rho, \theta) \, \vec{e}_\theta</math>

con

<math>u_\rho(\rho, \theta) = \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho, \quad u_\theta(\rho, \theta) = 0</math>

La componente <math>z</math> del rotacional en 2D (plano) usando coordenadas polares es:

<math>(\nabla \times \vec{u})z = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u\theta) - \frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta}</math>

Primer término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho u_\theta) = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho \cdot 0) = 0</math>

Segundo término:

* <math>\frac{1}{\rho} \frac{\partial u_\rho}{\partial \theta} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{1}{\rho} (\rho - 1) \rho \right) = 0</math>

porque <math>u_\rho</math> no depende de <math>\theta</math>.

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0 \cdot \vec{k} = 0</math>

==='''¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?'''===

El cálculo del rotacional da cero en todo el dominio porque:

<math>u_\theta = 0</math>

<math>u_\rho</math> solo depende de <math>\rho</math> y no de <math>\theta</math>

Por tanto:

<math>\nabla \times \vec{u} = 0</math> en todo el arco.

Ningún punto sufre rotación. El desplazamiento es solo hacia fuera del centro del arco. Por tanto, los puntos se expanden radialmente, pero no giran.

==Tensor de deformaciones y tensiones normales en el medio elástico==

'''Código MATLAB y representación: '''

[[Archivo:campodireccradial.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.1: Campo dirección radial'']]
[[Archivo:campodirecctg.jpg|thumb|right|300px|''Figura 8.2: Campo dirección tangencial'']]

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Parámetros geométricos
r_min = 1;
r_max = 2;
paso = 0.1;
% Parámetros materiales
lambda = 1;
mu = 1;
% Malla polar
r = r_min:paso:r_max;
theta = linspace(0, pi, round(pi/paso)+1);
[R, Theta] = meshgrid(r, theta);
% Coordenadas cartesianas
X = R .* cos(Theta);
Y = R .* sin(Theta);
% Componentes de deformación
a = (1/5) * (2*R - 1); % derivada campo vectorial
b = (1/5) * (R - 1);
div_u = (1/5) * (3*R - 2); %divergencia
% Tensiones normales
sigma_rr = lambda .* div_u + 2 * mu .* a; %componente radial (efecto directo fuerza)
sigma_tt = lambda .* div_u + 2 * mu .* b; %componente tangencial (efecto indirecto fuerza)
% Vectores base en cada punto
e_r_x = cos(Theta);
e_r_y = sin(Theta);
e_t_x = -sin(Theta);
e_t_y = cos(Theta);
% Campo vectorial: flechas de tensión
U_rr_x = sigma_rr .* e_r_x;
U_rr_y = sigma_rr .* e_r_y;
U_tt_x = sigma_tt .* e_t_x ./ R;
U_tt_y = sigma_tt .* e_t_y ./ R;
% Visualización
figure('Position',[100 100 1000 500]);
% σ_rr como campo vectorial
subplot(1,2,1); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\rho\rho}: campo en dirección radial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_rr_x, U_rr_y, 0.5, 'r'); % flechas rojas
plot_mallado(r, theta);
% --- σ_tt como campo vectorial ---
subplot(1,2,2); hold on; axis equal;
grid on
title('\sigma_{\theta\theta}: campo en dirección tangencial');
xlabel('X'); ylabel('Y');
quiver(X, Y, U_tt_x, U_tt_y, 0.5, 'b'); % flechas azules
plot_mallado(r, theta);
% Función auxiliar para mallado y contornos
function plot_mallado(r, theta)
for j = 1:length(theta)
plot(r.*cos(theta(j)), r.*sin(theta(j)), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
for i = 1:length(r)
plot(r(i)*cos(theta), r(i)*sin(theta), 'k-', 'LineWidth', 0.5);
end
th = linspace(0, pi, 300);
plot(r(end)*cos(th), r(end)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot(r(1)*cos(th), r(1)*sin(th), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(0), [r(1) r(end)]*sin(0), 'k', 'LineWidth', 1.5);
plot([r(1) r(end)]*cos(pi), [r(1) r(end)]*sin(pi), 'k', 'LineWidth', 1.5);
end
}}

'''Gradiente campo vectorial:''' 
Como <math>\vec{u}</math> es radial y solo depende de <math>\rho</math>, es un tensor simétrico y por tanto su parte simétrica es él mismo.

El gradiente del campo vectorial <math>\vec{u}(\rho, \theta)</math> se expresa como:
<math>\nabla \vec{u} =\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{5}(2\rho - 1) & 0 \\0 & \frac{1}{5}(\rho - 1)\end{array}\right)</math>
El término inferior derecho se obtiene como:
<math>\frac{u_{\rho}}{\rho} = \frac{1}{\rho} \cdot \frac{1}{5}(\rho^2 - \rho) = \frac{1}{5}(\rho - 1)</math>

'''Divergencia:'''
<math>\frac{\partial}{\partial \rho} (\rho\, u_{\rho}) = \frac{1}{5}(3\rho^2 - 2\rho)</math>
''Resultado:'' nos queda una matriz diagonal que nos indica las tensiones según rho y theta en cada una de las componentes de la diagonal y por tanto sólo hace falta aplicarlo a cada vector desplazamiento del campo vectorial y representarlas en la base cilíndrica en ese punto donde se evalúa el desplazamiento. 

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \vec{e}_\rho \;-\;
\big(\vec{e}_\rho \cdot \sigma \cdot \vec{e}_\rho\big)\,\vec{e}_\rho \;\right|</math>

Todas las tensiones tangenciales derivadas del campo de desplazamientos son nulas.

- El sólido experimenta un campo de desplazamientos puramente radial e independiente de la componente tangencial.

- Todos los puntos situados en una misma circunferencia sufren el mismo desplazamiento y en la misma dirección.

- No existe desplazamiento relativo entre elementos diferenciales contiguos en la dirección tangencial.

- Los elementos diferenciales no cambian de orientación.

La independencia del campo de desplazamientos de la variable angular <math>\theta</math>
implica que las componentes no diagonales del tensor de tensiones sean iguales a cero.

'''En este apartado no hay tensiones tangenciales que representar: el resultado es un campo nulo.'''

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==

* <math>\vec{i} \;\;\to\;\; \vec{e}_\rho</math>

* <math>\vec{j} \;\;\to\;\; \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta</math>

Por tanto, la expresión se convierte en:

<math>\left| \; \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta
- \Big( \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \cdot \sigma \cdot \tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \Big)\,\tfrac{1}{\rho}\,\vec{e}_\theta \;\right|</math>

En este sentido, el sólido solo se mueve en la radial, no en la tangencial:
de aquí que sobre el plano ortogonal a <math>\vec{j}</math> (es decir, el que va en dirección angular)
no pueden aparecer tensiones tangenciales.

- Todos los puntos de una misma circunferencia se ponen en movimiento de forma idéntica.

- La independencia del campo respecto de la coordenada angular <math>\theta</math>
conlleva la anulación de las propias componentes no diagonales del tensor de tensiones.

'''En este sentido, exactamente igual que en el apartado 9, la conclusión es que existe un campo nulo de tensiones tangenciales.'''

==Cálculo de la masa aproximando la integral numéricamente==

'''Código MATLAB'''

{{matlab|codigo=
clc; clear; close all;
% Dominio polar (semianillo)
r_min = 1; r_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
% Resolución de la malla (ajusta para precisión)
n_rad = 100; % puntos en r
n_ang = 100; % puntos en theta
% Vectores y malla
r = linspace(r_min, r_max, n_rad);
th = linspace(th_min, th_max, n_ang);
[RR, TH] = meshgrid(r, th);
% Densidad
rho = 1 + exp(RR.^2 .* cos(TH));
% Elemento de área en polares: r dr dθ
integrand = rho .* RR;
% Integración numérica con trapz (primero en r, luego en θ)
M_r = trapz(r, integrand); % integra a lo largo de r (columna por columna)
M = trapz(th, M_r); % integra a lo largo de θ
fprintf('Masa aproximada (trapz): %.8f\n', M);
}}

'''Masa de un sector en coordenadas polares'''

Se considera un sector circular definido por radios entre 1 y 2,
y ángulos entre 0 y π.

En coordenadas polares, cada punto se describe como (r, θ).
La pequeña porción de área se expresa como:

<math>dA = r \, dr \, d\theta</math>

Este factor r es esencial y siempre aparece al integrar en polares.

'''Cálculo de la masa'''
La masa total se obtiene integrando la densidad sobre toda la superficie del sector:

<math>M = \iint_{\text{sector}} \rho(r,\theta)\, dA</math>

El factor ρ aparece porque, en polares, el área elemental se escribe como:

<math>dA = \rho \, d\rho \, d\theta</math>

* El material no está distribuido uniformemente: la densidad depende de <math>\cos\theta</math>.
* En el lado derecho del sector (<math>\theta = 0</math>), la densidad crece rápidamente con <math>r^2</math>.
* En el lado izquierdo (<math>\theta = \pi</math>), la densidad decrece conforme <math>r</math> aumenta.

'''Resultados'''
El sector resulta más pesado hacia la derecha,
y la masa total calculada es aproximadamente:

<math>M \approx 24.64</math>

==Interpretación del trabajo==