MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-07T18:17:33Z

Smnavarro: /* Fenomenos que describe la cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

Por otro lado, en la arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|400px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>
La masa se obtiene calculando el volumen debajo de la superficie S, para ello se realiza la integral:
<math>M=\int\int_Sf(x_1,x_2,x_3)\;dS</math>
 
El diferencial dS se calcula :
<math>dS=S_txS_u dtdu</math>
 

Para calcular las derivadas parciales:
<math>S_t=(0,3*(1-cos(t)),-3*sin(t))</math>
<math>S_u=(1,0,0)</math>
 

Tras realizar el producto vectorial obtenemos que el diferencial es:
<math>dS=6sin(t/2)d_td_u</math>
 
La densidad se distribuye como
<math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

La masa nos queda:

<math>M=27*\int_0^(2*pi) (1+3*(t-sin(t))*(1+cos(t))*sin(t/2)d_t</math>
 

Como esta integral es muy difícil de resolver lo calculamos analíticamente con un programa de MATLAB por el método de los rectángulos:

{{matlab|codigo=
n=10000;
Masa=0;
t = linspace(0,2*pi,n);
%metodo del rectangulo
for i=1:n
base=(2*pi-0)/n;
altura=S(t(i));
masa=masa+base * altura ;
end
disp(masa));}}

Y resulta una masa aproximada de = 750.584
= Póster =

https://upm365-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/clara_lasheras_alumnos_upm_es/EVkIS2W5eTtEsjEUM1RQz1IB4882AoeOp_gGX5Nw3O3SJg?e=D2SAaO

=Bibliografía=

https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1943.11991383

https://web.pdx.edu/~caughman/Cycloids%20and%20Paths.pdf

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-07T18:15:15Z

Smnavarro: /* Bibliografía */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|400px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>
La masa se obtiene calculando el volumen debajo de la superficie S, para ello se realiza la integral:
<math>M=\int\int_Sf(x_1,x_2,x_3)\;dS</math>
 
El diferencial dS se calcula :
<math>dS=S_txS_u dtdu</math>
 

Para calcular las derivadas parciales:
<math>S_t=(0,3*(1-cos(t)),-3*sin(t))</math>
<math>S_u=(1,0,0)</math>
 

Tras realizar el producto vectorial obtenemos que el diferencial es:
<math>dS=6sin(t/2)d_td_u</math>
 
La densidad se distribuye como
<math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

La masa nos queda:

<math>M=27*\int_0^(2*pi) (1+3*(t-sin(t))*(1+cos(t))*sin(t/2)d_t</math>
 

Como esta integral es muy difícil de resolver lo calculamos analíticamente con un programa de MATLAB por el método de los rectángulos:

{{matlab|codigo=
n=10000;
Masa=0;
t = linspace(0,2*pi,n);
%metodo del rectangulo
for i=1:n
base=(2*pi-0)/n;
altura=S(t(i));
masa=masa+base * altura ;
end
disp(masa));}}

Y resulta una masa aproximada de = 750.584
= Póster =

https://upm365-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/clara_lasheras_alumnos_upm_es/EVkIS2W5eTtEsjEUM1RQz1IB4882AoeOp_gGX5Nw3O3SJg?e=D2SAaO

=Bibliografía=

https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00029890.1943.11991383

https://web.pdx.edu/~caughman/Cycloids%20and%20Paths.pdf

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T18:32:10Z

Smnavarro: /* Masa de la superficie */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|400px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>

Esta se distribuye como <math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

(poner integrales)

y aplicando explícitamnete el método del rectángulo, de Fubini, sería:

{{matlab|codigo=
R = 3;
Nt = 2000; % subdivisiones en t
N_s = 100; % subdivisiones en s (aunque s ya integrado analíticamente)
t = linspace(0,2*pi,Nt);
dt = t(2)-t(1);}}

Y resulta una masa aproximada de = 750.584

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T18:02:10Z

Smnavarro: /* Cicloide en un espacio tridimensional */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|400px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>

Esta se distribuye como <math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

Entonces la masa es
<math>M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\, R(1 + \cos t)\;
\bigl(2R\,|\sin(t/2)|\bigr)\; ds\, dt</math>
osea
<math>M = 2R^2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\,(1 + \cos t)\,
|\sin(t/2)| \; ds\, dt</math>

y aplicando explícitamnete el método del rectángulo, de Fubini, sería:

{{matlab|codigo=
R = 3;
Nt = 2000; % subdivisiones en t
N_s = 100; % subdivisiones en s (aunque s ya integrado analíticamente)
t = linspace(0,2*pi,Nt);
dt = t(2)-t(1);}}

Y resulta una masa aproximada de = 750.584

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T18:00:43Z

Smnavarro: /* Masa de la superficie */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>

Esta se distribuye como <math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

Entonces la masa es
<math>M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\, R(1 + \cos t)\;
\bigl(2R\,|\sin(t/2)|\bigr)\; ds\, dt</math>
osea
<math>M = 2R^2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\,(1 + \cos t)\,
|\sin(t/2)| \; ds\, dt</math>

y aplicando explícitamnete el método del rectángulo, de Fubini, sería:

{{matlab|codigo=
R = 3;
Nt = 2000; % subdivisiones en t
N_s = 100; % subdivisiones en s (aunque s ya integrado analíticamente)
t = linspace(0,2*pi,Nt);
dt = t(2)-t(1);}}

Y resulta una masa aproximada de = 750.584

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T17:58:48Z

Smnavarro: /* Masa de la superficie */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>

Esta se distribuye como
<math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

Entonces la masa es
<math>M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\, R(1 + \cos t)\;
\bigl(2R\,|\sin(t/2)|\bigr)\; ds\, dt</math>
osea
<math>M = 2R^2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\,(1 + \cos t)\,
|\sin(t/2)| \; ds\, dt</math>

y aplicando explícitamnete el método del rectángulo, de Fubini, sería:

{{matlab|codigo=
R = 3;
Nt = 2000; % subdivisiones en t
N_s = 100; % subdivisiones en s (aunque s ya integrado analíticamente)
t = linspace(0,2*pi,Nt);
dt = t(2)-t(1);}}

Y resulta una masa aproximada de = 750.584

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T17:57:28Z

Smnavarro: /* Masa de la superficie */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>

Esta se distribuye como
<math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

Entonces la masa es
<math>M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\, R(1 + \cos t)\;
\bigl(2R\,|\sin(t/2)|\bigr)\; ds\, dt</math>
osea
<math>M = 2R^2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\,(1 + \cos t)\,
|\sin(t/2)| \; ds\, dt</math>

y aplicando explícitamnete el método del rectángulo, de Fubini, sería:

que resulta una masa aproximada de = 750.584

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T17:55:49Z

Smnavarro: /* Masa de la superficie */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>

Esta se distribuye como
<math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

Entonces la masa es
<math>M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\, R(1 + \cos t)\;
\bigl(2R\,|\sin(t/2)|\bigr)\; ds\, dt</math>
osea
<math>M = 2R^2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1}
(1+s)\,\bigl(1 + R(t - \sin t)\bigr)\,(1 + \cos t)\,
|\sin(t/2)| \; ds\, dt</math>

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T17:54:32Z

Smnavarro: /* Masa de la superficie */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>

Esta se distribuye como
<math> x_1 = s,\qquad
x_2 = R(t-\sin t),\qquad
x_3 = R(1+\cos t)

\Rightarrow\quad
f(t,s)= (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

Donde: <math>\frac{\partial f}{\partial s}
= (1+R(t-\sin t))\,R(1+\cos t) > 0
1+\cos t \in [0,2]
f(t,s) = (1+s)\,\bigl(1+R(t-\sin t)\bigr)\,R(1+\cos t)</math>

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T17:50:08Z

Smnavarro:

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.

[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge, Pamplona.

[[Archivo:Imagen_la_biurdana.jpeg|400px|right|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

==Masa de la superficie==
Dada la densidad:
<math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:56:13Z

Smnavarro: /* Fenomenos que describe la cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el '''siglo XVII''', una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del '''descenso más rápido entre dos puntos no verticales'''. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que el '''tiempo''' que este tarda en llegar un objeto al punto más bajo de la curva (cicloide invertida) '''es siempre el mismo''', independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 
[[Archivo:Foto_museo_kimbell_3.jpeg|400px|Figura 1. Museo]]
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:53:15Z

Smnavarro: /* Fenomenos que describe la cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

'''- La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

'''- La Curva Tautócrona:''' También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:51:51Z

Smnavarro: /* Fenomenos que describe la cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- '''La Curva Braquistócrona:''' La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:48:58Z

Smnavarro: /* Cicloide en un espacio tridimensional */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:Rr370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Rr370.png

2025-12-05T16:48:36Z

Smnavarro:

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:47:07Z

Smnavarro: /* Cicloide en un espacio tridimensional */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=3(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=3(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:R370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 3 * (T - sin(T));
X3 = 3 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 3(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 3(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:46:09Z

Smnavarro: /* Cicloide en un espacio tridimensional */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=2(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=2(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

[[Archivo:R370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]
Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:

{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 2 * (T - sin(T));
X3 = 2 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 2(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 2(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:45:18Z

Smnavarro: /* Cicloide en un espacio tridimensional */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=2(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=2(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:
{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 2 * (T - sin(T));
X3 = 2 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 2(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 2(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}
[[Archivo:R370.png|600px|thumb|right|Figura 6: La cicloide en el espacio tridimensional]]

[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:R370.png

2025-12-05T16:44:05Z

Smnavarro:

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:43:18Z

Smnavarro: /* Cicloide en un espacio tridimensional */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=2(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=2(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:
{{matlab|codigo=
%Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%PARAMETRIZACIONES
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 2 * (T - sin(T));
X3 = 2 * (1 + cos(T));

%GRAFICA
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u');
ylabel('x_2 = 2(t - sin(t))');
zlabel('x_3 = 2(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}
[[Archivo:R3cicloide.PNG|600px|centro]]

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:40:04Z

Smnavarro:

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

==Cicloide en un espacio tridimensional==
Para la representación de la superficie S se '''extenderá una unidad en la dirección de <math>\overrightarrow{i}</math>''' cada punto de la cicloide en R3. 
De esta forma, se aprecia que <math>x_{1}</math> varía entre 0 y 1. Por otra parte,<math>x_{2}</math> y <math>x_{3}</math> están relacionados mediante la ecuación de la cicloide dada en R3, que ya está parametrizada en función de t. Se asignan el parámetro u a <math>x_{1}</math>.
 
 
La ecuación de la superficie parametrizada queda de la forma:
<math>S(u,t) \left\{ \begin{array}{cl}
x_{1}=u & : \ u \in [0,1] \\
x_{2}=2(t − sint) & : \ t \in [0,2π]\\
x_{3}=2(1 + cost) \\

\end{array} \right.</math>

Para representarla escribimos el siguiente código en matlab:
{{matlab|codigo= %Valores para u y t
u = linspace(0, 1, 50);
t = linspace(0, 2*pi, 50);

%Inicializamos las coordenadas x1, x2 y x3
[X1, T] = meshgrid(u, t);
X2 = 2 * (T - sin(T));
X3 = 2 * (1 + cos(T));

%Gráfica en R3
figure;
mesh(X1, X2, X3);
xlabel('x_1 = u'); ylabel('x_2 = 2(t - sin(t))'); zlabel('x_3 = 2(1 + cos(t))');
title('Cicloide en R^3');
grid on;
axis equal;}}
[[Archivo:R3cicloide.PNG|600px|centro]]

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:13:03Z

Smnavarro: /* Fenomenos que describe la cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente.
En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T16:11:22Z

Smnavarro: /* Fenomenos que describe la cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo XVII, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin deslizar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo XVII utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. El movimiento que sigue esta curva que ya hemos descrito se conoce como movimiento cicloidal, y esta curva no es solo una curiosidad matemática, sino que puede describir una serie de fenómenos o aplicaciones como:

- La Curva Braquistócrona: La cicloide invertida (con las cúspides hacia arriba) representa la curva del descenso más rápido entre dos puntos no verticales. Un objeto que se desliza por una pista en forma de cicloide tardará menos tiempo en llegar al punto final que si lo hiciera por cualquier otra curva o línea recta. Esto que parece realmente soprendente, fue resuelto por varios matemáticos, incluidos Newton y Leibniz, y sentó las bases del cálculo de variaciones.

- La Curva Tautócrona: También conocida como curva isócrona (de "igual tiempo"), esto quiere indicar que si un objeto se deslizase por el arco de una cicloide colocada de forma invertida, el tiempo que este tarda en llegar al punto más bajo de la curva es siempre el mismo, independientemente de donde comience el movimiento. Christiaan Huygens descubrió esta propiedad y la aplicó al diseño de relojes de péndulo más precisos, ya que un péndulo que sigue una trayectoria cicloidal oscila con un período constante.

En resumen, la cicloide describe el fenómeno de la trayectoria de tiempo mínimo y el movimiento oscilatorio de período constante bajo la acción de la gravedad.La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos.

En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T15:52:56Z

Smnavarro: /* Curvatura de k(t) y su gráfica */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100);

%FÓRMULA DE LA CURVATURA;
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t)))*12));

plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T15:52:26Z

Smnavarro: /* Curvatura de k(t) y su gráfica */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t) =
\frac{x'(t)\, y''(t) - x''(t)\, y'(t)}{\left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{(2 - 2\cos(t))\, 2\cos(t) - 2\sin(t)\, 2\sin(t)}{\left( (2 - 2\cos(t))^2 + (2\sin(t))^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4\cos(t)^2 - 4\sin(t)^2}{\left(4 - 8\cos(t) + 4\cos(t)^2 + 4\sin(t)^2 \right)^{3/2}}= \frac{4\cos(t) - 4}{\left( 8 - 8\cos(t) \right)^{3/2}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T15:45:39Z

Smnavarro: /* Curvatura de k(t) y su gráfica */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4(cos(t)-1)}</math>(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T15:44:35Z

Smnavarro: /* Curvatura de k(t) y su gráfica */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4(cos(t)-1)}{2*2^{\frac{1}{2}}}</math>(1-cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T15:05:40Z

Smnavarro: /* Aplicación en la ingeniería de la Cicloide */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T15:04:05Z

Smnavarro: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%CON RADIO 3
R = 3;

% TENEMOS PARAM CICLOIDE
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% PUNTO DONDE QUEREMOS LA CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
t0 = 4;

% COORD. DEL PUNTO
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% SUS DERIvADAS
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% LA CURVATURA
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % RADIO de curvatura

% V. TANGENTE UNITARIO
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% V. NORMAL UNITARIO
N = [-T(2), T(1)];

% CENTRO CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Q = P + rho * N;

% REPRESENTACION
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% GRAFICAR
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T15:03:18Z

Smnavarro: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).

===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T13:02:36Z

Smnavarro: /* Representación de la circunferencia osculatriz */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T13:02:08Z

Smnavarro: /* Representación de la circunferencia osculatriz */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
[[Archivo:Osculatriz70.png|500px|thumb|right|Figura 5: Representación de la circunferencia osculatriz]]
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

Archivo:Osculatriz70.png

2025-12-05T13:00:36Z

Smnavarro:

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T12:54:32Z

Smnavarro: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T12:54:17Z

Smnavarro: /* Centro y radio */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 3</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T12:50:29Z

Smnavarro: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
La circunferencia osculatríz en un punto P de una curva es el círculo que mejor aproxima la curva en ese punto: coincide en posición, primera derivada (tangente) y segunda derivada (curvatura).
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz de la cicloide en P. Entonces, para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T12:47:25Z

Smnavarro: /* Curvatura de k(t) y su gráfica */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T12:47:04Z

Smnavarro: /* Curvatura de k(t) y su gráfica */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T12:46:37Z

Smnavarro: /* Curvatura de k(t) y su gráfica */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 
[[Archivo:Curvatura70.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura de la cicloide]]
{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

Archivo:Curvatura70.png

2025-12-05T12:45:38Z

Smnavarro:

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T11:16:06Z

Smnavarro: /* Representación de los vectores tangente y normal */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
Vt1 =V1./norma ;
Vt2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , Vt1 , Vt2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -Vt2 , Vt1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==

La curvatura describe como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

Si lo desarrollamos:

 
 
<math>\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}</math>
 
 

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T10:25:17Z

Smnavarro: /* Cálculo vectores velocidad y aceleración */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , T1 , T2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T10:25:01Z

Smnavarro: /* Representación de los vectores tangente y normal */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|500px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , T1 , T2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T10:24:07Z

Smnavarro: /* Cálculo vectores velocidad y aceleración */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|500px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , T1 , T2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T10:23:53Z

Smnavarro: /* Representación de los vectores tangente y normal */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|500px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , T1 , T2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T10:23:30Z

Smnavarro: /* Representación de los vectores tangente y normal */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Tangente70.png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , T1 , T2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

Archivo:Tangente70.png

2025-12-05T10:22:50Z

Smnavarro:

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T10:22:10Z

Smnavarro: /* Representación de los vectores tangente y normal */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);

% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;

% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , T1 , T2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T10:21:48Z

Smnavarro: /* Representación de los vectores tangente y normal */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===
Mediante el siguiente código de Mtalab obtenemos la representación gráfica de los vectores.
[[Archivo:Vectores_tangente_y_normal(figura).png|600px|miniaturadeimagen|thumb|right|Figura 3. Representación de los vectores tangente y normal]]

{{matlab|codigo=
t = linspace ( 0 , 2*pi , 30 ) ;
x = (t-sin(t)) ;
y = (1-cos(t));
% Derivada Primera
V1 =1-cos(t);
V2 =sin(t);
% Derivada Segunda
A1 =sin(t);
A2 =cos(t);
% Vector tangente
norma = sqrt (V1.^2+V2.^2) ;
T1 =V1./norma ;
T2 =V2./norma ;
figure
hold on ;
% CURVA
plot (x ,y ,'k') ;
% CAMPO TANGENTE
quiver (x , y , T1 , T2 , 'r') ;
%CAMPO NORMAL
quiver (x , y , -T2 , T1 , 'b') ;
axis equal
grid on
hold off ;
legend ('Curva','Tangente','Normal') ;
title ('Curva , tangente y normal.') ;
}}

 

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.

La Cicloide (Grupo 70)

2025-12-05T10:15:46Z

Smnavarro: /* Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva. */

{{TrabajoED | La cicloide. Grupo 70 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Clara Lasheras Salinas Raquel Aguilar Quintás Sofía Navarro Magaldi Laura Sangil Alija Alba Silván Martín}}

'''La cicloide es una curva plana generada por un punto fijo contenido en una circunferencia, que rueda sin deslizar sobre una línea recta.''' Este fenómeno ocurre bajo la condición de '''rodadura sin deslizamiento''', lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

La cicloide se encuentra presente en muchos aspectos de la vida cotidiana y aquí se realizará un estudio de sus cuestiones más relevantes para aportar al lector una clara idea sobre los aspectos teóricos y prácticos de las matemáticas de esta curva.

Entonces, se considera la parametrización:

<math> \gamma(t) = (x(t), y(t)) = \big(R(t - \sin t), R(1 - \cos t)\big), \quad t \in (0, 2\pi) </math>, para un cierto radio, R, fijado. En este trabajo se establecerá R=3

==Dibujo de la curva==
<big>Se comenzará dibujando la curva a través de Matlab:</big>
[[Archivo:Curva70.jpg|500px|thumb|right|Figura 1. Representación de la cicloide]]
 
 
{{matlab|codigo=
% PARAMETRIZACIÓN
R = 3; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% REPRESENTACIÓN DE LA CURVA
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
}}

==Cálculo vectores velocidad y aceleración==
La parametrización de la curva teniendo en cuenta el radio es 3, R=3, es : <math> \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(3(t-sin(t)), 3(1-cos(t)) ) </math>

Se obtienen los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
<math>\overrightarrow{v(t)}=\frac{d\overrightarrow{\gamma(t)}}{dt}=(3-3cos(t),3sen(t))</math> '''y''' <math>\overrightarrow{a(t)}=\frac{d\overrightarrow{v(t)}}{dt}=(3sen(t),3cos(t))</math>
 
A continuación, se representan utilizando MATLAB:
[[Archivo:Velocidad70.png|600px|thumb|right|Figura 2. Vectores velocidad y aceleración]]

{{matlab|codigo= R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));

%VECTORES
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure

%DIBUJO
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'g');
quiver(x,y,Ax,Ay,'r');
hold off
grid on

%ETIQUETAS
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
}}

==Cálculo de la longitud de la curva L==

Se utilizará la fórmula siguiente para el cálculo de la longitud de la curva:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt</math>
 
Y para el cálculo de la longitud se resolverá la siguiente integral:
<math>L=\int_{0}^{2\Pi}R\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt</math>
 

<math> Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt =
\int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = </math> <math> =8R=[R=3]= 24u </math> 

Así, el resultado de la longitud de la curva es: L=24u. Tambien se podria realizar mediante el método del rectangulo con Matlab

==Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.==
===Vector tangente===
El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.
Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo: <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}</math>
 

Entonces; <math>\overrightarrow{t(t)}=\frac{sen(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{i}+\frac{cos(t/2)}{\sqrt{(sin(t/2))^2+(cos(t/2))^2}}\overrightarrow{j}=sin(t/2)\overrightarrow{i}+cos(t/2)\overrightarrow{j}</math>

===Vector normal===
El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva. El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: <math>\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{t(t)}</math>
 

Y para ello necesitamos calcular el vector binormal, que tiene la siguiente expresión:
<math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}</math>
 

Lo calculamos como: <math>\overrightarrow{b(t)}=\frac{-9 (1-cos(t))}{\sqrt{(-9 (1-cos(t)))^2}}\overrightarrow{k}=\frac{-9 (1-cos(t))}{9 (1-cos(t))}\overrightarrow{k}=\overrightarrow{(-k)}</math> 

Realizando el producto vectorial de ambos obtenemos: <math>\overrightarrow{n(t)}=cos(t/2)\overrightarrow{i}-sen(t/2)\overrightarrow{j}</math>
 

===Representación de los vectores tangente y normal===

==Curvatura de k(t) y su gráfica==
La curvatura '''k(t)''' es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma.
Esta función viene definida por la expresión: <math>κ(t)=\frac{\left| \overrightarrow{v}(t)\times \overrightarrow{a}(t) \right|}{\left| \overrightarrow{v}(t) \right|^{3}}</math>

{{matlab|codigo= t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(2)./((sqrt(1-cos(t))*12); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on}}

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante del cálculo de la curvatura tiende a infinito.

==Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P==
===Centro y radio===
Sea <math>P = γ(t)</math> con <math> t = 4</math> se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:
 
 
Centro: <math>Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(3t-3sint,3-3cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}cos(t/2)\vec i-sen(t/2)\vec j=... </math>
 
 
Radio: <math> R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = ... </math>

=== Representación de la circunferencia osculatriz ===
{{matlab|codigo=
% Parámetro del generador de la cicloide
R = 3;

% Definición de la cicloide
x_func = @(t) R*(t - sin(t));
y_func = @(t) R*(1 - cos(t));

% Valores de t para representar la cicloide
t_values = linspace(0, 2*pi, 400);
x_values = x_func(t_values);
y_values = y_func(t_values);

% Punto donde queremos la circunferencia osculatriz
t0 = 4;

% Coordenadas del punto
P = [x_func(t0), y_func(t0)];

% Derivadas
xp = R*(1 - cos(t0));
yp = R*sin(t0);
xpp = R*sin(t0);
ypp = R*cos(t0);

% Curvatura
k = abs(xp*ypp - yp*xpp) / ( (xp^2 + yp^2)^(3/2) );
rho = 1/k; % Radio de curvatura

% Vector tangente unitario
T = [xp, yp] / sqrt(xp^2 + yp^2);

% Vector normal unitario
N = [-T(2), T(1)];

% Centro de la circunferencia osculatriz
Q = P + rho * N;

% Representación de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 300);
xx = rho*cos(theta) + Q(1);
yy = rho*sin(theta) + Q(2);

% Dibujar
figure; hold on;
plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
plot(P(1), P(2), 'k*', 'MarkerSize', 8); % Punto P
plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Circunferencia osculatriz
grid on;
axis equal;
title('Circunferencia osculatriz de la cicloide en t = 4, R = 3');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold on;

h1 = plot(x_values, y_values, 'm', 'LineWidth', 1.4); % Cicloide
h2 = plot(xx, yy, 'b', 'LineWidth', 1.4); % Osculatriz

legend([h1 h2], {'Cicloide', 'Circunferencia osculatriz'}, ...
'FontSize', 8, 'Location', 'northwest');
end
hold off;
}}

[[Archivo:circunferencia_osculatriz|miniaturadeimagen]].jpg

==Fenomenos que describe la cicloide==

La cicloide es una curva que surgió en el siglo 17, una época de gran desarrollo matemático. Esta es una curva plana, lugar geométrico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda, sin resbalar, sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de directriz y la circunferencia de generatriz o ruleta. A primera vista, parece una simple curiosidad geométrica, pero su estudio ha revelado profundos detalles relativos al cálculo diferencial e integral. Los matemáticos del siglo 17 utilizaron la cicloide para el estudio de curvas. Se descubrieron rápidamente nuevos métodos para encontrar las tangentes de curvas, el área bajo curvas y el volumen de sólidos delimitados por superficies curvas. En estos avances, la cicloide fue la curva utilizada de forma preeminente y casi todos los matemáticos de la época la utilizaron en alguna prueba de su nueva teoría, hasta tal punto que gran parte de las primeras historias de la geometría analítica, el cálculo y la cicloide están estrechamente entrelazadas.

La cicloide no es solo una curiosidad matemática; sus aplicaciones prácticas son numerosas y variadas. Por ejemplo, los relojes de péndulo diseñados por Christiaan Huygens en el siglo XVII utilizaron la cicloide para mejorar la precisión del tiempo. Huygens demostró que un péndulo que oscila en un arco cicloidal tiene un periodo de oscilación constante, lo que no ocurre con un péndulo que oscila en un arco circular. El problema de la braquistócrona, planteado por Johann Bernoulli en 1696, es uno de los hitos más importantes asociados a la cicloide. Bernoulli desafió a la comunidad matemática a encontrar la curva de descenso más rápido bajo la influencia de la gravedad, y la solución resultó ser una cicloide.

La cicloide ha dejado una huella profunda en el desarrollo de las matemáticas y la física. Su estudio no solo ha contribuido a nuestra comprensión de las curvas y sus propiedades, sino que también ha llevado a avances tecnológicos y científicos significativos. En arquitectura, los arcos cicloidales son muy útiles por su resistencia estructural y su estética elegante. En ingeniería, los reductores cicloidales utilizan esta curva para diseñar engranajes que mejoran la eficiencia y durabilidad de las máquinas al distribuir la carga de manera más uniforme. En la rama de la ingeniería civil, la forma cicloidal se utiliza en el diseño de puentes y arcos, ya que puede soportar mejor las cargas y distribuir las tensiones de manera eficiente. La naturaleza ha inspirado a los ingenieros a adoptar esta forma para construir estructuras más resistentes y duraderas. Además, la cicloide es crucial en problemas de física, como el de la tautócrona, en el que una bola que se deja caer por una cicloide invertida llega al fondo en el mismo tiempo, sin importar su punto de partida. Este fenómeno fue descubierto por Christiaan Huygens y tiene aplicaciones en la teoría de relojes de péndulo y otros sistemas dinámicos.

==Aplicación en la ingeniería de la Cicloide==
La cicloide se puede ver aplicada en distintos ámbitos como se puede observar a continuación:
Kimbell Art Museum en Fort Worth, Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn.
 
Karmsund Bridge.
 
Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge.
 

[[Categoría:TC25/26]]

.