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La Clotoide (Grupo 24)

2025-12-10T09:35:50Z

Sergio.cornide: /* BIBLIOGRAFÍA */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥_1(𝑡), 𝑥_2(𝑡), 𝑥_3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Calculo de la masa de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}
 
 
 
 

==BIBLIOGRAFÍA==
https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
 
https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
 
https://blog.structuralia.com/clotoide
 
https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
 
https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
 
https://gemini.google.com/app
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-12-03T12:04:14Z

Sergio.cornide: /* Densidad de superficie de la hélice cónica. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥_1(𝑡), 𝑥_2(𝑡), 𝑥_3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Calculo de la masa de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}
 
 
 
 

==BIBLIOGRAFÍA==
https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
 
https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
 
https://blog.structuralia.com/clotoide
 
https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
 
https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-12-03T10:29:57Z

Sergio.cornide: /* Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada). */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥_1(𝑡), 𝑥_2(𝑡), 𝑥_3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗_𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}
 
 
 
 

==BIBLIOGRAFÍA==
https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
 
https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
 
https://blog.structuralia.com/clotoide
 
https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
 
https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-12-02T16:13:45Z

Sergio.cornide: /* BIBLIOGRAFÍA */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}
 
 
 
 

==BIBLIOGRAFÍA==
https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
 
https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
 
https://blog.structuralia.com/clotoide
 
https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
 
https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-12-02T16:13:28Z

Sergio.cornide: /* BIBLIOGRAFÍA */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}
 
 
 
 

==BIBLIOGRAFÍA==
https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
 
https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
 
https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
 
https://blog.structuralia.com/clotoide
 
https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
 
https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras
 

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-12-02T16:11:47Z

Sergio.cornide: /* BIBLIOGRAFÍA */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}
 
 
 
 

==BIBLIOGRAFÍA==
https://mat.caminos.upm.es/wiki/P%C3%A1gina_principal
https://cifrasyteclas.com/2014/01/23/clotoide-la-curva-que-vela-por-tu-seguridad-en-carreteras-y-ferrocarriles/
https://es.wikipedia.org/wiki/Clotoide
https://blog.structuralia.com/clotoide
https://www.applesfera.com/curiosidades/todos-productos-apple-se-rigen-patron-diseno-que-se-remonta-a-1874-que-clotoide-curva-euler
https://es.scribd.com/document/365340641/Que-Es-La-Clotoide-en-Carreteras

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-12-02T16:06:42Z

Sergio.cornide: /* Densidad de superficie de la hélice cónica. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% M = integral2(fun, amin, amax, bmin, bmax)
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}
 
 
 
 

==BIBLIOGRAFÍA==

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 36)

2025-12-02T16:05:01Z

Sergio.cornide: /* Masa de la superficie reglada. */

{{ TrabajoED | La clotoide. Grupo 36 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | José Luis Sánchez Vargas, Dennis Rodríguez Pérez, Yayun Wang.}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]
== Introducción.==
Una clotoide, también conocida como espiral de Cornu o espiral de Euler, es una curva geométrica cuya curvatura varía de manera lineal con respecto a su longitud. Es decir, a medida que avanzamos a lo largo de la curva, la curvatura cambia gradualmente, comenzando desde un valor inicial nulo (recta) hasta alcanzar una curvatura máxima, lo que la hace ideal para transiciones suaves entre rectas y curvas.
 
Para estudiar sus características, examinaremos primero los vectores de velocidad y aceleración, junto con los elementos del triedro de Frenet.
 
Más adelante, relacionaremos estos conceptos con su utilización en ingeniería civil.
== Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,L)
</math>
</center>
Para nuestro caso tomaremos L=4. La expresión general quedará de esta forma:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
 
[[Archivo:dibujoclotoide.jpg|505px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
}}

==Velocidad y aceleración.==
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide221.jpg|505px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;
}}

=Longitud de la curva=
 
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt </math></center>
 
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
<center><math>
\vec{{\gamma }'}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
Cuyo módulo es:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Por tanto la longitud es:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 
=Vectores tangente y normal=
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
[[Archivo:clotoide321.jpg|505px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=

% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:n
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location','Best');
hold off;
}}
=Curvatura k(t).=
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:Clotoide421.jpg|505px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t);
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}
 
 
 
 
 
 
 
 
 

=Circunferencia osculatriz.=
La circunferencia osculatriz es una aproximación local de la curva en cada punto de esta, es decir, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dada esta definición y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro son:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds - (\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro recientemente calculado, se realiza el gráfico, añadiendo el siguiente código, al anterior de la clotoide, y por tanto, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:osculatriz4444.jpg|505px|thumb|right|Figura 5: Circunferencia osculatriz y la curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Vector normal unitario en t = 1.5
nx = -sin(1.5^2/2);
ny = cos(1.5^2/2);

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*nx;
Qy = Y1 + R*ny;

% Parametrización de la circunferencia
theta = linspace(0,2*pi,500);
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
plot(x,y,'r') % Clotoide
plot(Cx,Cy,'b') % Circunferencia osculatriz
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
=Propiedades para la ingeniería.=
La clotoide representa un tipo de curva que permite una transición progresiva entre una trayectoria recta y una curva circular, debido a que su curvatura aumenta de manera lineal. Esto implica que, al comienzo de la curva, el radio de curvatura es infinito y, conforme se avanza sobre ella, dicho radio disminuye hasta alcanzar un valor finito, definiéndose así una curvatura más marcada.

En ingeniería, su uso más importante aparece en el diseño de carreteras y vías férreas, donde la clotoide se emplea para suavizar el paso entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es esencial, ya que evita cambios bruscos en la aceleración centrípeta y permite ajustarla de manera gradual. Si no existiera esta suavidad en el cambio, los vehículos y sus ocupantes podrían experimentar incrementos violentos en las fuerzas centrípetas, lo que generaría incomodidad e incluso riesgos para la estabilidad.

Además, las características de la clotoide permiten otras aplicaciones, como mantener un flujo de agua más uniforme, diseñar trayectorias de entrada y salida para barcos en puertos, o incluso crear recorridos más seguros y fluidos en montañas rusas.

=Ejemplos en Ingeniería Civil.=
[[Archivo:Clotoide621.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Clotoide en carretera''' ]]
[[Archivo:clotoide111.png|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Espiral de Euler en carretera''' ]]
 
[[Archivo:clotoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Autopista del Sol (México)''' ]]
[[Archivo:clotoide116.png|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Clotoide en montaña rusa''' ]]

=Superficie Reglada.=
Se considera la helice cónica cuya parametrización es:

<center> <math> \gamma (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))=(tcos(t),tsin(t),t), t∈(2π,6π) </math> </center>
Para dibujar dicha superficie reglada asociada a la curva mediantes segmentos ortogonales de longitud 1 y vector <math>\bar{e}_p </math>, se hace lo siguiente:
 
1) Se parametriza la curva segun v:
 
<center><math> \gamma (v)=(x_{1}(v),x_{2}(v),x_{3}(v))=(vcos(v),vsin(v),v), v∈(2π,6π) </math></center>
 
2)Usar una matriz de cambio de base para pasar el vector <math>\vec{e_{\rho}} </math> de cilíndricas a cartesianas:
 
 
<center>
\begin{pmatrix}v_1\\v_2 \\v_3 \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost & -sint &0 \\ sint & cost & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}cost\\ sint\\0 \end{pmatrix}
</center>
 
 
Por lo tanto <math>\vec{w}(v) = cosv \overline{i} + sinv\overline{j} </math>

3) Sustituir todos los valores en la formula <math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) </math> :

<center><math>\phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
Para representar la hélice cónica hemos usado el siguiente código de Matlab:
[[Archivo:helicoide999999.jpg|505px|thumb|right|Figura 6: Hélicoide cónica]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie reglada en coordenadas cilíndricas
r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
A continuación, se muestran una serie de aplicaciones en el mundo real:

[[Archivo:helicoide33.jpg|600px|miniaturadeimagen|izquierda|'''Torre espiral (Dinamarca)''' ]]
[[Archivo:helicoide44.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|'''Helicoide de Caracas (Venezuela)''' ]]
 

==Masa de la superficie reglada.==
Dada la función de densidad <math> f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3 })</math>, para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>

Primero calculamos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (cosv-vsinv-usinv) \overline{i} + (sinv+vcosv+ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + (u+v)\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= (\frac{v^2+u^2}{v })
</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} (\frac{v^2+u^2}{v}) \cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv =2176.6255
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear;clc
% Esta función calcula la integral doble con el orden dv du:
% Definición de la función a integrar f(u, v)
fun = @(u, v) ((u + v).^2 ./ u) .* sqrt(1 + (u + v).^2);
%% Definición de los límites de integración
v_min = 0;
v_max = 1;
u_min = 2*pi;
u_max = 6*pi;
%% Cálculo de la integral doble
Masa = integral2(fun, u_min, u_max, v_min, v_max);
%% Mostrar el resultado
fprintf('El valor numérico de la integral doble (Masa) con orden dv du es: M = %f\n', Masa);
}}

La Clotoide (Grupo 24)

2025-12-02T15:59:25Z

Sergio.cornide: /* Densidad de superficie de la hélice cónica. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
 
Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==
La clotoide, también conocida como espiral de Euler o espiral de Cornu, es una curva especialmente utilizada en ingeniería civil y de transportes debido a su capacidad para proporcionar transiciones suaves entre tramos rectos y curvas de radio constante, algo fundamental para la comodidad y seguridad en carreteras y vías férreas.
En una clotoide, la curvatura aumenta de manera lineal con respecto a la longitud recorrida a lo largo de la curva. Esto significa que, al principio del tramo, la curvatura es prácticamente nula , lo que equivale a un radio de curvatura infinito, como el de una recta, y conforme se avanza a lo largo de la curva, la curvatura va creciendo progresivamente hasta alcanzar el valor deseado para enlazar con una curva circular de radio constante.

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>
para calcular la masa usaremos la expresión
<center><math> Masa=\iint_{S}^{}fds=\iint_{D}^{}f(\phi(u,v))\cdot \left | \phi '_u\times\phi '_v \right |dudv</math></center>
En primer lugar calcularemos las derivadas de <math>\phi'_u </math> y <math>\phi'_v </math>
<center><math>
\phi'_u = cosv \overline{i} + sinv \overline {j}</math></center>
<center><math>
\phi'_v = (-usinv) \overline{i} + (ucosv) \overline {j} +\overline{k}
</math></center>
Posteriormente se calcula su producto vectorial para introducirlo en la matriz
<center><math>
\phi '_u\times\phi '_v = sinv \overline{i} - cosv \overline{j} + u\overline{k}
</math></center>
Cuyo módulo es:
<center><math>
|\phi '_u\times\phi '_v | = \sqrt{1+(u+v)^2}
</math></center>

A continuacion se calcula <math> f(\phi(u,v))</math>
<center><math>
f(\phi(u,v))= \frac{(u+v)^2}{u}</math></center>
Finalmente, sustituimos los valores obtenidos en la integral doble para calcular la masa
<center><math>
Masa=\int_{2\pi}^{6\pi}\int_{0}^{1} \frac{(u+v)^2}{u}\cdot \sqrt{1+(u+v)^2} du dv ≈2406.025
</math></center>

Para calcular la integral, hemos usado el siguiente código de matlab:
{{matlab|codigo=
clear; clc;
% Definimos los extremos de los intervalos y el número de puntos
n=100;
h1=(1-0)/n; h2=(6*pi-2*pi)/n;
u=0:h1:1; v=2*pi:h2:6*pi;
% Definimos el mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

% Definimos el área de cada subrectángulo y usamos el método del prisma
area=2*2/(n^2);
v_acumulado=0;
for i=1:n
for j=1:n
alt=((uu).^2)./(uu+vv).*(sqrt(1+(uu).^2));
v_prisma=area*alt;
v_acumulado=v_acumulado+v_prisma;
end
end
int=v_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)
}}
 
 
 
 

==BIBLIOGRAFÍA==

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:47:19Z

Sergio.cornide: /* Densidad de superficie de la hélice cónica. */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
 
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:44:35Z

Sergio.cornide:

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura.]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz.==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva.]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil.==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon Khan.]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11; A-6 direccion M-40.]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|Circuito de Silverstone.]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe.==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada).==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 6:Helicode cónico.]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica.==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:37:49Z

Sergio.cornide: /* Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada) */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:37:29Z

Sergio.cornide: /* Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada) */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:36:38Z

Sergio.cornide: /* Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada) */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Helicoide12.png

2025-11-27T12:35:45Z

Sergio.cornide:

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:35:11Z

Sergio.cornide: /* Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada) */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12.png|505px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helice cónico');
shading flat;
}}
 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:33:27Z

Sergio.cornide: /* Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada) */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
4.Representación con matlab:
[[Archivo:Helicoide12|505px|miniaturadeimagen|derecha]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
%Definimos los parámetros u y v
u=(0:0.01:1);
v=(2.*pi:0.01:6.*pi);
[MU,MV]=meshgrid(u,v);

%Definimos la superficie en coordenadas cilíndricas

r=MV+MU;
th=MV;
z=MV;

%Transformamos las coordenadas en cartesianas
x=r.*cos(th);
y=r.*sin(th);
z=z;

%Dibujamos la superficie en una gráfica
surf(x,y,z);
title('Helicoide cónico');
shading flat;
}}
 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:24:11Z

Sergio.cornide: /* Densidad de superficie de la hélice cónica */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) = (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
4.Representación con matlab:
 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}</math>
</center>

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:22:13Z

Sergio.cornide: /* Densidad de superficie de la hélice cónica */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
 
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j} </math></center>
 
2.Parametrizamos este vector con v para poder dejar la superficie en función de (u,v):
 
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = f(v) = cos(v) \overline{i} + sen(v) \overline{j} </math></center>
 
3.Sustituir todos los valores en la formula:
 
<center><math> \phi (u,v)= \gamma(v) + u\cdot \bar{w}(v) \phi (u,v)= (vcosv+u\cdot cosv) \overline{i} + (vsinv+ u\cdot sinv) \overline{j} + v \overline{k} </math></center>
 
4.Representación con matlab:
 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==
Suponemos que la densidad de la superficie de la hélice cónica viene dada por la siguiente ecuacion
<center>
<math>
f(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}

 
 
 
 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:04:15Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|izquierda|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|medio|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|derecha|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)
1. Aplicando el cambio de base, sabemos que el vector 𝑒⃗𝜌 en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝑒⃗𝜌 = cos(t) \overline{i} + sen(t) \overline{j}

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:01:20Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|202px|miniaturadeimagen|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|202px|miniaturadeimagen|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|202px|miniaturadeimagen|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T12:00:44Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|miniaturadeimagen|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|miniaturadeimagen|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|miniaturadeimagen|circuito silverstone]]
 
 
 
 

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T11:59:28Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|miniaturadeimagen|Dragon khan]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|miniaturadeimagen|Salida 11 A-6 direccion M-40]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|miniaturadeimagen|circuito silverstone]]

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T11:55:55Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|miniaturadeimagen|izquierda]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|miniaturadeimagen|derecha]]

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Ejemplociclo3.png

2025-11-27T11:55:27Z

Sergio.cornide:

Archivo:Ejemplociclo2.png

2025-11-27T11:54:09Z

Sergio.cornide:

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T11:53:52Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|205px|miniaturadeimagen|izquierda]]
[[Archivo:Ejemplociclo2.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ejemplociclo3.png|miniaturadeimagen|derecha]]

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y 𝑒⃗𝜌)

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T11:47:12Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|205px|miniaturadeimagen|izquierda]]
[[Archivo:Ejemplociclo2|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ejemplociclo3|miniaturadeimagen|derecha]]

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y (\vec{e}_{\rho })

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T11:46:47Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1.png|405px|miniaturadeimagen|izquierda]]
[[Archivo:Ejemplociclo2|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ejemplociclo3|miniaturadeimagen|derecha]]

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 

Para dibujar el helicoide cónico hay que seguir los siguientes pasos (mediante segmentos ortogonales
de longitud 1 y (\vec{e}_{\rho })

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Ejemplociclo1.png

2025-11-27T11:45:42Z

Sergio.cornide:

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T11:44:58Z

Sergio.cornide: /* Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil */

{{ TrabajoED | La Clotoide (Grupo 24) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de campos]] | [[:Categoría:TC24/25|2025-26]] | Alvaro de la Rosa Salamanca, Sergio Cornide Chinchón, Nicolas Fernandez Vieira, Pablo Alonso Castañón, Luis Fernandez Gonzalez. }}

==Introducción.==
De forma matemática, las clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
 
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
 
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.

==Dibujo de la curva.==
La expresión matemática de la clotoide es:
 
<center>
<math>
\gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (0,4)
</math>
</center>
 
La representación gráfica de la curva:
 
[[Archivo:clotoide.png|500px|thumb|right|Figura 1: Clotoide]]
{{matlab|codigo=
clear; clc; clf;
% Definimos los parámetros
L = 4;
n = 500;
t = linspace(0, L, n);

% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);

% Definimos las funciones
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);

% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + f1(t(i-1)) * (t(i) - t(i-1));

% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + f2(t(i-1))* (t(i) - t(i-1));
end

% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y,'red');
axis equal;
xlabel('EJE X');
ylabel('EJE Y');
title('Curva de la clotoide');
colorbar
legend('clotoide')
grid on;
}}

 

==Velocidad y aceleración.==
Para hallar ambos vectores, se aplican las siguientes fórmulas de velocidad <math> \dot{\gamma } </math> y aceleración <math> \ddot{\gamma } </math>
<center>
<math>
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
 
<math>
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math>
</center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Toide.png|500px|thumb|right|Figura 2: Vectores velocidad y aceleración junto a la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las derivadas numéricas de x(t) y y(t) (velocidad)
dx = cos(t.^2/2); % Derivada primera de x(t)
dy = sin(t.^2/2); % Derivada primera de y(t)

% Calculamos las derivadas de las velocidades (aceleración)
ddx = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada segunda de x(t)
ddy = t.*cos(t.^2/2); % Derivada segunda de y(t)

hold on;

% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:4:500
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.025, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Longitud de la curva.==
 
Para hallar la longitud de la curva, primero necesitamos su expresión
 
<center><math> L(γ'(t))=\int_{0}^{t}|γ'(t)|dt, t\in (0,4) </math></center>
 

<center><math>
\vec{{\gamma }'(t)}= cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
</math></center>
 
De módulo:
<center><math>
|γ′(t)| = \sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})} = \sqrt {1} = 1
</math></center>
 
Con esto, hallamos su longitud:
 
<center><math>
L(γ) = \int_{0}^{4}\sqrt {cos^2(\frac{t^2}{2})+sin^2(\frac{t^2}{2})}dt = \int_{0}^{4}1dt = 4-0 = 4
</math></center>
 

==Vectores tangente y normal.==
Los vectores tangente y normal de la clotoide vienen dadas por:
<center>
<math>\vec{t}(t)=\frac{\gamma {}'(t)}{\left | \gamma {}'(t) \right |}=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}
</math></center>
 
<center>
<math>\vec{n}(t)={\frac{\gamma'(t) \times \gamma''(t)}{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}}\times{\frac{cos(\frac{t^2}{2})\vec{i}+sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}}{1}}= {-sin(\frac{t^2}{2})\vec{i} + cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}}
</math></center>
 
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
 
[[Archivo:Clotoide4.png|500px|thumb|right|Figura 3: Vectores tangente y normal de la clotoide]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos los vectores tangente x(t) e y(t)
tx = cos(t.^2/2);
ty = sin(t.^2/2);

% Calculamos los vectores normal x(t) e y(t)
nx = -sin(t.^2/2);
ny = cos(t.^2/2);

hold on;

% Dibujamos los vector tangente (negro) y normal (azul)
for i = 1:4:500
% Vector tangente
quiver(x(i), y(i), tx(i), ty(i), 0.2, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);

% Vector normal
quiver(x(i), y(i), nx(i), ny(i), 0.1, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end

% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores tangente y normal');
legend('Curva','Normal','Tangente','Location','Best');
grid on
hold off;
}}

 

==Curvatura k(t).==
La curvatura se calcula con la siguiente fórmula:
<center>
<math>
k(t)=\frac{|\gamma'(t) \times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^3}=\frac{\left| \left( \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \times \left( -t \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + t \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right) \right|}{\left| \cos\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{i} + \sin\left(\frac{t^2}{2}\right) \vec{j} \right|^3} = t
</math></center>
 
La gráfica de la curvatura se calcula mediante el siguiente código de Matlab
[[Archivo:curvaturacloto.png|405px|thumb|right|Figura 4: Curvatura]]
{{matlab|codigo=
% Definimos el parámetro t
t=linspace(0,4,50);
% Definimos la curvatura k(t)
k=t;
% Representamos la gráfica de la curvatura
figure;
plot(k,t,'green');
title('Curvatura');
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
}}

 
 
 
 

== Centro y radio de la circunferencia osculatriz==
La circunferencia osculatriz se trata de una aproximación local de la curva en cada punto de la misma, la circunferencia tiene la misma tangente, curvatura y centro de curvatura que la curva en cada punto.
 
Dicho esto y dado P= <math> \gamma (1.5) </math>, es decir, t=1.5, el radio de la circunferencia osculatriz y su centro sera:
 
<center>
<math>R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}</math>
</center>
<center>
<math>Q(t)=\gamma (t)+\frac{1}{\kappa (t)}\bar{n}(t)</math>
</center>
 
<center>
<math>R(1.5)=\frac{1}{1.5}</math>
</center>
 
 
Realizando las operaciones correspondientes, tenemos:
<center>
<math>Q(1.5) = \left\{\begin{matrix}
Q_x(1.5)=\int_{0}^{1.5}cos(\frac{s^2}{2})ds + (-\frac{sin(1.5)}{2})\\\

Q_y(1.5)=\int_{0}^{1.5}sin(\frac{s^2}{2})ds + (\frac{cos(1.5)}{2})

\end{matrix}\right.</math></center>
 
Con el centro ya calculado, se realiza el gráfico, mediante el siguiente código, al anterior de la clotoide, obteniendo la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:Curvinhaclotoide.png|505px|miniaturadeimagen|Figura 5:Circunferencia osculatriz y su curva]]
{{matlab|codigo=
% Calculamos las integrales de la curva para t = 1.5
X1 = integral(f1,0,1.5);
Y1 = integral(f2,0,1.5);

% Radio de la circunferencia osculatriz
R = 1/1.5;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Qx = X1 + R*-sin(1.5^2/2);
Qy = Y1 + R*cos(1.5^2/2);
theta = linspace(0,2*pi,500);

% Parametrización de la circunferencia
Cx = Qx + R*cos(theta);
Cy = Qy + R*sin(theta);

% Representación
hold on
% Clotoide
plot(x,y,'r')
% Circunferencia osculatriz
plot(Cx,Cy,'g')
axis equal
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('Curva y circunferencia osculatriz en t = 1.5')
hold off
}}
 
 
 
 

==Propiedades para la ingeniería.==
La clotoide es la curva que describe una transición suave entre una trayectoria recta y una curva circular, ya que, como se ha expuesto anteriormente, su curvatura crece de forma lineal con relación a su longitud. Justamente por eso, en el punto de inicio, el radio de curvatura es infinito, y a medida que avanza, el radio disminuye hasta tomar un valor finito, estableciendo una curvatura más definida.

Su principal aplicación en la ingeniería es el diseño de carreteras y ferrocarriles en el que la clotoide se usa para suavizar la transición entre un tramo recto y una curva circular. Esta transición es importantísimo hacerla correctamente, ya que evita cambios abruptos en la aceleración centrípeta y la ajusta gradualmente. Sin una transición suave, se podría generar incomodidad o incluso peligro para los vehículos y pasajeros ya que se enfrentarían a un aumento agresivo de las fuerzas centrípetas, lo que puede afectar a la estabilidad.

Las propiedades de la clotoide ofrecen otras aplicaciones como ayudar a mantener un flujo de agua estable, diseñar rutas de entrada y salida para embarcaciones en los puertos e incluso para construir montañas rusas. Otros usos son circuitos de fórmula 1 por su atractivo por la exigencia que tiene para los monoplazas dado que son curvas rápidas pero técnicas.

 
 
 
 
==Ejemplos de la clotoide en la ingeniería civil==
[[Archivo:Ejemplociclo1|miniaturadeimagen|izquierda]]
[[Archivo:Ejemplociclo2|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Ejemplociclo3|miniaturadeimagen|derecha]]

==Qué fenómeno describe==

 
 
 
 

==Hélice cónica en ℝ³ (superficie reglada)==

La parametrización en coordenadas cartesianas es:
<center><math> 𝛾(𝑡) = (𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡)) = (𝑡 cos𝑡, 𝑡sin 𝑡, 𝑡), 𝑡 ∈ (2𝜋, 6𝜋). </math></center>

 
 
 
 

==Densidad de superficie de la hélice cónica==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T11:16:16Z

Sergio.cornide:

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T11:02:01Z

Sergio.cornide: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T10:57:45Z

Sergio.cornide: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T10:55:33Z

Sergio.cornide: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz */

Archivo:Curvinhaclotoide.png

2025-11-27T10:54:19Z

Sergio.cornide:

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T10:53:59Z

Sergio.cornide: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T10:53:37Z

Sergio.cornide: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-27T10:41:37Z

Sergio.cornide: /* Centro y radio de la circunferencia osculatriz */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:09:01Z

Sergio.cornide: /* Curvatura k(t). */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:08:50Z

Sergio.cornide: /* Curvatura k(t). */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:08:41Z

Sergio.cornide: /* Curvatura k(t). */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:08:27Z

Sergio.cornide: /* Curvatura k(t). */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:08:11Z

Sergio.cornide: /* Vectores tangente y normal. */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:07:57Z

Sergio.cornide: /* Longitud de la curva. */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:07:45Z

Sergio.cornide: /* Velocidad y aceleración. */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:07:33Z

Sergio.cornide: /* Dibujo de la curva. */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:07:20Z

Sergio.cornide: /* Introducción. */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:07:11Z

Sergio.cornide: /* Introducción. */

La Clotoide (Grupo 24)

2025-11-26T12:06:58Z

Sergio.cornide: /* Introducción. */