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La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:16:38Z

Sergio.cantero: /* Información sobre la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = </math>'''</center>
==Código y representación de la longitud==

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 20;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|derecha]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:16:09Z

Sergio.cantero: /* Información sobre la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = </math>'''</center>
==Código y representación de la longitud==

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 20;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|miniaturadeimagen]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Catenaria Descripcion.png

2025-12-02T16:14:32Z

Sergio.cantero:

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:10:05Z

Sergio.cantero: /* Centro de la circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = </math>'''</center>
==Código y representación de la longitud==

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 20;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:06:17Z

Sergio.cantero: /* Centro de la circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = </math>'''</center>
==Código y representación de la longitud==

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 20;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t)=1,\qquad y'(t)=\sinh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

[math]x''(t)=0,\qquad y''(t)=\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

[math]\kappa(t)=\frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.[/math]

Como [math]1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)[/math], queda

[math]\kappa(t)=\frac{1}{3}\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}=\frac{1}{3}\,\text{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

El radio de curvatura es

[math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]R=R(t_0)=3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)=3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)\approx 3.08.[/math]

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:04:56Z

Sergio.cantero: /* Interpretación geométrica */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = </math>'''</center>
==Código y representación de la longitud==

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 20;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)
\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) se puede tomar como

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\left(\frac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] tenemos

[math]
Q = P + R(t_0)\,N(t_0)
\approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:03:37Z

Sergio.cantero: /* Interpretación geométrica */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = </math>'''</center>
==Código y representación de la longitud==

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t)=1,\qquad y'(t)=\sinh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

[math]x''(t)=0,\qquad y''(t)=\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

[math]\kappa(t)=\frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.[/math]

Como [math]1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)[/math], queda

[math]\kappa(t)=\frac{1}{3}\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}=\frac{1}{3}\,\text{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

El radio de curvatura es

[math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]R=R(t_0)=3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)=3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)\approx 3.08.[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)
\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) se puede tomar como

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\left(\frac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] tenemos

[math]
Q = P + R(t_0)\,N(t_0)
\approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:03:20Z

Sergio.cantero: /* Interpretación geométrica */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = </math>'''</center>
==Código y representación de la longitud==

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t)=1,\qquad y'(t)=\sinh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

[math]x''(t)=0,\qquad y''(t)=\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

[math]\kappa(t)=\frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.[/math]

Como [math]1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)[/math], queda

[math]\kappa(t)=\frac{1}{3}\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}=\frac{1}{3}\,\text{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

El radio de curvatura es

[math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]R=R(t_0)=3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)=3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)\approx 3.08.[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)
\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) se puede tomar como

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\left(\frac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] tenemos

[math]
Q = P + R(t_0)\,N(t_0)
\approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:59:59Z

Sergio.cantero: /* Centro de la circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = </math>'''</center>
==Código y representación de la longitud==

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t)=1,\qquad y'(t)=\sinh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

[math]x''(t)=0,\qquad y''(t)=\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

[math]\kappa(t)=\frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.[/math]

Como [math]1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)[/math], queda

[math]\kappa(t)=\frac{1}{3}\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}=\frac{1}{3}\,\text{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

El radio de curvatura es

[math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]R=R(t_0)=3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)=3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)\approx 3.08.[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)
\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) se puede tomar como

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\left(\frac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] tenemos

[math]
Q = P + R(t_0)\,N(t_0)
\approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:56:03Z

Sergio.cantero: /* Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
==Código y representación de la longitud==
=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t)=1,\qquad y'(t)=\sinh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

[math]x''(t)=0,\qquad y''(t)=\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

[math]\kappa(t)=\frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.[/math]

Como [math]1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)[/math], queda

[math]\kappa(t)=\frac{1}{3}\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}=\frac{1}{3}\,\text{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

El radio de curvatura es

[math]R(t)=\frac{1}{\kappa(t)}=3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]R=R(t_0)=3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)=3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)\approx 3.08.[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)
\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) se puede tomar como

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\left(\frac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] tenemos

[math]
Q = P + R\,N(t_0)
\approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:52:58Z

Sergio.cantero: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
==Código y representación de la longitud==
=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math]==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

[math]x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t) = (x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t) = \dfrac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\big(x'(t)^2 + y'(t)^2\big)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo:

[math]
\kappa(t)
= \dfrac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\big(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\big)^{3/2}}
= \dfrac{1}{3}\,\operatorname{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right),
[/math]

donde [math]\operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u).[/math]

El radio de curvatura es

[math]R(t) = \dfrac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math]:

[math]
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)
\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) se puede tomar como

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\left(\frac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] tenemos

[math]
Q = P + R\,N(t_0)
\approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:43:22Z

Sergio.cantero: /* Circunferencia osculatriz */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. 
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' 
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' 
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el vector velocidad '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el vector aceleración '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
==Código y representación de la longitud==
=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\!\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math]==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\!\left(\frac{t}{3}\right),[/math]

[math]x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\!\left(\frac{t}{3}\right).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t) = \dfrac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\big(x'(t)^2 + y'(t)^2\big)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo:

[math]
\kappa(t)
= \dfrac{\frac{1}{3}\cosh\!\left(\frac{t}{3}\right)}{\big(1+\sinh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)\big)^{3/2}}.
[/math]

Usando que [math]1+\sinh^2(u)=\cosh^2(u)[/math], obtenemos

[math]
\kappa(t)
= \dfrac{\frac{1}{3}\cosh\!\left(\frac{t}{3}\right)}{\cosh^3\!\left(\frac{t}{3}\right)}
= \dfrac{1}{3}\,\operatorname{sech}^2\!\left(\frac{t}{3}\right),
[/math]

donde [math]\operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u).[/math]

El radio de curvatura es

[math]
R(t) = \dfrac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right).
[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math]:

[math]
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\!\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\!\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)
\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\!\left(\frac{t}{3}\right),\;\tanh\!\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) se puede tomar como

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\!\left(\frac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\!\left(\frac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] tenemos

[math]
Q = P + R\,N(t_0) \approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:31:30Z

Sergio.cantero: /* Información sobre la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. 
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' 
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' 
==Interpretación geométrica==
* La aceleración indica cómo cambia la velocidad.
* En una catenaria la curvatura es mayor cuanto más lejos del punto más bajo, por eso la aceleración vertical crece.
* La velocidad es siempre tangente a la curva, describe la dirección de movimiento del punto que recorre la catenaria.
* La aceleración apunta aproximadamente hacia la concavidad de la curva.
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
==Código y representación de la longitud==
=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto cruz '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

== Interpretación geométrica ==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder casi información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

== Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] ==

Primero calculamos las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh(t/3),[/math]

[math]x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \dfrac{1}{3}\cosh(t/3).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t) = \dfrac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\big(x'(t)^2 + y'(t)^2\big)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo obtenemos

[math]
\kappa(t)
= \dfrac{\frac{1}{3}\cosh(t/3)}{\big(1+\sinh^2(t/3)\big)^{3/2}}
= \dfrac{1}{3}\operatorname{sech}^2\left(\dfrac{t}{3}\right),
[/math]

donde [math]\operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u).[/math]

El radio de curvatura es

[math]
R(t) = \dfrac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\dfrac{t}{3}\right).
[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]
R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\dfrac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\dfrac{1}{6}\right)\approx 3.08.
[/math]

== Centro de la circunferencia osculatriz ==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) es

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] esto da

[math]
Q = P + R\,N(t_0) \approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

== Representación gráfica y código ==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2);
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:|550px|thumb|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:11:20Z

Sergio.cantero: /* Información sobre la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. 
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 
==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
-> Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' 
-> Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1} / {} * cosh(t / a)) </math>''' 
==Código y representación de los vectores==
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
a1 = linspace(0, 0, 20);
a2 = (1 / a) * cosh(t / a);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, a1, a2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
==Código y representación de la longitud==
=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

== Interpretación geométrica ==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto dado es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder casi información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

== Curvatura y radio de curvatura en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] ==

Primero calculamos las derivadas de la parametrización:

[math]x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh(t/3),[/math]

[math]x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \dfrac{1}{3}\cosh(t/3).[/math]

La curvatura de una curva plana [math]\gamma(t)=(x(t),y(t))[/math] viene dada por

[math]\kappa(t) = \dfrac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\big(x'(t)^2 + y'(t)^2\big)^{3/2}}.[/math]

Sustituyendo obtenemos

[math]
\kappa(t)
= \dfrac{\frac{1}{3}\cosh(t/3)}{\big(1+\sinh^2(t/3)\big)^{3/2}}
= \dfrac{1}{3}\operatorname{sech}^2\left(\dfrac{t}{3}\right),
[/math]

donde [math]\operatorname{sech}(u)=1/\cosh(u).[/math]

El radio de curvatura es

[math]
R(t) = \dfrac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\dfrac{t}{3}\right).
[/math]

En el punto [math]t_0=-0.5[/math] resulta

[math]
R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\dfrac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\dfrac{1}{6}\right)\approx 3.08.
[/math]

== Centro de la circunferencia osculatriz ==

El punto de la catenaria que nos interesa es

[math]
P = \gamma(-0.5)
= \big(-0.5,\;3\cosh(-0.5/3)\big)
= \big(-0.5,\;3\cosh(1/6)\big)\approx(-0.50,\;3.04).
[/math]

El vector tangente unitario se obtiene normalizando la velocidad:

[math]
T(t) = \dfrac{\gamma'(t)}{|\gamma'(t)|}
= \left(\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).
[/math]

Un vector normal unitario (perpendicular al tangente) es

[math]
N(t) = \big(-T_y(t),\,T_x(t)\big)
= \left(-\tanh\left(\dfrac{t}{3}\right),\;\operatorname{sech}\left(\dfrac{t}{3}\right)\right).
[/math]

El centro de la circunferencia osculatriz se obtiene desplazando el punto [math]P[/math] en la dirección del vector normal una distancia igual al radio de curvatura:

[math]
Q(t) = \gamma(t) + R(t)\,N(t).
[/math]

En [math]t_0=-0.5[/math] esto da

[math]
Q = P + R\,N(t_0) \approx (0.009,\;6.08).
[/math]

Por tanto, la circunferencia osculatriz en [math]P=\gamma(-0.5)[/math] tiene centro aproximado [math]Q\approx(0.009,\;6.08)[/math] y radio [math]R\approx 3.08.[/math]

== Representación gráfica y código ==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2);
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=

La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:10:11Z

Sergio.cantero: /* Circunferencia osculatriz */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T14:56:16Z

Sergio.cantero: /* Circunferencia osculatriz */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T14:55:40Z

Sergio.cantero: /* 6.4 Representación gráfica y código */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T14:54:57Z

Sergio.cantero: /* Circunferencia osculatriz */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T14:51:14Z

Sergio.cantero: /* Curvatura */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T14:49:25Z

Sergio.cantero: /* Circunferencia osculatriz */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T14:44:24Z

Sergio.cantero:

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T14:44:08Z

Sergio.cantero:

{{ TrabajoED | La iwqidqdiq (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

=Dibujo de la curva=

==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaria.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
'''<math>γ(t)= (t, a * cosh(\frac{t}{a}))</math>''', con '''<math> a = 3</math>'''. 
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
a = 3;
x = t;
y = a * cosh(t / a);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, a * cosh(t / a))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
==Código y representación de los vectores==
=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
==Código y representación de la longitud==
=Vectores tangente y normal=
=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=
=Información sobre la catenaria=
=Ejemplos en ingeniería civil=
=Semejanzas catenaria y parábola=
=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

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La Catenaria (Grupo 7)

2025-11-29T14:54:48Z

Sergio.cantero: