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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-13T07:45:56Z

Sergio Miguez: /* Calcular |∇ × \vec{u} | en todos los puntos del solido en t = 0 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}
Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]
El código adjunto describe la forma en que hemos calculado el gradiente del campo escalar ''temperatura''. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente aumentada.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Representación del gradiente de la temperatura.]]
Si aumentamos la imagen se puede apreciar que las flechas que representan el gradiente son ortogonales a sus respectivas líneas de campo. Esto ha de cumplirse por definición del gradiente de un campo y muestra la dirección de máximo aumento de temperatura en cada punto.

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

Este gráfico muestra la dirección e intensidad de las deformaciones, en el podremos apreciar zonas de convergencia y divergencia.

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea <math>|∇ × \vec{u}|</math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna rotación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

Particularizando para nuestros datos obtenemos:
<center><math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> </center>

Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como el límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==

Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo <math>x</math> y todo <math>t</math>, <math>F = 0</math> solo es posible de dos maneras, siendo '''v''' un número imaginario que cumpla que <math>-\frac{2}{5}v^{2}-2=0</math> o un valor que dependa de <math>x</math> y <math>t</math>, el cual cumpla que <math>sin(x-vt) = 0</math>;

* <math>sin(x-vt) = 0</math> la solución de esta ecuación es <math>v=\frac{x}{t}</math> resultado imposible para <math>t=0</math>.

* <math>-\frac{2}{5}v^{2}-2=0</math> esta ecuación nos presenta la siguiente solución imaginaria: <math>v=\sqrt{5} i</math>

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-13T07:31:52Z

Sergio Miguez: /* Gradiente de la temperatura. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}
Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]
El código adjunto describe la forma en que hemos calculado el gradiente del campo escalar ''temperatura''. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas isotermas.

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente aumentada.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Representación del gradiente de la temperatura.]]
Si aumentamos la imagen se puede apreciar que las flechas que representan el gradiente son ortogonales a sus respectivas líneas de campo. Esto ha de cumplirse por definición del gradiente de un campo y muestra la dirección de máximo aumento de temperatura en cada punto.

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

Este gráfico muestra la dirección e intensidad de las deformaciones, en el podremos apreciar zonas de convergencia y divergencia.

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea <math>|∇ × \vec{u}|</math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

Particularizando para nuestros datos obtenemos:
<center><math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> </center>

Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como el límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==

Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo <math>x</math> y todo <math>t</math>, <math>F = 0</math> solo es posible de dos maneras, siendo '''v''' un número imaginario que cumpla que <math>-\frac{2}{5}v^{2}-2=0</math> o un valor que dependa de <math>x</math> y <math>t</math>, el cual cumpla que <math>sin(x-vt) = 0</math>;

* <math>sin(x-vt) = 0</math> la solución de esta ecuación es <math>v=\frac{x}{t}</math> resultado imposible para <math>t=0</math>.

* <math>-\frac{2}{5}v^{2}-2=0</math> esta ecuación nos presenta la siguiente solución imaginaria: <math>v=\sqrt{5} i</math>

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-12T18:38:52Z

Sergio Miguez: /* Velocidad de propagación v en términos de Lamé */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}
Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]
El código adjunto describe la forma en que hemos calculado el gradiente del campo escalar ''temperatura''. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente aumentada.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Representación del gradiente de la temperatura.]]
Si aumentamos la imagen se puede apreciar que las flechas que representan el gradiente son ortogonales a sus respectivas líneas de campo. Esto ha de cumplirse por definición del gradiente de un campo y muestra la dirección de máximo aumento de temperatura en cada punto.

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

Este gráfico muestra la dirección e intensidad de las deformaciones, en el podremos apreciar zonas de convergencia y divergencia.

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea <math>|∇ × \vec{u}|</math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

Particularizando para nuestros datos obtenemos:
<center><math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> </center>

Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como el límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==

Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo <math>x</math> y todo <math>t</math>, <math>F = 0</math> solo es posible de dos maneras, siendo '''v''' un número imaginario que cumpla que <math>-\frac{2}{5}v^{2}-2=0</math> o un valor que dependa de <math>x</math> y <math>t</math>, el cual cumpla que <math>sin(x-vt) = 0</math>;

* <math>sin(x-vt) = 0</math> la solución de esta ecuación es <math>v=\frac{x}{t}</math> resultado imposible para <math>t=0</math>.

* <math>-\frac{2}{5}v^{2}-2=0</math> esta ecuación nos presenta la siguiente solución imaginaria: <math>v=\sqrt{5} i</math>

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-12T18:22:50Z

Sergio Miguez: /* Campo de deformaciones para el instante inicial. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}
Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]
El código adjunto describe la forma en que hemos calculado el gradiente del campo escalar ''temperatura''. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente aumentada.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Representación del gradiente de la temperatura.]]
Si aumentamos la imagen se puede apreciar que las flechas que representan el gradiente son ortogonales a sus respectivas líneas de campo. Esto ha de cumplirse por definición del gradiente de un campo y muestra la dirección de máximo aumento de temperatura en cada punto.

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

Este gráfico muestra la dirección e intensidad de las deformaciones, en el podremos apreciar zonas de convergencia y divergencia.

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea <math>|∇ × \vec{u}|</math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

Particularizando para nuestros datos obtenemos:
<center><math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> </center>

Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como el límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==

Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo <math>x</math> y todo <math>t</math>, <math>\vec{F} = 0</math> tenemos que <math>v = \sqrt{5}</math>.

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-12T18:21:35Z

Sergio Miguez: /* Gradiente de la temperatura. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}
Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]
El código adjunto describe la forma en que hemos calculado el gradiente del campo escalar ''temperatura''. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente aumentada.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Representación del gradiente de la temperatura.]]
Si aumentamos la imagen se puede apreciar que las flechas que representan el gradiente son ortogonales a sus respectivas líneas de campo. Esto ha de cumplirse por definición del gradiente de un campo y muestra la dirección de máximo aumento de temperatura en cada punto.

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea <math>|∇ × \vec{u}|</math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

Particularizando para nuestros datos obtenemos:
<center><math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> </center>

Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como el límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==

Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo <math>x</math> y todo <math>t</math>, <math>\vec{F} = 0</math> tenemos que <math>v = \sqrt{5}</math>.

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-12T18:20:44Z

Sergio Miguez: /* Gradiente de la temperatura. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}
Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]
El código adjunto describe la forma en que hemos calculado el gradiente del campo escalar ''temperatura''. A la derecha vemos representado dicho campo en sus curvas de nivel con el gradiente siendo perfectamente ortogonal a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente aumentada.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]
Si aumentamos la imagen se puede apreciar que las flechas que representan el gradiente son ortogonales a sus respectivas líneas de campo. Esto ha de cumplirse por definición del gradiente de un campo y muestra la dirección de máximo aumento de temperatura en cada punto.

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea <math>|∇ × \vec{u}|</math> el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<center><math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math></center>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:
<center><math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> </center>

Particularizando para nuestros datos obtenemos:
<center><math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> </center>

Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==

La tensión de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' es una magnitud física proporcional a la energía de distorsión, la teoría expone que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En la mayoría de los casos, el límite elástico se utiliza como el límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<center><math>σ=\sqrt{\frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math></center>
 

Donde <math>σ_1,σ_2,σ_3</math> son los autovalores de <math>σ=\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==

Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo <math>x</math> y todo <math>t</math>, <math>\vec{F} = 0</math> tenemos que <math>v = \sqrt{5}</math>.

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==

La onda es longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto <math>(x,y)=(1/2,1)</math> se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math> se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que la dirección de propagación es la misma que la amplitud, se producen desplazamientos en el eje <math>\vec{i}</math> y no en la dirección <math>\vec{j}</math>, demostrando así lo dicho arriba.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Gradiente aumentada.png

2022-12-12T18:19:23Z

Sergio Miguez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-09T16:31:50Z

Sergio Miguez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}

Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea |∇ × \vec{u}| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> ~u conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Particularizando para nuestros datos obtenemos: <math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> 
Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises==

El criterio de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' dice que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<math>σ=\sqrt{frac {(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}{2}}</math>

[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==

Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo x y todo t <math>\vec{F} = 0</math>, <math>v = \sqrt{5}</math>.

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==

La onda es una onda longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto (x,y)=(1/2,1) se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que su dirección de propagación es el mismo que la amplitud, se producen desplazamientos horizontales y no verticales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-09T16:29:59Z

Sergio Miguez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}

Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea |∇ × \vec{u}| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> ~u conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Particularizando para nuestros datos obtenemos: <math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> 
Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises=

El criterio de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' dice que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<math>σ=\sqrt{σ}</math>

(σ_1+σ_2)^2

[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==

Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo x y todo t <math>\vec{F} = 0</math>, <math>v = \sqrt{5}</math>.

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==

La onda es una onda longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto (x,y)=(1/2,1) se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que su dirección de propagación es el mismo que la amplitud, se producen desplazamientos horizontales y no verticales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-09T16:27:12Z

Sergio Miguez: /* Velocidad de propagación v en términos de Lamé */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}

Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea |∇ × \vec{u}| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> ~u conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
::* <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
::* <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Particularizando para nuestros datos obtenemos: <math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> 
Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tensión de Von Mises=

El criterio de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_de_Von_Mises Von Mises]''' dice que un material dúctil comienza a ceder en una ubicación cuando la tensión de Von Mises es igual al límite de tensión. En este caso podemos observar que el punto máximo de tensión es 0,9791. 
La tensión de Von Mises puede calcularse fácilmente a partir de las tensiones principales del tensor tensión en un punto de un sólido deformable, mediante la expresión:

<math>σ=sqrt{x}</math>

[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

siendo '''v''' la velocidad de propagación de las deformaciones y como hemos calculado en el apartado 8, <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x-vt)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x-vt)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)-\frac{2}{5}sin(x-vt)=-2 sin(x-vt)</math> </center>

Así nos quedaría que:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

<center><math>\vec{F} = \frac{d}{dt}(-\frac{2}{5}v cos(x-vt)) -2 sin(x-vt) = -\frac{2}{5}v^2 sin(x-vt) -2 sin(x-vt) = 0</math></center>

Para que se cumpla que para todo x y todo t <math>\vec{F} = 0</math>, <math>v = \sqrt{5}</math>.

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==
La onda es una onda longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto (x,y)=(1/2,1) se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que su dirección de propagación es el mismo que la amplitud, se producen desplazamientos horizontales y no verticales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-09T15:42:14Z

Sergio Miguez: /* Velocidad de propagación v en términos de Lamé */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}

Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|370px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la temperatura y sus correspondientes curvas de nivel.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
En la gráfica anterior, podemos apreciar como en la parte inferior de la placa el más caliente, y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares la cual vemos en el centro de la parte superior, más se enfría esta. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|500px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del gradiente de la temperatura.]]

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|480px|miniaturadeimagen|derecha|Representación de la divergencia del campo vectorial sobre la capa.]]

{{matlab|codigo=

clear
clc
h=0.2;
%Discretizamos valores de x e y
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
%representamos de tal forma que solo se vean las líneas
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);
pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea |∇ × \vec{u}| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Dirección de los vectores de deformacion.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==

Definiendo <math>ε(\vec u)=\frac {\nabla \vec u + \nabla \vec u ^t}{2}</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math> ~u conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones a través de la fórmula <math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με</math>.

<center><math>ε(\vec u)=\nabla \vec u=
\begin{pmatrix}
\frac{2cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}</math> </center>
 
<math>σ=λ\nabla·\vec u 1+2με = λ\frac{2cosx}{5}·\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + 2μ\begin{pmatrix}\frac{2cosx}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 2λ\frac{cosx}{5}·I+2μ·\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = </math>
 
 
<math>= \frac{2cosx}{5} (\begin{pmatrix} λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2μ & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}) = \frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 2μ+λ & 0 & 0\\ 0 & λ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{pmatrix}→{λ=μ=1}→\frac{2cosx}{5}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

Tomando <math>λ = µ = 1</math>, calculamos las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i · σ ·\vec i</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje
 
<math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j · σ · \vec j </math> y las correspondientes al eje <math>\vec k</math>, es decir <math>\vec k · σ ·\vec k</math>.

Proseguimos con el cálculo de las tensiones normales: 
 
- <math>\vec i · σ ·\vec i = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{6cosx}{5}</math>
 
 
- <math>\vec j · σ ·\vec j = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 
 
- <math>\vec k · σ ·\vec k = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} \frac{6cosx}{5} & 0 & 0\\ 0 & \frac{2cosx}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2cosx}{5} \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{2cosx}{5}</math>
 

[[ Archivo:codigo8.jpg|600px|miniaturadeimagen|derecha|Tensor de deformaciones.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
x=linspace(0,10,50);
y=linspace(0,2,10);
[Mx,My]= meshgrid(x,y);
Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k
figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en i')
subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en j')
subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title('Tensiones normales en k')
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Particularizando para nuestros datos obtenemos: <math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> 
Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tension de Von Mises==
[[ Archivo:Imagen_Von_Mises.jpg|380px|miniaturadeimagen|derecha|Tensión de Von Mises en 3D.]]

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

subplot(2,1,1)
mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z

subplot(2,1,2)
plot(X,Z,'*r') % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES EN 2D') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Z') % Título del eje y

maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

Además ahora para nosotros <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> </center>

De esta forma la divergencia <math>\nabla \cdot \sigma</math> nos quedaría de la siguiente forma:

<center><math> \nabla \cdot \sigma = \nabla \cdot (\frac{6}{5}cos(x)\vec{i}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x)\vec{j}) + \nabla \cdot (\frac{2}{5}cos(x)\vec{k}) = -\frac{6}{5}sin(x)-\frac{2}{5}sin(x)-\frac{2}{5}sin(x)=-2 sin(x)</math> </center>

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==
La onda es una onda longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto (x,y)=(1/2,1) se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, al ser una onda longitudinal en la que su dirección de propagación es el mismo que la amplitud, se producen desplazamientos horizontales y no verticales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-09T10:57:13Z

Sergio Miguez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
*David Astorga Trejos
*Abdelali Zariohi Boutaleb
*Sergio Míguez González
*Nacira Faraji Bahja
*Luis David Sánchez Pérez }}

Consideramos una placa rectangular plana (''en 2D'') que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|520px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En las gráficas representadas en este apartado apreciamos como la arte inferior es la más caliente y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares que vemos en el centro de la parte superior, más se enfría la placa. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después del desplazamiento==
[[Archivo:placa antes y despues del desplazamiento.jpeg|550px|miniaturadeimagen|derecha|Placa antes y después del desplazamiento]]
Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

{{matlab|codigo=
%Posición de la placa deformada:
rx=Mx+(2/5).*sin(Mx);
ry=0.*My;
%Representación de la placa antes del desplazamiento:
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,0*Mx)
title('Posición original')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
%Representación de la placa después del desplazamiento:
subplot(1,2,2)
surf(rx,ry,0*rx)
title('Después del desplazamiento')
axis equal
axis([-3,3,-1,5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
view(2)

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

y por tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

[[Archivo:Diverg.jpg|280px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=

h=0.2;
%Discretizamos valores de x e y
x=0:h:10;
y=0:h:2;
%Creamos el mallado
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%la z es cero por ser una placa sin espesor
z=zeros(size(Mx));
%representamos de tal forma que solo se vean las líneas
mesh(Mx,My,z)
%Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura
g=(2/5)*cos(Mx);

pcolor(Mx,My,g)
%para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
shading flat
contour(Mx,My,t,30,'r')
colorbar
hold on
%dibujamos
quiver3(Mx,My,z,u,v,w)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
hold off

}}

==Calcular |∇ × <math>\vec{u}</math> | en todos los puntos del solido en t = 0==

Sea |∇ × \vec{u}| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|centro|Representación del mallado.]]

Además este resultado tiene un significado gráfico. Al representar los vectores de deformación apreciamos que no aparece ninguna deformación, en su lugar solo aparecen zonas de divergencia y convergencia (divergencia negativa).

==Tensor de deformaciones==
[[ Archivo:Tensor de deformaciones.png|320px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%____Tensor de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10); %mallado
[Mx,My]= meshgrid(r,t);

Ten=6/5*cos(x);
surf(Mx,My,Ten)
view(2);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
title ('Tensor de deformaciones');
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
shading flat
}}

==Tensiones tangenciales==

Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Particularizando para nuestros datos obtenemos: <math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> 
Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==Tension de Von Mises==

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,10,50); % Vector x con valores entre 0 y 10
y=linspace(0,2,50); % Vector x con valores entre 0 y 2
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Obtención del mallado
% Definimos nuestra función
fx=inline('(6/5)*cos(x)','x','y');
fy=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
fz=inline('(2/5)*cos(x)','x','y');
% Inicio del bucle
for i= 1:length(x)
for j= 1:length(y)
% Asignación de valores para cada componente del mallado
xx=fx(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fx
yy=fy(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fy
zz=fz(X(i,j),Y(i,j)); % Respecto a fz
% Creación de un vector con las componentes [xx, yy, zz]
v=[xx yy zz];
M=diag(v); % Diagonalización del vector
autov=eig(M); % Obtención de los autovalores

% Cálculo de la tensión de Von Mises para cada componente
VonM=sqrt(((autov(1)-autov(2))^2+((autov(2)-autov(3))^2+((autov(3)-autov(1))^2))*1/2));
Z(i,j)=VonM;
end
end
% Fin del bucle

mesh(X,Y,Z) % Representación superficial con líneas entrecruzadas
title('TENSIÓN DE VON MISES') % Título del gráfico
xlabel('Eje X') % Título del eje x
ylabel('Eje Y') % Título del eje y
zlabel('Eje Z') % Título del eje z
maximo=max(max(Z)) % Obtención del valor máximo
}}

==Velocidad de propagación '''''v''''' en términos de '''Lamé'''==
Queremos calcular la velocidad de propagación de las ondas '''''v''''' en términos de las constantes de [https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica '''Lamé''' ], por lo cual tendremos que suponer <math>\vec{F}</math>=0.

El desplazamiento en la placa viene dado por las fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúan sobre dicha placa, las cuales se pueden aproximar con la siguiente función de elasticidad:

<center><math>\vec{F} = \frac{d^2\vec{u}}{dt^2} - \bigtriangledown \cdot \sigma</math></center>

definimos en nuestro caso que:

<center><math>\vec{u}</math> = <math>\frac{2}{5}\sin(x-vt)\vec{i}</math></center>

Además ahora para nosotros <math>\sigma</math> será :

<center><math>\sigma</math> = <math>\lambda\bigtriangledown \cdot \vec{u}I+2\mu\epsilon</math> = <math>\lambda\cdot \frac{2}{5}cos(x-vt)\cdot I+2\mu\frac{2}{5}cos(x-vt)</math> = <math>(\lambda+2\mu)\frac{2}{5}cos(x-vt)</math></center>

Si calculamos el otro término, la divergencia de <math>\sigma</math> quedaría:
<center><math>\bigtriangledown \cdot \sigma = \begin{pmatrix} (\lambda+2\mu)\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 & 0 \\ 0 &(\lambda+2\mu)\frac{2}{5}cos(x-vt) & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda+2\mu)\frac{2}{5}cos(x-vt)\end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix}-(\lambda+2\mu)\frac{2}{5}sen(x-vt)\\ 0\\ 0\end{pmatrix}</math></center>

===Velocidad en ondas transversales y longitudinales===

==Módulo de desplazamiento en dirección <math>\vec{j}</math> ==
La onda es una onda longitudinal, es decir, que se desplaza en el mismo sentido que la amplitud, por tanto no habrá desplazamiento en otro eje distinto al eje en el que se transmite dicha onda, de aquí la demostración:

Adoptando el campo de desplazamientos: <math>\vec u (x,y,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(x-vt)</math>

Fijando el punto (x,y)=(1/2,1) se tiene: <math>\vec u (1/2,1,t)=\frac{2}{5}\vec i sen(1/2-vt)</math> donde el parámetro <math>t</math>, tiempo, pertence al intervalo <math>[0,10]</math>

En la dirección de <math>\vec j </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec j = 0</math> como se esperaba por tratarse de una onda longitudinal.

En la dirección de <math>\vec i </math>se obtiene que: <math>\vec u \cdot \vec j = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)\vec i \cdot \vec i = \frac{2}{5}sen(1/2-vt)</math>

Es decir, como conclusión se obtiene lo esperado, al ser una onda longitudinal en la que su dirección de propagación es el mismo que la amplitud, se producen desplazamientos horizontales y no verticales.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-09T10:29:55Z

Sergio Miguez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-08T00:24:07Z

Sergio Miguez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | David Astorga Trejos, Abdelali Zariohi Boutaleb, Sergio Míguez González, Nacira Faraji Bahja, Luis David Sánchez Pérez }}

==Enunciado.==

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|520px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En las gráficas representadas en este apartado apreciamos como la arte inferior es la más caliente y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares que vemos en el centro de la parte superior, más se enfría la placa. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antes y después de las deformaciones==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

{{matlab|codigo=

}}

==Divergencia del campo vectorial sobre la capa.==

[[Archivo:Campo de deformanciones.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Campo de deformanciones.png

2022-12-08T00:22:09Z

Sergio Miguez:

Archivo:Campo deformanciones.png

2022-12-08T00:16:09Z

Sergio Miguez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-07T15:24:32Z

Sergio Miguez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | David Astorga Trejos, Abdelali Zariohi Boutaleb, Sergio Míguez González, Nacira Faraji Bahja, Luis David Sánchez Pérez }}

==Enunciado.==

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|520px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En las gráficas representadas en este apartado apreciamos como la arte inferior es la más caliente y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares que vemos en el centro de la parte superior, más se enfría la placa. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

==Placa antees y después de las deformaciones==

Al analizar el campo de deformaciones del apartado anterior, podemos suponer que se formaran ondas a lo largo de la placa. Es por eso que para ver bien la variación tendremos que comprobar en una representación tridimensional.

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-07T14:58:15Z

Sergio Miguez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | David Astorga Trejos, Abdelali Zariohi Boutaleb, Sergio Míguez González, Nacira Faraji Bahja, Luis David Sánchez Pérez }}

==Enunciado.==

Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [0, 2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-6)^2+(10(y-\frac{3}{2})^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y,t)=\vec{a} sin(\vec{d}*\vec{r}-vt))\vec{i},</math></center>
donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, <math>k>0</math>,es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.

Para nuestro trabajo, tendremos los siguientes valores: <math> \vec{a}=\frac{2}{5}\vec{i}</math>, <math>\vec{d}=\vec{i}</math> y <math>k=1 </math>

Operando con estos valores obtenemos el siguiente vector <math>\vec{u}(x,y,t)</math>

<center><math>\vec{u}(x,y,t)=\frac{2}{5} sin(x)\vec{i}</math></center>

==Mallado de la placa.==

Primero debemos representar el sólido definido en el enunciado acorde a los parámetros especificados en el enunciado. Las directrices requeridas son las siguientes: "Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−0.5; 2.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = \frac{2}{10}</math> para las variables x e y.

[[Archivo:Mallado placa.png|520px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%parametrización con muestreo h=2/10.
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);

%mallado
[R,T]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
surf(R,T,Z)
%ejes
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
view(2)
%nombramos los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

==Temperatura de la placa.==

En este apartado realizaremos un diagrama de temperaturas de la placa que represente por colores la variación de la temperatura y otro para dibujar las líneas de dicho campo escalar.

[[Archivo:Temperatura placa.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t);

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on
%División de la ventana en dos
subplot(1,2,1)
%Representamos el campo escalar de temperaturas
surf(x,y,T)
view(2)
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Trabajamos en la segunda ventana
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

En las gráficas representadas en este apartado apreciamos como la arte inferior es la más caliente y cuanto más nos acercamos a la líneas de temperatura circulares que vemos en el centro de la parte superior, más se enfría la placa. Esto podría coincidir con una placa de metal calentado al cual le está cayendo un chorro de agua (o viento frío) en el centro de dicho círculo.

==Gradiente de la temperatura.==

[[Archivo:Gradiente Temp.png|550px|miniaturadeimagen|derecha|Representación del mallado.]]

{{matlab|codigo=
%---Divergencia del campo de temperaturas---
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
[x,y]= meshgrid(r,t); %hasta aquí es lo mismo que el resto de apartados.

u=2.*(x-6) ; %componente i
v=20.*(y-3/2); %componente j

T=((x-6).^2)+(10.*(y-3/2)).^2;

hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,30) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
w=quiver(x,y,u,v);
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}

==Campo de deformaciones para el instante inicial.==

{{matlab|codigo=
%----Campo de deformaciones____
r=linspace(0,10,50);
t=linspace(0,2,10);
%mallado
[x,y]= meshgrid(r,t);

Z=zeros(10,50);
hold on
surf(x,y,Z)
u=(2/5).*sin(x) ; %componente i
v=0.*y; %componente j
w=quiver(x,y,u,v,'r');
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
view(2)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Gradiente Temp.png

2022-12-07T14:26:04Z

Sergio Miguez: Gradiente del campo escalar que representa la temperatura de nuestro trabajo.

Gradiente del campo escalar que representa la temperatura de nuestro trabajo.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-07T11:22:25Z

Sergio Miguez:

Archivo:Temperatura placa.png

2022-12-05T17:33:47Z

Sergio Miguez: Representación de la temperatura a lo largo de la placa.

Representación de la temperatura a lo largo de la placa.

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-12-05T16:35:56Z

Sergio Miguez: /* Mallado de la placa */

Archivo:Mallado placa.png

2022-12-05T16:33:12Z

Sergio Miguez: Mallado de la placa requerida en el trabajo del grupo 2B

Mallado de la placa requerida en el trabajo del grupo 2B

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-11-30T20:39:06Z

Sergio Miguez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-11-28T22:43:17Z

Sergio Miguez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (Grupo B2)

2022-11-28T21:52:07Z

Sergio Miguez:

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-14T08:47:30Z

Sergio Miguez: /* Tensión de Von Mises */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(\vec r\)0(x,y) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(\vec r\)(x, y) = ~\(\vec r\)0(x, y) + ~\(\vec u\)(x, y).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ)=\frac{ρ − 1}{5}
sin(θ)~</math>\(\vec e\)θ.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|250px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar. Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|550px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del gráfico se deduce que la temperatura aumenta en la dirección negativa de x. Por lo tanto, el valor máximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente consiste en:
[[Archivo:Formulagradiente.png|200px|miniatura|centro|Fórmula del gradiente de una función]]
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla</math>T=<math>\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}</math>\(\vec i\). Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
[[Archivo:Gradiente4-A1.JPG|400px|miniatura|derecha|Gradiente de la temperatura comparado con sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,60) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
ti=inline('(2.*(x-3))./(log(10).*((x-3).^2)+2)','x','y'); %Derivada parcial con respecto a x
tj=inline('0.*x','x','y'); %Derivada parcial con respecto a y
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis ([-3,3,-1,3])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(h,'maxheadsize',0.33)
hold off
}}

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo \(\vec u\) de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia eθ=<math>\frac{-x_2}{ρ}</math>\(\vec i\)+<math>\frac{x_1}{ρ}</math>\(\vec j\)=-sin(θ)\(\vec i\)+cos(θ)\(\vec j\).
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: \(\vec u\)=-<math>\frac{ρ-1}{5}</math>sin2(θ)\(\vec i\)+<math>\frac{ρ-1}{5}</math>cos(θ)sin(θ)\(\vec j\)
[[Archivo:Campovectoresxx.png|550Px|miniatura|derecha|Campo de deformaciones sobre los diversos puntos del mallado.]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
hold on
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b);
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo \(\vec u\):
[[Archivo:Desplazamientoss.png|500px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo de desplazamientos]]
[[Archivo:Desplazamiento placa.JPG|500px|miniatura|derecha|Comparación antes (verde) y después del desplazamiento (rojo)]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
hold off
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo \(\vec u\) ha creado una ligera torsión radial en la placa y una elongación del extremo derecho.

=Divergencia del campo vectorial=

A continuación, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, es decir, que una parte del sólido aumentará de volumen y otra lo perderá (dilatación o contracción).
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del gráfico se puede deducir que la divergencia toma valores máximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores mínimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ). Como vemos en la gráfica, la divergencia es positiva cuando θ se encuentra entre 0 y π/2 (se dilata); es negativa con θ entra π/2 y 2π (se contrae) y al ser nula entorno a π/2, esa región del sólido se mantiene constante en volumen.

=Rotacional del campo vectorial=

Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en '''\(\vec e\)z'''.
Calculamos su módulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el gráfico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2). Recientemente hemos aprendido a interpretarlo mediante el teorema de Stokes, y viendo la gráfica en 3D, sabemos que la velocidad en θ=0 y en θ=π es nula en cuanto a rotación, y es máxima en el punto mencionado antes, lo que genera una tensión plástica que lo deforma.

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:
[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]
Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

[[Archivo:Tensordetensiones3D.JPG|550px|miniatura|derecha|Tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensordetensiones2D.JPG|550px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1).*cos(tt)./(5.*rr); %Elementos (1,1) y (3,3) de la matriz sigma
b=(2-rr).*sin(tt)./5; %elementos (2,1) y (1,2)
c= 2.* (rr-1).*cos(tt)./5; %Elemento (2,2) de la matriz Épsilon
d=a+c; %Elemento (2,2) de la matriz Sigma
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,a)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica representa las tensiones superficiales a la placa. Como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.
[[Archivo:Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i.JPG|450px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(2-rr).*sin(tt)./5;
b=(2-rr).*sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tensión de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ calculada en el apartado 9. En el programa incluimos una calculadora de autovalores.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:VonMises4-A.JPG|350px|miniatura|derecha|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%Creación matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=(r-1)./(5.*r).*cos(t);
sigma(1,2)=(2-r)./5.*sin(t);
sigma(2,1)=(2-r)./5.*sin(t);
sigma(2,2)=(2.*r.^2-r-1)./(5.*r).*cos(t);
sigma(3,3)=(r-1)./(5.*r).*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Fórmula de Tensión de Von Mises
end
%Pasamos a cartesianas
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
end
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (2,0) y en (2,π).

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa sigue la siguiente fórmula F = −∇ · σ. En la gráfica podemos apreciar claramente cómo actúa sobre el sólido este campo y podríamos intuir qué desplazamiento y deformación sufriría.

[[Archivo:Campo de fuerzas sobre el sólido.JPG|400px|miniatura|derecha|Campo de fuerzas que recibe la placa]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
z=0.*x;
hold on
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
axis ([-3,3,-1,3])
a=(2.*RR.^2-RR.^3-1)./(5.*RR.^2).*cos(TT);
b=-(2.*RR.^2-2.*RR-1)./(5.*RR).*sin(TT);
c=-1./RR.*cos(TT);
w=quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis ([-3,3,-1,3,-1,1])
title('Campo de fuerzas','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
view(2)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-14T08:38:49Z

Sergio Miguez: /* Tensión de Von Mises */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(\vec r\)0(x,y) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(\vec r\)(x, y) = ~\(\vec r\)0(x, y) + ~\(\vec u\)(x, y).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ)=\frac{ρ − 1}{5}
sin(θ)~</math>\(\vec e\)θ.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|250px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar. Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|550px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del gráfico se deduce que la temperatura aumenta en la dirección negativa de x. Por lo tanto, el valor máximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente consiste en:
[[Archivo:Formulagradiente.png|200px|miniatura|centro|Fórmula del gradiente de una función]]
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla</math>T=<math>\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}</math>\(\vec i\). Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
[[Archivo:Gradiente4-A1.JPG|400px|miniatura|derecha|Gradiente de la temperatura comparado con sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,60) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
ti=inline('(2.*(x-3))./(log(10).*((x-3).^2)+2)','x','y'); %Derivada parcial con respecto a x
tj=inline('0.*x','x','y'); %Derivada parcial con respecto a y
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis ([-3,3,-1,3])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(h,'maxheadsize',0.33)
hold off
}}

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo \(\vec u\) de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia eθ=<math>\frac{-x_2}{ρ}</math>\(\vec i\)+<math>\frac{x_1}{ρ}</math>\(\vec j\)=-sin(θ)\(\vec i\)+cos(θ)\(\vec j\).
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: \(\vec u\)=-<math>\frac{ρ-1}{5}</math>sin2(θ)\(\vec i\)+<math>\frac{ρ-1}{5}</math>cos(θ)sin(θ)\(\vec j\)
[[Archivo:Campovectoresxx.png|550Px|miniatura|derecha|Campo de deformaciones sobre los diversos puntos del mallado.]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
hold on
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b);
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo \(\vec u\):
[[Archivo:Desplazamientoss.png|500px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo de desplazamientos]]
[[Archivo:Desplazamiento placa.JPG|500px|miniatura|derecha|Comparación antes (verde) y después del desplazamiento (rojo)]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
hold off
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo \(\vec u\) ha creado una ligera torsión radial en la placa y una elongación del extremo derecho.

=Divergencia del campo vectorial=

A continuación, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, es decir, que una parte del sólido aumentará de volumen y otra lo perderá (dilatación o contracción).
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del gráfico se puede deducir que la divergencia toma valores máximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores mínimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ). Como vemos en la gráfica, la divergencia es positiva cuando θ se encuentra entre 0 y π/2 (se dilata); es negativa con θ entra π/2 y 2π (se contrae) y al ser nula entorno a π/2, esa región del sólido se mantiene constante en volumen.

=Rotacional del campo vectorial=

Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en '''\(\vec e\)z'''.
Calculamos su módulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el gráfico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2). Recientemente hemos aprendido a interpretarlo mediante el teorema de Stokes, y viendo la gráfica en 3D, sabemos que la velocidad en θ=0 y en θ=π es nula en cuanto a rotación, y es máxima en el punto mencionado antes, lo que genera una tensión plástica que lo deforma.

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:
[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]
Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

[[Archivo:Tensordetensiones3D.JPG|550px|miniatura|derecha|Tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensordetensiones2D.JPG|550px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1).*cos(tt)./(5.*rr); %Elementos (1,1) y (3,3) de la matriz sigma
b=(2-rr).*sin(tt)./5; %elementos (2,1) y (1,2)
c= 2.* (rr-1).*cos(tt)./5; %Elemento (2,2) de la matriz Épsilon
d=a+c; %Elemento (2,2) de la matriz Sigma
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,a)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica representa las tensiones superficiales a la placa. Como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.
[[Archivo:Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i.JPG|450px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(2-rr).*sin(tt)./5;
b=(2-rr).*sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tensión de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ calculada en el apartado 9. En el programa incluimos una calculadora de autovalores.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:VonMises4-A.JPG|350px|miniatura|derecha|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%Creación matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=(r-1)./(5.*r).*cos(t);
sigma(1,2)=(2-r)./10.*sin(t);
sigma(2,1)=(2-r)./10.*sin(t);
sigma(2,2)=(2.*r.^2-r-1)./(5.*r).*cos(t);
sigma(3,3)=(r-1)./(5.*r).*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Fórmula de Tensión de Von Mises
end
%Pasamos a cartesianas
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
end
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (2,0) y en (2,π).

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa sigue la siguiente fórmula F = −∇ · σ. En la gráfica podemos apreciar claramente cómo actúa sobre el sólido este campo y podríamos intuir qué desplazamiento y deformación sufriría.

[[Archivo:Campo de fuerzas sobre el sólido.JPG|400px|miniatura|derecha|Campo de fuerzas que recibe la placa]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
z=0.*x;
hold on
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
axis ([-3,3,-1,3])
a=(2.*RR.^2-RR.^3-1)./(5.*RR.^2).*cos(TT);
b=-(2.*RR.^2-2.*RR-1)./(5.*RR).*sin(TT);
c=-1./RR.*cos(TT);
w=quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis ([-3,3,-1,3,-1,1])
title('Campo de fuerzas','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
view(2)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-13T20:22:32Z

Sergio Miguez: /* Representación de la temperatura */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(\vec r\)0(x,y) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(\vec r\)(x, y) = ~\(\vec r\)0(x, y) + ~\(\vec u\)(x, y).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~</math>\(\vec e\)θ.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|250px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|550px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del gráfico se deduce que la temperatura aumenta en la dirección negativa de x. Por lo tanto, el valor máximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
[[Archivo:Formulagradiente.png|200px|miniatura|centro|Fórmula del gradiente de una función]]
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla</math>T=<math>\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}</math>\(\vec i\). Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
[[Archivo:Gradiente4-A1.JPG|400px|miniatura|derecha|Gradiente de la temperatura comparado con sus curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on %Campo escalar de temperatura
contour(x,y,T,60) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
ti=inline('(2.*(x-3))./(log(10).*((x-3).^2)+2)','x','y'); %Derivada parcial con respecto a x
tj=inline('0.*x','x','y'); %Derivada parcial con respecto a y
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty);
axis ([-3,3,-1,3])
title ('Gradiente de la Temperatura','Fontsize',18);
set(h,'maxheadsize',0.33)
hold off
}}

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo \(\vec u\) de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia eθ=<math>\frac{-x_2}{ρ}</math>\(\vec i\)+<math>\frac{x_1}{ρ}</math>\(\vec j\)=-sin(θ)\(\vec i\)+cos(θ)\(\vec j\).
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: \(\vec u\)=-<math>\frac{ρ-1}{5}</math>sin2(θ)\(\vec i\)+<math>\frac{ρ-1}{5}</math>cos(θ)sin(θ)\(\vec j\)
[[Archivo:Campovectoresxx.png|550Px|miniatura|derecha|Campo de deformaciones sobre los diversos puntos del mallado.]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
hold on
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b);
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo \(\vec u\):
[[Archivo:Desplazamientoss.png|500px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo de desplazamientos]]
[[Archivo:Desplazamiento placa.JPG|500px|miniatura|derecha|Comparación antes (verde) y después del desplazamiento (rojo)]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
%Comparación de ambas representaciones.
hold on
figure
j=mesh(X,Y,0*X);
axis ([-3,3,-1,3])
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
title('Desplazamiento de la placa','Fontsize',16);
hold on
i = mesh(x,y,0*x);
set(i,'EdgeColor','g');
hold off
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo \(\vec u\) ha creado una ligera torsión radial en la placa y una elongación del extremo izquierdo.

=Divergencia del campo vectorial=

A continuación, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, es decir, que una parte del sólido aumentará de volumen y otra lo perderá (dilatación o contracción).
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del gráfico se puede deducir que la divergencia toma valores máximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores mínimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ). Como vemos en la gráfica, la divergencia es positiva cuando θ se encuentra entre 0 y π/2 (se dilata); es negativa con θ entra π/2 y 2π (se contrae) y al ser nula entorno a π/2, esa región del sólido se mantiene constante en volumen.

=Rotacional del campo vectorial=

Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en '''\(\vec e\)z'''.
Calculamos su módulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el gráfico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2). Recientemente hemos aprendido a interpretarlo mediante el teorema de Stokes, y viendo la gráfica en 3D, sabemos que la velocidad en θ=0 y en θ=π es nula en cuanto a rotación, y es máxima en el punto mencionado antes, lo que genera una tensión plástica que lo deforma.

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:
[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]
Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

[[Archivo:Tensordetensiones3D.JPG|550px|miniatura|derecha|Tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensordetensiones2D.JPG|550px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1).*cos(tt)./(5.*rr); %Elementos (1,1) y (3,3) de la matriz sigma
b=(2-rr).*sin(tt)./5; %elementos (2,1) y (1,2)
c= 2.* (rr-1).*cos(tt)./5; %Elemento (2,2) de la matriz Épsilon
d=a+c; %Elemento (2,2) de la matriz Sigma
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,a)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica representa las tensiones superficiales a la placa. Como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.
[[Archivo:Tensiones tangenciales al plano ortogonal a i.JPG|450px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(2-rr).*sin(tt)./5;
b=(2-rr).*sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tensión de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ calculada en el apartado 9. En el programa incluimos una calculadora de autovalores para una mayor comodidad.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:VonMises4-A.JPG|350px|miniatura|derecha|Tensión de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%Creación matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=(r-1)./(5.*r).*cos(t);
sigma(1,2)=(2-r)./10.*sin(t);
sigma(2,1)=(2-r)./10.*sin(t);
sigma(2,2)=(2.*r.^2-r-1)./(5.*r).*cos(t);
sigma(3,3)=(r-1)./(5.*r).*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Fórmula de Tensión de Von Mises
end
%Pasamos a cartesianas
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (2,0) y en (2,π).

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa sigue la siguiente fórmula F = −∇ · σ. En la gráfica podemos apreciar claramente cómo actúa sobre el sólido este campo y podríamos intuir qué desplazamiento y deformación sufriría.

[[Archivo:Campo de fuerzas sobre el sólido.JPG|400px|miniatura|derecha|Campo de fuerzas que recibe la placa]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
z=0.*x;
hold on
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
axis ([-3,3,-1,3])
a=(2.*RR.^2-RR.^3-1)./(5.*RR.^2).*cos(TT);
b=-(2.*RR.^2-2.*RR-1)./(5.*RR).*sin(TT);
c=-1./RR.*cos(TT);
w=quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis ([-3,3,-1,3,-1,1])
title('Campo de fuerzas','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
view(2)
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T21:01:40Z

Sergio Miguez: /* Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math> e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\<math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

[[Archivo:Ejerc_9_1.png|400px|miniatura|derecha|Tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Ejerc_9_2.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1).*cos(tt)./(5.*rr); %Elementos (1,1) y (3,3) de la matriz sigma
%b=(2-rr).*sin(tt)./5; %elementos (2,1) y (1,2)
c= 2.* (rr-1).*cos(tt)./5; %Elemento (2,2) de la matriz Épsilon
d=a+c; %Elemento (2,2) de la matriz Sigma
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,a)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.
[[Archivo:Ejerc_10.png|140px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa sigue la siguiente fórmula F = −∇ · σ

[[Archivo:Ejerc_11.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
z=0.*x;
axis ([-3,3,-1,3])
a=(cos(TT).*(2+RR.^2-RR)-RR.^2.*sin(TT))./(5.*RR.^3);
b=(2.*cos(TT)+RR.^2.*sin(TT))./(5.*RR.^3)+(1./(5.*RR)+2/5).*(RR-1).*cos(TT);
c=((RR-1).*cos(TT))./(5.*RR);
w=quiver3(x,y,z,a,b,c);
axis ([-3,3,-1,3,-1,1])
title('Campo de fuerzas','Fontsize',18);
set(w,'maxheadsize',0.33)
view(2)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Ejerc 11.png

2021-12-10T20:54:28Z

Sergio Miguez: Campo de fuerzas.

Campo de fuerzas.

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T19:01:45Z

Sergio Miguez: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\) */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math> e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\<math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

[[Archivo:Ejerc_9_1.png|400px|miniatura|derecha|Tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Ejerc_9_2.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1).*cos(tt)./(5.*rr); %Elementos (1,1) y (3,3) de la matriz sigma
%b=(2-rr).*sin(tt)./5; %elementos (2,1) y (1,2)
c= 2.* (rr-1).*cos(tt)./5; %Elemento (2,2) de la matriz Épsilon
d=a+c; %Elemento (2,2) de la matriz Sigma
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,a)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.
[[Archivo:Ejerc_10.png|140px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T18:56:23Z

Sergio Miguez: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\) */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math> e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\<math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
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view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

[[Archivo:Ejerc_9_1.png|400px|miniatura|derecha|Tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Ejerc_9_2.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1).*cos(tt)./(5.*rr); %Elementos (1,1) y (3,3) de la matriz sigma
%b=(2-rr).*sin(tt)./5; %elementos (2,1) y (1,2)
c= 2.* (rr-1).*cos(tt)./5; %Elemento (2,2) de la matriz Épsilon
d=a+c; %Elemento (2,2) de la matriz Sigma
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,a)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Ejerc 10.png

2021-12-10T18:55:57Z

Sergio Miguez: Tensiones tangenciales.

Tensiones tangenciales.

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T18:40:45Z

Sergio Miguez: /* Tensiones normales a los ejes coordenados */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math> e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\<math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

[[Archivo:Ejerc_9_1.png|400px|miniatura|derecha|Tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Ejerc_9_2.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1).*cos(tt)./(5.*rr); %Elementos (1,1) y (3,3) de la matriz sigma
%b=(2-rr).*sin(tt)./5; %elementos (2,1) y (1,2)
c= 2.* (rr-1).*cos(tt)./5; %Elemento (2,2) de la matriz Épsilon
d=a+c; %Elemento (2,2) de la matriz Sigma
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,a)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

[[Archivo:]]

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Archivo:Ejerc 9 2.png

2021-12-10T18:36:32Z

Sergio Miguez: Vista ejes X e Y del ejercicio 9.

Vista ejes X e Y del ejercicio 9.

Archivo:Ejerc 9 1.png

2021-12-10T18:35:40Z

Sergio Miguez: Tensiones normales en la dirección de cada eje.

Tensiones normales en la dirección de cada eje.

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T18:30:33Z

Sergio Miguez: /* Tensiones normales a los ejes coordenados */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math> e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\<math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1).*cos(tt)./(5.*rr); %Elementos (1,1) y (3,3) de la matriz sigma
%b=(2-rr).*sin(tt)./5; %elementos (2,1) y (1,2)
c= 2.* (rr-1).*cos(tt)./5; %Elemento (2,2) de la matriz Épsilon
d=a+c; %Elemento (2,2) de la matriz Sigma
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,d)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,a)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

[[Archivo:]]

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T17:26:45Z

Sergio Miguez: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\) */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math> e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\<math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1)./(5.*rr).*cos(tt); %Elemento (1,1) de la matriz sigma
b=(rr-1).*cos(tt).*(2/5-1./5.*rr);
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
c=(rr-1)./5.*cos(tt); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado, estas incrementan cuando θ tiende a π/2.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

[[Archivo:]]

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T17:17:20Z

Sergio Miguez: /* Representación del campo vectorial de deformaciones */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math> e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\<math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1)./(5.*rr).*cos(tt); %Elemento (1,1) de la matriz sigma
b=(rr-1).*cos(tt).*(2/5-1./5.*rr);
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
c=(rr-1)./5.*cos(tt); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado. estas incrementan cuando tetha tiende a pi/2.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

[[Archivo:]]

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T17:16:34Z

Sergio Miguez: /* Representación del campo vectorial de deformaciones */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math>e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\</math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1)./(5.*rr).*cos(tt); %Elemento (1,1) de la matriz sigma
b=(rr-1).*cos(tt).*(2/5-1./5.*rr);
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
c=(rr-1)./5.*cos(tt); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado. estas incrementan cuando tetha tiende a pi/2.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

[[Archivo:]]

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T17:12:03Z

Sergio Miguez: /* Tensiones normales a los ejes coordenados */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math>e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\</math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1)./(5.*rr).*cos(tt); %Elemento (1,1) de la matriz sigma
b=(rr-1).*cos(tt).*(2/5-1./5.*rr);
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
c=(rr-1)./5.*cos(tt); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado. estas incrementan cuando tetha tiende a pi/2.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

[[Archivo:]]

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T17:10:39Z

Sergio Miguez: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\) */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math>e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\</math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este épsilon (u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como sigma.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1)./(5.*rr).*cos(tt); %Elemento (1,1) de la matriz sigma
b=(rr-1).*cos(tt).*(2/5-1./5.*rr);
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
c=(rr-1)./5.*cos(tt); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

La siguiente gráfica pinta las tensiones superficiales a la placa y como se ve en el resultado. estas incrementan cuando tetha tiende a pi/2.

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=sin(tt)./5;
b=sin(tt)./5;
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar

}}

[[Archivo:]]

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T17:00:25Z

Sergio Miguez: /* Tensiones normales a los ejes coordenados */

{{ Trabajo | Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|Curso 2021/22]] | Jaime Guerrero Suárez, Sergio Míguez González, Pedro Michelini}}

{| class="wikitable"
|-
! '''Trabajo realizado por estudiantes'''
|-
| Título || Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A
|-
| Asignatura || [[Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
|-
| Curso || 2021/22
|-
| Autores || Jaime Guerrero Suárez
Sergio Míguez González
Pedro Michelini
|-
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura.
|}

=Enunciado=

Consideramos una placa plana que ocupa la mitad de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ 0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y,t)\), que viene dada por <math>T(x, y) = log((x − 3)^2 + 2)</math>, y los desplazamientos \(\vec u(x,y,t)\) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) de la placa después de la deformación viene dada por \(r(x, y) = ~r0(x, y) + ~u(x, y)\).
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos <math>\vec u(ρ, θ) = ρ − 1
5
sin(θ)~eθ</math>.

=Mallado=

Comenzamos la representación del sólido definiendo un mallado siguiendo las directrices del enunciado: "Tomar los ejes (comando
axis) en el rectángulo (x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para
las variables x e y. Al tratarse de una figura plana en 2D, la componente z es nula.

[[Archivo:Malladooox.png|200px|miniatura|derecha|Representacion del mallado]]

{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x) %Visualización de la placa
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=Representación de la temperatura=

Una vez tenemos bien definido el mallado (que representa al propio sólido), pasamos a la representación de la temperatura a partir de la función <math>T(x, y) = log((x − 3)2 + 2)</math>. Para llevarla a cabo, representamos el campo escalar, donde se puede observar la posición de la Temperatura máxima (en el punto (-2,0.1). Además, hemos definido una serie de curvas de nivel para poder apreciar mejor el cambio de temperatura a lo largo de la placa.
[[Archivo:Cniveltemperaturas.png|450px|miniatura|derecha|Temperaturas]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
r= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(r,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
T=log10((x-3).^2 + 2);
hold on
subplot(1,2,1) %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T) %Representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar %Mostramos la escala
subplot(1,2,2) %Escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,30)
title('Curvas de Nivel','Fontsize',16) %Líneas de nivel
colorbar %Mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
Del grafico se deduce que la temperatura aumenta en la direccion negativa de x. Por lo tanto, el valor maximo se alcanza cuando x=-2.

=Gradiente de Temperatura=

El siguiente paso después de observar el campo de la temperatura es calcular el gradiente de esta misma función y dibujarlo como campo vectorial. El cálculo del gradiente es sencillo y consiste en
<gallery>
Formulagradiente.png|Fórmula del gradiente de una función
</gallery>
En nuestro caso, el gradiente calculado manualmente nos da <math>\nabla T=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2}\vec i\</math>. Como sabemos, por definición el gradiente es siempre perpendicular a la función original. Una vez que lo tenemos ya calculado, podemos observarlo y confirmar que, efectivamente, se trata de un campo vectorial perpendicular a las curvas de nivel formadas por la temperatura.
{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Representación del campo vectorial de deformaciones=

Ahora nos centraremos en el campo u de deformaciones, definido en el enunciado en coordenadas cilíndricas (factor a tener en cuenta). No necesitamos calcularlo, pero sí convertir la dirección de eθ en las direcciones \(\vec i\) y \(\vec j\) para poder representarlo sin problema en la misma cuadrícula. Aplicamos la equivalencia <math>e_θ=\frac{-x_2\vec i\+x_1\vec j\}{ρ}=-sin(θ)\vec i\+cos(θ)\vec j\</math>.
El nuevo campo \(\vec u\) nos queda de la siguiente forma: <math>\vec u=-\frac{ρ-1}{5}cos(θ)sin(θ)\vec i+\frac{ρ-1}{5}cos_2(θ)\vec j\</math>
[[Archivo:Campovectoresxx.png|300px|miniatura|derecha|Campo de Vectores]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares.
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
axis ([-3,3,-1,3])
a=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
b=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
w=quiver(x,y,a,b); %Representacion de los vectores
axis ([-3,3,-1,3])
title('Campo de vectores','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
set(w,'maxheadsize',0.33)
}}

=Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial=

Ya tenemos el campo vectorial del desplazamiento, por lo que vamos a poder observar la deformación en la placa antes y después de la acción del campo u:
[[Archivo:Desplazamientoss.png|450px|miniatura|derecha|Comparacion antes y despues]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
rr= 1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
%Sólido antes de los desplazamientos
subplot(1,2,1)
i=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(i,'EdgeColor','g');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada','Fontsize',16);
%Sólido después de los desplazamientos
subplot(1,2,2)
A=-((RR-1)./5).*((sin(TT)).^2);
B=((RR-1)./5).*(cos(TT).*sin(TT));
X=x+A;
Y=y+B;
j=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(j,'EdgeColor','r');
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada','Fontsize',16);
}}

Como podemos apreciar al comparar estas dos gráficas, el desplazamiento producido por el campo u ha creado una ligera torsión radial en la placa.

=Divergencia del campo vectorial=
A continuacion, calculamos la divergencia del campo vectorial. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
Al calcularla nos queda: [[Archivo: DivU.png]]

[[Archivo:divergenciaU.png|300px|miniatura|derecha|Divergencia]]
{{matlab|codigo=
h= 0.1; %Paso de muestreo
%Usamos coordenadas polares
rr= 1:h:2;
tt= 0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
DIVu=((1)./RR).*(cos(TT).*((RR-1)./5)); %Divergencia de u
surf(x,y,DIVu);
view(2);
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('Divergencia','Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

Del grafico se puede deducir que la divergencia toma valores maximos en el punto (ρ, θ) = (2,0) y valores minimos en el punto (ρ, θ) = (2,π).
Por otro lado, vemos que la divergencia es nula cuando ρ=1 (cualquiera sea el θ) y cuando θ=π/2 (cualquiera sea el ρ).

=Rotacional del campo vectorial=
Continuamos calculando el rotacional, con resultado: [[Archivo: Formularottt.png]] en ez.
Calculamos su modulo y graficamos:
[[Archivo:Rotacionall.png|450px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=0.1; %Paso de muestreo
rr=1:h:2; %Usamos coordenadas polares
tt=0:h:pi;
[RR,TT]= meshgrid(rr,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT);
y=RR.*sin(TT);
ROTu=abs((sin(TT)./(5.*RR)).*(2-((1)./RR))); %Modulo del rotacional de u
%Rotacional en 2-D
subplot(1,2,1);
surf (x,y,ROTu);
axis equal
view(2);
colorbar;
title('Rotacional en 2-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
%Rotacional en 3-D
subplot(1,2,2);
surf(x,y,ROTu);
colorbar
title('Rotacional en 3-D', 'Fontsize',16);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}

Observamos en el grafico que los puntos que sufren un mayor rotacional son los que se aproximan al punto (ρ, θ) = (1,π/2).

=Tensiones normales a los ejes coordenados=

Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este épsilon (u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como sigma.

Entonces podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir i · σ · i, las tensiones normales en la direccón que marca el eje j, es decir j · σ · j y las correspondientes al eje k, es decir k · σ · k. Dándonos las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=(rr-1)./(5.*rr).*cos(tt); %Elemento (1,1) de la matriz sigma
b=(rr-1).*cos(tt).*(2/5-1./5.*rr);
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
c=(rr-1)./5.*cos(tt); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
axis equal
view(2)
colorbar
figure
subplot(3,1,1);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(3,1,2); %Elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
colorbar
subplot(3,1,3); %Elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
colorbar
}}

=Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

=Tensión de Von Mises=
Debemos calcular la Tension de Von Mises. Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material
inicia un comportamiento plastico.
[[Archivo: TVONMISES.png]]
[[Archivo:Graficovm.png|350px|miniatura|derecha|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
h=0.1;
rr=[1:h:2];
tt=[0:h:pi];
[RR,TT]=meshgrid(rr,tt);
sigma=zeros(3,3);%%Creacion matriz sigma y de Von Mises
VM=zeros(32,11); %Tomando cada punto del mallado (dimensiones)
for i=1:32*11
r=RR(i)';
t=TT(i)';
sigma(1,1)=((r-1)/5*r)*cos(t);
sigma(1,2)=sin(t)/10;
sigma(2,1)=sin(t)/5;
sigma(2,2)=(r-1)*cos(t)*((2/5)+(1/(5*r)));
sigma(3,3)=((r-1)/5)*cos(t);
[v,d]=eig(sigma); %obtenemos autovalores
VM(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2); %Formula de Tension de Von Mises
end

xx=RR.*cos(TT); %Pasamos a cartesianas
yy=RR.*sin(TT);
surf(xx,yy,VM)
title('Tension de Von Mises')
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
}}

Como se observa, el mayor valor se alcanza cuando (ρ, θ) = (1,π/2). Sin embargo, cuando θ=π/2 todos los valores de ρ se pueden considerar "de riesgo".

=Campo de fuerzas \(\vec F\) que actúa sobre la placa=

{{matlab|codigo=

}}

[[Archivo:]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC21/22]]

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T16:58:40Z

Sergio Miguez: /* Tensiones normales a los ejes coordenados */

Deformación de un semianillo plano Grupo 4-A

2021-12-10T16:12:54Z

Sergio Miguez: /* Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial */