MateWiki - Contribuciones del usuario [es]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T12:07:04Z

Sergio López:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Sergio López Fernández Javier Marrero Patrón Rubén Peláez Moreno Eduardo Ubeda Cuadrado Suleiman Mesto Riera Jaume Martorell Cerdá }}

=Introducción=
En el presente trabajo se propone la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello hemos empezado analizando una placa plana definida por la región comprendida entre las hipérbolas P1: xy-1/2=0 y P2: xy-3=0. Para su mejor respresentación se nos ha propuesto un sitema de coordenadas hiperbólico que se adapta a nuestra geometría.

[[Archivo:Fórmula_1.jpg|200px|centro|thumb]]
[[Archivo:Fórmula_2.jpg|200px|centro|thumb]]

Sobre dicha placa vamos a suponer dos magnitudes físicas: La Temperatura, como campo escalar y Los Desplazamientos como campo vectorial.
A continuación vamos a desarrollar una serie de apartados para proceder al analisis de como actuan dichas magnitudes sobre la palaca:

==Representación del mallado==

Para la representación del mallado hemos definido los ejes (x,y) en el intérvalo: [0,2.5] y [0,2.5] y a continuación con el paso de muestrueo h=1/10 hemos dibujado el mallado que representa los puntos interieres de nuestro sólido:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('MALLADO DE LA PLACA PLANA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y

}}

[[Archivo:Representacion malla G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural==

Para la representación de las líneas coordenadas se ha mantenido una variable constante y se ha dejado variable la otra para ambos casos. Los resultados han sido:
En primer lugar, hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes coordenados.
En segundo lugar, hipérbolas equiláteras de ejes coincidentes con los coordenados.

{{matlab|codigo=

u=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
for k=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)+u);%Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)-u);%Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)+1+k);%Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)-(1+k));%Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'r')
plot(z,w,'k')
plot(sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)+1+k),sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)-(1+k)),'*')
hold off
end

}}

[[Archivo:Grafica2G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

Para la obtención de los vectores de la base natural se ha procedido mediante el cálculo previo de las correspondientes derivadas parciales de x,y. Una vez calculados hemos procedido a dibujarlos en cada punto del mallado. Hay que tener en consideración que se trata de un sistema ortogonal y que el módulo de ambos vectores de la base es el mismo. A su vez podemos añadir que sus modulos son inversamente proporcinales a la distancia al origen. Esta aclaración queda perfectamente reflejada con el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%Obtención de
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%vectores
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));%tangentes
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));%gu y gv
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
xlabel('Vectores azules gu, Vectores verdes gv')%Rótulo del eje x
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica2.1G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
Dada nuestra función de temperatura podemos apreciar que al crecer (x+y) el valor de Temperatura decrece. Luego el valor de temperatura máxima (foco de calor) de la placa podremos decir que será el más próximo al origen de coordenadas.Como consecuencia de lo anterior,las curvas de nivel más cercanas a dicho punto son las que sufren más variación de temperatura; por lo que aparecerán más próximas entre si. Con el siguiente gráfico podemos comprobar como se cumple dicha hipotesis.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
subplot(1,2,1)%Subventana 1
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('TEMPERATURA DE LA PLACA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica3G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Representación del gradiente==
Con el cálculo del gradiente podremos evaluar la dirección en la cual nuestro campo Temperatura variará más rápidamente. Su módulo, representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. En nuestro caso podemos apreciar que su módulo aumenta al aproximarnos al origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,50,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
hold on
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,15,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
hold off

}}

[[Archivo:Grafica4G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Campo de desplazamientos==
Al aplicar la fuerza sobre la placa se ha producido un desplazamiento de los puntos de la misma en la dirección de aplicación. El campo vectorial u posee la dirección del vector de la base natural gv. Luego, sustituiremos gv por sus componentes en coordenadas cartesianas, dándonos un campo de vectores.
En nuestra placa se puede apreciar de forma adecuada la deformación que provoca alargamientos generando tracciones en todos los puntos de la placa obteniendo los mayores valores en los extremos más alejados del origen de coordenadas. Dado el campo de desplazamientos obtendremos el siguiente campo vectorial.

[[Archivo:DesplazamientosG23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica5G23.jpg|600px|centro|thumb]]

A continuación realizaremos una comparativa del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo u:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

[[Archivo:Grafica6G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Divergencia del campo==
Al calcular la divergencia de un campo vectorial, se obtiene un escalar. La divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa. Luego el valor de la divergencia será máximo cuanto más alejado se encuentre del origen de coordenadas.
Como nuestra divergencia está definida en coordenadas cartesianas, tenemos que derivar la función respecto de (x,y,t) quedando de la siguiente forma: u⃗ = du/dx+du2/dy+du/2dt. Dicho esto podemos afirmar que los puntos con mayor divergencia son los puntos que están más alejados del origen de coordenadas.

[[Archivo:DivG23.jpg|150px|centro|thumb]] [[Archivo:Div1G23.jpg|150px|centro|thumb]]

[[Archivo:Div3G23.jpg|550px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('DIVERGENCIA DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica7G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Rotacional del campo==

El módulo del rotacional es cero puesto que los desplazamientos que se generan en la placa no implican torsiones, rotaciones y tensiones tangenciales, sino que se trata de deformaciones en el sentido del vector de la base gv. Es decir, se producen tensiones normales debido a que la placa está trabajando a tracción.

[[Archivo:Rotacional2G23.jpg|500px|centro|thumb]]
[[Archivo:Rotacional1G23.jpg|500px|centro|thumb]]

==Repetición del análisis con el nuevo campo==

===Campo de desplazamientos===

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.^2.*y.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica8G23.jpg|600px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
}}

[[Archivo:Grafica9G23.jpg|800px|centro|thumb]]

===Divergencia del campo===
La divergencia define el cambio de volumen debido a los desplazamientos de los puntos de la placa. Por lo tanto, al obtener la divergencia nula, implica que no se produzca variación de volumen cuando actúa el campo de desplazamientos.

[[Archivo:DivergenciaG23.jpg|300px|centro|thumb]]

===Rotacional del campo===

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('ROTACIONAL DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica10G23.jpg|700px|centro|thumb]]

==Masa y centro de masas==

[[Archivo:DensidadG23.jpg|140px|centro|thumb]]

[[Archivo:Densidad1G23.jpg|390px|centro|thumb]]

[[Archivo:Densidad3G23.jpg|810px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
%Función densidad de la placa en términos de x e y
f=inline('y.*exp(-1./x.^2)','x','y');
Z=f(X,Y);
hold on
h=pcolor(X,Y,Z);
set(h,'edgecolor','none')%Representación de la distribución de la
contour(X,Y,Z,1000,'p') %densidad en la placa plana
hold off
%Cálculo de la masa
m = quad2d(@(u,v) sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*exp(-1./(sqrt(u.^2+v.^2)+u)).*1./(2.*(sqrt(u.^2+v.^2))),-2,2,0.5,3);
title(sprintf('LA MASA TOTAL DE LA PLACA ES %8.4f',m))
}}

[[Archivo:Grafica11G23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
%Función densidad de la placa en términos de x e y
f=inline('y.*exp(-1./x.^2)','x','y');
Z=f(X,Y);
m = quad2d(@(u,v) sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*exp(-1./(sqrt(u.^2+v.^2)+u)).*1./(2.*(sqrt(u.^2+v.^2))),-2,2,0.5,3);
%Solución de la integral numerador de x Centro de Masas
a=quad2d(@(u,v) sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)+u).*sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*exp(-1./(sqrt(u.^2+v.^2)+u)).*1./(2.*(sqrt(u.^2+v.^2))),-2,2,0.5,3);
%Solución de la integral numerador de y Centro de Masas
b=quad2d(@(u,v) sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*exp(-1./(sqrt(u.^2+v.^2)+u)).*1./(2.*(sqrt(u.^2+v.^2))),-2,2,0.5,3);
%Determinación del Centro de Masas
xm=a/m; ym=b/m;
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
plot(xm,ym,'*k')%Representación del centro de masas
hold off
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
title(sprintf('CENTRO DE MASAS (Xm=%6.4f,Ym=%6.4f)',xm,ym))
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Z)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
title('DENSIDAD')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica12G23.jpg|700px|centro|thumb]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T10:47:58Z

Sergio López: /* Masa y centro de masas */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Sergio López Fernández Javier Marrero Patrón Rubén Peláez Moreno Eduardo Ubeda Cuadrado Suleiman Mesto Riera Jaume Martorell Cerdá }}

=Introducción=
En el presente trabajo se propone la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello hemos empezado analizando una placa plana definida por la región comprendida entre las hipérbolas P1: xy-1/2=0 y P2: xy-3=0. Para su mejor respresentación se nos ha propuesto un sitema de coordenadas hiperbólico que se adapta a nuestra geometría.

[[Archivo:Fórmula_1.jpg|200px|centro|thumb]]
[[Archivo:Fórmula_2.jpg|200px|centro|thumb]]

Sobre dicha placa vamos a suponer dos magnitudes físicas: La Temperatura, como campo escalar y Los Desplazamientos como campo vectorial.
A continuación vamos a desarrollar una serie de apartados para proceder al analisis de como actuan dichas magnitudes sobre la palaca:

==Representación del mallado==

Para la representación del mallado hemos definido los ejes (x,y) en el intérvalo: [0,2.5] y [0,2.5] y a continuación con el paso de muestrueo h=1/10 hemos dibujado el mallado que representa los puntos interieres de nuestro sólido:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('MALLADO DE LA PLACA PLANA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y

}}

[[Archivo:Representacion malla G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural==

Para la representación de las líneas coordenadas se ha mantenido una variable constante y se ha dejado variable la otra para ambos casos. Los resultados han sido:
En primer lugar, hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes coordenados.
En segundo lugar, hipérbolas equiláteras de ejes coincidentes con los coordenados.

{{matlab|codigo=

u=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
for k=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)+u);%Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)-u);%Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)+1+k);%Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)-(1+k));%Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'r')
plot(z,w,'k')
plot(sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)+1+k),sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)-(1+k)),'*')
hold off
end

}}

[[Archivo:Grafica2G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

Para la obtención de los vectores de la base natural se ha procedido mediante el cálculo previo de las correspondientes derivadas parciales de x,y. Una vez calculados hemos procedido a dibujarlos en cada punto del mallado. Hay que tener en consideración que se trata de un sistema ortogonal y que el módulo de ambos vectores de la base es el mismo. A su vez podemos añadir que sus modulos son inversamente proporcinales a la distancia al origen. Esta aclaración queda perfectamente reflejada con el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%Obtención de
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%vectores
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));%tangentes
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));%gu y gv
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
xlabel('Vectores azules gu, Vectores verdes gv')%Rótulo del eje x
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica2.1G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
Dada nuestra función de temperatura podemos apreciar que al crecer (x+y) el valor de Temperatura decrece. Luego el valor de temperatura máxima (foco de calor) de la placa podremos decir que será el más próximo al origen de coordenadas.Como consecuencia de lo anterior,las curvas de nivel más cercanas a dicho punto son las que sufren más variación de temperatura; por lo que aparecerán más próximas entre si. Con el siguiente gráfico podemos comprobar como se cumple dicha hipotesis.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
subplot(1,2,1)%Subventana 1
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('TEMPERATURA DE LA PLACA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica3G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Representación del gradiente==
Con el cálculo del gradiente podremos evaluar la dirección en la cual nuestro campo Temperatura variará más rápidamente. Su módulo, representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. En nuestro caso podemos apreciar que su módulo aumenta al aproximarnos al origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,50,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
hold on
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,15,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
hold off

}}

[[Archivo:Grafica4G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Campo de desplazamientos==
Al aplicar la fuerza sobre la placa se ha producido un desplazamiento de los puntos de la misma en la dirección de aplicación. El campo vectorial u lleva en cada punto la dirección del gv del punto. Sustituimos gv por sus componentes en coordenadas cartesianas, lo que nos da un campo de vectores.
En nuestra placa se puede apreciar de forma adecuada la deformación que provoca alargamientos generando tracciones en todos los puntos de la placa obteniendo los mayores valores en los extremos más alejados del origen de coordenadas. Dado el campo de desplazamientos obtendremos el siguiente campo vectorial.

[[Archivo:DesplazamientosG23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica5G23.jpg|600px|centro|thumb]]

A continuación realizaremos una comparativa del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo u:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

[[Archivo:Grafica6G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Divergencia del campo==
Al calcular la divergencia de un campo vectorial, se obtiene un escalar. En este caso la divergencia muestra claramente el nivel de compresión o expansión que dichos puntos de la placa han experimentado. Como nuestra divergencia está definida en coordenadas cartesianas, tenemos que derivar la función respecto de (x,y,t) quedando de la siguiente forma: u⃗ =du/dx+du2/dy+du/2dt. Dicho esto podemos afirmar que los puntos con mayor divergencia son los puntos que están más alejados del origen de coordenadas.

[[Archivo:DivG23.jpg|150px|centro|thumb]] [[Archivo:Div1G23.jpg|150px|centro|thumb]]

[[Archivo:Div3G23.jpg|550px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('DIVERGENCIA DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica7G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Rotacional del campo==
A la hora de calcular el rotacional de u lo definimos como la tendencia que tiene un campo vectorial a incluir rotación. Si obtenemos su valor nos sale que el rotacional es cero. Esto se debe a que los desplazamientos que tienen lugar sobre la placa no genera torsiones ni rotaciones, sino que se trata de una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.

[[Archivo:Rotacional2G23.jpg|500px|centro|thumb]]
[[Archivo:Rotacional1G23.jpg|500px|centro|thumb]]

==Repetición del análisis con el nuevo campo==

===Campo de desplazamientos===

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.^2.*y.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica8G23.jpg|600px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
}}

[[Archivo:Grafica9G23.jpg|800px|centro|thumb]]

===Divergencia del campo===

[[Archivo:DivergenciaG23.jpg|300px|centro|thumb]]

===Rotacional del campo===

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('ROTACIONAL DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica10G23.jpg|700px|centro|thumb]]

==Masa y centro de masas==

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
%Función densidad de la placa en términos de x e y
f=inline('y.*exp(-1./x.^2)','x','y');
Z=f(X,Y);
hold on
h=pcolor(X,Y,Z);
set(h,'edgecolor','none')%Representación de la distribución de la
contour(X,Y,Z,1000,'p') %densidad en la placa plana
hold off
%Cálculo de la masa
m = quad2d(@(u,v) sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*exp(-1./(sqrt(u.^2+v.^2)+u)).*1./(2.*(sqrt(u.^2+v.^2))),-2,2,0.5,3);
title(sprintf('LA MASA TOTAL DE LA PLACA ES %8.4f',m))
}}

[[Archivo:Grafica11G23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
%Función densidad de la placa en términos de x e y
f=inline('y.*exp(-1./x.^2)','x','y');
Z=f(X,Y);
m = quad2d(@(u,v) sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*exp(-1./(sqrt(u.^2+v.^2)+u)).*1./(2.*(sqrt(u.^2+v.^2))),-2,2,0.5,3);
%Solución de la integral numerador de x Centro de Masas
a=quad2d(@(u,v) sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)+u).*sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*exp(-1./(sqrt(u.^2+v.^2)+u)).*1./(2.*(sqrt(u.^2+v.^2))),-2,2,0.5,3);
%Solución de la integral numerador de y Centro de Masas
b=quad2d(@(u,v) sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*sqrt(sqrt(u.^2+v.^2)-u).*exp(-1./(sqrt(u.^2+v.^2)+u)).*1./(2.*(sqrt(u.^2+v.^2))),-2,2,0.5,3);
%Determinación del Centro de Masas
xm=a/m; ym=b/m;
subplot(1,2,1)
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
plot(xm,ym,'*k')%Representación del centro de masas
hold off
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
title(sprintf('CENTRO DE MASAS (Xm=%6.4f,Ym=%6.4f)',xm,ym))
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Z)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
title('DENSIDAD')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica12G23.jpg|700px|centro|thumb]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T10:44:38Z

Sergio López: /* Rotacional del campo */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Sergio López Fernández Javier Marrero Patrón Rubén Peláez Moreno Eduardo Ubeda Cuadrado Suleiman Mesto Riera Jaume Martorell Cerdá }}

=Introducción=
En el presente trabajo se propone la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello hemos empezado analizando una placa plana definida por la región comprendida entre las hipérbolas P1: xy-1/2=0 y P2: xy-3=0. Para su mejor respresentación se nos ha propuesto un sitema de coordenadas hiperbólico que se adapta a nuestra geometría.

[[Archivo:Fórmula_1.jpg|200px|centro|thumb]]
[[Archivo:Fórmula_2.jpg|200px|centro|thumb]]

Sobre dicha placa vamos a suponer dos magnitudes físicas: La Temperatura, como campo escalar y Los Desplazamientos como campo vectorial.
A continuación vamos a desarrollar una serie de apartados para proceder al analisis de como actuan dichas magnitudes sobre la palaca:

==Representación del mallado==

Para la representación del mallado hemos definido los ejes (x,y) en el intérvalo: [0,2.5] y [0,2.5] y a continuación con el paso de muestrueo h=1/10 hemos dibujado el mallado que representa los puntos interieres de nuestro sólido:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('MALLADO DE LA PLACA PLANA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y

}}

[[Archivo:Representacion malla G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural==

Para la representación de las líneas coordenadas se ha mantenido una variable constante y se ha dejado variable la otra para ambos casos. Los resultados han sido:
En primer lugar, hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes coordenados.
En segundo lugar, hipérbolas equiláteras de ejes coincidentes con los coordenados.

{{matlab|codigo=

u=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
for k=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)+u);%Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)-u);%Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)+1+k);%Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)-(1+k));%Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'r')
plot(z,w,'k')
plot(sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)+1+k),sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)-(1+k)),'*')
hold off
end

}}

[[Archivo:Grafica2G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

Para la obtención de los vectores de la base natural se ha procedido mediante el cálculo previo de las correspondientes derivadas parciales de x,y. Una vez calculados hemos procedido a dibujarlos en cada punto del mallado. Hay que tener en consideración que se trata de un sistema ortogonal y que el módulo de ambos vectores de la base es el mismo. A su vez podemos añadir que sus modulos son inversamente proporcinales a la distancia al origen. Esta aclaración queda perfectamente reflejada con el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%Obtención de
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%vectores
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));%tangentes
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));%gu y gv
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
xlabel('Vectores azules gu, Vectores verdes gv')%Rótulo del eje x
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica2.1G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
Dada nuestra función de temperatura podemos apreciar que al crecer (x+y) el valor de Temperatura decrece. Luego el valor de temperatura máxima (foco de calor) de la placa podremos decir que será el más próximo al origen de coordenadas.Como consecuencia de lo anterior,las curvas de nivel más cercanas a dicho punto son las que sufren más variación de temperatura; por lo que aparecerán más próximas entre si. Con el siguiente gráfico podemos comprobar como se cumple dicha hipotesis.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
subplot(1,2,1)%Subventana 1
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('TEMPERATURA DE LA PLACA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica3G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Representación del gradiente==
Con el cálculo del gradiente podremos evaluar la dirección en la cual nuestro campo Temperatura variará más rápidamente. Su módulo, representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. En nuestro caso podemos apreciar que su módulo aumenta al aproximarnos al origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,50,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
hold on
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,15,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
hold off

}}

[[Archivo:Grafica4G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Campo de desplazamientos==
Al aplicar la fuerza sobre la placa se ha producido un desplazamiento de los puntos de la misma en la dirección de aplicación. El campo vectorial u lleva en cada punto la dirección del gv del punto. Sustituimos gv por sus componentes en coordenadas cartesianas, lo que nos da un campo de vectores.
En nuestra placa se puede apreciar de forma adecuada la deformación que provoca alargamientos generando tracciones en todos los puntos de la placa obteniendo los mayores valores en los extremos más alejados del origen de coordenadas. Dado el campo de desplazamientos obtendremos el siguiente campo vectorial.

[[Archivo:DesplazamientosG23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica5G23.jpg|600px|centro|thumb]]

A continuación realizaremos una comparativa del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo u:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

[[Archivo:Grafica6G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Divergencia del campo==
Al calcular la divergencia de un campo vectorial, se obtiene un escalar. En este caso la divergencia muestra claramente el nivel de compresión o expansión que dichos puntos de la placa han experimentado. Como nuestra divergencia está definida en coordenadas cartesianas, tenemos que derivar la función respecto de (x,y,t) quedando de la siguiente forma: u⃗ =du/dx+du2/dy+du/2dt. Dicho esto podemos afirmar que los puntos con mayor divergencia son los puntos que están más alejados del origen de coordenadas.

[[Archivo:DivG23.jpg|150px|centro|thumb]] [[Archivo:Div1G23.jpg|150px|centro|thumb]]

[[Archivo:Div3G23.jpg|550px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('DIVERGENCIA DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica7G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Rotacional del campo==
A la hora de calcular el rotacional de u lo definimos como la tendencia que tiene un campo vectorial a incluir rotación. Si obtenemos su valor nos sale que el rotacional es cero. Esto se debe a que los desplazamientos que tienen lugar sobre la placa no genera torsiones ni rotaciones, sino que se trata de una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.

[[Archivo:Rotacional2G23.jpg|500px|centro|thumb]]
[[Archivo:Rotacional1G23.jpg|500px|centro|thumb]]

==Repetición del análisis con el nuevo campo==

===Campo de desplazamientos===

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.^2.*y.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica8G23.jpg|600px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
}}

[[Archivo:Grafica9G23.jpg|800px|centro|thumb]]

===Divergencia del campo===

[[Archivo:DivergenciaG23.jpg|300px|centro|thumb]]

===Rotacional del campo===

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('ROTACIONAL DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica10G23.jpg|700px|centro|thumb]]

==Masa y centro de masas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T10:44:24Z

Sergio López: /* Divergencia del campo */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Sergio López Fernández Javier Marrero Patrón Rubén Peláez Moreno Eduardo Ubeda Cuadrado Suleiman Mesto Riera Jaume Martorell Cerdá }}

=Introducción=
En el presente trabajo se propone la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello hemos empezado analizando una placa plana definida por la región comprendida entre las hipérbolas P1: xy-1/2=0 y P2: xy-3=0. Para su mejor respresentación se nos ha propuesto un sitema de coordenadas hiperbólico que se adapta a nuestra geometría.

[[Archivo:Fórmula_1.jpg|200px|centro|thumb]]
[[Archivo:Fórmula_2.jpg|200px|centro|thumb]]

Sobre dicha placa vamos a suponer dos magnitudes físicas: La Temperatura, como campo escalar y Los Desplazamientos como campo vectorial.
A continuación vamos a desarrollar una serie de apartados para proceder al analisis de como actuan dichas magnitudes sobre la palaca:

==Representación del mallado==

Para la representación del mallado hemos definido los ejes (x,y) en el intérvalo: [0,2.5] y [0,2.5] y a continuación con el paso de muestrueo h=1/10 hemos dibujado el mallado que representa los puntos interieres de nuestro sólido:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('MALLADO DE LA PLACA PLANA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y

}}

[[Archivo:Representacion malla G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural==

Para la representación de las líneas coordenadas se ha mantenido una variable constante y se ha dejado variable la otra para ambos casos. Los resultados han sido:
En primer lugar, hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes coordenados.
En segundo lugar, hipérbolas equiláteras de ejes coincidentes con los coordenados.

{{matlab|codigo=

u=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
for k=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)+u);%Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)-u);%Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)+1+k);%Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)-(1+k));%Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'r')
plot(z,w,'k')
plot(sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)+1+k),sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)-(1+k)),'*')
hold off
end

}}

[[Archivo:Grafica2G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

Para la obtención de los vectores de la base natural se ha procedido mediante el cálculo previo de las correspondientes derivadas parciales de x,y. Una vez calculados hemos procedido a dibujarlos en cada punto del mallado. Hay que tener en consideración que se trata de un sistema ortogonal y que el módulo de ambos vectores de la base es el mismo. A su vez podemos añadir que sus modulos son inversamente proporcinales a la distancia al origen. Esta aclaración queda perfectamente reflejada con el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%Obtención de
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%vectores
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));%tangentes
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));%gu y gv
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
xlabel('Vectores azules gu, Vectores verdes gv')%Rótulo del eje x
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica2.1G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
Dada nuestra función de temperatura podemos apreciar que al crecer (x+y) el valor de Temperatura decrece. Luego el valor de temperatura máxima (foco de calor) de la placa podremos decir que será el más próximo al origen de coordenadas.Como consecuencia de lo anterior,las curvas de nivel más cercanas a dicho punto son las que sufren más variación de temperatura; por lo que aparecerán más próximas entre si. Con el siguiente gráfico podemos comprobar como se cumple dicha hipotesis.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
subplot(1,2,1)%Subventana 1
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('TEMPERATURA DE LA PLACA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica3G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Representación del gradiente==
Con el cálculo del gradiente podremos evaluar la dirección en la cual nuestro campo Temperatura variará más rápidamente. Su módulo, representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. En nuestro caso podemos apreciar que su módulo aumenta al aproximarnos al origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,50,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
hold on
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,15,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
hold off

}}

[[Archivo:Grafica4G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Campo de desplazamientos==
Al aplicar la fuerza sobre la placa se ha producido un desplazamiento de los puntos de la misma en la dirección de aplicación. El campo vectorial u lleva en cada punto la dirección del gv del punto. Sustituimos gv por sus componentes en coordenadas cartesianas, lo que nos da un campo de vectores.
En nuestra placa se puede apreciar de forma adecuada la deformación que provoca alargamientos generando tracciones en todos los puntos de la placa obteniendo los mayores valores en los extremos más alejados del origen de coordenadas. Dado el campo de desplazamientos obtendremos el siguiente campo vectorial.

[[Archivo:DesplazamientosG23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica5G23.jpg|600px|centro|thumb]]

A continuación realizaremos una comparativa del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo u:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

[[Archivo:Grafica6G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Divergencia del campo==
Al calcular la divergencia de un campo vectorial, se obtiene un escalar. En este caso la divergencia muestra claramente el nivel de compresión o expansión que dichos puntos de la placa han experimentado. Como nuestra divergencia está definida en coordenadas cartesianas, tenemos que derivar la función respecto de (x,y,t) quedando de la siguiente forma: u⃗ =du/dx+du2/dy+du/2dt. Dicho esto podemos afirmar que los puntos con mayor divergencia son los puntos que están más alejados del origen de coordenadas.

[[Archivo:DivG23.jpg|150px|centro|thumb]] [[Archivo:Div1G23.jpg|150px|centro|thumb]]

[[Archivo:Div3G23.jpg|550px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('DIVERGENCIA DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica7G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Rotacional del campo==
A la hora de calcular el rotacional de u lo definimos como la tendencia que tiene un campo vectorial a incluir rotación. Si obtenemos su valor nos sale que el rotacional es cero. Esto se debe a que los desplazamientos que tienen lugar sobre la placa no genera torsiones ni rotaciones, sino que se trata de una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.

[[Archivo:Rotacional2G23.jpg|500px|centro|thumb]]
[[Archivo:Rotacional1G23.jpg|500px|centro|thumb]]

==Repetición del análisis con el nuevo campo==

===Campo de desplazamientos===

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.^2.*y.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica8G23.jpg|600px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
}}

[[Archivo:Grafica9G23.jpg|800px|centro|thumb]]

===Divergencia del campo===

[[Archivo:DivergenciaG23.jpg|300px|centro|thumb]]

===Rotacional del campo===

==Masa y centro de masas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Grafica12G23.jpg

2014-12-04T10:43:21Z

Sergio López:

Archivo:Grafica11G23.jpg

2014-12-04T10:43:11Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T10:36:50Z

Sergio López: /* Divergencia del campo */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Sergio López Fernández Javier Marrero Patrón Rubén Peláez Moreno Eduardo Ubeda Cuadrado Suleiman Mesto Riera Jaume Martorell Cerdá }}

=Introducción=
En el presente trabajo se propone la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello hemos empezado analizando una placa plana definida por la región comprendida entre las hipérbolas P1: xy-1/2=0 y P2: xy-3=0. Para su mejor respresentación se nos ha propuesto un sitema de coordenadas hiperbólico que se adapta a nuestra geometría.

[[Archivo:Fórmula_1.jpg|200px|centro|thumb]]
[[Archivo:Fórmula_2.jpg|200px|centro|thumb]]

Sobre dicha placa vamos a suponer dos magnitudes físicas: La Temperatura, como campo escalar y Los Desplazamientos como campo vectorial.
A continuación vamos a desarrollar una serie de apartados para proceder al analisis de como actuan dichas magnitudes sobre la palaca:

==Representación del mallado==

Para la representación del mallado hemos definido los ejes (x,y) en el intérvalo: [0,2.5] y [0,2.5] y a continuación con el paso de muestrueo h=1/10 hemos dibujado el mallado que representa los puntos interieres de nuestro sólido:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('MALLADO DE LA PLACA PLANA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y

}}

[[Archivo:Representacion malla G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural==

Para la representación de las líneas coordenadas se ha mantenido una variable constante y se ha dejado variable la otra para ambos casos. Los resultados han sido:
En primer lugar, hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes coordenados.
En segundo lugar, hipérbolas equiláteras de ejes coincidentes con los coordenados.

{{matlab|codigo=

u=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
for k=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)+u);%Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)-u);%Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)+1+k);%Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)-(1+k));%Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'r')
plot(z,w,'k')
plot(sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)+1+k),sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)-(1+k)),'*')
hold off
end

}}

[[Archivo:Grafica2G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

Para la obtención de los vectores de la base natural se ha procedido mediante el cálculo previo de las correspondientes derivadas parciales de x,y. Una vez calculados hemos procedido a dibujarlos en cada punto del mallado. Hay que tener en consideración que se trata de un sistema ortogonal y que el módulo de ambos vectores de la base es el mismo. A su vez podemos añadir que sus modulos son inversamente proporcinales a la distancia al origen. Esta aclaración queda perfectamente reflejada con el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%Obtención de
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%vectores
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));%tangentes
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));%gu y gv
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
xlabel('Vectores azules gu, Vectores verdes gv')%Rótulo del eje x
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica2.1G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
Dada nuestra función de temperatura podemos apreciar que al crecer (x+y) el valor de Temperatura decrece. Luego el valor de temperatura máxima (foco de calor) de la placa podremos decir que será el más próximo al origen de coordenadas.Como consecuencia de lo anterior,las curvas de nivel más cercanas a dicho punto son las que sufren más variación de temperatura; por lo que aparecerán más próximas entre si. Con el siguiente gráfico podemos comprobar como se cumple dicha hipotesis.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
subplot(1,2,1)%Subventana 1
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('TEMPERATURA DE LA PLACA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica3G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Representación del gradiente==
Con el cálculo del gradiente podremos evaluar la dirección en la cual nuestro campo Temperatura variará más rápidamente. Su módulo, representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. En nuestro caso podemos apreciar que su módulo aumenta al aproximarnos al origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,50,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
hold on
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,15,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
hold off

}}

[[Archivo:Grafica4G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Campo de desplazamientos==
Al aplicar la fuerza sobre la placa se ha producido un desplazamiento de los puntos de la misma en la dirección de aplicación. El campo vectorial u lleva en cada punto la dirección del gv del punto. Sustituimos gv por sus componentes en coordenadas cartesianas, lo que nos da un campo de vectores.
En nuestra placa se puede apreciar de forma adecuada la deformación que provoca alargamientos generando tracciones en todos los puntos de la placa obteniendo los mayores valores en los extremos más alejados del origen de coordenadas. Dado el campo de desplazamientos obtendremos el siguiente campo vectorial.

[[Archivo:DesplazamientosG23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica5G23.jpg|600px|centro|thumb]]

A continuación realizaremos una comparativa del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo u:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

[[Archivo:Grafica6G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Divergencia del campo==
Al calcular la divergencia de un campo vectorial, se obtiene un escalar. En este caso la divergencia muestra claramente el nivel de compresión o expansión que dichos puntos de la placa han experimentado. Como nuestra divergencia está definida en coordenadas cartesianas, tenemos que derivar la función respecto de (x,y,t) quedando de la siguiente forma: u⃗ =du/dx+du2/dy+du/2dt. Dicho esto podemos afirmar que los puntos con mayor divergencia son los puntos que están más alejados del origen de coordenadas.

[[Archivo:DivG23.jpg|150px|centro|thumb]] [[Archivo:Div1G23.jpg|150px|centro|thumb]]

[[Archivo:Div3G23.jpg|550px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('DIVERGENCIA DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica7G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Rotacional del campo==
A la hora de calcular el rotacional de u lo definimos como la tendencia que tiene un campo vectorial a incluir rotación. Si obtenemos su valor nos sale que el rotacional es cero. Esto se debe a que los desplazamientos que tienen lugar sobre la placa no genera torsiones ni rotaciones, sino que se trata de una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.

[[Archivo:Rotacional2G23.jpg|500px|centro|thumb]]
[[Archivo:Rotacional1G23.jpg|500px|centro|thumb]]

==Repetición del análisis con el nuevo campo==

===Campo de desplazamientos===

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.^2.*y.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica8G23.jpg|600px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
}}

[[Archivo:Grafica9G23.jpg|800px|centro|thumb]]

===Divergencia del campo===

[[Archivo:DivergenciaG23.jpg|300px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('ROTACIONAL DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica10G23.jpg|700px|centro|thumb]]

===Rotacional del campo===

==Masa y centro de masas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Grafica10G23.jpg

2014-12-04T10:36:27Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T10:31:31Z

Sergio López: /* Campo de desplazamientos */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Sergio López Fernández Javier Marrero Patrón Rubén Peláez Moreno Eduardo Ubeda Cuadrado Suleiman Mesto Riera Jaume Martorell Cerdá }}

=Introducción=
En el presente trabajo se propone la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello hemos empezado analizando una placa plana definida por la región comprendida entre las hipérbolas P1: xy-1/2=0 y P2: xy-3=0. Para su mejor respresentación se nos ha propuesto un sitema de coordenadas hiperbólico que se adapta a nuestra geometría.

[[Archivo:Fórmula_1.jpg|200px|centro|thumb]]
[[Archivo:Fórmula_2.jpg|200px|centro|thumb]]

Sobre dicha placa vamos a suponer dos magnitudes físicas: La Temperatura, como campo escalar y Los Desplazamientos como campo vectorial.
A continuación vamos a desarrollar una serie de apartados para proceder al analisis de como actuan dichas magnitudes sobre la palaca:

==Representación del mallado==

Para la representación del mallado hemos definido los ejes (x,y) en el intérvalo: [0,2.5] y [0,2.5] y a continuación con el paso de muestrueo h=1/10 hemos dibujado el mallado que representa los puntos interieres de nuestro sólido:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('MALLADO DE LA PLACA PLANA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y

}}

[[Archivo:Representacion malla G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural==

Para la representación de las líneas coordenadas se ha mantenido una variable constante y se ha dejado variable la otra para ambos casos. Los resultados han sido:
En primer lugar, hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes coordenados.
En segundo lugar, hipérbolas equiláteras de ejes coincidentes con los coordenados.

{{matlab|codigo=

u=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
for k=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)+u);%Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)-u);%Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)+1+k);%Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)-(1+k));%Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'r')
plot(z,w,'k')
plot(sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)+1+k),sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)-(1+k)),'*')
hold off
end

}}

[[Archivo:Grafica2G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

Para la obtención de los vectores de la base natural se ha procedido mediante el cálculo previo de las correspondientes derivadas parciales de x,y. Una vez calculados hemos procedido a dibujarlos en cada punto del mallado. Hay que tener en consideración que se trata de un sistema ortogonal y que el módulo de ambos vectores de la base es el mismo. A su vez podemos añadir que sus modulos son inversamente proporcinales a la distancia al origen. Esta aclaración queda perfectamente reflejada con el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%Obtención de
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%vectores
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));%tangentes
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));%gu y gv
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
xlabel('Vectores azules gu, Vectores verdes gv')%Rótulo del eje x
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica2.1G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
Dada nuestra función de temperatura podemos apreciar que al crecer (x+y) el valor de Temperatura decrece. Luego el valor de temperatura máxima (foco de calor) de la placa podremos decir que será el más próximo al origen de coordenadas.Como consecuencia de lo anterior,las curvas de nivel más cercanas a dicho punto son las que sufren más variación de temperatura; por lo que aparecerán más próximas entre si. Con el siguiente gráfico podemos comprobar como se cumple dicha hipotesis.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
subplot(1,2,1)%Subventana 1
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('TEMPERATURA DE LA PLACA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica3G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Representación del gradiente==
Con el cálculo del gradiente podremos evaluar la dirección en la cual nuestro campo Temperatura variará más rápidamente. Su módulo, representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. En nuestro caso podemos apreciar que su módulo aumenta al aproximarnos al origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,50,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
hold on
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,15,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
hold off

}}

[[Archivo:Grafica4G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Campo de desplazamientos==
Al aplicar la fuerza sobre la placa se ha producido un desplazamiento de los puntos de la misma en la dirección de aplicación. El campo vectorial u lleva en cada punto la dirección del gv del punto. Sustituimos gv por sus componentes en coordenadas cartesianas, lo que nos da un campo de vectores.
En nuestra placa se puede apreciar de forma adecuada la deformación que provoca alargamientos generando tracciones en todos los puntos de la placa obteniendo los mayores valores en los extremos más alejados del origen de coordenadas. Dado el campo de desplazamientos obtendremos el siguiente campo vectorial.

[[Archivo:DesplazamientosG23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica5G23.jpg|600px|centro|thumb]]

A continuación realizaremos una comparativa del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo u:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

[[Archivo:Grafica6G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Divergencia del campo==
Al calcular la divergencia de un campo vectorial, se obtiene un escalar. En este caso la divergencia muestra claramente el nivel de compresión o expansión que dichos puntos de la placa han experimentado. Como nuestra divergencia está definida en coordenadas cartesianas, tenemos que derivar la función respecto de (x,y,t) quedando de la siguiente forma: u⃗ =du/dx+du2/dy+du/2dt. Dicho esto podemos afirmar que los puntos con mayor divergencia son los puntos que están más alejados del origen de coordenadas.

[[Archivo:DivG23.jpg|150px|centro|thumb]] [[Archivo:Div1G23.jpg|150px|centro|thumb]]

[[Archivo:Div3G23.jpg|550px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('DIVERGENCIA DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica7G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Rotacional del campo==
A la hora de calcular el rotacional de u lo definimos como la tendencia que tiene un campo vectorial a incluir rotación. Si obtenemos su valor nos sale que el rotacional es cero. Esto se debe a que los desplazamientos que tienen lugar sobre la placa no genera torsiones ni rotaciones, sino que se trata de una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.

[[Archivo:Rotacional2G23.jpg|500px|centro|thumb]]
[[Archivo:Rotacional1G23.jpg|500px|centro|thumb]]

==Repetición del análisis con el nuevo campo==

===Campo de desplazamientos===

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.^2.*y.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(-x.*y.^2+0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica8G23.jpg|600px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.^2.*Y-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(-X.*Y.^2+0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
}}

[[Archivo:Grafica9G23.jpg|800px|centro|thumb]]

===Divergencia del campo===

===Rotacional del campo===

==Masa y centro de masas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Grafica9G23.jpg

2014-12-04T10:29:09Z

Sergio López:

Archivo:Grafica8G23.jpg

2014-12-04T10:28:53Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T10:16:34Z

Sergio López: /* Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Sergio López Fernández Javier Marrero Patrón Rubén Peláez Moreno Eduardo Ubeda Cuadrado Suleiman Mesto Riera Jaume Martorell Cerdá }}

=Introducción=
En el presente trabajo se propone la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello hemos empezado analizando una placa plana definida por la región comprendida entre las hipérbolas P1: xy-1/2=0 y P2: xy-3=0. Para su mejor respresentación se nos ha propuesto un sitema de coordenadas hiperbólico que se adapta a nuestra geometría.

[[Archivo:Fórmula_1.jpg|200px|centro|thumb]]
[[Archivo:Fórmula_2.jpg|200px|centro|thumb]]

Sobre dicha placa vamos a suponer dos magnitudes físicas: La Temperatura, como campo escalar y Los Desplazamientos como campo vectorial.
A continuación vamos a desarrollar una serie de apartados para proceder al analisis de como actuan dichas magnitudes sobre la palaca:

==Representación del mallado==

Para la representación del mallado hemos definido los ejes (x,y) en el intérvalo: [0,2.5] y [0,2.5] y a continuación con el paso de muestrueo h=1/10 hemos dibujado el mallado que representa los puntos interieres de nuestro sólido:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('MALLADO DE LA PLACA PLANA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y

}}

[[Archivo:Representacion malla G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural==

Para la representación de las líneas coordenadas se ha mantenido una variable constante y se ha dejado variable la otra para ambos casos. Los resultados han sido:
En primer lugar, hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes coordenados.
En segundo lugar, hipérbolas equiláteras de ejes coincidentes con los coordenados.

{{matlab|codigo=

u=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
for k=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)+u);%Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)-u);%Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)+1+k);%Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)-(1+k));%Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'r')
plot(z,w,'k')
plot(sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)+1+k),sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)-(1+k)),'*')
hold off
end

}}

[[Archivo:Grafica2G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

Para la obtención de los vectores de la base natural se ha procedido mediante el cálculo previo de las correspondientes derivadas parciales de x,y. Una vez calculados hemos procedido a dibujarlos en cada punto del mallado. Hay que tener en consideración que se trata de un sistema ortogonal y que el módulo de ambos vectores de la base es el mismo. A su vez podemos añadir que sus modulos son inversamente proporcinales a la distancia al origen. Esta aclaración queda perfectamente reflejada con el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%Obtención de
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%vectores
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));%tangentes
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));%gu y gv
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
xlabel('Vectores azules gu, Vectores verdes gv')%Rótulo del eje x
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico
}}

[[Archivo:Grafica2.1G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
Dada nuestra función de temperatura podemos apreciar que al crecer (x+y) el valor de Temperatura decrece. Luego el valor de temperatura máxima (foco de calor) de la placa podremos decir que será el más próximo al origen de coordenadas.Como consecuencia de lo anterior,las curvas de nivel más cercanas a dicho punto son las que sufren más variación de temperatura; por lo que aparecerán más próximas entre si. Con el siguiente gráfico podemos comprobar como se cumple dicha hipotesis.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
subplot(1,2,1)%Subventana 1
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('TEMPERATURA DE LA PLACA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica3G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Representación del gradiente==
Con el cálculo del gradiente podremos evaluar la dirección en la cual nuestro campo Temperatura variará más rápidamente. Su módulo, representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. En nuestro caso podemos apreciar que su módulo aumenta al aproximarnos al origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,50,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
hold on
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,15,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
hold off

}}

[[Archivo:Grafica4G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Campo de desplazamientos==
Al aplicar la fuerza sobre la placa se ha producido un desplazamiento de los puntos de la misma en la dirección de aplicación. El campo vectorial u lleva en cada punto la dirección del gv del punto. Sustituimos gv por sus componentes en coordenadas cartesianas, lo que nos da un campo de vectores.
En nuestra placa se puede apreciar de forma adecuada la deformación que provoca alargamientos generando tracciones en todos los puntos de la placa obteniendo los mayores valores en los extremos más alejados del origen de coordenadas. Dado el campo de desplazamientos obtendremos el siguiente campo vectorial.

[[Archivo:DesplazamientosG23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica5G23.jpg|600px|centro|thumb]]

A continuación realizaremos una comparativa del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo u:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

[[Archivo:Grafica6G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Divergencia del campo==
Al calcular la divergencia de un campo vectorial, se obtiene un escalar. En este caso la divergencia muestra claramente el nivel de compresión o expansión que dichos puntos de la placa han experimentado. Como nuestra divergencia está definida en coordenadas cartesianas, tenemos que derivar la función respecto de (x,y,t) quedando de la siguiente forma: u⃗ =du/dx+du2/dy+du/2dt. Dicho esto podemos afirmar que los puntos con mayor divergencia son los puntos que están más alejados del origen de coordenadas.

[[Archivo:DivG23.jpg|150px|centro|thumb]] [[Archivo:Div1G23.jpg|150px|centro|thumb]]

[[Archivo:Div3G23.jpg|550px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('DIVERGENCIA DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica7G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Rotacional del campo==
A la hora de calcular el rotacional de u lo definimos como la tendencia que tiene un campo vectorial a incluir rotación. Si obtenemos su valor nos sale que el rotacional es cero. Esto se debe a que los desplazamientos que tienen lugar sobre la placa no genera torsiones ni rotaciones, sino que se trata de una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.

[[Archivo:Rotacional2G23.jpg|500px|centro|thumb]]
[[Archivo:Rotacional1G23.jpg|500px|centro|thumb]]

==Repetición del análisis con el nuevo campo==

===Campo de desplazamientos===

===Divergencia del campo===

===Rotacional del campo===

==Masa y centro de masas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T10:02:49Z

Sergio López: /* Divergencia del campo */

{{ Beta }}

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Sergio López Fernández Javier Marrero Patrón Rubén Peláez Moreno Eduardo Ubeda Cuadrado Suleiman Mesto Riera Jaume Martorell Cerdá }}

=Introducción=
En el presente trabajo se propone la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Para ello hemos empezado analizando una placa plana definida por la región comprendida entre las hipérbolas P1: xy-1/2=0 y P2: xy-3=0. Para su mejor respresentación se nos ha propuesto un sitema de coordenadas hiperbólico que se adapta a nuestra geometría.

[[Archivo:Fórmula_1.jpg|200px|centro|thumb]]
[[Archivo:Fórmula_2.jpg|200px|centro|thumb]]

Sobre dicha placa vamos a suponer dos magnitudes físicas: La Temperatura, como campo escalar y Los Desplazamientos como campo vectorial.
A continuación vamos a desarrollar una serie de apartados para proceder al analisis de como actuan dichas magnitudes sobre la palaca:

==Representación del mallado==

Para la representación del mallado hemos definido los ejes (x,y) en el intérvalo: [0,2.5] y [0,2.5] y a continuación con el paso de muestrueo h=1/10 hemos dibujado el mallado que representa los puntos interieres de nuestro sólido:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('MALLADO DE LA PLACA PLANA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y

}}

[[Archivo:Representacion malla G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Representación de las líneas coordenadas y vectores de la base natural==

Para la representación de las líneas coordenadas se ha mantenido una variable constante y se ha dejado variable la otra para ambos casos. Los resultados han sido:
En primer lugar, hipérbolas equiláteras de asíntotas los ejes coordenados.
En segundo lugar, hipérbolas equiláteras de ejes coincidentes con los coordenados.

{{matlab|codigo=

u=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=-3:0.1:5;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
for k=1:4
x=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)+u);%Dejamos libre u y variamos v
y=sqrt(sqrt(u.^2+(1+k).^2)-u);%Dejamos libre u y variamos v
z=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)+1+k);%Dejamos libre v y variamos u
w=sqrt(sqrt((1+k).^2+v.^2)-(1+k));%Dejamos libre v y variamos u
hold on
plot(x,y,'r')
plot(z,w,'k')
plot(sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)+1+k),sqrt(sqrt((1+k).^2+(1+k).^2)-(1+k)),'*')
hold off
end

}}

[[Archivo:Grafica2G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

Para la obtención de los vectores de la base natural se ha procedido mediante el cálculo previo de las correspondientes derivadas parciales de x,y. Una vez calculados hemos procedido a dibujarlos en cada punto del mallado. Hay que tener en consideración que se trata de un sistema ortogonal y que el módulo de ambos vectores de la base es el mismo. A su vez podemos añadir que sus modulos son inversamente proporcinales a la distancia al origen. Esta aclaración queda perfectamente reflejada con el siguiente gráfico:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
guu=(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%Obtención de
guv=-(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U))./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)));%vectores
gvu=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U)));%tangentes
gvv=V./(2*(sqrt(U.^2+V.^2)).*(sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U)));%gu y %gv
hold on
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
quiver(X,Y,guu,guv);%Visualización de líneas coordenadas
quiver(X,Y,gvu,gvv);%y vectores de la base natural
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
hold on
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('VECTORES DE LA BASE NATURAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica2.1.jpg|600px|centro|thumb]]

==Curvas de nivel de la temperatura==
Dada nuestra función de temperatura podemos apreciar que al crecer (x+y) el valor de Temperatura decrece. Luego el valor de temperatura máxima (foco de calor) de la placa podremos decir que será el más próximo al origen de coordenadas.Como consecuencia de lo anterior,las curvas de nivel más cercanas a dicho punto son las que sufren más variación de temperatura; por lo que aparecerán más próximas entre si. Con el siguiente gráfico podemos comprobar como se cumple dicha hipotesis.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
subplot(1,2,1)%Subventana 1
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('TEMPERATURA DE LA PLACA')%Título del gráfico
subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,T);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica3G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Representación del gradiente==
Con el cálculo del gradiente podremos evaluar la dirección en la cual nuestro campo Temperatura variará más rápidamente. Su módulo, representa el ritmo de variación en la dirección de dicho vector gradiente. En nuestro caso podemos apreciar que su módulo aumenta al aproximarnos al origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,50,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico

}}

{{matlab|codigo=

m=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje transversal
n=inline('-2.*(x+y).*exp(-(x+y).^2)','x','y');%Función que define la
%variación de la temperatura de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del grad(T)
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del grad(T)
hold on
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial grad(T)
T=exp(-(X+Y).^2);%Función temperatura
%Curvas de Nivel
contour(X,Y,T,15,'r')%Representación de las curvas de nivel
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('GRADIENTE Y CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA')%Título del gráfico
hold off

}}

[[Archivo:Grafica4G23.jpg|600px|centro|thumb|Lineas coordenadas]]

==Campo de desplazamientos==
Al aplicar la fuerza sobre la placa se ha producido un desplazamiento de los puntos de la misma en la dirección de aplicación. El campo vectorial u lleva en cada punto la dirección del gv del punto. Sustituimos gv por sus componentes en coordenadas cartesianas, lo que nos da un campo de vectores.
En nuestra placa se puede apreciar de forma adecuada la deformación que provoca alargamientos en todos los puntos de la placa obteniendo los mayores valores en los extremos más alejados del origen de coordenadas. Dado el campo de desplazamientos obtendremos el siguiente campo vectorial.

[[Archivo:DesplazamientosG23.jpg|500px|centro|thumb]]

{{matlab|codigo=

m=inline('0.1.*(x.*y.^2-0.5.*y)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje transversal
n=inline('0.1.*(y.*x.^2-0.5.*x)','x','y');%Función que define el
%desplazamiento de la placa en el eje longitudinal
u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas
M=m(X,Y);%Componente transversal del desplazamiento
N=n(X,Y);%Componente longitudinal del desplazamiento
quiver(X,Y,M,N)%Visualización del campo vectorial desplazamiento(u)
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CAMPO VECTORIAL u (DESPLAZAMIENTOS)')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica5G23.jpg|600px|centro|thumb]]

A continuación realizaremos una comparativa del sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo u:

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

%Sin desplazamiento
subplot(1,2,1)%Subventana 1
mesh(X,Y,0*X)%Representación superficial con líneas entrecruzadas
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('SIN DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

%Con desplazamiento
UX=0.1.*(X.*Y.^2-0.5.*Y);%Desplazamiento de la placa en sentido transversal
UY=0.1.*(Y.*X.^2-0.5.*X);%Desplazamiento de la placa en sentido longitudinal
subplot(1,2,2)%Subventana 1
mesh(X+UX,Y+UY,0*X);%Representación superficial con líneas entrecruzadas
%de los desplazamientos producidos en la placa
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE X(TRANSVERSAL)')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y(LONGITUDINAL)')%Rótulo del eje y
title('CON DESPLAZAMIENTO')%Título del gráfico
axis image%Ejes proporcionados igualmente y ajustados al gráfico

}}

[[Archivo:Grafica6G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Divergencia del campo==
Al calcular la divergencia de un campo vectorial, se obtiene un escalar. En este caso la divergencia muestra claramente el nivel de compresión o expansión que dichos puntos de la placa han experimentado. Como nuestra divergencia está definida en coordenadas cartesianas, tenemos que derivar la función respecto de (x,y,t) quedando de la siguiente forma: u⃗ =du/dx+du2/dy+du/2dt. Dicho esto podemos afirmar que los puntos con mayor divergencia son los puntos que están más alejados del origen de coordenadas.

{{matlab|codigo=

u=-2:0.1:2;%Discretización de la placa en el sentido transversal
v=0.5:0.1:3;%Discretización de la placa en el sentido longitudinal
[U,V]=meshgrid(u,v);%Obtención de la retícula rectangular(rejilla) asociada
%a los vectores u y v a partir de la discretización considerada
X=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)+U);%Coordenadas Hiperbólicas
Y=sqrt(sqrt(U.^2+V.^2)-U);%Coordenadas Hiperbólicas

subplot(1,2,1)%Subventana 1
fy=0.1.*(Y.^2+X.^2);%Divergencia del campo vectorial u de desplazamientos
surf(X,Y,fy)%Representación superficial con escala de colores
axis([0,2.5,0,2.5])%Establecimiento de valores mínimos y máximos
%en los ejes representados
view(2)%Definición del punto de observación(azimut=0,elevación=90)
xlabel('EJE TRANSVERSAL')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE LONGITUDINAL')%Rótulo del eje y
title('DIVERGENCIA DESPLAZAMIENTOS')%Título del gráfico

subplot(1,2,2)%Subventana 2
surf(X,Y,fy);%Representación superficial con escala de colores
xlabel('EJE X')%Rótulo del eje x
ylabel('EJE Y')%Rótulo del eje y
title('INTERPRETACIÓN ESPACIAL')%Título del gráfico

}}

[[Archivo:Grafica7G23.jpg|600px|centro|thumb]]

==Rotacional del campo==
A la hora de calcular el rotacional de u lo definimos como la tendencia que tiene un campo vectorial a incluir rotación. Si obtenemos su valor nos sale que el rotacional es cero. Esto se debe a que los desplazamientos que tienen lugar sobre la placa no genera torsiones ni rotaciones, sino que se trata de una deformación longitudinal en el sentido en el que aplicamos la fuerza sobre la placa.

[[Archivo:Rotacional2G23.jpg|500px|centro|thumb]]
[[Archivo:Rotacional1G23.jpg|500px|centro|thumb]]

==Repetición del análisis con el nuevo campo==

===Campo de desplazamientos===

===Divergencia del campo===

===Rotacional del campo===

==Masa y centro de masas==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Grafica7G23.jpg

2014-12-04T09:59:42Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T09:56:06Z

Sergio López: /* Campo de desplazamientos */

Archivo:Grafica2.1G23.jpg

2014-12-04T09:32:17Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T09:16:00Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-04T09:15:34Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-02T12:27:00Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-02T09:45:16Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-12-02T09:38:50Z

Sergio López:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (B-G.23-T.11)

2014-11-26T12:08:56Z

Sergio López: Página creada con «{{ Beta }} {{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 23-C | Teoría de Campos|:Categoría:T...»