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Explotación Minera (G15-C)

2015-03-05T16:39:49Z

Sergio Fernandez: /* Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
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t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
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t(i+1)=t(i)+h;
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break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Sabemos que la vida útil de la explotación se alcanza cuando la producción baja de 25ton./año por tanto, obteniendo el valor del tiempo en que la producción baja de 25 años. Una vez tenemos este dato por introducirlo en la función Q(t) proporcionándonos el valor del materia extraído en ese tiempo que retándolo con la cantidad total de material extraerle resulta la cantidad de mineral sin extraer.

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
Basándonos en la ecuación diferencial dQ/dt= Q*r*log(k/Q), definida en el problema; y mediante el modelo de Gompertz desarrollado en el apartado dos, con los datos reales, cantidad de mineral extraído hasta que se cumplen 12 años es de 2696 toneladas; y las toneladas que se estiman que quedan por extraer son 9075.
La cantidad total k, de mineral extraíble es de 11770 toneladas que resulta de sumar los nuevos datos reales proporcionados en el problema.
Para hallar la nueva r, considerando la tasa de rendimiento de 240 toneladas/año: r=240*e/k=240*e/11770= 0.0055.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-05T15:53:26Z

Sergio Fernandez:

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
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subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
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hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
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t(1)=t0;
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break
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i=i+1;
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[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
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%Variable dependiente
t=t0;
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K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
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K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
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i=1;
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K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
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i=i+1;
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hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));

end
plot(t,P)
}}
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]
El punto de máxima producción se encuentra en P=239.9906, en un tiempo de aproximadamente 40 años, que se obtiene en matlab mediante el comando 'max'.
=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

Utilizando el programa del apartado 1.5 podemos obtener el valor de la cantidad de material extraído en t=25 que nos da un valor de Q(25)=820ton.
Sabemos que tenemos K= 1087ton. en el total del yacimiento, por tanto restando Q(25) menos el total del yacimiento deducimos que quedarán aproximadamente 10056ton. de material sin extraer

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-05T14:59:08Z

Sergio Fernandez:

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
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[[Archivo:Gompertz3.jpg|800px|thumb|left|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
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subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
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hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
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hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|800px|thumb|left|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
La gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
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q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
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end
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[t',q']
plot(t,q)}}

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
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K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
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i=1;
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K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
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plot(t,q,'b*')
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==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
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Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|thumb|Límite]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-03T15:54:08Z

Sergio Fernandez:

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-03T15:34:07Z

Sergio Fernandez:

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-03T15:27:49Z

Sergio Fernandez: Sergio Fernandez movió la página Explotación Minera (G15-C a Explotación Minera (G15-C)

Explotación Minera (G15-C

2015-03-03T15:27:49Z

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#REDIRECCIÓN [[Explotación Minera (G15-C)]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-03T15:24:37Z

Sergio Fernandez: Página creada con «{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2014-15 | Belén Salamanca,...»

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G8

2013-12-09T16:08:57Z

Sergio Fernandez:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 8|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

[[Archivo:Mallado1.jpg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

Se pide:
# Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo <math>h=1/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
# La temperatura del sólido viene dada por <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>. Dibujarla.
# Calcular <math>\nabla T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que <math>\nabla T</math> es ortogonal a dichas curvas.
# Consideramos ahora el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(y)}{10}\vec j</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
# Si <math>\vec u</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
# Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
# Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
# Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math>.
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.

== Inicio ==
[[Archivo:Mallado.jpg|300px|thumb|right|Mallado de una placa rectangular de región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math> ]]
El objetivo de este trabajo es poder visualizar tanto campos escalares como vectoriales en elasticidad. Pero antes de nada, se debe dejar dos conceptos claros:
'''Un campo escalar''' es la representación de una distribución espacial de una magnitud escalar, es decir, de un número, asociando un valor a cada punto del espacio.
'''Un campo vectorial''' es la representación de una distribución espacial de una magnitud vectorial, asociando un vector a cada punto del espacio.

Para poder llevar acabo el objetivo de este trabajo, primero hemos de visualizar la placa rectangular dada, ya que en ella es donde vamos a dibujar los distintos tipos de campos.
La mejor forma de visualizar una placa, en nuestro caso rectangular, es a partir del dibujo de un mallado. Esta mallado viene determinado por una región, <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual vamos a dibujar introduciendo el siguiente código en Matlab:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3]);
view(2)
}}

Al ser una placa en 2D debemos abatirla, pues si no la veríamos en 3D.

== Efecto de la Temperatura ==
[[Archivo:2b..jpg|300px|thumb|right|Campo de Temperaturas sobre la placa]]
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>. que es un campo escalar que depende sólo de la variable y, por lo tanto será cte para cada valor de yo.Observamos que cuando la variable y disminuye el valor de la temperatura aumenta, esto se debe a que la función es una exponencial negativa en y .
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % Intervalo [-0.5,0.5]
y=0:0.1:2; % Intervalo[0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y) % matrices del mallado
figure(1)
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-2,2,-1,3]) % región de visualización
view(2)
}}

== Divergencia de la función Temperatura ==
[[Archivo:3bc..jpg|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial]]
Se define la divergencia de la función T, como la suma de las derivadas parciales de dicha función, <math>\nabla\cdot\vec T = \frac{\partial T_x}{\partial x}+ \frac{\partial T_y}{\partial y}+\frac{\partial T_z}{\partial z}</math> .
La representación de dicha función como campo vectorial, vendría dada por:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; %Intervalo [-0.5,0.5]
y=0:0.1:2; %Intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Mallado
figure(1)
fy=-exp(-yy) %derivada con respecto de y
fx=0*xx %derivdad con respecto de x
quiver(xx,yy,fx,fy) %visualización del campo en 2D
axis([-2,2,-1,3]) %región de visualización
view(2)

}}

Sean el conjunto de puntos (x,y) donde una función toma un determinado valor; este conjunto es llamado conjunto de nivel, de tal forma que si se representan en el plano OXY se denominan curvas de nivel.
[[Archivo:3c..jpg|miniaturadeimagen|Curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; %Intervalo [-0.5,0.5]
y=0:0.1:2; %Intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Mallado
figure(1)
f=-exp(-yy); %derivada con respecto de y
contour(xx,yy,f) %representación de las curvas de nivel
hold on
plot(xx,xx-xx,'k','linewidth',1);
plot(xx,2+xx-xx,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+yy-yy,yy,'k','linewidth',1);
plot(0.5+yy-yy,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)

}}

En vista de las figuras adjuntas, se observa que la representación vectorial de <math>\nabla T</math> es perpendicular a las curvas de nivel.

== Influencia del desplazamiento ==
[[Archivo:4a..jpg|300px|thumb|right|Desplazamiento de los puntos]]
Ahora consideramos <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> como un nuevo campo de vectores para determinar el desplazamiento de los puntos del mallado.

Al ser el vector unitario <math>\vec j </math> el desplazamiento será en dirección vertical. Por ello se mantiene la coordenada <math> "x" </math> del punto constante.

Para obtener la gráfica utilizamos el siguiente código en Matlab:

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; %genera vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %genera malla
figure(3)
fx=0*xx;
fy=(sin(pi.*yy))/10
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
view(4)
}}
== Comparación de la malla sin y con desplazamiento==
[[Archivo:Mallado.jpg|miniaturadeimagen|Mallado sin desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1) %subventana 1
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
mesh(x,y,0*x);
axis([-2,2,-1,3]);
view(2)
title (`sin desplazamiento`)
}}
{{matlab|codigo=
dx=0*x
dy=0,1.*sin(pi*y)
subplot(1,2,2) %subventana 2
mesh(x+dx,y+dy,0*x)
view(2)
title(`con desplazamiento`)
}}
== Divergencia del Campo ==
[[Archivo:Dibujo.jpeg|miniaturadeimagen|Divergencia 3-D]]
[[Archivo:Dibujo1.jpeg|miniaturadeimagen|Divergencia 2-D]]
En primer lugar, definimos la divergencia de un campo vectorial en un punto como el escalar que resulta de derivar parcialmente cada una de las componentes del campo:
<math>\nabla\cdot\vec T = \frac{\partial T_x}{\partial x}+ \frac{\partial T_y}{\partial y}+\frac{\partial T_z}{\partial z}</math>

Físicamente, la divergencia representa la cantidad de flujo neto que fluye a través de una superficie cerrada; es decir, la divergencia no es más que la diferencia entre el flujo saliente y el entrante en dicha superficie.

Los comandos de MATLAB necesarios para obtener la representación gráfica de la divergencia de los puntos del sólido tratado son los siguientes:
{{matlab|codigo=
>> x=-0.5:0.1:0.5;
>> y=0:0.1:2;
>> [xx,yy]=meshgrid(x,y);
>> figure(1)
>> f=(cos(pi.*yy).*pi)/10;
>> surf(xx,yy,f)
>> axis([-2,2,-1,3])
>> view(2)
}}

Además, una correcta representación gráfica de la divergencia nos mostrará la expansión del campo en el recinto escogido. En nuestro caso, obtenemos las figuras, en 3-D y 2-D respectivamente, que se muestran a la derecha.

Partiendo de todo lo anterior, y de que la divergencia nos muestra el cambio de volumen local en los puntos del sólido debido al desplazamiento, podemos concluir que el conjunto de puntos con mayor divergencia será el que haya sufrido mayores variaciones volumétricas, que en nuestro caso se corresponde con el intervalo en Y [0,9;1,2].

== Rotacional ==

El rotacional de un '''campo vectorial''', <math>|\nabla \times \vec U|</math>, es un campo vectorial que se define y calcula:
<math>
\nabla\times \vec U=\frac{1}{\sqrt{g}} \left|
\begin{matrix}
\vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w}
\\ & & \\
U_1 & U_2 & U_3
\end{matrix}\right|
</math>
En nuestro caso, el rotacional sería la siguiente expresión:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Siendo <math> U_x=0 </math> <math> U_y=e^{-y} </math> <math>U_z=0</math>
y por tanto el resultado del rotacional es:
<math>|\nabla \times \vec U|=0</math>

El rotacional define una circulación,por tanto, si es nulo significa que el campo vectorial no se mueve, es decir, permanece estático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:4a..jpg

2013-12-09T16:04:51Z

Sergio Fernandez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G8

2013-12-09T15:51:06Z

Sergio Fernandez:

{{beta}}
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 8|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

'''Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad.'''

[[Archivo:Mallado1.jpg|300px|thumb|right|Mallado de una placa plana rectangular]]

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x,y,t)</math>, que depende de las dos variables espaciales <math>(x,y)</math> y el tiempo <math>t</math>, y los desplazamientos <math>\vec u(x,y,t)</math>. De esta forma, si definimos <math>r_0(x,y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto <math>(x,y)</math> de la placa en un instante de tiempo <math>t</math> viene dada por:
<math>
\vec r (x,y,t)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y,t).
</math>
Vamos a suponer que sobre la placa se ha aplicado una fuerza que ha provocado una vibración de manera que los desplazamientos vienen dados por la onda:
<math>
\vec u(x,y,t) = \vec a \sin(\vec b \cdot \vec r_0-ct),
</math>
donde <math>\vec a</math> se conoce como amplitud, <math>\vec b</math> es la fase que indica la dirección de propagación y <math>c/|\vec b|</math> es la velocidad de propagación.

Si <math>\vec a </math> es paralelo a <math>\vec b</math> diremos que la onda es longitudinal mientras que si es perpendicular hablaremos de onda transversal.

En este trabajo vamos a centrarnos en las ondas longitudinales. Supondremos lo siguiente:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \qquad \vec b= \pi \vec j, \qquad t=0.
</math>
En este caso, <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math>.

Se pide:
# Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido (ver figura). Tomar como paso de muestreo <math>h=1/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.
# La temperatura del sólido viene dada por <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>. Dibujarla.
# Calcular <math>\nabla T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Calcular las curvas de nivel de T y observar gráficamente que <math>\nabla T</math> es ortogonal a dichas curvas.
# Consideramos ahora el campo de vectores <math>\vec u=\frac{\sin(y)}{10}\vec j</math>. Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.
# Si <math>\vec u</math> determina el desplazamiento que sufre cada punto del sólido, dibujar el sólido antes y después del desplazamiento. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando subplot.
# Calcular la <math>\nabla \cdot \vec u</math> en todos los puntos del sólido y dibujarla. ¿Qué puntos tienen mayor divergencia? La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento.
# Calcular <math>|\nabla \times \vec u|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?
# Definamos <math>\epsilon(\vec u)=(\nabla \vec u + \nabla \vec u^t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec u</math>, que se denomina [http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal_strain_theory tensor de deformaciones]. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos permiten escribir el tensor de tensiones <math>\sigma_{ij}</math> a través de la fórmula:
<math>
\sigma_{ij}=\lambda \nabla \cdot \vec u \delta_{ij} + 2\mu \epsilon_{ij},
</math>
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math> son los conocidos como [http://en.wikipedia.org/wiki/Lam%C3%A9_parameters coeficientes de Lamé] que dependen de las propiedades elásticas de cada material. Tomando <math>\lambda=\mu=1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec i</math>, es decir <math>\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> y las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec j</math>, es decir <math>\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math>.
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec i</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|</math>. ¿Donde son mayores? Compararlas con los puntos de mayor deformación de la malla.
# Dibujar las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec j</math>, es decir <math>|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|</math>. ¿Donde son mayores? Compararla con los puntos de mayor deformación de la malla.

== Inicio ==
[[Archivo:Mallado.jpg|300px|thumb|right|Mallado de una placa rectangular de región <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math> ]]
El objetivo de este trabajo es poder visualizar tanto campos escalares como vectoriales en elasticidad. Pero antes de nada, se debe dejar dos conceptos claros:
'''Un campo escalar''' es la representación de una distribución espacial de una magnitud escalar, es decir, de un número, asociando un valor a cada punto del espacio.
'''Un campo vectorial''' es la representación de una distribución espacial de una magnitud vectorial, asociando un vector a cada punto del espacio.

Para poder llevar acabo el objetivo de este trabajo, primero hemos de visualizar la placa rectangular dada, ya que en ella es donde vamos a dibujar los distintos tipos de campos.
La mejor forma de visualizar una placa, en nuestro caso rectangular, es a partir del dibujo de un mallado. Esta mallado viene determinado por una región, <math> [-1/2,1/2] \times [0,2]</math>, la cual vamos a dibujar introduciendo el siguiente código en Matlab:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-2,2,-1,3]);
view(2)
}}

Al ser una placa en 2D debemos abatirla, pues si no la veríamos en 3D.

== Efecto de la Temperatura ==
[[Archivo:2b..jpg|300px|thumb|right|Campo de Temperaturas sobre la placa]]
La temperatura del sólido viene definida por el campo de temperaturas <math>T(\rho,\theta)=e^{-y}</math>. que es un campo escalar que depende sólo de la variable y, por lo tanto será cte para cada valor de yo.Observamos que cuando la variable y disminuye el valor de la temperatura aumenta, esto se debe a que la función es una exponencial negativa en y .
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % Intervalo [-0.5,0.5]
y=0:0.1:2; % Intervalo[0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y) % matrices del mallado
figure(1)
f=exp(-yy); % Campo escalar
surf(xx,yy,f) % visualización
axis([-2,2,-1,3]) % región de visualización
view(2)
}}

== Divergencia de la función Temperatura ==
[[Archivo:3bc..jpg|miniaturadeimagen|Representación del campo vectorial]]
Se define la divergencia de la función T, como la suma de las derivadas parciales de dicha función, <math>\nabla\cdot\vec T = \frac{\partial T_x}{\partial x}+ \frac{\partial T_y}{\partial y}+\frac{\partial T_z}{\partial z}</math> .
La representación de dicha función como campo vectorial, vendría dada por:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; %Intervalo [-0.5,0.5]
y=0:0.1:2; %Intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Mallado
figure(1)
fy=-exp(-yy) %derivada con respecto de y
fx=0*xx %derivdad con respecto de x
quiver(xx,yy,fx,fy) %visualización del campo en 2D
axis([-2,2,-1,3]) %región de visualización
view(2)

}}

Sean el conjunto de puntos (x,y) donde una función toma un determinado valor; este conjunto es llamado conjunto de nivel, de tal forma que si se representan en el plano OXY se denominan curvas de nivel.
[[Archivo:3c..jpg|miniaturadeimagen|Curvas de nivel]]
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; %Intervalo [-0.5,0.5]
y=0:0.1:2; %Intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %Mallado
figure(1)
f=-exp(-yy); %derivada con respecto de y
contour(xx,yy,f) %representación de las curvas de nivel
hold on
plot(xx,xx-xx,'k','linewidth',1);
plot(xx,2+xx-xx,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+yy-yy,yy,'k','linewidth',1);
plot(0.5+yy-yy,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,3])
view(2)

}}

En vista de las figuras adjuntas, se observa que la representación vectorial de <math>\nabla T</math> es perpendicular a las curvas de nivel.

== Influencia del desplazamiento ==

Ahora consideramos <math>\vec u(x,y)=\frac{\sin(\pi y)}{10}\vec j</math> como un nuevo campo de vectores para determinar el desplazamiento de los puntos del mallado.

Al ser el vector unitario <math>\vec j </math> el desplazamiento será en dirección vertical. Por ello se mantiene la coordenada <math> "x" </math> del punto constante.

Para obtener la gráfica utilizamos el siguiente código en Matlab:

{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; %genera vectores
y=0:0.1:2;
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %genera malla
figure(3)
fx=0*xx;
fy=(sin(pi.*yy))/10
quiver(xx,yy,fx,fy)
axis([-2,2,-1,3])
view(4)
}}
== Comparación de la malla sin y con desplazamiento==
[[Archivo:Mallado.jpg|miniaturadeimagen|Mallado sin desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
subplot(1,2,1) %subventana 1
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
mesh(x,y,0*x);
axis([-2,2,-1,3]);
view(2)
title (`sin desplazamiento`)
}}
{{matlab|codigo=
dx=0*x
dy=0,1.*sin(pi*y)
subplot(1,2,2) %subventana 2
mesh(x+dx,y+dy,0*x)
view(2)
title(`con desplazamiento`)
}}
== Divergencia del Campo ==
[[Archivo:Dibujo.jpeg|miniaturadeimagen|Divergencia 3-D]]
[[Archivo:Dibujo1.jpeg|miniaturadeimagen|Divergencia 2-D]]
En primer lugar, definimos la divergencia de un campo vectorial en un punto como el escalar que resulta de derivar parcialmente cada una de las componentes del campo:
<math>\nabla\cdot\vec T = \frac{\partial T_x}{\partial x}+ \frac{\partial T_y}{\partial y}+\frac{\partial T_z}{\partial z}</math>

Físicamente, la divergencia representa la cantidad de flujo neto que fluye a través de una superficie cerrada; es decir, la divergencia no es más que la diferencia entre el flujo saliente y el entrante en dicha superficie.

Los comandos de MATLAB necesarios para obtener la representación gráfica de la divergencia de los puntos del sólido tratado son los siguientes:
{{matlab|codigo=
>> x=-0.5:0.1:0.5;
>> y=0:0.1:2;
>> [xx,yy]=meshgrid(x,y);
>> figure(1)
>> f=(cos(pi.*yy).*pi)/10;
>> surf(xx,yy,f)
>> axis([-2,2,-1,3])
>> view(2)
}}

Además, una correcta representación gráfica de la divergencia nos mostrará la expansión del campo en el recinto escogido. En nuestro caso, obtenemos las figuras, en 3-D y 2-D respectivamente, que se muestran a la derecha.

Partiendo de todo lo anterior, y de que la divergencia nos muestra el cambio de volumen local en los puntos del sólido debido al desplazamiento, podemos concluir que el conjunto de puntos con mayor divergencia será el que haya sufrido mayores variaciones volumétricas, que en nuestro caso se corresponde con el intervalo en Y [0,9;1,2].

== Rotacional ==

El rotacional de un '''campo vectorial''', <math>|\nabla \times \vec U|</math>, es un campo vectorial que se define y calcula:
<math>
\nabla\times \vec U=\frac{1}{\sqrt{g}} \left|
\begin{matrix}
\vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3 \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w}
\\ & & \\
U_1 & U_2 & U_3
\end{matrix}\right|
</math>
En nuestro caso, el rotacional sería la siguiente expresión:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\vec i & \vec j & \vec k \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Siendo <math> U_x=0 </math> <math> U_y=e^{-y} </math> <math>U_z=0</math>
y por tanto el resultado del rotacional es:
<math>|\nabla \times \vec U|=0</math>

El rotacional define una circulación,por tanto, si es nulo significa que el campo vectorial no se mueve, es decir, permanece estático.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G8

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