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Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T17:02:06Z

Sebastian.taipe: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''
[[Archivo:figure2_tight1.png|center|900px]]
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
''' '''
[[Archivo:Videogif.gif|center|300px]]
|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

[[Archivo:Gradientecurvas.png|center|1200px]]

{{matlab|codigo=

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar;
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:CapAntes.png|center|1200px]]

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:CapDespues.png|center|1200px]]

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"
[[Archivo:Crecimiento_Densidad_LIGHT.gif|350px|thumb|Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.]]
[[Archivo:Distribucion_Masa_Logaritmica.jpg|thumb|200px]]
<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

En la imagen se puede ver que cuanto más avanza hacia el final del mallado, más aumenta de densidad.

==Aplicaciones en la Ingenieria==
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Las ondas P se reducirán drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad. Esto se debe a que las ondas P son inversamente proporcionales a la densidad

Las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T17:00:55Z

Sebastian.taipe: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''
[[Archivo:figure2_tight1.png|center|900px]]
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
''' '''
[[Archivo:Videogif.gif|center|300px]]
|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

[[Archivo:Gradientecurvas.png|center|1200px]]

{{matlab|codigo=

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar;
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

[[Archivo:CapAntes.png|center|1200px]]

[[Archivo:CapDespues.png|center|1200px]]

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"
[[Archivo:Distribucion_Masa_Logaritmica.jpg|thumb|350px|Gráfico de contorno de la densidad en escala logarítmica (log10(d(x,y))), ilustrando la anomalía de crecimiento exponencial de la masa hacia el eje X=4.]]
[[Archivo:Crecimiento_Densidad_LIGHT.gif|350px|thumb|Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.]]
<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

En la imagen se puede ver que cuanto más avanza hacia el final del mallado, más aumenta de densidad.

==Aplicaciones en la Ingenieria==
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Las ondas P se reducirán drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad. Esto se debe a que las ondas P son inversamente proporcionales a la densidad

Las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T16:59:14Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''
[[Archivo:figure2_tight1.png|center|900px]]
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
''' '''
[[Archivo:Videogif.gif|center|300px]]
|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

[[Archivo:Gradientecurvas.png|center|1200px]]

{{matlab|codigo=

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar;
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

[[Archivo:CapAntes.png|center|1200px]]

[[Archivo:CapDespues.png|center|1200px]]

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"
[[Archivo:Distribucion_Masa_Logaritmica.jpg|thumb|500px|Gráfico de contorno de la densidad en escala logarítmica (log10(d(x,y))), ilustrando la anomalía de crecimiento exponencial de la masa hacia el eje X=4.]]

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

En la imagen se puede ver que cuanto más avanza hacia el final del mallado, más aumenta de densidad.

==Aplicaciones en la Ingenieria==
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Las ondas P se reducirán drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad. Esto se debe a que las ondas P son inversamente proporcionales a la densidad

Las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T16:55:46Z

Sebastian.taipe: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''
[[Archivo:figure2_tight1.png|center|900px]]
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
''' '''
[[Archivo:Videogif.gif|center|300px]]
|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

[[Archivo:Gradientecurvas.png|center|1200px]]

{{matlab|codigo=

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar;
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

[[Archivo:CapAntes.png|center|600px]]

[[Archivo:CapDespues.png|center|600px]]

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"
[[Archivo:Distribucion_Masa_Logaritmica.jpg|thumb|500px|Gráfico de contorno de la densidad en escala logarítmica (log10(d(x,y))), ilustrando la anomalía de crecimiento exponencial de la masa hacia el eje X=4.]]

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

En la imagen se puede ver que cuanto más avanza hacia el final del mallado, más aumenta de densidad.

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:Crecimiento_Densidad_LIGHT.gif|350px|thumb|Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Las ondas P se reducirán drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad. Esto se debe a que las ondas P son inversamente proporcionales a la densidad

Las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Distribucion Masa Logaritmica.jpg

2025-12-04T16:49:50Z

Sebastian.taipe:

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T16:48:22Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''
[[Archivo:figure2_tight1.png|center|900px]]
| style="width:50%; vertical-align:top;" |
''' '''
[[Archivo:Videogif.gif|center|300px]]
|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

[[Archivo:Gradientecurvas.png|center|1200px]]

{{matlab|codigo=

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar;
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:Crecimiento_Densidad_LIGHT.gif|350px|thumb|Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Las ondas P se reducirán drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad. Esto se debe a que las ondas P son inversamente proporcionales a la densidad

Las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T16:40:19Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''
[[Archivo:figure2_tight.png|center|900px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' '''
[[Archivo:Videogif.gif|center|300px]]

|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

[[Archivo:Gradientecurvas.png|center|1200px]]

{{matlab|codigo=

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar;
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:Crecimiento_Densidad_LIGHT.gif|350px|thumb|Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas P se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T16:39:41Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''
[[Archivo:figure2_tight.png|center|900px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' '''
[[Archivo:Videogif.gif|center|300px]]

|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; axis tight; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

[[Archivo:Gradientecurvas.png|center|1200px]]

{{matlab|codigo=

%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%Representación
figure(3)
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');
hold on
colorbar;
axis equal;grid on;
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:Crecimiento_Densidad_LIGHT.gif|200px|thumb|Animación que muestra el desarrollo exponencial de la anomalía de densidad a lo largo del tiempo.]]
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|200px|Gráfica 3D de la función de densidad f(x,y), mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas P se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Crecimiento Densidad LIGHT.gif

2025-12-04T16:34:56Z

Sebastian.taipe:

Archivo:Crecimiento Anomalia Densidad.mp4

2025-12-04T16:28:35Z

Sebastian.taipe:

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T16:02:22Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Vídeo'''
[[Archivo:Videogif.gif|center|600px]]

|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

{{matlab|codigo=
figure(3)
%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%conectamos los puntos en X,Y en los que la función temperatura tiene el
%mismo valor, es decir, representamos las curvas de nivel
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');

hold on
colorbar;
axis equal;grid on;

%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dTx,dTy son las
% componentes los vectores del campo gradiente temperatura
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad f(x,y), mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas P se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T16:00:54Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Vídeo'''
[[Archivo:Videogifcalidad.gif|center|600px]]

|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

{{matlab|codigo=
figure(3)
%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%conectamos los puntos en X,Y en los que la función temperatura tiene el
%mismo valor, es decir, representamos las curvas de nivel
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');

hold on
colorbar;
axis equal;grid on;

%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dTx,dTy son las
% componentes los vectores del campo gradiente temperatura
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad f(x,y), mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas P se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Es parecida a las ondas S pero en lo que se diferencia es que las ondas P es que permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T16:00:38Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones considerando que es un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio y definición de los vectores
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);
hold on

plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Vídeo'''
[[Archivo:Videogifcalidad.gif|center|600px]]

|}
{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T);
shading interp;
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>. Como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, usando, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.

En coordenadas polares el gradiente se expresa de la siguiente forma:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Como T depende únicamente de $\theta $, derivando: <math> \frac{\partial T}{\partial \rho} = 0, \qquad
\frac{\partial T}{\partial \theta} = -e^{-\theta} </math>

Entonces, el gradiente resulta: <math> \nabla T = -\frac{e^{-\theta}}{\rho}\,\mathbf{e}_\theta </math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.
En este caso: Si <math> T= c </math> , entonces <math> e^{-\theta} = c </math>. Despejando $\theta $ : <math> \theta = -\ln c </math>

Esto significa que para cada valor de temperatura c hay un único angulo $\theta $ .Como $\rho$ no aparece el la ecuación, la distancia al origen no influye en la temperatura, por lo que las curvas de nivel parten del origen.

{{matlab|codigo=
figure(3)
%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%conectamos los puntos en X,Y en los que la función temperatura tiene el
%mismo valor, es decir, representamos las curvas de nivel
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');

hold on
colorbar;
axis equal;grid on;

%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dTx,dTy son las
% componentes los vectores del campo gradiente temperatura
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad f(x,y), mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas P se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Es parecida a las ondas S pero en lo que se diferencia es que las ondas P permite viajar a través de sólidos y fluidos por lo que la velocidad también dependerá de la rigidez como de la resistencia a la compresión y por ello la velocidad de las ondas P serán mayores que las S

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T08:37:40Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones aplicando la teoría de elasticidad lineal.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

% Definimos los vectores x, y en la región (xmin, xmax)x(ymin, ymax) con
% paso de muestreo h
x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%La instrucción meshgrid combina cada xi con yi formando parejas de
%puntos devolviendo dos matrices X, Y con las coordenadas xi en x y con las
%coordenadas yi en y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);

hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T); %proyección horizontal de la superficie
shading interp; % Suaviza los colores
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

|}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>, como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, es decir, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.
Matemáticamente:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.

Obsevando la gráfica podemos observar que el gradiente apunta en dirección <math> \mathbf{e}_{\theta} </math> ya que la función T solo depende de $\theta $. Además vemos que todas las curvas de nivel parten del origen.

{{matlab|codigo=
figure(3)
%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%conectamos los puntos en X,Y en los que la función temperatura tiene el
%mismo valor, es decir, representamos las curvas de nivel
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');

hold on
colorbar;
axis equal;grid on;

%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dTx,dTy son las
% componentes los vectores del campo gradiente temperatura
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad f(x,y), mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas P.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas P es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su fórmula:

<math>v_P = \sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

Siendo K el módulo de compresión y μ el módulo de cizalladura

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas P se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Es parecida a las ondas S pero en lo que se diferencia es que las ondas P
Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-04T08:25:01Z

Sebastian.taipe: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.

Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se define el campo de temperatura en la placa por la expresión: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones aplicando la teoría de elasticidad lineal.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

% Definimos los vectores x, y en la región (xmin, xmax)x(ymin, ymax) con
% paso de muestreo h
x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%La instrucción meshgrid combina cada xi con yi formando parejas de
%puntos devolviendo dos matrices X, Y con las coordenadas xi en x y con las
%coordenadas yi en y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);

hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T); %proyección horizontal de la superficie
shading interp; % Suaviza los colores
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

|}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>, como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, es decir, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.
Matemáticamente:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.

Obsevando la gráfica podemos observar que el gradiente apunta en dirección <math> \mathbf{e}_{\theta} </math> ya que la función T solo depende de $\theta $. Además vemos que todas las curvas de nivel parten del origen.

{{matlab|codigo=
figure(3)
%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%conectamos los puntos en X,Y en los que la función temperatura tiene el
%mismo valor, es decir, representamos las curvas de nivel
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');

hold on
colorbar;
axis equal;grid on;

%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dTx,dTy son las
% componentes los vectores del campo gradiente temperatura
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Para cambiarlo se hace la siguiente conversión:

<math>
e^{\rho^2 \cos \theta} \longrightarrow e^{\rho^2 \frac{x}{\rho}} \longrightarrow e^{x \rho} \longrightarrow e^{x \sqrt{x^2+y^2}}
</math>

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad f(x,y), mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas S.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas S es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su formula:

<math>v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}</math>

Siendo μ el módulo de cizalladura (resistencia del material a la cizalladura)

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas s se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-03T11:07:36Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.
Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se considera el campo de temperatura definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones aplicando la teoría de elasticidad lineal.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

% Definimos los vectores x, y en la región (xmin, xmax)x(ymin, ymax) con
% paso de muestreo h
x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%La instrucción meshgrid combina cada xi con yi formando parejas de
%puntos devolviendo dos matrices X, Y con las coordenadas xi en x y con las
%coordenadas yi en y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);

hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T); %proyección horizontal de la superficie
shading interp; % Suaviza los colores
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

|}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>, como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, es decir, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.
Matemáticamente:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.

Obsevando la gráfica podemos observar que el gradiente apunta en dirección <math> \mathbf{e}_{\theta} </math> ya que la función T solo depende de $\theta $. Además vemos que todas las curvas de nivel parten del origen.

{{matlab|codigo=
figure(3)
%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%conectamos los puntos en X,Y en los que la función temperatura tiene el
%mismo valor, es decir, representamos las curvas de nivel
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');

hold on
colorbar;
axis equal;grid on;

%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dTx,dTy son las
% componentes los vectores del campo gradiente temperatura
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad f(x,y), mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas S.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas S es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su formula:

<math>v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}</math>

Siendo μ el módulo de cizalladura (resistencia del material a la cizalladura)

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas s se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-03T10:54:51Z

Sebastian.taipe: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.
Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se considera el campo de temperatura definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones aplicando la teoría de elasticidad lineal.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio
ymin=-0.5;
ymax=0.5;
xmin=0;
xmax=4;
h=0.1;

% Definimos los vectores x, y en la región (xmin, xmax)x(ymin, ymax) con
% paso de muestreo h
x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%La instrucción meshgrid combina cada xi con yi formando parejas de
%puntos devolviendo dos matrices X, Y con las coordenadas xi en x y con las
%coordenadas yi en y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);

hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T); %proyección horizontal de la superficie
shading interp; % Suaviza los colores
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

|}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
La función de temperatura esta definida por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>, como esta en coordenadas polares debemos pasarlas a cartesianas para poder trabajar en MATLAB, es decir, <math>x= \rho\cos\theta , \quad y = \rho\sin\theta
</math>

El gradiente de un campo escalar representa la dirección de mayor crecimiento de una función, además indica la rapidez de este crecimiento. El gradiente es ortogonal a las curvas de nível.
Matemáticamente:
<math>
\nabla T = \frac{\partial T}{\partial \rho}\,\mathbf{e}_{\rho} + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial T}{\partial \theta}\,\mathbf{e}_{\theta}
</math>

Las curvas de nivel son lineas donde la temperatura es constante.

Obsevando la gráfica podemos observar que el gradiente apunta en dirección <math> \mathbf{e}_{\theta} </math> ya que la función T solo depende de $\theta $. Además vemos que todas las curvas de nivel parten del origen.

{{matlab|codigo=
figure(3)
%Cálculo numérico del gradiente de la temperatura
[dTx,dTy] = gradient(T,h,h);

%conectamos los puntos en X,Y en los que la función temperatura tiene el
%mismo valor, es decir, representamos las curvas de nivel
[C, h_contour] = contourf(X, Y, T, 20, 'LineWidth', 0.1 , 'Color', 'k');

hold on
colorbar;
axis equal;grid on;

%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dTx,dTy son las
% componentes los vectores del campo gradiente temperatura
quiver(X,Y,dTx,dTy,'MarkerSize',10,'color','r');

title('Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel');
xlabel('x'); ylabel('y');

}}

==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==

El rotacinal se calcula como: <math>
\nabla \times \vec{u} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
u_x & u_y & u_z
\end{vmatrix}
= \mathbf{0}
</math>

Particularizando con nuestro campo, tenemos: <math>
u_x = \frac{\cos(\pi x)}{10}, \quad u_y = 0, \quad u_z = 0
</math>

Entonces: <math> \nabla \times \vec{u} = \mathbf{0} </math>

Como el rotacional es cero, este campo no presenta giro. Como estamos trabajando con una onda longitudinal plana , las partículas de esta onda no rotan alrededor de un punto, sino que se mueven en dirección de propagación.

{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

</math>

Pero al dar la superficie en cartesianas, el campo tiene que cambiarse

Siendo la fórmula final

<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad $d(x,y)$, mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas S.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas S es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su formula:

<math>v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}</math>

Siendo μ el módulo de cizalladura (resistencia del material a la cizalladura)

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas s se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-03T00:48:23Z

Sebastian.taipe: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.
Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se considera el campo de temperatura definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones aplicando la teoría de elasticidad lineal.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio
xmin=-0.5;
xmax=0.5;
ymin=0;
ymax=4;
h=0.1;

% Definimos los vectores x, y en la región (xmin, xmax)x(ymin, ymax) con
% paso de muestreo h
x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%La instrucción meshgrid combina cada xi con yi formando parejas de
%puntos devolviendo dos matrices X, Y con las coordenadas xi en x y con las
%coordenadas yi en y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);

hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T); %proyección horizontal de la superficie
shading interp; % Suaviza los colores
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

|}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>

Siendo la fórmula:
<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1+e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \cdot 1 \ d\theta d\rho
</math>

Pero al ser la integral bastante compleja, se tiene que cambiar las coordenadas polares del campo a cartesianas

Siendo la fórmula final <math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad $d(x,y)$, mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas S.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas S es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su formula:

<math>v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}</math>

Siendo μ el módulo de cizalladura (resistencia del material a la cizalladura)

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas s se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-03T00:47:53Z

Sebastian.taipe: /* Masa de la placa */

{{ TrabajoED | Onda longitudinal plana | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Paula Berrón Velasco
*Valentina Alejandra Tapia Donaire
*Sandra Dragu Saraguro
*Sebastián Taipe Alvarado
*Angelina Nerea Chicaiza Chalén }}
==Introducción==
Una onda longitudinal plana es un tipo de onda mecánica que se caracteriza por su modo de vibración, las partículas de un medio vibran y se desplazan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Como resultado las partículas se agrupan más (se comprime el medio) o menos (se expande el medio) uniformemente a lo largo del medio.

En este trabajo se estudia la propagación de la onda longitudinal plana en una placa, definida en el dominio rectangular <math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>, cuando se le aplica una fuerza desde uno de sus extremos.
Una onda plana está definida por la expresión general: <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Donde <math>\vec{r_0}(x,y)</math> es el vector posición de los puntos de la placa en reposo, <math>\vec{a}</math> es la amplitud de la onda, <math>\vec{b}</math> es el vector de propagación y <math>c</math> es la velocidad de propagación de la onda.

Luego, ya conociendo las ecuaciones principales del movimiento, se considera el vector de posición de los puntos de la placa para cualquier momento del movimiento ondulatorio: <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>

Particularizando para los valores:
<math>\vec{a} = \frac{\vec{i}}{10}, \quad \vec{b} = \pi \vec{i}, \quad t = 0</math> , se obtiene el campo de desplazamientos de la onda longitudinal plana: <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>

Además, se considera el campo de temperatura definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

Los objetivos principales de este estudio incluyen el cálculo de los operadores diferenciales fundamentales como el gradiente de temperatura ,la divergencia y el rotacional del campo de desplazamientos. Determinaremos el tensor de deformaciones y el de tensiones aplicando la teoría de elasticidad lineal.
Analizaremos las curva de nivel de temperatura y verificaremos la ortogonalidad del gradiente respecto a estas curvas. Además, identificaremos las zonas de la placa donde se concentran las mayores tensiones.

Como herramienta de cálculo y de representación se ha utilizado MATLAB.

==Mallado del sólido==

La gráfica muestra el mallado cuyo dominio rectangular es <math>[0, 4] \times [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math> , se ha generado un mallado con separación h= 0,1 en ambas direcciones. Para obtener la gráfica hemos utilizado el siguiente código en MATLAB.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=

%Parámetros del dominio
xmin=-0.5;
xmax=0.5;
ymin=0;
ymax=4;
h=0.1;

% Definimos los vectores x, y en la región (xmin, xmax)x(ymin, ymax) con
% paso de muestreo h
x=xmin:h:xmax;
y=ymin:h:ymax;

%La instrucción meshgrid combina cada xi con yi formando parejas de
%puntos devolviendo dos matrices X, Y con las coordenadas xi en x y con las
%coordenadas yi en y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Representación
figure(1);

hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',1); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',1); %mallado horizontal
plot(X,Y,'k.','MarkerSize',8); %puntos
axis equal; grid on; %ejes iguales; cuandrícula activada
xlabel('x'); ylabel('y'); %nombres de los ejes
title('Mallado'); %título de la gráfica

hold off

}}

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

''' Mallado'''

[[Archivo:Imagen_Mallado.png|center|600px]]

|}

==Campo de Temperatura==
El campo de temperatura está definido por: <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>

En la formula observamos que el campo solo depende de $\theta $, esto significa que la temperatura varía con la orientación. A medida que aumenta $\theta $, la temperatuta disminuye exponencialmente. Esto se observa muy bien en la siguiente representación.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Representación del campo <math>T(\rho, \theta) = e^{-\theta}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Campo_Temperatura.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Código'''

{{matlab|codigo=
%Pasamos las coordenadas cartesianas a polares
rho= sqrt(X.^2+Y.^2);
theta=atan2(Y,X);
T=exp(-theta); %Función temperatura

%Representación
figure(2);

pcolor(X, Y, T); %proyección horizontal de la superficie
shading interp; % Suaviza los colores
ylabel(colorbar, 'Temperatura');
axis equal; grid on;
title('Campo de Temperatura T(rho, theta) = e^{-\theta}');
xlabel('x'); ylabel('y');
}}

|}

==Gradiente de Temperatura y Curvas de Nivel==
==Campo de Desplazamiento==

En este apartado, calcularemos y representaremos sobre el mallado de los puntos de la placa en reposo el campo vectorial desplazamiento <math>\vec{u}(\vec{r_0}, t) = \vec{a} \cos(\vec{b} \cdot \vec{r_0} - ct)</math>

Se representa el mallado en azul y el campo vectorial desplazamiento en rojo.
Para observar más claramente el campo desplazamiento se adjunta una segunda imagen en la que se ha duplicado su módulo y ampliado la imagen.

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamiento.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''<math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math> '''

[[Archivo:Imagen_Campo_Desplazamientox2.png|center|600px]]

|}

A continuación, se adjunta el código con el que se ha calculado y representado el campo desplazamiento y el mallado.
{{matlab|codigo=

Ux=cos(pi.*X)/10; % componente X del desplazamiento
Uy=zeros(size(Ux)); % componente Y del desplazamiento

%Representación
figure(4)
%X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las componentes los vectores del campo desplazamiento
hold on
plot(X,Y,'b-','LineWidth',0.2); %mallado vertical
plot(X',Y','b-','LineWidth',0.2); %mallado horizontal
quiver(X,Y,Ux,Uy,0,'r','LineWidth',1);
title('Campo desplazamiento');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal;grid on;
hold off

}}

Como se puede observar, las partículas "huirían" del entorno de las rectas <math>x=1.5 , x=3.5</math> para "reunirse" en el entorno de las rectas <math>x=0.5 , x=2.5</math>. En los siguientes apartados se sacarán más conclusiones sobre este movimiento, relacionados con este comentario.

==Desplazamiento del sólido==

Una vez calculado el campo desplazamiento, es interesante observar como ha afectado este movimiento a la placa. La mejor forma es observando la posición de los puntos previa al desplazamiento y la posición después del desplazamiento.

La ecuación del vector posición de un punto es la siguiente <math>\vec{r}(x,y,t)= \vec{r_0}(x,y)+\vec{u}(x,y,t)</math>, como se comentó previamente en la Introducción.

En la segunda imagen se puede apreciar más claramente el desplazamiento de los puntos, ya que se ha duplicado el módulo del desplazamiento para una mejor visualización

{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despues.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Con <math>\vec{u}(x,y) = \frac{\cos(\pi x)}{5} \vec{i}</math>'''

[[Archivo:Imagen_Antes_Despuesx2.png|center|600px]]

|}

Efectivamente se puede observar lo comentado en el apartado anterior. Próximamente, esto se relacionará con el término divergencia

==Divergencia del campo de desplazamiento==

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante a través de una superficie. Si el flujo es entrante entorno a un punto se dice que en ese punto hay un "sumidero" , en cambio, si el flujo es saliente, hablamos de una "fuente", por el comportamiento de las partículas alrededor de ese punto.
Cuando el flujo es saliente, la divergencia es positiva, si es entrante, la divergencia es negativa. Además, cuánto mayor es el valor absoluto de la divergencia, más intensa es la acción de la fuente que "aleja" las partículas de su alrededor, o con la que el sumidero "absorbe" las partículas a su alrededor.

La siguiente es la fórmula de la divergencia
<math>\nabla \cdot \vec{U} = \frac{\partial U_x}{\partial x} + \frac{\partial U_y}{\partial y} + \frac{\partial U_z}{\partial z}</math>

[[Archivo:Imagen_Divergencia_Desplazamiento.png|center|600px]]

El gradiente de un campo escalar representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función, apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en esa dirección.

<math>\nabla u(x,y,z) = \frac{\partial u}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\,\hat{j}</math>

[[Archivo:Imagen_Gradiente_Desplazamiento.png|center|600px]]

Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes en la ecuación del espacio tangente al gráfico.
{{matlab|codigo=
%Representación del campo desplazamiento
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y Ux,Uy son las
% componentes los vectores del campo desplazamiento
figure(6)

%Cálculo numérico del gradiente del desplazamiento
[dUx,dUy] = gradient(Ux,h,h);
%Representación del campo gradiente del desplazamiento
subplot(1,2,1)
%La instrucción quiver dibuja vectores con dirección y magnitud de un campo
%vectorial.
% X, Y definen las posiciones de inicio de las flechas y dUx,dUy son las
% componentes los vectores del campo gradiente desplazamiento
quiver(X, Y, dUx, dUy, 'r', 'LineWidth', 1);
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Campo gradiente del desplazamiento U(x,y)');

%Representación de la divergencia
%Comando divergence para calcular la divergencia.
subplot(1,2,2)
div_U = divergence(X, Y, Ux, Uy);
pcolor(X, Y, div_U);
shading interp;
colorbar;
axis equal; grid on;
xlabel('x'); ylabel('y');
title('Divergencia del campo de desplazamiento U(x,y)');
%de -0,5 a 0 se expande y de 0 a 0,5 se contrae;
}}

==Rotacional del campo de desplazamiento==
{{matlab|codigo=
%Al ser una onda longitudinal no hay rotación ya que el desplazamiento es
%en línea recta. Solo existe la rotación si el movimento fuese como el de
%un remolino
[dUx_dx, dUx_dy] = gradient(Ux, h, h);
[dUy_dx, dUy_dy] = gradient(Uy, h, h);

rot_u = dUy_dx - dUx_dy; % fórmula del rotacional en 2D

figure(7);
contourf(X, Y, rot_u, 20);
colorbar;
title('Rotacional |∇×u|');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on;
}}

==Tensor de deformaciones==
La tensión es una medida de las fuerzas internas de las partículas de la placa a causa de la deformación provocada por el desplazamiento. Las tensiones normales corresponden a las componentes de la fuerza que actúan sobre ella de manera perpendicular, en este caso, solo ocurren en dirección x.

El campo vectorial de desplazamiento es: <math>\vec{u}(x, y) = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} = \frac{\cos(\pi x)}{10} \vec{i} + 0 \vec{j}</math>

Si consideramos el Tensor Gradiente de el desplazamiento (∇u), calculadas a partir de sus derivadas parciales

<math>\nabla \vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{\partial u_x}{\partial y} \\ \frac{\partial u_y}{\partial x} & \frac{\partial u_y}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Siguiendo la fórmula del Tensor de Deformaciones <math>\epsilon(\vec{u})=\frac{1}{2}(\nabla\vec{u}+\nabla\vec{u}^{t})</math> = <math>\epsilon = \begin{pmatrix} -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>

Considerando que el Tensor de Tensiones es: <math>\sigma=\lambda(\nabla\cdot\vec{u})\mathbf{I}+2\mu\epsilon</math> y que los coeficientes de Lamé son: <math> \quad \lambda = 1, \quad \mu = 1</math>

Si sustituimos los valores anteriores obtenemos como valor final σ: <math>\sigma = \begin{pmatrix} -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x) & 0 \\ 0 & -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x) \end{pmatrix}</math>
Entonces tendremos que:

<math>\text{Dirección } \vec{i} (\sigma_{11}): \sigma_{\vec{i}\vec{i}} = \vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i} = \sigma_{11} = -\frac{3\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

<math>\text{Dirección } \vec{j} (\sigma_{22}): \sigma_{\vec{j}\vec{j}} = \vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j} = \sigma_{22} = -\frac{\pi}{10} \sin(\pi x).</math>

{{matlab|codigo=

Sigma_11 = -(3*pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir i
Sigma_22 = -(pi/10) * sin(pi * X); % Tensión normal en dir j (igual a la de k)

figure(8);
subplot(1, 2, 1);
pcolor(X, Y, Sigma_11);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en i');

subplot(1, 2, 2);
pcolor(X, Y, Sigma_22);
shading interp; colorbar;
axis equal; grid on
title('Tensión Normal en j');
}}
{| style="width:100%;"
| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{i}</math>'''

[[Archivo:tensinormal.png|center|600px]]

| style="width:50%; vertical-align:top;" |

'''Tensiones normales en <math>\vec{j}</math>'''

[[Archivo:tensjnormal.png|center|600px]]

|}
==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i==
Las tensiones tangenciales son aquellas que sus componentes de fuerza que actúan de forma paralela al plano, indican un corte o cizalla. Dado que en este caso lo estamos calculando con respecto a planos ortogonales a planos principales como el i, j o k da 0. En el caso que se tratara de algún plano con un ángulo distinto, este resultado no tiene por qué ser 0.

La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{i} - (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{i}): \quad \sigma \cdot \vec{i} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i}): \quad (\vec{i} \cdot \sigma \cdot \vec{i})\vec{i} = \sigma_{11} \vec{i}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{11} \vec{i}) - (\sigma_{11} \vec{i}) = \vec{0}</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j==
En este caso, ocurre exactamente igual al plano ortogonal a i.
La magnitud de la tensión tangencial es: <math>\left| \sigma \cdot \vec{j} - (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} \right|</math>

<math>\mathbf{1. ~Tensión~ Total}~(\sigma \cdot \vec{j}): \quad \sigma \cdot \vec{j} = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{22} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma_{22} \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{2. ~Tensión~ Normal}~( (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j}): \quad (\vec{j} \cdot \sigma \cdot \vec{j})\vec{j} = \sigma_{22} \vec{j}</math>

<math>\mathbf{3. ~Tensión~ Tangencial}: \quad (\sigma_{22} \vec{j}) - (\sigma_{22} \vec{j}) = \vec{0}</math>

==Masa de la placa==
Para calcular la masa de la placa hay que tener en cuenta la fórmula para sacar la integral de un campo escalar" f" en a lo largo de una superficie "S"

<math>
\iint_{S} f dS = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}(u,v) \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}(u,v) \right| dudv = \iint_{D} f(\vec{r}(u,v)) |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| dudv
</math>

Donde <math>
\left| \vec{r}_u \times \vec{r}_v \right|
</math>
(también llamado Jacobiano) se trata de un factor de escala que cambia la medición de una region plana a una curva.

En este caso como el mallado se trata de una superficie plana, el jacobiano es constante, por lo que se le considera que es igual a 1.

Dicho esto se sustituye la formula con los datos que nos dan:

Campo escalar(densidad):<math>
f(\rho, \theta) = 1+e^{\rho^2 \cos \theta}
</math>

Jacobiano: 1

Superficie:<math>[0, 4]\times[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>

Siendo la fórmula:
<math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1+e^{\rho^2 \cos \theta}\right) \cdot 1 \ d\theta d\rho
</math>

Pero al ser la integral bastante compleja, se tiene que cambiar las coordenadas polares del campo a cartesianas

Siendo la fórmula final <math>
\text{masa} = \int_{0}^{4} \int_{-1/2}^{1/2} \left(1 + e^{x \sqrt{x^2 + y^2}}\right) \ dx dy
</math>

Dando un resultado de

<math>
\mathbf{\text{masa} \approx 1,199,011.7874}
</math>
{{matlab|codigo=
%RECORDAR h=0.1 x=xmin:h:xmax y=ymin:h:ymax [X,Y]=meshgrid(x,y)
%Ux=cos(pi.*X)/10 Uy=zeros(size(Ux));

%Definir la densidad d(x,y), función anónima

d = @(x,y) 1 + exp(x.*sqrt(x.^2 + y.^2));

%Calculamos la masa total con integral2
M=integral2(d, -0.5, 0.5, 0, 4);

%Mostramos el resultado
fprintf('La masa total de la placa es aproximadamente: %.6f\n', M);
}}

==Aplicaciones en la Ingenieria==
[[Archivo:funciondedensidad7.png|thumb|350px|Gráfica 3D de la función de densidad $d(x,y)$, mostrando el crecimiento exponencial en el borde x=4.]]
Supongamos que el dominio dado se utiliza como representación de una parte de la corteza terrestre, y que el desplazamiento es provocado por las ondas S.

Para interpretarlo hay que analizar la densidad a partir de su funcion, donde se puede estudiar que hay un aumento exponencial con la coordenada x y que la masa dada es increiblemente grande a comparación de su area, en un punto de vista geológico, se puede intuir que se encuentra un deposito de rocas de altas densidades

Por otra parte, las ondas S es inversamente proporcional a la densidad,
esto se sabe gracias a su formula:

<math>v_S = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}</math>

Siendo μ el módulo de cizalladura (resistencia del material a la cizalladura)

Al ser inversa provoca que en la región de alta densidad, las ondas s se reduciría drásticamente dando lugar a una zona de baja velocidad.

Esta información es crucial para los estudios sísmicos, ya que permite localizar las zonas subterráneas de alta densidad.

==Bibliografía==
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-02T21:13:09Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-02T21:12:48Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

Archivo:Funciondedensidad7.png

2025-12-02T21:10:40Z

Sebastian.taipe:

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-02T20:55:20Z

Sebastian.taipe: /* Aplicaciones en la Ingenieria */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:44:45Z

Sebastian.taipe: /* Divergencia del campo de desplazamiento */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:44:26Z

Sebastian.taipe: /* Divergencia del campo de desplazamiento */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:43:07Z

Sebastian.taipe: /* Rotacional del campo de desplazamiento */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:42:19Z

Sebastian.taipe: /* Tensor de deformaciones */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:41:34Z

Sebastian.taipe: /* Masa de la placa */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:40:42Z

Sebastian.taipe: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a j */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:39:27Z

Sebastian.taipe: /* Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a i */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:38:22Z

Sebastian.taipe: /* Tensor de deformaciones */

Onda Longitudinal plana (Grupo 60)

2025-12-01T17:35:05Z

Sebastian.taipe: /* Tensor de deformaciones */